INTRODUCCION A LA MECANICA DE LAGRANGE Y DE HAMILTON ...

July 10, 2017 | Author: Anonymous | Category: Documents
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Facilitan el cambio de énfasis a partir del mundo físico de la Mecánica Vectorial al mundo más matemático de la Mec...

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Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton

2013 Actualización # 51 (30/10/13). Desde el 2009 (EN CONSTRUCCION Y REVISION)

Con numerosos ejemplos y una presentación que facilita la comprensión del contenido.

SOLDOVIERI LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

Copyright© 2013 por Terenzio Soldovieri C. Todos los derechos reservados. Impreso en la República Bolivariana de Venezuela.

Artes, dibujos y gráficos: Terenzio Soldovieri C. Decoraciones y portadas: Terenzio Soldovieri C. Toda la estructura de este libro ha sido elaborada por el autor, utilizando LaTeX. Web del autor:

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1:42 pm, Oct 30, 2013

A mis padres Raffaele Soldovieri Mastursi y Rita Elena Carmona, hijos Terenzio José Soldovieri Martínez y Marchello Soldovieri Carmona, compañera de vida Yeldri Yolaura Chourio Herrera, y todos los que fueron mis estudiantes les dedico el presente texto que con gran esfuerzo he logrado.

Terenzio Soldovieri C. [email protected] [email protected] BlackBerry pin: 293DBBC9

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Giuseppe Lodovico Lagrangia ( Joseph Louis Lagrange ) (1736-1813).

Matemático y astrónomo francés nacido en Turín (Italia), en cuya universidad estudió. Fue nombrado profesor de geometría en la Academia Militar de Turín a los 19 años y en 1758 fundó una sociedad que más tarde se convertiría en la Academia de Ciencias de Turín. En 1766 fue nombrado director de la Academia de Ciencias de Berlín, y 20 años después llegó a París invitado por el rey Luis XVI. Durante el periodo de la Revolución Francesa, estuvo al cargo de la comisión para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y medidas. Después de la Revolución, fue profesor de la nueva École Normale y con Napoleón fue miembro del Senado y recibió el título de conde. Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones, sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números. Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra más importante es Mecánica analítica (1788).

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).

Matemático y astrónomo británico, conocido sobre todo por sus trabajos en análisis de vectores y en óptica. Nació en Dublín y estudió en el Trinity College. En 1827, sin haber obtenido su título, fue nombrado profesor de astronomía, y al año siguiente astrónomo real para Irlanda. Hamilton pasó el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio de Dunsink, cerca de Dublín. En el campo de la dinámica, introdujo las funciones de Hamilton, que expresan la suma de las energías cinética y potencial de un sistema dinámico; son muy importantes en el desarrollo de la dinámica moderna y para el estudio de la teoría cuántica.

SOLDOVIERI C., Terenzio Licenciado en Física Profesor agregado del Departamento de Física Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ) [email protected] [email protected] www.cmc.org.ve/tsweb

INTRODUCCION A LA MECANICA DE

LAGRANGE Y HAMILTON Con numerosos ejemplos y una presentación que facilita la comprensión del contenido. 1era edición (preprint) (EN CONSTRUCCION Y REVISION) Comenzado en el 2009 Actualización # 51 (30/10/2013) Escrito usando LATEX Copyright c 2013 por Terenzio Soldovieri C. República Bolivariana de Venezuela

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Agradecimientos Agradezco muy especialmente a ANDREA ANGELICA VILLA TORREALBA, ANDRES ELOY COLINA LEON y CESAR ALEJANDRO RODRIGUEZ CASAS, quienes fueron mis alumnos destacados en Mecánica Clásica en el Departamento de Física, Facultad de Ciencias de La Universidad del Zulia (LUZ), Maracaibo - Venezuela, por su valiosa ayuda en la corrección del presente texto. Por el mismo motivo agradezco también a STANLEY SALVATIERRA, estudiante de Ingeniería Eléctrica en la mención de Sistemas de Potencia, Facultad Nacional de Ingeniería (FNI), Oruro - Bolivia.

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Prólogo

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a Mecánica Clásica es uno de los pilares fundamentales de la Física, junto con los Métodos Matemáticos, el Electromagnetismo y la Mecánica Cuántica. La mecánica introduce al alumno a las técnicas teóricas que son esenciales en todas las ramas de la Física, como por ejemplo: la Relatividad General, Teoría de Campos y Partículas, Mecánica Cuántica y en Caos y los Sistemas Complejos. En esta materia existen varios textos clásicos y de gran impacto, varios de los cuales se citan al final de este trabajo. Existen tanbién muchísimos textos recientes y que, con respecto a los clásicos, han mejorado la forma de presentar el contenido con la finalidad de hacerlos más didácticos y fáciles de entender. Algunos de estos últimos también son citados al final. Por algunos años he sido profesor de Mecánica Clásica en mi universidad. En el transcurrir de esos años he elaborado los clásicos apuntes de clases que solemos hacer los profesores, en los cuales ponemos nuestro mejor esfuerzo y dedicación para hacer que nuestros alumnos entiendan lo mejor posible el contenido que se quiere transmitir. Estos apuntes recogen datos valiosos obtenidos durante las clases, originados de las preguntas y discusiones que a menudo surgen durante las mismas. Involucran también las soluciones por mi encontradas a las dificultades que los alumnos tenían para poder comprender los distintos puntos tratados, lo cual es muy valioso puesto que permite ajustar la presentación del contenido. Es obvio que el contenido de mis apuntes de clases se ajusta al interés particular del curso que he dictado, sin embargo, siempre son de gran utilidad para cualquier curso en general referente a la materia. El presente texto es un esfuerzo por lograr ordenar todos esos apuntes y hacer público mi trabajo para el disfrute de la comunidad académica. El objetivo de este texto es presentar la Mecánica de Lagrange y de Hamilton, inIII

cluyendo la física y matemática necesaria para su estudio, en una forma lo más clara, sencilla y coherente posible sin sacrificar profundidad en el contenido, haciendo que el texto sea de muy fácil comprensión. Para lograr esto en mis apuntes de clases, realicé una muy amplia investigación consultando numerosos textos de los que se encuentran en el mercado referente a la materia (entre ellos los clásicos) así como varias publicaciones de revistas científicas y numerosísimas notas de clases encontradas en internet, sin embargo un gran número de ellas no pudieron ser referenciadas por no poseer los datos de origen suficientes. De todos esos textos fue extraido lo mejor de cada uno, siempre buscando la mejor explicación, la mejor definición, las mejores interpretaciones, etc., y siempre teniendo en mente que sea lo más claro y fácil de entender para luego ser procesadas y enfocadas en mi particular punto de vista y orden de contenidos. El texto fue dividido en dos partes. En la primera parte se presentan los fundamentos físicos y matemáticos básicos que son indispensables para abordar la Mecánica de Lagrange y de Hamilton, como lo son: la dinámica de un sistema de partículas, todo lo referente a ligaduras y coordenadas generalizadas, desplazamiento y trabajo virtual, principio de los trabajos virtuales y de D’Alembert, principio de Hamilton, cálculo variacional con fronteras fijas y transformación de Legendre. Lo referente a la dinamica de un sistema de particulas no es muy distinto a lo que se encuentra en el comun de los textos disponibles en el mercado, sin embargo es presentado en una forma detallada en referencia a los cálculos involucrados. Por otro lado, en referencia al concepto de ligadura, que es de gran importancia ya que de una u otra forma están presentes en los sitemas mecánicos, en el presente texto se hace un amplio estudio que permite fijar con firmeza este concepto mediante una detallada clasificación, ejemplos y figuras. En el caso de los desplazamientos virtuales, se presenta de forma clara su definición que con muchísima frecuencia en la mayoría de los textos sólo se menciona muy poco al respecto a pesar de ser el punto de partida para poder comprender todo lo referente al trabajo virtual, principio de los trabajos virtuales y el principio de D’Alembert que es fundamental en la mecánica y a partir del cual se puede desarrollar la mecánica de Lagrange. En el caso del cálculo variacional y la transformación de Legrendre se presentan sendos y extensos capítulos con contenido de directa aplicabilidad a la mecánica de Lagrange y de Hamilton que no suele ser tratado con suficiente profundidad en la gran mayoría de los textos de mecánica ya que son dejados para los cursos dedicados a esa materia en específico. En particular, lo relacionado a la transformación SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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de Legendre, de mucha utilidad al estudiar la Mecánica de Hamilton, es desarrollado con amplitud. La segunda parte del texto trata, exclusivamente, sobre la mecánica de Lagrange y de Hamilton, las transformaciones canónicas y la teoría de Hamilton-Jacobi. Todos estos contenidos son presentados de una forma muy coherente donde se hace obvio la utilidad e importancia de todo lo estudiado en la primera parte del texto. Todos estos puntos son desarrollados de una forma muy fácil de entender, siempre presentando aquellos tópicos teóricos que son básicos en cualquier curso de este tipo y presentando numerosos ejemplos en los cuales se aplican los contenidos estudiados, ayudados con figuras ilustrativas. En fin, aquí les dejo el presente trabajo esperando que sea de gran utilidad a la mayor cantidad de personas interesadas en la materia, en especial, a la multitud de alumnos que la tienen como curso obligatorio en sus respectivas carreras universitarias. Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física Facultad de Ciencias La Universidad del Zulia (LUZ) Maracaibo - Estado Zulia República Bolivariana de Venezuela

ALBERT EINSTEIN "Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas". "Lo más incomprensible del Universo, es que sea comprensible". "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas". "Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber". "La alegría de ver y entender es el más perfecto don de la naturaleza".

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ÍNDICE GENERAL

I Fundamentos físicos y matemáticos básicos para estudiar Mecánica de Lagrange y Hamilton 1 1 Dinámica de un sistema de partículas 1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Clasificación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide . . . . . . . 1.4.1. Posición del centro de masa de un sistema discreto . . . 1.4.2. Posición del centro de masa de un sistema continuo . . 1.4.3. Posición del centro de masa de un sistema compuesto 1.5. Propiedades del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

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ÍNDICE GENERAL 1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partículas - Masa reducida 1.8. Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Momento angular y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . 1.11.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Definiciones y principios básicos

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2.1. El espacio y el tiempo en Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Tipos de ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Por modo de activación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Clasificación de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Si dependen explícita o implícitamente del tiempo . . . . . . . . . . Ligaduras reónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ligaduras esclerónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Si son o no una relación bilateral algebraica entre las coordenadas Ligaduras Holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ligaduras No-Holónomas y Semi-Holónomas . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Ligaduras lisas o ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Dificultades introducidas por las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2. Tipos de Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3. Ecuaciones de transformación entre las coordenadas ordinarias y las coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4. Espacio de Configuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Algunas magnitudes físicas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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ÍNDICE GENERAL 2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4. Trabajo Mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.5. Energía Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Forma general en coordenadas generalizadas de las ligaduras holónomas, no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1. Ligaduras holónomas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . 2.9.2. Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.Un método para determinar si una ligadura en forma de diferencial o de velocidad es holónoma o no-holónoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.Ejemplos de determinación de coordenadas generalizadas para algunos sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.Desplazamiento real y virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.1. Desplazamiento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.2. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de los desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . 2.13.Trabajo real y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.1. Trabajo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.2. Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.Algunos principios mecánicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.1. Principio de los Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.2. Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.3. Principio de Ostrogradski-Hamilton o de Acción Estacionaria . . . . 2.15.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Cálculo variacional con fronteras fijas 3.1. Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Definición de Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Variación de una funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Planteamiento del problema variacional a estudiar . . . . . . . . . 3.3. Función vecina y variación admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Cálculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Para una variable dependiente — Ecuación de Euler . . . 3.4.2. Segunda forma y forma integrada de la Ecuación de Euler SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

116 117 117 118 120 122 122 123 125 132 142 142 142 143 155 155 155 156 156 156 169 177 180 193

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ÍNDICE GENERAL 3.4.3. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler - Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Cálculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forma explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . n P Alj [yi (x) ; x] yj0 (x) + Bl [yi (x) ; x] = 0 . . 3.5.3. Restricciones del tipo Dl = j=1 Rx 3.5.4. Restricciones del tipo isoperimétrico x12 gl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l . . 3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Transformada de Legendre

Mecánica de Lagrange y Hamilton

5 Mecánica Lagrangiana

252 265 275 293

4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Convexidad y concavidad de funciones y propiedades . . . . . . . . . . . 4.2.1. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Determinación de la convexidad y la concavidad de una función En caso de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . En caso de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Transformada de Legendre para una variable independiente . . . . . . . 4.4. Transformada de Legendre para más de una variable independiente . . 4.5. Variables activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Algunas propiedades matemáticas de la transformada de Legendre . . . 4.6.1. La inversa de la transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

219 225 227 227 237 248

294 297 297 299 300 301 305 310 311 316 319 325 325 329 330 331

335 337

5.1. Ecuaciones de Lagrange obtenidas partiendo del Principio de D’Alembert 338 5.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 5.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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ÍNDICE GENERAL Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 343 Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 344 5.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

. . . 349

5.2. Ecuaciones de Lagrange obtenidas a partir del Principio de OstrogradskiHamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 5.2.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 5.2.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 357 Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 357 5.2.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

. . . 358

5.3. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . 360 5.4. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . 362 5.4.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 5.4.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . 395 5.4.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . 419 5.5. Propiedades del Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 5.5.1. Invariancia bajo una transformación de Gauge . . . . . . . . . . . . 437 5.5.2. Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 5.5.3. Invariancia bajo una transformación de coordenadas . . . . . . . . 441 5.6. Coordenadas cíclicas - Momentos Generalizados y su conservación . . . 442 5.6.1. Coordenadas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 5.6.2. Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 5.6.3. Conservación de los Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . 444 5.7. Integrales Primeras de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 5.8. Integrales Primeras de Movimiento para un sistema cerrado . . . . . . . . . 447 5.9. Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 5.9.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 5.9.2. Conservación del momento lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . 451 Conservación del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 5.10.Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 5.10.1. Forma simplificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 5.10.2. Forma más general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 5.11.Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 5.12.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: XI

ÍNDICE GENERAL

6 Mecánica Hamiltoniana

483

6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . 6.2. Construcción de un Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Pasos para construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Construcción de un Hamiltoniano para un sistema natural . . . . . . 6.2.3. Forma práctica de construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . 6.3.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . 6.3.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . 6.4. Ecuaciones de Hamilton a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton . . 6.5. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 6.8. El Método de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Transformaciones canónicas 7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Ecuaciones de transformación canónicas . . . . . 7.2.1. Caso 1: Función generatriz F1 = F1 (qi ; qei ; t) 7.2.2. Caso 2: Función generatriz F2 = F2 (qi ; pei ; t) 7.2.3. Caso 3: Función generatriz F3 = F3 (pi ; qei ; t) 7.2.4. Caso 4: Función generatriz F4 = F4 (pi ; pei ; t) 7.3. Invariante integral universal de Poincaré . . . . . . 7.4. Corchetes de Lagrange y Poisson . . . . . . . . . . 7.4.1. Corchetes de Lagrange . . . . . . . . . . . .

485 486 489 489 490 492 496 496 497 498 500 500 529 545 557 558 567 576 579 583 585 591

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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. . . . . . . . .

591 593 594 595 596 597 606 610 610

Pág.: XII

ÍNDICE GENERAL 7.4.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . 617 7.5. Transformaciones canónicas infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 7.6. Forma simpléctica de las transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . 622 7.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

8 Teoría de Hamilton-Jacobi

627

8.1. Ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628 8.2. Solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . 631 8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . 632 8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coordenada cíclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas no cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 8.3. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . 635 8.4. Variables acción-ángulo en sistemas con un grado de libertad . . . . . . . 635 8.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

A Teorema de Steiner

637

B Teorema de Euler

639

C Funciones monótonas y continuidad

641

D Lema fundamental del cálculo de variaciones

643

E Propiedades de los determinantes

645

F Identidad de Jacobi

649

F.1. Por transformaciones canónicas infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 F.2. Por cálculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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ÍNDICE GENERAL

Bibliografía

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

653

Pág.: XIV

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1. Frontera de un sitema de partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Tipos de fuerzas en un sistema de partículas. Aquí ! riy! r j son los vectores !(int) de posición de la i-ésima y j-ésima partícula respectivamente, F ij es la !(int) fuerza ejercida por la j-ésima partícula sobre i-ésima, F ji es la fuerza ! ejercida por la i-ésima partícula sobre j-ésima y las F (ext) representan fuerzas externas ejercidas sobre el sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

7

0

1.3. (a) Sistema S con tres partículas de masas m1 , m2 y m3 . (a) Sistema S con dos partículas de masas m2 y m3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2 , donde m1 se desplaza sobre la superficie de m2 y éste último sobre una superficie lisa S. Hay fricción entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloque m1 . (c) Fuerzas sobre el bloque m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5. Forma fuerte de la tercera ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6. Fuerzas interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas qi y qj en movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! 1.7. Posición R CG del centro de gravedad de un sistema de partículas. Aquí P M = mi y M ! g es el peso ! w total del sistema. . . . . . . . . . . . . . . .

13 14

1.8. Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamaño no despreciable respecto al de la misma, en el cual se han representado varios dm y a los cuales se les han representado las ! g en sus respectivas posiciones.

16

1.9. Posición del centro de masa de un sistema de N partículas. . . . . . . . . .

17

1.10.Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.11.Distribución de mareria continua de masa m y densidad . . . . . . . . . .

19

XV

ÍNDICE DE FIGURAS 1.12.Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal . . . . . . . . . 1.13.Posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogéneo, de densidad y de radio R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14.Cono sólido homogéneo de altura h y base de radio a . . . . . . . . . . . . 1.15.Sistema S discreto de N partículas subdividido (por completo) en s subsistemas S1 ,S2 ,S3 ,...,Ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16.Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisférica y un hemisferio sólido homogéneo acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17.Centro de masa de una lámina cuadrada homogénea de densidad y lado c con orificio semicircular de radio R < 2c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18.Dos partículas de masas iguales que se deslizan sobre correderas lisas en ángulo recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.19.Sistema aislado de dos partículas interactuantes de masas m1 y m2 . . . . 1.20.Vector de posición ! r 0i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.21.Aro homogéneo, de radio a, que rueda sobre una superficie lisa con frecuencia angular constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.22.Vector de posición ! r ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.23.Problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.24.Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.25.Problema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.26.Problema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.27.Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.28.Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.29.Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.30.Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.31.Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.32.Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.33.Problema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.34.Problema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.35.Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.36.Problema 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.37.Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.38.Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.39.Problema 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.40.Problema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.41.Problema 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.42.Problema 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

20 21 22 23 26 27 33 35 38 40 42 50 51 51 52 53 53 54 54 55 55 56 57 58 60 60 61 61 62 63 63

Pág.: XVI

ÍNDICE DE FIGURAS 1.43.Problema 35.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

1.44.Problema 36.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

1.45.Problema 38.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.1. Péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.2. Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie inclinada. . . .

73

2.3. Cuerpo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.4. Dos masas m1 y m2 unidas por una barra rígida de longitud `. . . . . . . . .

74

2.5. Sistema donde una canica con un orificio se desliza a través de un alambre rígido y curvo (que pasa a través de su orificio). . . . . . . . . . . . . . .

75

2.6. Movimientos posibles de un péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.7. Movimientos posibles de un péndulo elástico. . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.8. Masa puntual m en un punto de equilibrio inestable como la cima de una montaña. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.9. Moléculas de gas encerradas en una esfera de radio R. . . . . . . . . . . .

79

2.10.Partícula que se desliza sobre la superficie de una esfera de radio R. . . .

79

2.11.Una partícula de masa m que se mueve en un aro cuyo radio cambia con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.12.Partícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.13.Partícula de masa m obligada a moverse sobre una superficie S (x; y; z) = 0. 85 2.14.Una partícula de masa m moviéndose sobre una mesa. . . . . . . . . . . .

86

2.15.Partícula de masa m obligada a moverse sobre una curva. . . . . . . . . .

87

2.16.Partícula de masa m moviéndose sobre una recta. . . . . . . . . . . . . . .

87

2.17.(a) Cuerpo rígido plano en su propio plano. (b) Cuerpo rígido en el espacio. 89 2.18.Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene. . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.19.Los 3 grados de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.20.Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo. . . .

91

2.21.El único grado de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

2.22.Dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con un punto común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

2.23.Los 4 grados de libertad de dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con un punto común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.24.Cuerpo rígido en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: XVII

ÍNDICE DE FIGURAS 2.25.(a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes R Sen ; R Cos

sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.26.Partícula de masa m obligada a moverse en el interior de un paralelepípedo de dimensiones d1 , d2 y d3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.27.Movimiento de un disco sólido homogéneo de masa M y radio R que se desplaza sin resbalar sobre un plano inclinado un ángulo . . . . . . . . . . 2.28.Dos masas m1 y m2 acopladas por un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.29.(a) Ligadura lisa y (b).ligadura rugosa Para el movimiento permitido por la ligadura (deslizamiento horizontal) la reacción lisa no realiza trabajo, mientras que en el caso rugoso sí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.30.El historial temporal de un sistema es representado mediante una curva en el espacio de configuración. Se muestran cuatro posibles. . . . . . . . . 2.31.Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un hilo de masa despreciable y de longitud constante `. La masa m1 se mueve a lo largo del eje x con una velocidad constante ! v impuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.32.Péndulo doble formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas entre sí por una cuerda de masa despreciable y de longitud constante `2 , estando m1 a su vez unida a un punto fijo O por medio de otra cuerda de masa despreciable y longitud `1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.33.Sistema formado por dos partículas de masas m1 y m2 , unidas por una barra rígida de masa despreciable y de longitud constante `. . . . . . . . 2.34.Sistema formado por una varilla lisa en la cuale está ensartada una cuenta de masa m. La cuenta realiza un movimiento pre-establecido. . . . . . 2.35.(a) Desplazamiento real d! r en presencia de una ligadura reónoma (b) ! Desplazamiento virtual r , la ligadura se ha dejado çongelada.en el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.36.Desplazamiento real d! r y desplazamiento virtual ! r. . . . . . . . . . . . . 2.37.Espacio de fase unidimensional. Coordenada real q (t) y la coordenada desplazada virtualmente q (t) + q (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.38.Partícula de masa m que se mueve sobre una esfera lisa sin separarse de su superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.39.Anillo que se desplaza sobre un alambre liso en forma deparábola que rota con ! constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.40.Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por una barra telescópica de longitud ` = ` (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

102 103 105

107 115

132

135 138 141

143 144 145 148 151 153

Pág.: XVIII

ÍNDICE DE FIGURAS 2.41.Péndulo en equilibrio estático. (a) Diagrama de cuerpo libre. (b) Diagrama con fuerzas y desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.42.Partícula moviéndose dentro de un cilindro con trayectoria helicoidal. . . 2.43.Palanca horizontal en equilibrio estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.44.(a) Sistema de partículas equivalente al sistema dado. (b) Vectores de posición y desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.45.Mecanismo de barras homogéneas en equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . 2.46.Centros de masa de los componentes del sistema, sus vectores de posición, los correspondientes desplazamientos virtuales y las fuerzas involucradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.47.Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través de una polea de diámetro despreciable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.48.Dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través de una polea y donde una de las masas se desliza sobre un plano inclinado. . . . 2.49.Problema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.50.Problema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.51.Problemas 3 y 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.52.Problemas 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.53.Problema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.54.Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.55.Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.56.Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.57.Problema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.58.Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.59.Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.60.Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.61.Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.62.Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.63.Problema 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.64.Problema 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.65.Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.66.Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159 160 163 164 166

167 171 173 180 180 181 182 182 183 184 184 185 186 186 187 188 189 190 191 191 192

3.1. Superficie de revolución generada por una curva y = y (x). . . . . . . . . . 196 3.2. Camino real y camino variado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.3. La función y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un valor extremal. Las funciones y ( ; x) = y (x) + (x) = y (x) + y (x) son las funciones vecinas, donde (x) se anula en las fronteras del intervalo [x1 ; x2 ].202 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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ÍNDICE DE FIGURAS 3.4. Función y (x) = 3x entre los límites de x = 0 y x = 2 y dos de sus variaciones y ( ; x) = 3x + [Sen (x) Cos (x) + 1] (Ejemplo 3.1). . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Función y (x) = x2 entre los límites de x = 1 y x = 1 y dos de sus variaciones y ( ; x) = x2 + (x3 x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Superficie de revolución generada por una curva que une a los puntos (x1 ; y1 ).y (x1 ; y1 ), haciéndola trasladarse entrono al eje y. . . . . . . . . . . . 3.7. Partícula de masa m que se desplaza sobre una rampa lisa desde el punto P1 hasta el punto P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Planteamiento gráfico del problema de la braquistócrona. . . . . . . . . . 3.9. Camino resultante para que la partícula se mueva desde (x1 ; y1 ) = (0; 0) hasta (x2 ; y2 ) = (d; h) en el menor tiempo posible. . . . . . . . . . . . . . . 3.10.Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio a y separados por una distancia 2d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11.Geodésicas sobre una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.Distancia más corta entre dos puntos del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.Geodésicas en un cilindro circular recto de radio R. . . . . . . . . . . . . . 3.14.Función y (x) cuya área por ella encerrada ha de maximizarse. . . . . . . 3.15.Cuerda de longitud ` colocada entre las orillas de un río de ancho 2a. . . 3.16.Problema 70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. (a) Representación de la relación fundamental F = F (u). (b) Representación de una familia de relaciones fundamentales F = F (v). . . . . . 4.2. Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia de líneas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo. . . . . . . . . . . . . . 4.4. Función F (u) convexa en el intervalo [ua ; ub ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. El epigrafo de una función de valor real es la zona "sobre"la curva. . . . . 4.6. Función F (u) cóncava en el intervalo [ua ; ub ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Gráfica de la finción F (u) = Cos (u). En el dominio 2 ; 32 es una función estrictamente convexa y en el dominio 32 ; 52 es una función estrictamente cóncava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Representación gráfica de la desigualdad (4.8) que expresa la condición de convexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Gráfica de la función F (u) = u1 para u > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.Gráfica de la función F (u) = e u para 6 0 y u > 0. . . . . . . . . . . . . . 4.11.Gráfica de la función F (u) = au2 + bu + c con a < 0 y u variable real. . . . . 4.12.Gráfica de la función F (u) = e u + u con > 0 y u variable real. . . . . . . 4.13.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u21 + u22 2u1 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

203 204 211 214 215 217 218 231 233 235 270 272 289

295 296 297 298 298 299

300 301 303 304 304 305 307

Pág.: XX

ÍNDICE DE FIGURAS 4.14.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u41 + u22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u41 + u22 4u1 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = ln u1 + ln u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17.(a) Gráfica de una función convexa F = F (u). (b) Gráfica de su tangente v = v (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18.Obtención geométrica de la transformada de Legendre para una relación fundamental de una variable F = F (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

308 309 310 312 313

5.1. Partícula de masa m que se desplaza hacia abajo en un plano inclinado un ángulo con respecto a la horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 5.2. Partícula de masa m inmersa en un campo de fuerza conservativo. . . . . 366 5.3. La máquina simple de Atwood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 5.4. Anillo de masa m que se desliza por un alambre, de masa despreciable, que gira uniformemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 5.5. Movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción de la gravedad en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 5.6. Partícula de masa m que está obligada a moverse sobre la superficie interna de un cono liso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 5.7. Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1 , k2 y k3 a dos soportes fijos que está a una distancia D entre sí.380 5.8. Coordenadas generalizadas del sistema formado por dos masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1 , k2 y k3 a dos soportes fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 5.9. Péndulo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con una aceleración constante a en la dirección +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 5.10.Coordenadas Cartesianas para el pédulo simple de la figura 5.9. . . . . . 383 5.11.Cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa despreciable, que tiene la forma de la parábola z = cr2 . . . . . . . . . . . . 387 5.12.Máquina de Atwood doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 5.13.Disco sólido de centro O0 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la superficie semicircular fija con centro O y radio R2 > R1 . . . . . . . . . . . . 392 5.14.Coordenadas del centro de masa del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 5.15.Disco de masa M y radio R rueda, sin resbalar, hacia abajo en un plano inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 (h) (h) 5.16.Detalles para encontrar las ecuaciones de ligadura f4 y f5 para el sistema mostrado en la figura 5.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 5.17.Partícula de masa m que comienza a moverse desde el reposo, partiendo de la parte más alta de un hemisferio fijo y liso. . . . . . . . . . . . . . . . . 413 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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ÍNDICE DE FIGURAS 5.18.Partícula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado móvil. . . . . 416 5.19.(a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes R Sen ; R Cos

sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 422

5.20.Carrito rectangular homogéneo de masa M inmerso en un campo eléc! trico uniforme E dirigido a lo largo del eje x. Las ruedas no resbalan, así la fuerza de fricción estática entre ellas y la superficie proporcionan fuerzas ! ! F a y F b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 ! ! ! ! 5.21. F 1 , F 2 y F Q son las fuerzas eléctricas ejercidas por el campo eléctrico E sobre las cargas q1 , q1 y Q respectivamente. La fuerza de fricción estática ! ! entrelas ruedas y la superficie proporcionan fuerzas F a y F b . . . . . . . . 434 5.22.Cambio del vector de posición debido una traslación del sistema. . . . . 453 5.23.Variación del vector de posición al rotar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 6.1. Partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie del cilindro x2 + y 2 = R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 6.2. Péndulo esférico de masa pendular m y longitud b. . . . . . . . . . . . . . . 517 6.3. Coordenadas esféricas de la masa pendular m en un pédulo esférico. . . 518 6.4. Partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a una fuerza Kx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 6.5. Partícula de masa m que se mueve en un plano, inmersa en un campo con energía potencial U = U (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 6.6. Péndulo simple de masa pendular m y longitud `. . . . . . . . . . . . . . . . 526 6.7. Coordenadas Cartesianas y cilíndricas para la masa pendular m del péndulo mostrado en la figura 6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 6.8. Trayectoria de fase en un espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 6.9. Diagrama de fase para la partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie de un cilindro, mostrada en la figura (6.1). . . . . . . . . . . . . 560 6.10.Diagrama de fase para la máquina simple de Atwood de la figura 5.3. . . 561 6.11.Partícula de masa m que se desliza bajo la acción de la gravedad y sin 2 fricción sobre un alambre que tiene forma de parábola y = x2 . . . . . . . . 561 6.12.Diagrama de fase para el sistema mostrado en la figura (6.11). . . . . . . . 563 6.13.Diagrama de fase para el péndulo de la figura 6.2 con ' = ! = constante. p p La figura 6.13(a) es para ! < g=` y la 6.13(b) es para ! > g=`. . . . . . . 565

6.14.Diagrama de fase para el péndulo simple de la figura (6.6). . . . . . . . . . 567 6.15.Evolución de una región en el espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . 569

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ÍNDICE DE FIGURAS 6.16.Proyección del elemento de volumen sobre el plano qi pi . . . . . . . . . . . 571 6.17.Diagrama de fase para un conjunto de partículas de masa m moviéndose inmersas en un campo gravitacional constante. . . . . . . . . . . . . . . . . 575 6.18.Partícula de masa m que se mueve en un plano bajo la influencia de una fuerza F (r) que se deriva del potencial U (r) = rCn . . . . . . . . . . . . . . . 581 D.1. Función arbitraria (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

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Parte I Fundamentos físicos y matemáticos básicos para estudiar Mecánica de Lagrange y Hamilton

1

CAPÍTULO 1 Dinámica de un sistema de partículas

Contents 1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Clasi…cación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2. Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.1. Posición del centro de masa de un sistema discreto . . . . . . . . . . . .

16

1.4.2. Posición del centro de masa de un sistema continuo . . . . . . . . . . . .

19

1.4.3. Posición del centro de masa de un sistema compuesto . . . . . . . . . .

23

1.5. Propiedades del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partículas - Masa reducida

35

1.8. Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.9. Momento angular y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.10. Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.10.1. Energía cinética

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

43

CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 1.10.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.10.3. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

1.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.

49

Sistema de partículas

Los cuerpos que se observan a simple vista están formados por un gran número de partículas, macroscópicas, atómicas o subatómicas. Sólo en ciertos casos es válida la simplificación que supone el modelo de la masa puntual. En otros casos, por el contrario, será necesario considerar el sistema como si estuviese formado por varias partículas. Se llama Sistema de Partículas, Sistema Mecánico o Sistema Dinámico a un conjunto de varias partículas, de número finito o infinito, de las cuales se quiere estudiar su movimiento. Por otro lado, Se llama Configuración de un Sistema a la posición de cada una de sus partículas en un instante dado. Para definir la configuración se necesita un determinado número de parámetros según el sistema de que se trate. Por ejemplo, una partícula libre precisa de tres parámetros (x; y; z) son sus coordenadas Cartesianas. Un sistema de N partículas libres queda definido por 3N parámetros. Sin embargo, si existen ligaduras (detalles en el capítulo 2) que restrinjan el movimiento, el número de parámetros preciso para definir la configuración podría ser menor. Todo sistema está definido por su frontera, Se llama Frontera del Sistema (ver figura 1.1) a la envoltura imaginaria que lo encierra y separa de su entorno o exterior. En el exterior o entorno del sistema pueden existir agentes que ejerzan influencia sobre el mismo como: campos gravitacionales o eléctricos originados por otro sistema SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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1.2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Figura (1.1): Frontera de un sitema de partículas.

de partículas, sistemas de partículas en contacto él, etc. Puede pensarse que la frontera de un sistema de partículas tiene propiedades especiales que sirven para: (a) aislar el sistema de su entorno o para (b) permitir la interacción de un modo específico entre el sistema y su entorno. Debe quedar claro que el espesor de la frontera es matemáticamente cero por lo que no puede contener materia ni ocupar algún lugar en el espacio. El valor de alguna variable física del sistema medida exactamente sobre su frontera debe ser igual tanto para el interior como para el exterior, ya que el sistema y el entorno están en contacto en ese punto.

1.2.

Clasificación de los sistemas de partículas Un sistema de partículas puede ser clasificado como:

1.2.1.

Discreto

Este modelo considera el cuerpo formado por un número finito de partículas que están localizadas. En un sistema discreto la masa total del sistema se obtiene sumando las masas de todas las partículas que lo forman. Dentro de este modelo se consideran: SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Sistemas indeformables Son los sistemas en los que la distancia relativa entre las partículas que lo constituyen permanece inalterable en el tiempo.

Sistemas deformables Son los sistemas en los que puede cambiar la distancia relativa entre las partículas que lo constituyen.

1.2.2.

Continuo

Este modelo considera el cuerpo formado por una distribución continua de materia, es decir, por un número infinito de partículas. Las partículas que lo forman no se pueden delimitar, llenando todo el espacio que ocupa. Al igual que en el caso discreto, dentro de este modelo se consideran:

Sistemas indeformables Son los sistemas que no sufren deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir, son sistemas de partículas contínuos cuyas posiciones relativas no cambian. A estos sitemas se les da el nombre de Cuerpo Rígido. Un cuerpo rígido es una idealización ya que, en la naturaleza, todos los cuerpos se deforman en mayor o menor grado bajo la acción de una fuerza externa. Sin embargo, en muchos casos la deformación puede ser tan pequeña que para fines prácticos se puede suponer que no existe. Para el estudio del comportamiento de estos sistemas existe la denominada Mecánica de los Cuerpos Rígidos.

Sistemas deformables Son los sistemas que sufren deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir, son sistemas de partículas contínuos cuyas posiciones relativas internas cambian. En muchos casos prácticos un sistema discreto que tenga un gran número, pero finito, de partículas puede tratarse como un sistema continuo. Inversamente, un sistema continuo puede tratarse como un sistema discreto con un gran número, pero finito, de partículas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

1.3.

Fuerzas en un sistema de partículas

En un sistema de partículas están involucradas fuerzas que son ejercidas sobre las partículas que lo constituyen y que son las causantes de la variación de la cantidad movimiento lineal o momento lineal ! p de las mismas. A estas fuerzas resulta conveniente clasificarlas ya que las partículas del sistema no sólo están interaccionando entre sí, sino con otras partículas que no pertenecen al mismo sistema. Es posible clasificarlas atendiendo a varios criterios (ver figura 1.2):

Figura (1.2): Tipos de fuerzas en un sistema de partículas. Aquí ! riy! r j son los vectores de posición de la !(int) i-ésima y j-ésima partícula respectivamente, F ij es la fuerza ejercida por la j-ésima partícula sobre !(int) ! i-ésima, F ji es la fuerza ejercida por la i-ésima partícula sobre j-ésima y las F (ext) representan fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.

1.3.1.

Externas e internas

Fuerzas externas Las Fuerzas Externas son aquellas ejercidas por agentes externos al sistema, es decir, son las que están aplicadas a partículas del sistema por partículas, distribuciones de materia u otros agentes que no pertenecen al mismo sistema.

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Las fuerzas externas son las responsables del comportamiento externo del sistema y son las únicas que modifican su momento lineal ! p , influyendo sobre una o más partes del mismo o sobre su totalidad. Estas fuerzas pueden ser los pesos de las partículas del sistema, reacciones causadas por las superficies en contacto con las mismas, fuerzas ejercidas externamente mediante cuerdas, etc. ! En este texto serán denotadas por: F (ext) cuando se trate de la fuerza externa total !(ext) o resultante sobre el sistema y por F i cuando se trate de la fuerza externa total sobre la i-ésima partícula a menos que, para casos particulares, sea indicada otra notación. A un sistema de partículas sobre el cual no se aplican fuerzas externas se le denomina Sistema Aislado o Sistema Cerrado. Es decir, es un sistema que no interacciona con otros agentes físicos situados fuera de él y, por tanto, no está conectado en forma “causal” ni en correlación con nada externo a él. Particulamente, un sistema inercial aislado es aquél en el que son válidas las tres Leyes de Newton y tiene las siguientes características: 1. La evolución del sistema es independiente del origen de la coordenada temporal, es decir, el tiempo es homogéneo. 2. La evolución del sistema es idenpendiente del origen de coordenadas del sistema inercial, es decir el espacio es homogéneo. 3. La evolución del sistema es independiente de la dirección de los ejes de sistema de coordenadas escogido, es decir, el espacio es isótropo.

Fuerzas internas Las fuerzas internas son aquellas ejercidas entre las partículas que constituyen al sistema, es decir, son las que están aplicadas a partículas del sistema debidas a otras partículas del mismo sistema. Las fuerzas internas son las que determinan el grado de rigidez o cohesión de un determinado sistema y no influyen en su comportamiento externo. Estas pueden ser las fuerzas de atracción gravitacional entre las partículas del sistema, la fuerza eléctrica si las partículas tienen cargas eléctricas, fuerzas de contacto entre las partículas, etc. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura (1.3): (a) Sistema S con tres partículas de masas m1 , m2 y m3 . (a) Sistema S 0 con dos partículas de masas m2 y m3 .

! En este texto serán denotadas por: F (int) cuando se trate de la fuerza interna total !(int) cuando se trate de la fuerza interna total sobre la o resultante en el sistema y por F i i-ésima partícula, a menos que, para casos particulares, sea indicada otra notación. Como ejemplo para ilustrar los conceptos de fuerza externa y fuerza interna, considérense los sistemas mostrados en la figura 1.3. En la figura 1.3(a) se muestra un sistema S con tres partículas de masas m1 , m2 y m3 posicionadas con respecto al origen O del referencial mostrado mediante los vectores de posición ! r 1, ! r2y! r 3 respectivamente. Sobre estas partículas actuan las siguientes fuerzas: 8 ! > < F 1 fuerza ejercida sobre m1 por un agente externo. ! Fuerzas sobre m1 F 12 fuerza ejercida sobre m1 por m2 . > : ! F 13 fuerza ejercida sobre m1 por m3 . Fuerzas sobre m2

Fuerzas sobre m2

8 ! > < F 2 fuerza ejercida sobre m2 por un agente externo. ! F 21 fuerza ejercida sobre m2 por m1 . > : ! F 23 fuerza ejercida sobre m2 por m3 . 8 ! > < F 3 fuerza ejercida sobre m3 por un agente externo. ! F 31 fuerza ejercida sobre m3 por m1 . > : ! F 32 fuerza ejercida sobre m3 por m2 .

! ! ! ! ! ! En este sistema las fuerzas F 12 , F 13 , F 21 , F 23 , F 31 y F 32 son internas y, como se puede ver, representan las fuerzas de interacción mutua entre las tres partículas. Las SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS ! ! ! fuerzas F 1 , F 2 y F 3 son externas que representan la interacción del sistema con un agente externo al mismo.

Figura (1.4): (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2 , donde m1 se desplaza sobre la superficie de m2 y éste último sobre una superficie lisa S. Hay fricción entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloque m1 . (c) Fuerzas sobre el bloque m2 .

Por otro lado, en la figura 1.3(b) se muestra el mismo sistema de tres partículas pero donde se ha escogido como objeto de estudio al sistema S 0 formado por las partículas ! ! ! ! de masas m2 y m3 . En este caso, las fuerzas F 23 y F 32 son internas y las fuerzas F 2 , F 3 , ! ! ! ! ! F 21 y F 31 son externas (estas dos últimas eran internas para S). Las F 1 , F 12 y F 13 , que en S pertenecían al sistema, ahora nada tienen que ver con S 0 ya que no ejercen ninguna influencia sobre él. Otro ejemplo es el mostrado en la figura 1.4. En la figura 1.4(a) se presenta un sistema constituido por dos bloques de masas m1 y m2 que se desplazan el uno sobre el otro habiendo fricción. El cojunto de bloques, a la vez, se desplaza sobre una superficie ! lisa , debido a la acción una fuerza F sobre el bloque de masa m2 ejercida por un agente externo (una persona o una máquina hala al bloque). Las fuerzas involucradas son las siguientes: 8 ! > < w 1 peso de m1 . ! Fuerzas sobre m1 N 12 fuerza normal aplicada por m2 sobre m1 . > : ! F f 12 fuerza de fricción aplicada por m2 sobre m1 . Fuerzas sobre m2

8 > > > > > > < > > > > > > :

! w 2 peso de m2 . ! N 21 fuerza normal aplicada por m1 sobre m2 . ! F f 21 fuerza de fricción aplicada por m1 sobre m2 . ! N fuerza normal ejercida por sobre m2 . ! F fuerza aplicada sobre m2 por un agente externo.

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1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS ! ! En este sistema, compuesto por m1 y m2 , las fuerzas ! w 1, ! w 2 , N y F , son externas. ! La fuerza normal N es externa ya que es una fuerza que se ejerce sobre m2 por la ! ! ! ! superficie , que es un agente externo al sistema. Las fuerzas F f 12 , F f 21 , N 12 y N 21 son internas porque se dan entre m1 y m2 . Por otro lado, si la frontera del sistema se define de tal forma que se tome solamente uno de los bloques, entonces todas las fuerzas actuantes sobre él serían externas. La figura 1.4(b) muestra el caso en que la frotera del sistema sólo considere al bloque 1 y la figura 1.4(c) muestra el caso en que se considere al bloque 2. En ambos casos todas la fuerzas mostradas son externas y constituyen los denominados diagramas de cuerpo libre. A partir de la anterior discusión se deduce que cualquier fuerza puede ser externa o interna. Sólo depués de definir las fronteras del sistema de partículas objeto de estudio, se sabrán cuáles de las fuerzas presentes entran en cada categoría.

1.3.2.

Aplicadas y de reacción Se pueden clasificar también en Aplicadas y de Reacción.

Aplicadas A este tipo de fuerzas también se les denominan Fuerzas Activas. Las fuerzas aplicadas son aquellas que actúan a “motus propio” sobre el sistema, es decir, son las fuerzas impuestas.

De reacción A este tipo de fuerzas también se les denomina Fuerzas Reactivas o también Fuerzas de Ligadura. Son aquellas que actúan como respuesta a un movimiento determinado que intentan impedir y sólo se dan cuando existe la tendencia a este movimiento.

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura (1.5): Forma fuerte de la tercera ley de Newton.

La tercera ley de Newton juega un papel muy importante en la dinámica de un sistema de partículas debido a las fuerzas internas entre las partículas que constituyen el sistema. Dos suposiciones son necesarias referentes a las fuerzas internas:

1. Las fuerzas ejercidas entre dos partículas mi y mj son iguales en magnitud !(int) y opuestas en dirección. Si se denota por F ij la fuerza interna ejercida sobre la i-ésima partícula debido a la j-ésima, entonces la llamada forma “débil” de la tercera ley de Newton se escribe como, !(int) F ij =

!(int) F ji

(1.1)

2. Las fuerzas ejercidas entre dos partículas mi y mj , además de ser iguales y opuestas, deben darse sobre el segmento recta que une las posiciones !(int) de ambas partículas, es decir, si F ij es paralela a ! ri ! rj = ! r ij . Esta forma más restringida de la tercera ley de Newton, llamada también la forma “fuerte”, es mostrada en la figura 1.5. A las fuerzas que cumplen esta forma de la tercera ley de Newton se le denominan Fuerzas Centrales. Se debe tener cuidado en saber cuándo es aplicable cada una de las formas de la tercera ley de Newton. En verdad, muchas son las fuerzas que obedecen ambas formas de la tercera ley de Newton. Por ejemplo, las fuerza gravitacional y la fuerza SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE electrostática tienen esta propiedad, conservándose el momento lineal total y el momento angular en estos sistemas. Sin embargo, existen algunas fuerzas que, en general, ¡no cumplen con ambas formas a la vez! y el ejemplo más famoso lo constituye la fuerza de Lorentz que viene dada por, !(int) ! F ij = qi ! v i B ij (1.2) que se estudia en el curso de electromagnetismo y donde ! v i es la velocidad de la ! carga qi y B ij es el campo magnético sobre la carga qi generado por el movimiento de la carga qj . Esta fuerza, en general, sólo obedece a la forma débil de la tercera ley de Newton. Para visualizar esto, considérense dos partículas cargadas qi y qj que se mueven con velocidades respectivas ! viy! v j en el plano de esta página, como se muestra en la figura 1.6.

Figura (1.6): Fuerzas interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas qi y qj en movimiento.

!(int) ! Puesto que F ij es perpendicular a ambos ! v i y B ij ( el cual puede apuntar hacia !(int) !(int) adentro o hacia afuera del plano de esta página), F ij puede ser paralela a F ji sólo cuando ! viy! v j son paralelas, lo cual no es cierto en general. Cualquier fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos interactuantes no es central, por lo tanto no es aplicable la forma fuerte. La fuerza gravitacional entre cuerpos en movimiento también depende de la velocidad, pero el efecto es pequeño y difícil de detectar. El único efecto observable es la precesión del perihelio de los planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra y Marte).

1.4.

Centro de masa, centro de gravedad y centroide

En el estudio de la dinámica de sistemas de partículas es de una importantísima utilidad el concepto de Centro de Masa. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

El Centro de Masa de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.

Esto será demostrado más adelante en la sección 1.6. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Por otro lado,

El Centro de Gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que ejerce la gravedad sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo, producen un momento de fuerza o torque ! resultante nulo.

La figura 1.7 muestra una representación de la posición del centro de gravedad para un sistema discreto de N partículas. El centro de gravedad no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el centro de gravedad de una esfera hueca homogénea está situado en el centro de la esfera que no pertenece al cuerpo.

P ! Figura (1.7): Posición R CG del centro de gravedad de un sistema de partículas. Aquí M = mi y es el peso ! w total del sistema.

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M! g

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1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE ! La posición R CG del centro de gravedad para un sistema continuo puede ser encontrada mediante, ! R CG

R ! M! g ! r = R CG = ! r

! g (! r ) dm

(1.3)

En la figura 1.8 se muestra un cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra cuyo tamaño no es despreciable con respecto al de ésta última, en el cual se han representado varios diferenciales de masa dm y a los cuales se les han representado las intensidades del campo terrestre ! g en sus respectivas posiciones. Se puede observar ! que g es un vector que varía en dirección de punto a punto por estar siempre dirigido al centro de la Tierra además de que podría variar también su magnitud. En este caso, de (1.3), para el cuerpo de masa M resultaría una posición para su centro de gravedad distinta a la posición de su centro de masa (cuya determinación se hará más adelante). Ahora, si el tamaño de este cuerpo es pequeño o despreciable con respecto al de la Tierra ocurriría que los ángulos entre los distintos vectores ! g serían tan pequeños que estos vectores podrían considerarse paralelos entre sí y constantes en magnitud. En este caso, por el contrario, de (1.3) resultaría una posición para el centro de gravedad igual a la posición del centro de masa. A los efectos prácticos, esta coincidencia se cumple con precisión aceptable para todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre, aun para una locomotora o un gran edificio; no sucede lo mismo con objetos astronómicos como los planetas. ! La posición centro de masa R coincide con la del centro de gravedad ! R CG cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme, es decir, cuando el vector aceleración de la gravedad ! g (! r ) es de magnitud y dirección constante en todo el interior del cuerpo, ! g = vector constante Por último, queda por definir el centroide de un cuerpo geométrico, El Centroide o Baricentro es un punto que define el centro de un cuerpo geométrico unidimensional, bidimensional o tridimensional, es decir, es el centro de simetría. Hay que hacer incapié en que el centroide o baricentro se refiere a cuerpos puramente geométricos, es decir, no se refiere a cuerpos materiales ya que son cuerpos SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura (1.8): Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamaño no despreciable respecto al de la misma, en el cual se han representado varios dm y a los cuales se les han representado las ! g en sus respectivas posiciones.

sin masa. Todo cuerpo material está definido por un cuerpo geométrico que encierra toda la masa del mismo. La posición del centro de masa de un cuerpo material coincide con la posición del centroide del cuerpo geométrico que lo define, si el primero es homogéneo. Si un cuerpo material es simétrico y homogéneo, se puede hallar su centroide fácilmente. Por ejemplo, para el caso de una varilla o segmento homogéneos, el centroide es el punto medio y para una esfera o una circunferencia homogéneas, el centroide también se encuentra en su centro geométrico. El caso de un triángulo se encuentra en la intersección de las medianas1 . Por las anteriores razones y dentro de los límites mecionados, al centro de masa suele llamársele también centro de gravedad o también centroide.

1.4.1.

Posición del centro de masa de un sistema discreto

Para definir la posición del centro de masa de un sistema de partículas discreto, pártase de uno formado por N partículas de masas m1 ; m2 ; :::; mN cuyos vectores de posición son ! r 1; ! r 2 ; :::; ! r N respectivamente con relación al origen O del referencial escogido, el cual es inercial (ver figura 1.9). La masa total M del sistema vendrá dada por, 1

Las medianas son las tres rectas que unen cada vértice del triángulo con el centro del lado opuesto. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

Figura (1.9): Posición del centro de masa de un sistema de N partículas.

M=

N X

(1.4)

mi

i=1

Ahora bien,

El Centro de Masa de un sistema de partículas se define como el punto ! cuyo vector de posición R viene dado por, N ! 1 X ! R = mi r i M i=1

(1.5)

Como, entonces, ! R =

! r i = xi ebx + yi eby + zi ebz

! N 1 X mi xi ebx + M i=1

! N 1 X mi yi eby + M i=1

! N 1 X mi zi ebz M i=1

(1.6)

de donde las componentes Cartesianas (xcm ; ycm ; zcm ) de la posición del centro de masa son, xcm =

1 M

N P

i=1

mi xi

ycm =

1 M

N P

i=1

mi yi

zcm =

1 M

N P

mi zi

(1.7)

i=1

.............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

EJEMPLO 1.1 Sistema discreto bidimensional. Un sistema consta de tres partículas de masas m1 = 2 Kg, m2 = 4 Kg y m3 = 8 Kg, localizadas en los vértices de un triángulo rectángulo como se muestra en la figura 1.10. Encuéntrese la posición del centro de masa del sistema respecto al referencial dado.

Figura (1.10): Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un triángulo rectángulo.

SOLUCION: la masa del sistema, al usar (1.4), viene dada por, M=

3 X

mi = m1 + m2 + m3 = 2Kg + 4Kg + 8Kg = 14Kg

(1.8)

i=1

Ahora, al usar (1.7), xcm

3 1 1 X = mi xi = (m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 ) M i=1 M

1 5 [(2Kg) (b + d) + (4Kg) (b) + (8Kg) (b + d)] = d + b 14Kg 7 3 1 X 1 = mi yi = (m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 ) M i=1 M =

ycm

=

1 4 [(2Kg) (0) + (4Kg) (0) + (8Kg) (h)] = h 14Kg 7

(1.9)

(1.10)

Entonces, de los resultados (1.9) y (1.10), el centro de masa está en la posición, ! R =

5 4 d + b; h 7 7

=

5 4 d + b ebx + hb ey 7 7

(1.11)

.............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

1.4.2.

Posición del centro de masa de un sistema continuo

Cuando se tiene una distribución de materia continua como la representada por la región R mostrada en la figura 1.11, las sumatorias presentes en (1.4) y (1.5) se convierten en integrales y la masa m en un diferencial de masa dm resultando, ! R =

R ! R r dm, con M = R dm R

1 M

y como,

(1.12)

! r = xb ex + yb ey + zb ex entonces,

! 1 R = M

Z

1 xdmb ex + M R

Z

1 ydmb ey + M R ! de manera que las componentes Cartesianas de R son,

Z

zdmb ey

(1.13)

R

Figura (1.11): Distribución de mareria continua de masa m y densidad .

xcm =

1 M

R

R

xdm

ycm =

1 M

R

R

ydm

zcm =

1 M

R

R

zdm

(1.14)

La región R puede ser unidimensional, bidimensional o tridimensional, por lo tanto, las integrales presentes en (1.12) podrán ser simples, dobles o triples respectivamente. .............................................................................................. EJEMPLO 1.2 Sistema continuo unidimensional. Encuéntrese el centro de masa de un aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal (ver figura 1.12). SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura (1.12): Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal .

SOLUCION: en coordenadas polares se tiene que el diferencial de masa viene dado por, dm = rd' = ad' (1.15) por lo tanto la masa M del aro es, M=

Z

R

dm =

Z

ad' =

(1.16)

a

0

Por la simetría mostrada en la figura y debido a que el aro es homogéneo se tiene que la abscisa del centro de masa es, (1.17)

xcm = 0 A partir de (1.14) la ordenada viene dada por, Z 1 ydm ycm = M R

(1.18)

donde, (1.19)

y = r Sen ' = a Sen ' en coordenadas polares. Por lo tanto, al sustituir (1.15), (1.16) y (1.19) en (1.18), R Z a2 Sen 'd' a 2a 0 ycm = = Sen 'd' = a 0

(1.20)

Por último, de los resultados (1.17) y (1.20), el centro de masa del aro está en la posición, ! 2a 2a = eby (1.21) R = 0; SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

Figura (1.13): Posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogéneo, de densidad radio R.

y de

.............................................................................................. EJEMPLO 1.3 Sistema continuo bidimensional. Calcular la posición del centro de masa de la placa homogénea de densidad mostrada en la figura 1.13. SOLUCION: en coordenadas polares el diferencial de masa viene dado por, (1.22)

dm = rdrd' por lo tanto su masa resulta de, Z Z dm = M= R

4

4

Z

R Cos(2')

0

rdrd' =

1 2 R 8

(1.23)

entonces a partir de (1.14), considerando (1.22) y (1.23), la coordenada xcm del centro de masa es, p Z Z Z R Cos(2') 4 1 1 128 2 2 xcm = xdm = 1 2 r Cos 'drd' = R (1.24) M R 105 R 0 8 4 donde se ha tenido presente que en coordenadas polares x = r Cos '. Por otro lado, debido a la simetría de problema es obvio que, ycm = 0

(1.25)

entonces, de los resultados (1.24) y (1.25), el centro de masa está en la posición, ! p p ! 128 2 128 2 R = R; 0 = Rb ex (1.26) 105 105 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS .............................................................................................. EJEMPLO 1.4 Sistema continuo tridimensional. Encuéntrese el centro de masa de un cono sólido homogéneo de densidad , altura h y radio de la base a (ver figura 1.14).

Figura (1.14): Cono sólido homogéneo de altura h y base de radio a .

SOLUCION: el diferencial de masa en coordenadas cilíndricas viene dado por, (1.27)

dm = rdrd'dz por lo tanto la masa M del cono es, M=

Z

0

2

Z

0

a

Z

h r+h a

rdzdrd' =

0

1 2 ah 3

(1.28)

Por la simetría mostrada en la figura y debido a que el cono es homogéneo se tiene que la abscisa y la ordenada del centro de masa vienen dadas por, xcm = ycm = 0 La cota del centro de masa es posible encontrarla a partir de (1.14), Z 1 zdm zcm = M R SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(1.29)

(1.30) Pág.: 22

1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE Por lo tanto, al sustituir (1.27) y (1.28) en (1.30), zcm =

R2 RaR 0

0

h r+h a

0 1 3

zrdzdrd' = 2 ah

1 12 1 3

a2 h2 1 = h 2 4 ah

(1.31)

con respecto a su base. Entonces, de los resultados (1.29) y (1.31), el centro de masa está en la posición, ! 1 1 ez (1.32) R = 0; 0; h = hb 4 4 ..............................................................................................

1.4.3.

Posición del centro de masa de un sistema compuesto

Dado un sistema de partículas que ha sido subdividido por completo en subsis! temas, el objetivo de esta sección es encontrar la posición R de su centro de masa a partir de la posición de los centros de masa de cada uno de dichos subsistemas. En efecto, considérese un sistema S discreto de N partículas y masa M que ha sido subdividido (por completo) en s subsistemas S1 ,S2 ,...,Ss (ver figura 1.15). Si n1 , n2 ,...,ns representan el número de partículas de cada uno de los subsistemas debe cumplirse que,

Figura (1.15): Sistema S discreto de N partículas subdividido (por completo) en s subsistemas S1 ,S2 ,S3 ,...,Ss .

N = n1 + n2 + ::: + ns =

s X

nj

(1.33)

j=1

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS ! ! ! Cada uno de los subsistemas tiene su centro de masa posicionado en R 1 , R 2 ,..., R s y masas totales M1 ,M2 ,...,Ms . Para el subsistema 1 se tiene que su masa total viene dada por, n1 X M1 = m11 + m12 + ::: + m1n1 = m1i (1.34) i=1

(el primer índice indica el subsistema y el segundo cada una de las partículas de dicho subsistema), msubsistema, partícula y los vectores de posición de cada una de las partículas que lo integran vienen dados por ! r 11 ,! r 12 ,...,! r 1n1 . Para los restantes s 1 subsistemas se hace de forma análoga, M2 = m21 + m22 + ::: + m2n2 = .. .

i=1

.. .

Ms = ms1 + ms2 + ::: + msns

n2 P

=

ns P

m2i .. .

(1.35)

msi

i=1

de manera que la masa total del sistema S viene dada por, M = M1 + M2 + : : : + Ms =

n1 X

m1i +

i=1

n2 X

m2i + : : : +

i=1

ns X

msi

(1.36)

i=1

entonces, a partir de (1.5), la posición del centro de masa de cada uno de los s subsistemas de S vendrá dada por, Subsistema 1:

! R1 =

1 M1

Subsistema 2:

! R2 =

1 M2

Subsistema 3:

! R3 =

1 M3

Subsistema s:

! Rs =

1 Ms

n1 P

n1 P ! m1i ! r 1i ) M1 R 1 = m1i ! r 1i

i=1 n2 P

n3 P ! m3i ! r 3i ) M3 R 3 = m3i ! r 3i

.. .

ns P

ns P ! msi ! r si ) Ms R s = msi ! r si

i=1 n2 P i=1

i=1

i=1

n2 P ! m2i ! r 2i m2i ! r 2i ) M2 R 2 = i=1

(1.37)

i=1

i=1

Ahora bien, al sumar miembro a miembro las expresiones (1.37) resulta, n1 n2 n3 ns X X X X ! ! ! ! ! ! ! M 1 R 1 + M2 R 2 + M 3 R 3 + : : : + M s R s = m1i r 1i + m2i r 2i + m3i r 3i + : : : + msi ! r si s X j=1

s X

! Mj R j =

i=1 N X

i=1

i=1

i=1

mi ! ri

i=1

! ! Mj R j = M R

j=1

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Pág.: 24

1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE o, ! R =

1 M

s P

! Mj R j

(1.38)

j=1

que es la posición del centro de masa del sistema original S calculada a partir de las ! ! ! ! posisiones R 1 ; R 2 ; R 3; : : : ; R s de los centros de masa de cada uno de los s subsistemas. En componentes Cartesianas, xcm =

1 M

s P

Mi xcm;i

ycm =

i=1

1 M

s P

Mi ycm;i

zcm =

i=1

1 M

s P

Mi zcm;i

(1.39)

i=1

donde xcm;i , ycm;i y zcm;i son las coordenadas de la posición del centro de masa del i-ésimo subsistema. Por lo tanto, En los sistemas compuestos, se pueden encontrar los centros de masa de los sistemas parciales o subsistemas y, a partir de ellos, calcular el centro de masa del sistema completo. A esta propiedad del centro de masa se le conoce como Propiedad de Agrupamiento. Es fácil mostrar que lo mismo ocurre partiendo de un sistema continuo. .............................................................................................. EJEMPLO 1.5 Sistema compuesto. Encuéntrese el centro de masa del sistema mostrado en la figura 1.16 que consiste en una concha hemisférica de radio externo a e interno b y un hemisferio sólido de radio a, ambos homogéneos de densidad . SOLUCION: la posición del centro de masa de la concha hemisférica y el hemisferio sólido vienen dadas por (se deja como tarea al alumno), 3 a4 b 4 0; 0; 3 8a b3 3 0; 0; a = 8

! ! R concha = R 1 = ! ! R hemisferio = R 2 =

3 a4 b 4 2 = ebz , con M1 = 3 3 8a b 3 3 2 ab ez , con M2 = a3 8 3

a3

b3

(1.40) (1.41)

ya que, por simetría, las coordenadas xcm y ycm son nulas para ambos casos. Ahora, por la propiedad de agrupamiento del centro de masa (1.38), ! ! ! 1 X ! M 1 R 1 + M2 R 2 R = Mj R j = M j M 1 + M2 =

4 3

(a3

b3 ) 4 3

3 a4 b4 8 a3 b3

(a3

ebz +

b3 ) +

4 3

4 3

a3

3 ab ez 8

a3

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Pág.: 25

CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura (1.16): Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisférica y un hemisferio sólido homogéneo acoplados.

o, ! R =

b4 3 ebz = 8 2a3 b3

0; 0;

3 b4 8 2a3 b3

(1.42)

.............................................................................................. EJEMPLO 1.6 Sistema compuesto. Encuéntrese el centro de masa de la lámina homogénea cuadrada de densidad y lado c mostrada en la figura 1.17, a la cual se le ha recortado un semicículo de radio R < 2c . SOLUCION: en este cado es sistema dado se descompone en dos. Uno de ellos es la lámina L cuadrada sin orificio y el otro es el orificio O. Se calcula la posición del centro de masa de la lámina cuadrada completa y del orificio, asignándole a este último masa negativa por ser una masa faltante. Para hallar el centro de masa de la lámina con el orificio se usa la propiedad de agrupamiento del centro de masa. Posición del centro de masa de la lámina cuadrada sin orificio: por la simetría del problema y por ser la lámina homogénea, es obvio que las coordenadas del centro de masa vienen dadas por, xLcm = 0 c L ycm = 2

(1.43)

ML = c 2

(1.45)

(1.44)

y su masa viene dada por,

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1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

Figura (1.17): Centro de masa de una lámina cuadrada homogénea de densidad semicircular de radio R < 2c .

y lado c con orificio

Posición del centro de masa del orificio: por la simetría de problema y por suponer el orificio homogéneo, xO cm = 0

(1.46)

el diferencial de masa, usando coordenadas, polares viene dado por, (1.47)

dm = rdrd' entonces su masa es, MO =

Z

dm =

Z

Z

1 R2

Z

0

R

rdrd' =

0

1 2 R 2

(1.48)

y al usar (1.12), O ycm

1 = MO

Z

ydm =

1 2

0

Z

R

r2 Sen 'drd' =

0

4 R 3

(1.49)

donde se ha tenido presente que en coordenadas polares y = r Sen '. Ahora, por la propiedad de agrupamiento del centro de masa (1.38) la posición del centro de masa de la lámina con el orificio se obtiene mediante, ML xLcm + MO xO cm ML + MO L O ML ycm + MO ycm = ML + MO

xcm =

(1.50)

ycm

(1.51)

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CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS y al sustituir los resultados (1.43) a (1.46), (1.48) y (1.49) en (1.50) y (1.51) resulta finalmente, xcm

( c2 ) (0) + = c2 +

ycm =

( c2 )

o también, ! R =

0;

c 2

+ c2 +

1 3c3 3 2c2

1 2 1 2

R2 R2

1 2 1 2

(0) 4 3

R2 R2

4R3 R2

=

1 3

(1.52)

=0 R

=

1 3

3c3 2c2

3c3 2c2

4R3 R2

4R3 R2

eby

(1.53)

(1.54)

..............................................................................................

1.5.

Propiedades del centro de masa

El centro masa de un sistema de partículas tiene las siguientes propiedades (algunas serán verificadas posteriormente): 1. Permite reducir el estudio de la dinámica de un sistema de partículas (discreto o continuo) al de una partícula. 2. Es un punto geométrico que no tiene por qué corresponderse con la posición de una partícula material del sistema. 3. Su posición está contenida en los elementos de simetría del sistema. Si el cuerpo tiene un plano o un eje de simetría éste contiene al centro de masa. Si posee un centro de simetría, éste será directamente el centro de masa. Lo anterior ocurre si existe una distribución homogénea de la masa. 4. Es independiente del sistema de referencia inercial empleado para localizarlo. Solo depende de la masa de las partículas y de sus posiciones relativas entre sí. 5. Se mueve como un punto material cuya masa es la masa total del sistema, impulsado por las fuerzas externas. 6. Todas las fuerzas externas al sistema de partículas se suponen aplicadas en su centro de masa. La aceleración del centro de masa coincide con la aceleración del sistema. 7. La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual al producto de la masa del sistema por la velocidad de su centro de masa. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 28

1.6. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA 8. Si las fuerzas externas que actúan sobre un sistema tienen una resultante y un momento nulos, el centro de masa se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. Las fuerzas internas no modifican el movimiento del centro de masa. 9. Si se toma el centro de masa como origen de referencia, la cantidad de movimiento del conjunto de partículas es siempre nula. 10. El movimiento más general que puede tener un sistema de partículas se puede reducir a un movimiento de traslación de su centro de masa más una rotación alrededor de un eje que pasa por dicho punto.

1.6.

Movimiento del centro de masa

Supóngase que se tiene un sistema discreto constituido por N partículas que interactúan entre sí y sobre el cual actúan fuerzas externas. Entonces, la fuerza resul! tante sobre la i-ésima partícula F i estará compuesta (en general) por dos partes: una !(ext) parte es la resultante de todas las fuerzas externas F i y la otra parte es la resultante !(int) que se originan de la interacción de todas las otras de todas las fuerzas internas F i N 1 partículas con la i-ésima. Por lo tanto, ! !(ext) !(int) + F i , con i = 1; 2; 3; : : : ; N Fi= Fi

(1.55)

!(int) podrá ser calculada mediante la suma vectorial de todas las fuerzas La fuerza F i !(int) individuales F ij (como se dijo antes, debe leerse como la fuerza aplicada sobre la i-ésima partícula debida a la j-ésima), N X !(int) !(int) Fi = F ij , con i = 1; 2; 3; : : : ; N

(1.56)

j=1 i6=j

donde i 6= j puesto que cada partícula no interacciona con ella misma, es decir, no hay auto-fuerzas. Ahora bien, a partir de la segunda ley de Newton, la expresión (1.55) puede escribirse como, !(ext) !(int) ! Fi=! p i = mi ! ri= Fi + Fi (1.57) donde se ha supuesto que las mi son constantes. O también, en virtud de (1.56), !(ext) mi ! ri= Fi +

N X !(int) F ij

(1.58)

j=1 i6=j

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Pág.: 29

CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Cada una de estas ecuaciones constituye la ecuación de movimiento de cada una de las N partículas del sistema y, en conjunto, forman un sistema de N ecuaciones. Este sistema tiene como gran dificultad matemática el hecho de que las fuerzas de !(int) interacción F ij dependen de las posiciones de las dos partículas (la i-ésima y la j-ésima), esto es, !(int) !(int) ! ! F ij = F ij ( r i ; r j ) (1.59) Esta dificultad es tan poderosa que se ha demostrado que el sistema de ecuaciones (1.58) no tiene solución analítica general si el número es mayor de dos, que constituye el famoso problema de los dos cuerpos. Sin embargo, hay casos particulares donde si hay solución. En los casos no analíticos se emplean los métodos numéricos. Como ya se sabe, el centro de masa de un sistema de partículas discreto es un ! punto cuya posición R depende de las coordenadas que posicionan a cada una de las N partículas que lo constituyen, como efectivamente lo indica (1.5). Si las partículas del sistema son tales que sus posiciones permanecen constantes en el tiempo (sistema indeformable), entonces la posición del centro de masa del sistema también permanece constante. Supóngase que se tiene ahora un sistema donde las partículas que lo constituyen están en movimiento, haciendo que las coordenadas de posición de cada una de ellas cambien con el tiempo (sistema deformable). Entonces, como consecuencia, la posición del centro de masa del sistema también cambia con el tiempo haciendo que éste se mueva. La pregunta lógica que surge de lo anteriormente expuesto es la siguiente: ¿cómo se mueve el centro de masa de un sistema de partículas?. La respuesta a esta pregunta es suministrada por el siguiente teorema: Teorema 1 (Movimiento del centro de masa) El centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si fuese una partícula real, de masa igual a la masa total del sistema y sobre la cual actúa la fuerza externa total; haciéndolo independientemente de la naturaleza de las fuerzas internas y siempre que se cumpla la tercera ley de Newton. Es decir, ! ! M R = F (ext) Demostración. Continúese considerando el sistema de N partículas mencionado al comienzo de esta sección. Las N ecuaciones (1.58) pueden ser escritas como, N X !(ext) !(int) d2 ! (mi r i ) = F i + F ij 2 dt j=1 i6=j SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(1.60) Pág.: 30

1.6. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA luego, al sumar sobre i en ambos miembros se obtiene, ! N N N N X !(ext) X X !(int) ! d2 X ! mi r i = Fi + F ij = F dt2 i=1 i=1 i=1 j=1 i6=j

(1.61)

N ! P ! que representa la fuerza total F = F i sobre el sistema de partículas respecto al i=1

origen O del referencial escogido. Si ahora sustituye

N P

i=1

resulta,

mi ! r i a partir de (1.5) en (1.61)

N X ! ! !(ext) !(int) d2 MR =MR = F + F ij 2 dt i;j=1 i6=j

(1.62)

N ! P ! (ext) es la resultante de todas las fuerzas externas y se ha hecho el Fi donde F (ext) = i=1

cambio de notación

N N P P

i=1 j=1 i6=j

=

N P

.

i;j=1 i6=j

Supóngase ahora que se cumple la tercera ley de Newton (1.1). Entoces del término con sumatoria en (1.62) resulta, N X !(int) F ij =

i;j=1 i6=j

N X

!(int) !(int) ! = 0 F ij + F ji

(1.63)

i;j=1 i > > > > Partícula 1 m1 ! r 1 (x1;1 ; x1;2 ; x1;3 ) > > > > > > > > > > > > > > > Partícula 2 m2 ! r 2 (x2;1 ; x2;2 ; x2;3 ) > > > > > > <

! = F1

! = F2

> ! > > Partícula 3 m3 ! r 3 (x3;1 ; x3;2 ; x3;3 ) = F3 > > > > > > > > .. .. .. .. > > > . . . . > > > > > > > ! > > Ultima partícula mN ! r N (xN;1 ; xN;2 ; xN;3 ) = F N > > > :

o simplemente,

! mi ! r i (xi; ) = F i , con i = 1; 2; 3; : : : ; N y

8 > < m1 x 1;1 m1 x 1;2 > : m x 8 1 1;3 > < m1 x 2;1 m1 x 2;2 > : m x 8 1 2;3 > m1 x 3;1 < m1 x 3;2 > : m1 x 3;3

= F1x1 = F1x2 = F1x3 = F2x1 = F2x2 = F2x3 = F3x1 = F3x2 = F3x3

.. . 8 > < mN x N;1 = FN x1 m1 x N;2 = FN x2 > : m1 x N;3 = FN x3 (2.1)

= 1; 2; 3

( indica la coordenada xi;1 = xi , xi;2 = yi , xi;3 = zi ) e integrar las 3N ecuaciones resultantes para obtener las 3N coordenadas xi; como función del tiempo. Sin embargo, además de ser inviable, es frecuente descubrir que (en la mayoría de las situaciones) el sistema de ecuaciones (2.1) está incompleto. Se necesita algo más, en particular, las coordenadas podrían estar relacionadas o restringidas por Ligaduras. Se denominan Ligaduras a las restricciones sobre las coordenadas de un sistema (independientes de las fuerzas actuantes), es decir, son condiciones que restringen el movimiento de una partícula o sistema de partículas. Lo anterior se puede ilustrar con el ejemplo sencillo del péndulo simple (ver figura 2.1): una masa m (masa pendular) cuelga de un soporte mediante una cuerda de longitud `, de masa y elasticidad despreciable, en un campo gravitacional de intensidad ! g . La fuerza gravitatoria o peso ! w = m! g no es la única fuerza que actúa sobre la ! masa puesto que la cuerda misma también ejerce una fuerza T sobre m que se suele denominar tensión4 . El problema ahora radica en que, para determinar el movimiento 4

En realidad, esta fuerza es la manifestación macroscópica de la infinidad de interacciones que ocurren entre las partículas de la cuerda con la masa pendular. Es la usada en los cálculos ya que el sistema de la masa pendular y las partículas individuales de la cuerda es inmanejable. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 71

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS de la masa m a través de la segunda ley de Newton, es necesario conocer también ! ! una expresión para T y, dado que T es una fuerza que surge de la interacción de la cuerda con la masa, no se tiene una expresión para la misma. El efecto de la fuerza ! desconocida T es mantener la masa a distancia ` del origen 0, haciendo que el movimiento de la masa esté restringido. Cuando lo anterior ocurre, se dice entonces que la masa está sometida a una restricción o ligadura y a la fuerza que restringe su movimiento (la ejercida por la cuerda) se le llama Fuerza de Ligadura, las cuales será consideradas más adelante.

Figura (2.1): Péndulo simple.

Las ligaduras se expresan mediante ecuaciones a las cuales se les denominan Ecuaciones de Ligadura, que describen la geometría y/o la cinemática de las mismas. Para el ejemplo anterior las ecuaciones de las ligaduras presentes vendrán dadas por, ( x2 + y 2 = `2 = constante (2.2) z=0 donde la primera hace que m describa un arco de circunferencia de radio constante ` y la segunda restringe el movimiento al plano xy. En caso de que las ecuaciones de las ligaduras presentes en el sistema permitan relacionar las coordenadas del mismo (ligaduras que más adelante serán llamadas holónomas), reducen sus Grados de Libertad. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 72

2.2. LIGADURAS

Los Grados de Libertad de un sistema vienen dados por el número s de coordenadas independientes (sin incluir el tiempo) que se requieren para describir completamente la posición de todas y cada una de las partículas o partes que componen al sistema, entendiéndose por éstas: una palanca, un disco, un piñón, una plataforma, etc., que deben ser tratadas como un cuerpo rígido y no como una partícula. Los grados de libertad tienen que ver con los posibles movimientos del sistema, pero no son sólo eso, también tienen que ver con la libertad o independencia del movimiento. .............................................................................................. EJEMPLO 2.1 Algunas ligaduras en sistemas sencillos. 1. Un bloque que se desliza sobre un plano inclinado está obligado a moverse sobre dicho plano (ver figura 2.2) y las ligaduras pueden expresarse mediante las ecuaciones de ligadura,

Figura (2.2): Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie inclinada.

(

y = x tan + b z=0

(2.3)

donde la primera restringe a la partícula a moverse sobre el plano inclinado y la segunda restringe a la partícula a moverse sobre el plano xy. 2. Como se vio anteriormente, en un péndulo simple la masa pendular m está obligada a moverse en una trayectoria semicircular (ver figura 2.1). En este caso las ligaduras pueden expresarse mediante las ecuaciones de ligadura (2.2). SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS 3. En un cuerpo rígido (ver figura 2.3) las partículas están enlazadas de manera tal que la distancia entre ellas permanece constante. Aquí las ligaduras se pueden expresar mediante la ecuaciones de ligadura,

Figura (2.3): Cuerpo rígido.

j! ri

! r j j = rij = constante.

(2.4)

donde rij es la distancia entre la partícula i-ésima y la j-ésima. Algo análogo ocurre en un sistema de dos partículas de masas m1 y m2 unidas por una barra (indeformable y de masa despreciable) de longitud ` (ver figura 2.4), siendo en este caso la ligadura expresable mediante mediante la ecuación de ligadura,

Figura (2.4): Dos masas m1 y m2 unidas por una barra rígida de longitud `.

j! r1

! r 2j = `

(2.5)

.............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 74

2.3. TIPOS DE LIGADURAS

2.3.

Tipos de ligaduras Las ligaduras pueden ser agrupadas en dos grandes conjuntos:

2.3.1.

Estructurales

Son aquellas ligaduras que están determinadas por la forma en que está construido el sistema, es decir, son propias de la estructura del mismo. Estas ligaduras se dan debido a las propiedades de los materiales que constituyen el sistema dado, pudiendo ser indeformables, de masa despreciable, etc. .............................................................................................. EJEMPLO 2.2 Algunas ligaduras estructurales. 1. La ligadura mostrada en la figura 2.4 y expresada por la relación (2.5) es una ligadura estructural. En este caso la barra imposibilita que las masas m1 y m2 puedan moverse de forma independiente. 2. La ligadura presente (ver figura 2.5) en un sistema donde una canica con un orificio se desliza a través de un alambre rígido y curvo (que pasa a través de su orificio), también representa una ligadura estructural ya que el alambre sólo le permite a la canica desplazarse en una trayectoria cuya forma es igual a la del mismo.

Figura (2.5): Sistema donde una canica con un orificio se desliza a través de un alambre rígido y curvo (que pasa a través de su orificio).

3. En el caso de una partícula que se desplaza sobre una superficie también representa una ligadura estructural. Como caso particular se tiene la ligadura expresada por la relación (2.3). SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 75

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS 4. Otro ejemplo es el caso del brazo humano. Aunque el movimiento del conjunto puede cubrir casi todo el espacio gracias a las articulaciones, cada una de las partes del brazo sólo pueden realizar una serie de movimientos. Esto es debido a que cada hueso es indeformable y, por tanto, tienen una determinada estructura que les impide ciertos movimientos. 5. En el caso de un péndulo simple, visto en la sección 2.2, existe una ligadura estructural dada por la primera de las ecuaciones (2.2) indicando que el punto de suspensión (soporte) del péndulo es fijo. ..............................................................................................

2.3.2.

Por modo de activación

Son aquellas ligaduras que determinan la evolución del sistema y que dependen de la forma en que son activadas (puestas en funcionamiento) en el mismo. Es decir, es posible encontrarse con distintas situaciones dependiendo de la forma en que se active el sistema dado. .............................................................................................. EJEMPLO 2.3 Algunas ligaduras por modo de activación. 1. El péndulo simple es un sistema donde están presentes las ligaduras por activación. La dinámica del péndulo y su evolución depende de si las condiciones iniciales hacen que el péndulo se mueva sólo en el plano zy como en la figura 2.6a, recorriendo arcos de circunferencia (péndulo plano) o que, sin embargo, el sistema se mueva haciendo circunferencias completas (péndulo cónico) en el plano xy como puede verse en la figura 2.6b. 2. En el caso de una masa puntual suspendida por medio de un resorte (péndulo elástico) también están presentes ligaduras por activación. Dependiendo de las condiciones iniciales el péndulo puede comportarse como un oscilador en una dimensión, si la activación es sólo en el eje z (ver figura 2.7a), como un oscilador tridimensional al tener la posibilidad de oscilar y girar en las tres dimensiones (ver figura 2.7b) o como un oscilador bidimensional (ver figura 2.7c). 3. Si se supone que una masa puntual m se encuentra inicialmente en un punto de equilibrio inestable, el modo de activación condicionará la evolución del sistema. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.3. TIPOS DE LIGADURAS

Figura (2.6): Movimientos posibles de un péndulo simple.

Figura (2.7): Movimientos posibles de un péndulo elástico.

Por ejemplo, ese punto inestable podría ser la cima de una montaña (ver figura 2.8) que tiene a los lados dos valles, entonces, la forma en que se perturbe a la piedra determinará si esta cae al valle A o al valle B.

Figura (2.8): Masa puntual m en un punto de equilibrio inestable como la cima de una montaña.

.............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 77

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

2.4.

Clasificación de las ligaduras

Las ligaduras se pueden clasificar de variadas formas, a continuación algunas de ellas,

2.4.1.

Si son o no desigualdades

Unilaterales Se denomina Ligadura Unilateral a aquella ligadura que se expresa mediante una desigualdad. En forma general, este tipo de ligaduras pueden ser representadas por las ecuaciones de ligadura, r i; ! r i; ! r i; ! r i; : : : ; t fl !

> 0, con i = 1; 2; 3; :::; N

(2.6)

que, en realidad, son inecuaciones. Aquí el índice l indica indica cada una de las ligaduras presentes de este tipo en un sistema de partículas dado de manera que, l = 1; 2; 3; : : : ; total de ligaduras presentes de este tipo .............................................................................................. EJEMPLO 2.4 Algunas ligaduras unilaterales. 1. Si se tiene un sistema de moléculas de gas encerrado en una esfera de radio R (ver figura 2.9), las posiciones ! r i de las moléculas deben satisfacer las ligaduras cuyas ecuaciones de ligaduras vienen dadas por, R

ri > 0, con i = 1; 2; 3; :::; N

(2.7)

2. Una partícula colocada sobre la superficie de una esfera de radio R está sujeta a una ligadura que se puede escribir como, r2

R2 > 0

(2.8)

Así, en un campo gravitacional, una partícula colocada sobre una superficie de una esfera se deslizará hacia abajo sobre parte de su superficie hasta que, eventualmente, se desprende de dicha superficie (ver figura 2.10). .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 78

2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS

Figura (2.9): Moléculas de gas encerradas en una esfera de radio R.

Figura (2.10): Partícula que se desliza sobre la superficie de una esfera de radio R.

Bilaterales Se denomina Ligadura Bilateral a toda aquella ligadura que se expresa mediante una igualdad. En general, este tipo de ligaduras pueden escribirse mediante las ecuaciones de ligadura, r i; ! r i ; : : : ; t = 0, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.9) fl ! r i; ! r i; ! donde, al igual que antes, l = 1; 2; 3; : : : ; total de ligaduras presentes de este tipo SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

.............................................................................................. EJEMPLO 2.5 Algunas ligaduras bilaterales. Las ligaduras expresadas por (2.2), (2.3), (2.4) y (2.5) son ligaduras bilaterales. ..............................................................................................

2.4.2.

Si dependen explícita o implícitamente del tiempo

Ligaduras reónomas Se denomina Ligadura Reónoma a toda aquella ligadura que depende explícitamente del tiempo. También se les llaman Ligaduras Móviles o Ligaduras Cinemáticas. .............................................................................................. EJEMPLO 2.6 Algunas ligaduras reónomas. Son ligaduras reónomas: 1. La ligadura, mencionada antes, presente en un sistema donde una canica con un orificio se desliza a través de un alambre rígido y curvo que pasa a través de su orificio (ver figura 2.5), de manera tal que el alambre se mueve de una forma predeterminada. Es de hacer notar que, si el alambre se mueve como una reacción al movimiento de la canica, entonces la dependencia de la ligadura respecto al tiempo entra en la ecuación de la misma sólo a través de las coordenadas del alambre curvado (las cuales son ahora parte del sistema de coordenadas), por esta razón la ligadura resultante no depende explícitamente del tiempo y por lo tanto no es reónoma. 2. La ligadura presente en un sistema de moléculas de gas encerrado en una esfera cuyo radio R, a diferencia del ejemplo mencionado antes, depende del tiempo (ver figura 2.9). En este sistema las posiciones ! ri de las moléculas deben satisfacer las ecuaciones de ligadura, R (t)

ri > 0, con i = 1; 2; 3; :::; N

(2.10)

que, realmente, son inecuaciones. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 80

2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS 3. Una de las ligaduras presentes en un sistema donde una partícula de masa m es obligada a moverse en un aro que cambia su radio R con el tiempo t (ver figura 2.11). En este caso, las ligaduras pueden ser expresadas mediante las ecuaciones de ligadura, ( p r (t) = R (t) = x2 + y 2 (2.11) z=0

Figura (2.11): Una partícula de masa m que se mueve en un aro cuyo radio cambia con el tiempo.

4. La ligadura presente en un sistema donde una partícula de masa m se desplaza sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con el tiempo t como = !t (! frecuencia angular), ver figura 2.12. Las ligaduras pueden ser expresadas mediante las ecuaciones de ligadura,

Figura (2.12): Partícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con el tiempo.

(

y = x tan = x tan (!t) (por ejemplo) z=0

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(2.12)

Pág.: 81

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS donde aparece explícitamente el tiempo en la primera de ellas.

..............................................................................................

Ligaduras esclerónomas

Se denomina Ligadura Esclerónoma a toda aquella ligadura que no depende explícitamente del tiempo. También se les llaman Ligaduras Fijas o Ligaduras Estacionarias.

Por otro lado, si un sistema tiene todas sus ligaduras esclerónomas entonces se dice que el mismo es esclerónomo, pero si al menos una de sus ligaduras no lo es entonces se dice que es reónomo.

..............................................................................................

EJEMPLO 2.7 Algunas ligaduras esclerónomas. Las ligaduras expresadas por (2.2), (2.3), (2.4), (2.5), (2.7) y (2.8) son ligaduras esclerónomas.

..............................................................................................

2.4.3.

Si son o no una relación bilateral algebraica entre las coordenadas

A las ligaduras aquí presentadas se les pondrá especial atención ya que constituirán el conjunto de ligaduras a ser consideradas en la segunda parte del presente texto, dedicada a la Mecánica de Lagrange y de Hamilton. Dependiendo de si representan o no una relación bilateral entre las coordenadas, las ligaduras pueden ser clasificadas en Holónomas y No-Holónomas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS Ligaduras Holónomas Se denominan Ligaduras Holónomas a todas aquellas ligaduras bilaterales que no dependen de las velocidades y que dependen exclusivamente de las coordenadas de las partículas (si es esclerónoma) y, posiblemente, del tiempo en forma explícita (si es reónoma). En general, este tipo de ligaduras pueden ser representadas mediante las ecuaciones de ligadura, (h) fl (! r i ; t) = 0, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.13) donde (h) indica que la ligadura es holónoma. Si se denota como K (h) el número total de ligaduras de este tipo presentes en un sistema de partículas dado entonces, l = 1; 2; 3; :::; K (h)

De las ligaduras holónomas (2.13) se puede afirmar que: 1. También reciben el nombre de Ligaduras Geométricas porque representan curvas y superficies que limitan el movimiento de las partículas de un sistema. Otras denominaciones que suelen utilizarse para este tipo de ligaduras es la de Ligaduras de Configuración y Ligaduras Finitas. 2. Representan un sistema de K (h) ecuaciones algebraicas que relacionan las coordenadas entre sí, 8 (h) ! ! ! r N ; t) = 0 f1 ( r 1 ; r 2 ; r 3 ; : : : ; ! > > > (h) > ! ! ! ! > > < f2 ( r 1 ; r 2 ; r 3 ; : : : ; r N ; t) = 0 (h) f3 (! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N ; t) = 0 > > . > .. > > > : (h) ! ! ! f ( r ; r ; r ;:::;! r ; t) = 0 K (h)

1

2

3

N

3. Como se expresan mediante ecuaciones que constituyen relaciones algebraicas entre las coordenadas dependientes, es posible (al menos matemáticamente) emplearlas para eliminar dichas coordenadas y así reducir el número de grados de libertad s del sistema en una cantidad igual al número K (h) de ligaduras existentes de este tipo, es decir, permiten reducir K (h) coordenadas dependientes.

4. Imponen restricciones sobre las posiciones ! r i posibles o permitidas de las partículas del sistema. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 83

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

Se llama Sistema Holónomo a aquél sistema donde todas las ligaduras presentes son holónomas. Como para este tipo de sistemas es posible eliminar las coordenadas depentientes transformándolo en un sistema equivalente sin ligaduras, a estos últimos también se les denominan holónomos.

En un sistema de N partículas donde sólo existen K (h) ligaduras de tipo holónoma, el número de grados de libertad s viene dado por,

s = 3N

K (h) , para sistemas holónomos

(2.14)

A estos grados de libertad se les denominan Grados de Libertad Configuracionales.

Los Grados de Libertad Configuracionales representan el número de coordenadas independientes que, junto con las ecuaciones de ligadura, permiten de forma inequívoca especificar la configuración de un sistema de partículas dado.

Si s = 0, no hay variables independientes y no se tiene dinámica. Sin embargo, si las ligaduras involucradas dependen del tiempo t puede ocurrir que las coordenadas cartesianas queden dependiendo del tiempo, teniéndose así cinemática en vez de dinámica. A este nivel es pertinente hacer referencia al siguiente detalle con respecto a la notación de las ligaduras holónomas: considérese nuevamente el sistema mostrado en la figura 2.1 en el cual están presentes dos ligaduras holónomas dadas por (2.2), (

x2 + y 2 = `2 = constante z=0

de manera que K (h) = 2 entonces l = 1; 2. Se le asignará la etiqueta l = 1 a la primera y l = 2 a la segunda (pudo ser al contrario, es irrelevante). Para expresarlas en la forma (2.13) es necesario pasar todos los términos del miembro derecho al izquierdo o viceversa de cada una de ellas con la finalidad de hacer nulo uno de sus dos miembros, ( x2 + y 2 `2 = 0 z=0 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 84

2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS (es obvio que para la segunda ligadura no es necesario mover términos) de esta manera, ( (h) f1 = x2 + y 2 `2 = 0 (h) f2 = z = 0 Esta será la notación a seguir de aquí en adelante para este tipo de ligaduras en el presente texto. El anterior procedimiento será el usado también para las ligaduras no-holónomas a ser estudiadas más adelante, en la siguiente sección. .............................................................................................. EJEMPLO 2.8 Algunas ligaduras holónomas. Las ligaduras expresadas por (2.2), (2.3), (2.4) y (2.5) son ligaduras holónomas por ser relaciones bilaterales entre las coordenadas. .............................................................................................. EJEMPLO 2.9 Partícula de masa m obligada a moverse sobre una superficie (ver figura 2.13).

Figura (2.13): Partícula de masa m obligada a moverse sobre una superficie S (x; y; z) = 0.

Las coordenadas (x; y; z) del punto P que indica la posición de la partícula deben cumplir la ecuación de la superficie, (h)

S (x; y; z) = 0 ) f1

= S (x; y; z) = 0

(2.15)

Se trata de K (h) = 1 ligadura holónoma, quitando 1 grado de libertad. Por lo tanto, a partir de (2.14) la partícula tiene, s = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.16) Pág.: 85

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

Figura (2.14): Una partícula de masa m moviéndose sobre una mesa.

grados de libertad. Un caso particular es el de una partícula de masa m moviéndose sobre una mesa (ver figura 2.14). La mesa es una ligadura holónoma simple, que le impide caerse. En este caso, la ecuación de la ligadura es, (h)

z = 0 ) f1

=z=0

(2.17)

Para definir la posición de la partícula son necesarias sólo dos coordenadas (x; y). .............................................................................................. EJEMPLO 2.10 Partícula de masa m obligada a moverse sobre una curva (ver figura 2.15). Las coordenadas (x; y; z) del punto P que indica la posición de la partícula deben cumplir las ecuaciones de las dos superficies que intersectadas forman la curva, ( (h) S1 (x; y; z) = 0 ) f1 = S1 (x; y; z) = 0 (2.18) (h) S1 (x; y; z) = 0 ) f2 = S2 (x; y; z) = 0 Se trata de K (h) = 2 ligaduras holónomas, quitando 2 grados de libertad. Por lo tanto, a partir de (2.14) la partícula tiene, s = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(2.19)

grado de libertad. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 86

2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS

Figura (2.15): Partícula de masa m obligada a moverse sobre una curva.

Figura (2.16): Partícula de masa m moviéndose sobre una recta.

Un caso particular es el de una partícula de masa m moviéndose sobre una recta (ver figura 2.16). La recta supone una ligadura holónoma doble. Aquí las ecuaciones de ligadura son, ( (h) y = 0 ) f1 = y = 0 (2.20) (h) z = 0 ) f2 = z = 0 Para definir la posición de la partícula sólo es necesaria la coordenada x. .............................................................................................. EJEMPLO 2.11 Partícula de masa m obligada a estar fija en un punto. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 87

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS Las coordenadas (x; y; z) del punto P donde se encuentra la partícula de masa m deben permanecer constantes, 8 (h) > < x = xo ) f1 = x xo = 0 (h) (2.21) y = yo ) f2 = y yo = 0 > : (h) z = zo ) f3 = z zo = 0

Se trata de K (h) = 3 ligaduras holónomas, quitando 3 grados de libertad. Por lo tanto, a partir de (2.14) la partícula tiene, s = 3N

K (h) = 3 (1)

3=0

(2.22)

grados de libertad. .............................................................................................. Ejemplos de ligaduras holónomas en un cuerpo rígido y cómo afectan sus grados de libertad: Uno de los sistemas de interés en Mecánica Clásica son los denominados Cuerpos Rígidos. Ya se había hecho mención antes sobre estos cuerpos. Un Cuerpo Rígido es un sistema formado por muchas partículas de tal forma que las distancias entre ellas permanezcan constantes. Para definir la posición de un cuerpo rígido plano en su plano (ver figura 2.17a) sólo se necesita localizar la posición de dos puntos, pues conocidos esos dos, ya se pueden conocer los demás. Por ejemplo, si se conocen las coordenadasde los puntos P1 (x1 ; y1 ) y P2 (x2 ; y2 ) es posible conocer las de otro punto cualquiera P (x; y), teniendo en cuenta que las distancias d1 y d2 son constantes y conocidas (es un cuerpo rígido!), (x

x1 )2 + (x

y1 )2 = d21

(x

x2 )2 + (x

y2 )2 = d22

En el caso de un cuerpo rígido en el espacio (ver figura 2.17b), al igual que antes, se puede demostrar que para definir su posición en el espacio sólo se necesita localizar la posición de tres puntos, pues conocidos esos tres ya se pueden conocer los demás. A continuación se presentan algunos ejemplos de ligaduras holónomas en cuerpos rígidos: SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 88

2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS

Figura (2.17): (a) Cuerpo rígido plano en su propio plano. (b) Cuerpo rígido en el espacio.

.............................................................................................. EJEMPLO 2.12 Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene. Considérense dos puntos de un cuerpo rígido en su plano (ver figura 2.18). Las siguientes ligaduras holónomas están presentes, ( (h) z1 = 0 ) f1 = z1 = 0 (2.23) (h) z2 = 0 ) f2 = z2 = 0 que posicionan ambos puntos sobre el plano y la ligadura holónoma, j! r1

(h) ! r 2 j = r12 = constante ) f3 = j! r1

! r 2j

r12 = 0

(2.24)

que mantiene la distancia constante entre los puntos, existiendo así K (h) = 3 ligaduras holónomas. De lo anterior se puede concluir que, según (2.14), el número de grados de libertad s del cuerpo rígido plano en su plano viene dado por, s = 3N

K (h) = (3) (2)

3=3

(2.25)

entonces posee 3 grados de libertad: movimiento vertical (ver figura 2.19a), movimiento horizontal (ver figura 2.19b) y rotación en su propio plano (ver figura 2.19c). .............................................................................................. EJEMPLO 2.13 Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

Figura (2.18): Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene.

Figura (2.19): Los 3 grados de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene.

Este caso se muestra en la figura 2.20. Aquí se tienen las ligaduras mostradas en el ejemplo anterior más las ligaduras holónomas, ( (h) x = xo = constante ) f1 = x xo = 0 (2.26) (h) y = yo = constante ) f2 = y yo = 0 que posicionan el punto fijo, existiendo así K (h) = 5 ligaduras holónomas. Por lo tanto, según (2.14), el número de grados de libertad s viene dado en este caso por, s = 3N

K (h) = (3) (2)

5=1

(2.27)

entonces posee 1 grado de libertad: giro en el plano respecto del punto P (x0 ; y0 ) fijo (ver figura 2.21). SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 90

2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS

Figura (2.20): Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo.

Figura (2.21): El único grado de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo.

.............................................................................................. EJEMPLO 2.14 Dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con un punto común. Este caso se muestra en la figura 2.22. Por cada cuerpo son necesarios dos puntos, ( P (x0 ; y0 ) con x0 y y0 constantes Cuerpo 1 (2.28) P1 (x1 ; y1 ) ( P (x0 ; y0 ) con x0 y y0 constantes Cuerpo 2 (2.29) P2 (x2 ; y2 ) SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 91

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

Figura (2.22): Dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con un punto común.

por lo que N = 3 (número de partículas = número de puntos, teniendo 1 en común). Aquí se tienen las K (h) = 5 ligaduras holónomas,

(

ro1 = j! ro ! ro2 = j r o

8 (h) > < zo = 0 ) f1 = zo = 0 (h) z1 = 0 ) f2 = z1 = 0 los tres puntos están en el plano xy. > : (h) z2 = 0 ) f3 = z2 = 0 (h) ! r 1 j = constante ) f4 = j! ro (h) ! ! r 2 j = constante ) f5 = j r o

(2.30)

! r 1j ! r j

ro1 = 0 por ser cuerpos rígidos. ro2 = 0 2 (2.31) de aquí que el número de grados de libertad s, según (2.14), viene dado en este caso por, s = 3N

K (h) = (3) (3)

5=4

(2.32)

por lo tanto posee 4 grados de libertad: movimiento vertical (ver figura 2.23a), movimiento horizontal (2.23b), rotación en el plano del cuerpo 1 (ver figura 2.23c) y rotación en el plano del cuerpo 2 (ver figura 2.23c). .............................................................................................. EJEMPLO 2.15 Cuerpo rígido en el espacio. Como ya se mencionó, en el caso de un cuerpo rígido en el espacio (ver figura 2.24) sólo se necesita localizar la posición de tres puntos. Las ligaduras holónomas presentes aquí vienen dadas por, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 92

2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS

Figura (2.23): Los 4 grados de libertad de dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con un punto común.

8 ! > < r12 = j r 1 r13 = j! r1 > : ! r23 = j r 2

(h) ! r 2 j = constante ) f1 = j! r1 (h) ! ! r 3 j = constante ) f2 = j r 1 (h) ! r 3 j = constante ) f3 = j! r2

de manera que K (h) viene dado por,

! r 2j ! r 3j ! r j

r12 = 0 r13 = 0 por ser un cuerpo rígido. r23 = 0 3 (2.33) = 3. Entonces, según (2.14), el número de grados de libertad s s = 3N

K (h) = (3) (3)

3=6

(2.34)

por lo tanto posee 6 grados de libertad: 3 movimientos de traslación (cada uno a lo largo de un eje coordenado) y 3 movimientos de rotación, cada uno en torno de un eje coordenado (ángulos de Euler por ejemplo). ..............................................................................................

Como ya se sabe las ligaduras establecen restricciones sobre el movimiento de las partículas de un sistema. La pregunta natural ahora sería ¿cuáles son los desplazamientos permitidos por las ligaduras holónomas?. La respuesta a esta pregunta se SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

Figura (2.24): Cuerpo rígido en el espacio.

obtiene al hallar el diferencial total de (2.13), (hd)

fl

N P (h) (! r i ; t) = dfl (! r i ; t) =

j=1

r i ;t) ! (! drj ! @rj

(h)

(h)

@fl

+

@fl

r i ;t) (!

@t

dt = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (h)

(2.35) donde (hd) se refiere a que la ligadura es holónoma en forma diferencial. Los desplazamientos d! r j presentes en la sumatoria son aquellos permitidos por (2.13) ya que fueron encontrados a partir de la misma. A estos desplazamientos se les denominan Desplazamientos Compatibles con las Ligaduras [con las ligaduras (2.13) en este caso]. Estas son las mismas ligaduras holónomas (2.13) sólo que escritas de una forma diferente. También es posible encontrar cómo (2.13) impone restricciones sobre las velocidades de las partículas del sistema. En efecto, al hallar la derivada total con respecto al tiempo t de (2.13) resulta, (hD)

fl

(! r i ; t) =

d (h) f dt l

N P (! r i ; t) =

j=1

r i ;t) ! (! rj ! @rj

(h)

(h)

@fl

+

@fl

r i ;t) (!

@t

= 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (h)

(2.36) donde (hD) se refiere a que la ligadura es holónoma en forma de derivada total. Las velocidades ! r presentes en la sumatoria son aquellas permitidas por (2.13) ya que j

fueron encontradas a partir de la misma. A estas velocidades se les denominan Velocidades Compatibles con las Ligaduras [con las ligaduras (2.13) en este caso]. Al igual que para (2.35), estas son las mismas ligaduras holónomas (2.13) sólo que escritas de una forma diferente. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 94

2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS (h)

Para el caso de ligaduras holónomas esclerónomas fl (2.35) y (2.36) se convierten respectivamente en, (hd) fl

(h) (! r i ) = dfl (! r i) =

N (h) X @fl (! r i) ! d r j = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (h) ! @r j=1

(hD) fl

(! r i ) = 0, las expresiones

(2.37)

j

N (h) (h) X dfl @fl (! r i) ! ! ! ( r i) = ( r i) = r j = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (h) ! dt @ r j j=1

(2.38)

Ligaduras No-Holónomas y Semi-Holónomas Se denominan Ligaduras No-Holónomas a todas aquellas ligaduras que no pueden ser escritas como ligaduras holónomas, es decir, no se pueden escribir en la forma expresada por (2.13). No son integrables, por lo tanto, es imposible emplearlas para eliminar las coordenadas dependientes ya que dichas ecuaciones no son relaciones algebraicas entre las coordenadas.

Todas las ligaduras unilaterales son de este tipo. Pueden haber ligaduras bilaterales no-holónomas. Un caso particularmente importante de este último tipo de ligaduras, por estar frecuentemente presentes en los sistemas mecánicos, lo constituyen aquellas que pueden ser expresadas en términos de las velocidades ! r de las partículas que i

constituyen el sistema,

fl ! r i; ! r i; t

= 0, con i = 1; 2; 3; :::; N y l = 1; 2; 3; :::; K

(2.39)

donde K es el número total de ligaduras de este tipo presentes en el sistema de partículas dado. De las ligaduras (2.39) se puede afirmar que: 1. También reciben el nombre de Ligaduras Cinemáticas y de Ligaduras Móviles debido a que involucran las velocidades. 2. Representan ligaduras no-holónomas cuando no son integrables y, en caso contrario, representan ligaduras holónomas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS 3. En el caso de ser ligaduras no-holónomas, conforman un sistema no integrable de K = K (nh) ecuaciones diferenciales lineales en las velocidades ! r , i

8 > (nh) > f1 > > > > > > > (nh) > f2 > > > < (nh) f3 > > > > > > > > > > > > (nh) > : fK (nh)

! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N; ! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N; t

=0

! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N; ! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N; t

=0

! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N; ! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N; t

=0

.. . ! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N; ! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N; t

=0

donde (nh) significa que la ligadura es no-holónoma. Cuando en un sistema sólo están presentes este tipo de ligaduras, se tendrán 3N coordenadas independientes pero habrán K (nh) velocidades dependientes, ya que este tipo de ligaduras hace dependientes las velocidades y no a las coordenadas. 4. En el caso de ser ligaduras holónomas, conforman un sistema integrable de K = K (h) ecuaciones diferenciales lineales en las velocidades ! r pudiéndose así encontrar i

relaciones algebraicas entre las coordenadas (desaparecen todas las derivadas). Por la anterior razón, a las ligaduras integrables escritas en la forma f ! r ;! r ;t = 0 l

i

i

suelen llamárseles Semi-Holónomas. En realidad son ligaduras holónomas que, en vez de estar escritas como relaciones algebraicas entre las coordenadas, están escritas en forma de ecuaciones diferenciales lineales en las velocidades ! r . Son i

ligaduras holónomas escritas en una forma diferente. Se usará de aquí en adelante (sh) ! ! r ; r ; t = 0 para este tipo de ligadura, donde (sh) significa que la notación f l

i

i

la ligadura considerada es semi-holónoma. 5. Imponen restricciones sobre las velocidades ! r i posibles o permitidas de las partículas del sistema. Las ligaduras no integrables (2.39) de primer orden en las derivadas no son el único tipo de ligaduras bilaterales no-holónomas que pueden estar presentes en un sistema de partículas. Las ligaduras pueden involucrar derivadas de orden superior, fl ! r i; ! r i; ! r i; ! r i:::;t

= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; N y l = 1; 2; 3; : : : ; K

sin embargo, en el presente texto, se considerarán sólo aquellas con derivadas de primer orden. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS

Se llama Sistema No-Holónomo a aquél sistema donde al menos una de las ligaduras presentes es no-holónoma. En un sistema de N partículas donde existen existen K (h) ligaduras holónomas y K (nh) ligaduras no-holónomas, el número de grados de libertad s viene dado por, s = 3N

K (h)

K (nh) = 3N

K, para sistemas no-holónomos

(2.40)

donde K=K (h) + K (nh) es el número total de ligaduras holónomas y no-holónomas presentes. Es obvio que esta expresión se convierte en (2.14) para sistemas holónomos. A los grados de libertad (2.40) se les denominan Grados de Libertad Cinemáticos. Los Grados de Libertad Cinemáticos representan el número de desplazamientos independientes que son requeridos para que, junto con las ecuaciones de ligadura, (holónomas y no-holónomas) especifiquen inequívocamente un desplazamiento general de un sistema de partículas dado. Póngase ahora atención en la expresión (2.35). Esta expresión tiene la forma diferencial general,

(d)

fl

! r i; ! r i; t

=

N P

j=1

Alj (! r i ; t) d! r j + Bl (! r i ; t) dt = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K

(2.41)

donde (d) se refiere a que la ligadura está escrita en la forma de un diferencial y K es el número total de ellas. Cuando una ligadura está expresada de esta manera, se dice que está escrita en Forma Diferencial o en Forma Pfaffian5 De las ligaduras (2.41) se puede afirmar que: 1. Representan un caso menos general de las ligaduras (2.39). Igualmente pueden ser holónomas o no-holónomas. 2. Los coeficientes Alj y Bl son funciones dadas que dependen, en general, de los vectores de posición ! r i y del tiempo t. 5

Se dice que una ligadura está escrita en la forma Pfaffian cuando está expresada en forma de diferenciales. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS 3. Forman el sistema de K ecuaciones,

8 (d) f1 = A11 d! r 1 + A12 d! r 2 + A13 d! r 3 + : : : + A1N d! r N + B1 dt = 0 > > > (d) > ! ! ! ! > > < f2 = A21 d r 1 + A22 d r 2 + A23 d r 3 + : : : + A2N d r N + B2 dt = 0 (d) f3 = A31 d! r 1 + A32 d! r 2 + A33 d! r 3 + : : : + A3N d! r N + B3 dt = 0 > > . > .. > > > : (d) fK = AK1 d! r 1 + AK2 d! r 2 + AK3 d! r 3 + : : : + AKN d! r N + BK dt = 0

4. En el caso no integrable constituyen ligaduras no-holónomas. En estos casos serán (nhd) ! ! denotadas como fl r i ; r i ; t = 0, donde (nhd) significa que la ligadura es noholónoma escrita en forma de diferencial. El número total de ellas será entonces K = K (nh) . 5. En el caso integrable constituyen ligaduras holónomas exactamente del mismo tipo (h) (h) @fl (! r i ;t) @f (! r i ;t) (2.35), es decir, con Alj = l @ ! y B = . En estos casos serán denotadas l @t rj (shd)

como fl

! r i; ! r i; t

= 0, donde (shd) significa que la ligadura es semi-holónoma

escrita en forma de diferencial. El número total de ellas será entonces K = K (h) . 6. Imponen restricciones sobre los desplazamientos d! r j posibles o permitidos de las ! partículas del sistema. A estos desplazamientos d r j (presentes en la sumatoria) se les denominan Desplazamientos Compatibles con las Ligaduras [con las ligaduras (2.41) en este caso]. Es obvio que, al observar (2.36), las ligaduras (2.41) también pueden ser escritas como,

(D)

fl

! r i; t r i; !

=

N P

j=1

Alj (! r i ; t) ! r j + Bl (! r i ; t) = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K

(2.42)

donde (D) se refiere a que la ligadura está escrita en forma de derivada. Reciben el nombre de ligaduras en Forma de Velocidad. De las ligaduras (2.42) se puede afirmar que: 1. Son equivalentes a las ligaduras (2.41). SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS 2. Forman un sistema de K ecuaciones, 8 (D) > > f1 = A11 ! r 1 + A12 ! r 2 + A13 ! r 3 + : : : + A1N ! r N + B1 = 0 > > > > > (D) ! ! ! ! > > < f2 = A21 r 1 + A22 r 2 + A23 r 3 + : : : + A2N r N + B2 = 0 (D) f3 = A31 ! r 1 + A32 ! r 2 + A33 ! r 3 + : : : + A3N ! r N + B3 = 0 > > > .. > > . > > > > : (D) fK = AK1 ! r 1 + AK2 ! r 2 + AK3 ! r 3 + : : : + AKN ! r N + BK = 0

3. En el caso no integrable constituyen ligaduras no-holónomas. En estos casos serán (nhD) ! ! denotadas como f r ; r ; t = 0, donde (nhD) significa que la ligadura es i

l

i

no-holónoma escrita en forma de derivada. El número total de ellas será entonces K = K (nh) . 4. En el caso integrable constituyen ligaduras holónomas exactamente del mismo tipo (h) (h) @fl (! r i ;t) @f (! r i ;t) y B = . En estos casos serán denotadas (2.36), es decir, con Alj = l @ ! l @t rj (shD)

como fl

! r i; ! r i; t

= 0, donde (shD) significa que la ligadura es semi-holónoma

escrita en forma de derivada. El número total de ellas será entonces K = K (h) . 5. Imponen restricciones sobre las velocidades ! r j posibles o permitidas de las partículas del sistema. A estas velocidades ! r (presentes en la sumatoria) se les denominan j

Velocidades Compatibles con las Ligaduras [con las ligaduras (2.42) en este caso]. Las ligaduras del tipo (2.41) o (2.42) son muy frecuentemente encontradas en los sistemas mecánicos y, por esta razón, constituirán las ligaduras no-holónomas y semiholónomas que serán consideradas en el presente texto. Para el caso de ligaduras no-holónomas y semi-holónomas esclerónomas las expresiones (2.41) y (2.42) se convierten respectivamente en, (d) fl

! r i; ! ri

=

N X j=1

(D) fl

! r i; ! ri

=

N X j=1

Alj (! r i ) d! r j = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K

(2.43)

Alj (! r i) ! r j = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K

(2.44)

De todo lo anterior es necesario tener bien claro que: SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

1. Se usará K para representar el número total de ligaduras del tipo (2.39) [y las del tipo (2.41) y (2.42) como casos menos generales de ésta] cuando no se tenga la certeza de que sean no-holónomas o semi-holónomas. 2. Las expresiones generales (2.41) y (2.42) son válidas tanto si son noholónomas como semi-holónomas. Para cada caso se agregará la etiqueta nh con K = K (nh) o sh con K = K (h) según corresponda. 3. Las que se denominan semi-holónomas son las expresiones (2.41) y (2.42) que sean integrables. 4. Las semi-holónomas son realmente holónomas, lo que ocurre es que están escritas en una forma diferente.

..............................................................................................

EJEMPLO 2.16 Algunas ligaduras no-holónomas. Como ejemplo de ligaduras no-holónomas se tienen los siguientes casos:

1. Las ligaduras representadas por las expresiones (2.7) y (2.8) ya que son unilaterales. 2. Un ejemplo muy conocido de una ligadura no-holónoma diferencial bilateral es el de un disco homogéneo de masa M y radio R que rueda sin resbalar sobre el plano horizontal xy haciendo contacto con éste en el punto P (ver figura 2.25), obligado a moverse de modo que el plano que lo contiene permanezca siempre perpendicular al plano xy (el disco puede ser una de las dos ruedas de un eje). Se pueden escoger como coordenadas de posición del disco las de su centro de masa xcm , ycm y zcm (que coinciden con las de su centro geométrico C por ser homogéneo), el ángulo que forma el eje del disco (perpendicular al mismo y que pasa por C) con el plano xy, al ángulo que forma este mismo eje con la dirección 0x del plano horizontal y al ángulo girado por el disco alrededor de su propio eje. El conjunto de coordenadas heterogéneo (obsérvese que no son homogéneas dimensionalmente) anterior constituye un ejemplo de lo que más adelante, en la sección 2.7, se le dará el nombre de Coordenadas Generalizadas.En el sistema mecánico dado SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS

Figura (2.25): (a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes

sobre las direcciones x y y.

R Sen ; R Cos

existen un total de 4 ligaduras, 8 zcm = R ) f1 = zcm R = 0, posición constante del centro de masa > > > > > del disco respecto al plano xy. > > > > < = 0 ) f2 = = 0, disco perpendicular al plano xy. 8 > < vcmx = xcm = vcm Sen = R Sen ) f3 = xcm + R Sen =0 > > , > > : v > > = y = v Cos = R Cos ) f = y R Cos = 0 cmy cm 4 cm cm > > : consecuencia de que el disco no resbala.

(2.45)

puesto que la velocidad del disco v = R = vcm (velocidad del centro de masa). Las ligaduras f1 y f2 son holónomas K (h) = 2. Las ligaduras f3 y f4 son en forma de derivada (2.42) que no son integrables y, por lo tanto, son no-holónomasde manera que K (nh) = 2. Estas ligaduras pueden ser escritas en forma de diferencial como, (nhd)

f3

= dxcm + R Sen d = 0

(2.46)

(nhd) f4

= dycm

(2.47)

R Cos d = 0

que evidentemente son ligaduras diferenciales del tipo (2.41). No pueden ser integradas sin resolver, de hecho, el problema completo. Lo anterior trae como consecuencia que estas ligaduras no puedan ser reducidas a la forma expresada por SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS (2.13). Este sistema es no-holónomo, quedando definido por cuatro coordenadas (xcm ; ycm ; ; ) y dos ecuaciones de ligadura no-holónomas independientes (2.46) y (2.47), teniendo s = 3N K (h) K (nh) = 3 (2) 2 2 = 2 grados de libertad según (2.40). Recuérdese de la sección anterior que para definir un cuerpo rígido plano se necesitan 2 puntos por lo tanto, sin ligaduras, el número de coordenadas necesarias es 3N = 3(2) = 6. 3. Una partícula de masa m obligada a moverse en el interior de un paralelepípedo de dimensiones d1 , d2 y d3 (ver figura 2.26).

Figura (2.26): Partícula de masa m obligada a moverse en el interior de un paralelepípedo de dimensiones d1 , d2 y d3 .

Las coordenadas (x; y; z) de la posición de la partícula de masa m deben satisfacer las inecuaciones, 8 (nh) > < x < d1 ) f1 = x d1 < 0 (nh) (2.48) y < d2 ) f2 = y d2 < 0 > : (nh) z < d3 ) f3 = z d3 < 0

Se trata de K (nh) = 3 ligaduras no-holónomas. Para determinar la posición de la partícula son necesarias 3 coordenadas (x; y; z) ya que las ligaduras no-holónomas no reducen el número de ellas. .............................................................................................. EJEMPLO 2.17 Ligadura semi-holónoma. Un ejemplo familiar de este tipo de ligaduras (que será desarrollado en un ejemplo en el capítulo 5), ver figura 2.27, es el movimiento en dos dimensiones de un disco SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS sólido homogéneo de masa M que se desplaza sobre un plano inclinado un ángulo , apoyándose sobre él en el punto P .

Figura (2.27): Movimiento de un disco sólido homogéneo de masa M y radio R que se desplaza sin resbalar sobre un plano inclinado un ángulo .

Si se describe el movimiento del disco en función de su centro de masa con coordenadas (xcm ; ycm ; zcm ) se tiene que, en este caso, existen las siguientes 5 ligaduras, 8 > > xcm = R ) f1 = xcm R = 0, hay rotación en torno al eje z. Esta expresión > > > > > proviene del hecho de que el disco no resbala, siendo así la velocidad de > > > > > rotación igual a la velocidad con que se desplaza sobre el plano inclinado. > > < (h) ycm = R ) f2 = ycm R = 0, ecuación de la trayectoria del centro de masa, > lo que obliga al disco a moverse sobre el plano inclinado. > > > (h) > > zcm = 0 ) f3 = zcm = 0, que limita el movimiento del disco al plano xy > > > (h) > > = 0 ) f4 = = 0, no hay rotación en torno al eje x. > > > : = 0 ) f (h) = = 0, no hay rotación en torno al eje y. 5 (2.49) donde , y son los ángulos girados por el disco entorno al eje x, y y z respectivamente. La ligadura f1 es una ligadura del tipo (2.42) que, como puede notarse, es integrable. Por lo tanto, constituye una ligadura semi-holónoma en forma de derivada, (shD)

f1

= xcm

R =0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.50) Pág.: 103

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS que puede ser escrita en forma de diferencial como, (shd)

f1

= dxcm

Rd = 0

(2.51)

La integración de esta ligadura resulta en, (h)

f1

= xcm

R =0

(2.52)

que es una ligadura holónoma. .............................................................................................. Por último, un aspecto que debe ser tomado en consideración sobre las ligaduras es que a pequeñas escalas (escala de partículas) los sistemas interactúan en base a fuerzas y al describir el movimiento a esa escala no se requiere el uso de ligaduras. Las ligaduras aparecen a escala macroscópica como idealizaciones matemáticas de partes del sistema que no se conocen o no se quieren tratar a detalle (como superficies o cuerdas). Imponer ligaduras es un método para tratar con agentes externos que aplican fuerzas, inicialmente desconocidas, al sistema. Generalmente sólo se conoce el efecto geométrico de la acción combinada de estos agentes con las fuerzas conocidas.

2.5.

Fuerza de ligadura y fuerza aplicada

La introducción de ligaduras en un sistema lleva al concepto de Fuerza de Li! gadura F (lig) , Las Fuerzas de Ligadura son las que aparecen espontáneamente al establecer una ligadura y aseguran su cumplimiento. Actúan tanto si el sistema está en reposo o si está en movimiento. También se les denominan Fuerzas de Reacción. El trabajo realizado por fuerzas de ligadura provenientes de ligaduras holónomas esclerónomas (independientes del tiempo) es nulo para cualquier desplazamiento posible. En el caso de las provenientes de ligaduras no-holónomas, en general, realizan trabajo. En general, las fuerzas de ligadura son desconocidas a priori a diferencia de las llamadas Fuerzas Aplicadas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.5. FUERZA DE LIGADURA Y FUERZA APLICADA

Las Fuerzas Aplicadas son aquellas determinadas independientemente de cualquier otra fuerza, conociendo sólo las posiciones (a veces también las velocidades) de las partículas. .............................................................................................. EJEMPLO 2.18 Algunas fuerzas aplicadas. 1. La fuerza que ejerce el resorte sobre una de las partículas en un sistema de dos partículas unidas por un resorte es una fuerza aplicada que, como se sabe, depende de la posición de ambas partículas (ver figura 2.28).

Figura (2.28): Dos masas m1 y m2 acopladas por un resorte.

2. El peso, la fuerza eléctrica sobre una partícula cargada, la fuerza magnética (que depende de la velocidad), etc. .............................................................................................. EJEMPLO 2.19 Algunas fuerzas de ligadura. 1. La fuerza que ejerce un riel que guía el movimiento de una partícula es una fuerza de ligadura que no puede ser determinada sin conocer las otras fuerzas que actúan. 2. La fuerza de reacción normal ejercida sobre una partícula por una superficie lisa sobre la cual se mueve. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS 3. La tensión o compresión existente en una varilla rígida que conecta dos masas de un sistema. 4. La tensión de la cuerda en un péndulo simple y la fuerza normal que ejerce un plano horizontal o inclinado sobre una partícula que se mueve sobre él. .............................................................................................. Una condición adicional que se le impone a las fuerzas de ligadura o de reacción es que puedan ser tan grandes en magnitud como fuera necesario para mantener la ligadura, lo que es una idealización de las ligaduras reales ya que los hilos se estiran, las varillas se doblan o se quiebran, etc., pero se trabaja dentro de los límites en lo que esto no pasa o su efecto puede despreciarse. Un problema con lo dicho anteriormente lo presentan las fuerzas de rozamiento: Si las condiciones del problema son tales que el rozamiento es suficiente para impedir que haya deslizamiento (rozamiento estático), la fuerza de rozamiento entonces se considera de ligadura. De haber deslizamiento (rozamiento cinético), ya no puede ser considerada como fuerza de ligadura. En este caso se considera al rozamiento como una Fuerza Aplicada Anómala, ya que no cumple con ser independiente de las otras fuerzas. Aquí se puede ahora introducir una nueva clasificación de las ligaduras, en este caso de las geométricas:

2.5.1.

Ligaduras lisas o ideales

Las Ligaduras Lisas o Ligaduras Ideales son aquellas donde no está presente el rozamiento (ver figura 2.29a). En este caso, la ligadura no reacciona ! contra las fuerzas tangentes a ella y, por lo tanto, la fuerza de ligadura F (lig) es siempre normal a la ligadura misma. Lo anterior se puede escribir matemáticamente como, !(lig) (lig) F = Fn n b

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.53) Pág.: 106

2.5. FUERZA DE LIGADURA Y FUERZA APLICADA

Figura (2.29): (a) Ligadura lisa y (b).ligadura rugosa Para el movimiento permitido por la ligadura (deslizamiento horizontal) la reacción lisa no realiza trabajo, mientras que en el caso rugoso sí.

! (lig) donde Fn es la componente normal de F (lig) y n b un versor normal a la ligadura. Aquí, !(lig) !(lig) (lig) se desconoce el módulo de F y se conoce su dirección. La fuerza F n = Fn n b es ! la que comúnmente se denomina Fuerza Normal N y es la necesaria para compensar la componente normal de la resultante de las fuerzas aplicadas.

2.5.2.

Ligaduras rugosas

Las Ligaduras Rugosas son aquellas donde está presente el rozamiento (ver figura 2.29b). Aquí, debido al rozamiento, la ligadura reacciona contra ! las fuerzas tangentes a ella y, por lo tanto, la fuerza de ligadura F (lig) ya no es normal a la ligadura misma.

Lo anterior se puede escribir matemáticamente como, !(lig) (lig) (lig) F = Fn n b + Ft b t

(2.54)

! (lig) donde Ft es la componente tangencial de F (lig) y b t un versor tangencial a la ligadu!(lig) (lig) b ra. La fuerza F t = Ft t es la que comúnmente se denomina Fuerza de Rozamiento ! o Fuerza de Fricción F f y es la que se debe al rozamiento entre las superficies en contacto. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

2.6.

Dificultades introducidas por las ligaduras

Las ligaduras introducen dos tipos de dificultades en la solución de problemas mecánicos: 1. Las 3N coordenadas (xi;1 ; xi;2 ; xi;3 ) no son ahora todas independientes. !(lig) 2. Existen fuerzas de ligadura F i que son ejercidas por las superficies, curvas, varillas, etc. sobre las partículas de tal manera que hacen que ellas se muevan de acuerdo a la ligadura. Estas fuerzas no son suministradas a priori y deben ser determinadas como parte de la solución del problema. Si a las restantes fuerzas se las denominan !(a) fuerzas aplicadas F i , las 3N ecuaciones (2.1) toman la forma, !(a) !(lig) r i = F i + F i , con i = 1; 2; 3; :::; N mi !

(2.55)

que, en conjunto con las K ecuaciones de ligadura (holónomas + no-holónomas), (lig) resultan en un total de 3N + K ecuaciones para las 3N xi; y Fi; (componentes de !(lig) F i ) desconocidas6 . La primera de las dificultades se resuelve (al menos en los casos tratados en el presente texto) al introducir las denominadas Coordenadas Generalizadas junto con el denominado Método de los Multiplicadores de Lagrange. La segunda dificultad es resuelta mediante la introducción de dos nuevas formulaciones generales, elegantes y sofisticadas completamente equivalentes a la Mecánica Newtoniana. Estas dos nuevas formulaciones, que serán estudiadas a partir del capítulo 5, son las denominadas Mecánica Lagrangiana y Mecánica Hamiltoniana. En estas formulaciones no se presenta la dificultad antes mencionada con las fuerzas de ligadura, por el contrario, resultan en forma natural en estos nuevos contextos.

2.7. 2.7.1.

Coordenadas generalizadas Definición

Supóngase que se tiene un sistema de N partículas sujeto a K (h) ligaduras holónomas y K (nh) ligaduras no-holónomas. Para describir este sistema se necesitan, como se vió en la sección 2.2, un conjunto de 3N variables no independientes xi; (con 6

!(a) Como ya se dijo, las fuerzas aplicadas F i son conocidas a priori. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 108

2.7. COORDENADAS GENERALIZADAS i = 1; 2; 3; : : : ; 3N y indica la coordenada xi;1 = xi , xi;2 = yi , xi;3 = zi ) que están relacionadas directamente mediante las K (h) ligaduras holónomas e indirectamente mediante las K (nh) ligaduras no-holónomas. Es posible describir el mismo sistema mediante un nuevo conjunto de 6 3N variables qi (i = 1; 2; 3; :::; ). Se denominan Coordenadas Generalizadas a un conjunto de 6 3N variables qi (i = 1; 2; 3; :::; ) con las cuales es posible, para cualquier instante de tiempo t, describir la configuración de un sistema de partículas dado. Estas coordenadas deben ser finitas, univaluadas, continuas y diferenciables con respecto al tiempo t. Son llamadas también, en algunos textos, Coordenadas Lagrangianas. Las coordenadas generalizadas poseen las siguientes ventajas: 1. Pueden englobar en su propia elección las ligaduras del sistema (todas o al menos una parte de ellas). De esta forma se consigue una doble ventaja: a) El número de coordenadas es menor que el correspondiente directamente a las coordenadas xi; de todas las partículas b) El número de ecuaciones de ligadura y el número de ecuaciones necesarias para describir el sistema se ve igualmente reducido. 2. La introducción de las coordenadas generalizadas obedece al hecho de, que en muchos sistemas físicos formados por un número N de partículas no es necesario conocer, en cada instante, las coordenadas de posición de todas y cada una de ellas. Las coordenadas generalizadas se refieren al sistema como un todo y no individualmente a cada una de sus partículas. 3. Pueden ser de variada naturaleza e inhomogéneas en cuanto a dimensiones, sólo se exige que puedan describir completamente el sistema para cualquier instante de tiempo t. Dependiendo del problema en específico es probable que algunas de las coordenadas tengan dimensiones de energía, otras dimensiones de área, podrían ser adimensionales y así sucesivamente. De lo anterior se puede deducir que las coordenadas generalizadas qi no siempre tienen significado físico. 4. Proveen la oportunidad de engrandecer el horizonte al poder aceptar, como coordenadas, las amplitudes de los desarrollos en series de Fourier o ciertas funciones de las coordenadas físicas ordinarias, por ejemplo. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS 5. Facilitan el cambio de énfasis a partir del mundo físico de la Mecánica Vectorial al mundo más matemático de la Mecánica Analítica correspondiente a las Mecánicas de Lagrange y Hamilton que serán estudiadas a partir del capítulo 5. En una situación física dada posiblemente existan varios conjuntos de coordenadas generalizadas que permitan describirla, es decir, no son únicas lo que es realmente ventajoso ya que permite una gran flexibilidad en su elección. Sin embargo, una elección apropiada puede simplificar el análisis considerablemente.

2.7.2.

Tipos de Coordenadas Generalizadas

Se pueden tener dos tipos de coordenadas generalizadas: las propias y las impropias. Se da el nombre de Coordenadas Generalizadas Propias o Coordenadas Generalizadas Libres a todas aquellas qi que son totalmente independientes las unas de las otras debido a que no están condicionadas por ligadura alguna y cuyo número es igual al número de grados de libertad del sistema de partículas dado. Este tipo de coordenadas generalizadas son las que se tienen cuando se está describiendo: 1. Un sistema de partículas sin ligaduras K (h) = 0 y K (nh) = 0, ya que en estos sistemas las coordenadas son completamente independientes. Para este caso = 3N = s. 2. Un sistema de partículas holónomo K (h) 6= 0 y K (nh) = 0, ya que en estos sistemas es posible eliminar (en principio) las coordenadas dependientes mediante las ecuaciones de ligadura. Las coordenadas así obtenidas ya contienen implícitamente a las ligaduras, por lo tanto, deben satisfacer las ecuaciones que las describen y son completamente independientes las unas de las otras. Para este caso = 3N K (h) = s. Recuérdese que los sistemas sin ligaduras también son considerados holónomos. Como puede verse, en ambos casos el número de coordenadas generalizadas es igual al número de grados de libertad s del sistema de partículas. A estas coordenadas son las que suelen llamárseles, simplemente, Coordenadas Generalizadas en muchos textos de esta área. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.7. COORDENADAS GENERALIZADAS

Se da el nombre de Coordenadas Generalizadas Impropias, Coordenadas Generalizadas No-libres o Coordenadas Generalizadas Ligadas a todas aquellas qi que son dependientes las unas de las otras debido a que están condicionadas por las ligaduras presentes en el sistema y cuyo número es superior al número de grados de libertad del mismo. Este tipo de coordenadas generalizadas son las que se tienen cuando se está describiendo: 1. Un sistema de partículas no-holónomo en el que sólo existen ligaduras no-holónomas K (h) = 0 y K (nh) 6= 0, ya que en estos sistemas las ecuaciones de ligadura no permiten eliminar las coordenadas dependientes. Para este caso = 3N > s = 3N K (nh) , es decir, el número de coordenadas generalizadas es superior al número de grados de libertad. Estas coordenadas pueden ser tratadas como independientes al hacer entrar las ligaduras en forma explícita en la descripción del sistema, utilizando para ello denominado Método de los Multiplicadores de Lagrange. De esta manera se puede así obtener adicionalmente, a partir de dichos multiplicadores, las fuerzas de ligadura presentes en el sistema de partículas dado como podrá verse en el capítulo 5. 2. Un sistema de partículas no-holónomo en el cual existen ligaduras holónomas K (h) 6= 0 y K (nh) 6= 0, ya que en estos sistemas las ecuaciones de las ligaduras no-holónomas presentes no permiten eliminar las correspondientes coordenadas dependientes. Aquí es posible tener dos situaciones: a) Se hacen entrar implícitamente las ligaduras holónomas presentes en la descripción del sistema mediante la eliminación de las correspondientes coordenadas dependientes y las ligaduras no-holónomas se hacen entrar explícitamente mediante el Método de los Multiplicadores de Lagranje, pudiéndose así realizar la descripción del sistema mediante un conjunto más reducido de = 3N K (h) > s = 3N K (h) K (nh) coordenadas generalizadas que pueden ser consideradas ahora totalmente independientes las unas de las otras. b) Se hacen entrar explícitamente tanto las ligaduras holónomas como las no-holónomas presentes mediante mediante el uso de los Multiplicadores de Lagrange. En este caso la descripción del sistema de partículas se realiza mediante un conjunto de = 3N > s = 3N K (h) K (nh) coordenadas generalizadas (coincidiendo con el número de coordenadas ordinarias como si no hubiesen ligaduras) que pueden ser consideradas ahora totalmente independientes las unas de las otras. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS Como puede verse, en ambos casos el número de coordenadas generalizadas es superior al número de grados de libertad s del sistema de partículas considerado.

De la discusión anterior se desprende que las ligaduras holónomas pueden entrar en la descripción del sistema de partículas dado tanto en forma implícita como explícita mientras que, las ligaduras no-holónomas sólo lo pueden hacer en forma explícita debido a su naturaleza.

Por lo tanto, en general, se puede definir el número mínimo e de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración de un sistema como, e = 3N

K (h)

Entonces, debido a lo antes discutido y teniendo presente que s = 3N posible tener los siguientes casos:

(2.56) K (h)

K (nh) es

1. Para sistemas holónomos con K (h) = 0 y K (nh) = 0 se tiene que e = 3N = s.

2. Para sistemas holónomos con K (h) 6= 0 y K (nh) = 0 se tienen dos posibilidades, a) Las ligaduras entran en la descripción del sistema en forma implícita, entonces e = 3N K (h) = s.

b) Las ligaduras entran en la descripción del sistema en forma explícita mediante el Método de los multiplicadores de Lagrange, entonces e = 3N > s.

3. Para sistemas no-holónomos con K (h) = 0 y K (nh) 6= 0 se tiene que e = 3N > s.

4. Para sistemas no-holónomos con K (h) 6= 0 y K (nh) 6= 0 se tienen dos posibilidades, a) Las ligaduras holónomas entran en la descripción del sistema en forma implícita y las ligaduras no-holónomas lo hacen en forma explícita mediante el Método de los Multiplicadores de Lagrange, entonces e = 3N K (h) > s.

b) Las ligaduras holónomas entran entran en la descripción del sistema en forma explícita en conjunto con las no-holónomas mediante el Método de los multiplicadores de Lagrange, entonces e = 3N > s.

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2.7. COORDENADAS GENERALIZADAS Finalmente, el número de coordenadas generalizadas empleadas para la descripción de un sistema tomará los siguientes valores, 8 8 > > > X Si no existen ligaduras. > > > > > > > X Si existen únicamente ligaduras holónomas que son > > > > > > < > > usadas explícitamente. > > 3N ! > > > > X Si existen únicamente ligaduras no-holónomas. > > > > > > > > > > X Si existen ligaduras holónomas y no-holónomas donde > < > : (2.57) = las primeras 8 son usadas explícitamente. > > > > X Si únicamente existen ligaduras holónomas > > > > > > > > > > > < que son usadas implícitamente. > > > (h) > e = 3N K ! X Si existen ligaduras holónomas y > > > > > > > > > > > no-holónomas donde las primeras son usadas > > : : implícitamente.

2.7.3.

Ecuaciones de transformación entre las coordenadas ordinarias y las coordenadas generalizadas

Supóngase que se tiene un sistema de N partículas donde están presentes ligaduras holónomas y no-holónomas. En general, existirán relaciones entre los N vectores de posición de cada una de sus N partículas y 6 3N coordenadas generalizadas qi para fijar la configuración del sistema, las cuales están relacionadas mediante, ! ri=! r i (qj ; t), con i = 1; 2; 3; :::; N ; j = 1; 2; 3; :::; que conforman el sistema de ecuaciones, 8 ! r1=! r 1 (q1 ; q2 ; q3 ; : : : ; q ; t) > > > > ! ! > > < r 2 = r 2 (q1 ; q2 ; q3 ; : : : ; q ; t) ! r3=! r 3 (q1 ; q2 ; q3 ; : : : ; q ; t) > > .. > > . > > : ! ! r = r (q ; q ; q ; : : : ; q ; t) N

N

1

2

(2.58)

(2.59)

3

A los vectores de posición ! r i de cada partícula serán denominados, por extensión, «coordenadas vectoriales». Está claro que éstas son equivalentes a definir las 3N coordenadas cartesianas correspondientes. Podrá existir dependencia explícita del tiempo en (2.58) cuando se hayan tomado sistemas de coordenadas móviles, o bien cuando hayan ligaduras reónomas.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS Las expresiones (2.58) establecen la relación entre las viejas coordenadas ! r i y las nuevas coordenadas generalizadas qj . Se suponeque se puede realizar siempre la transformación en sentido contrario o transformación inversa para así obtener cualquier qj como una función de las coordenadas de la posición ! r i y el tiempo, es decir, qj = qj (! r i ; t), con i = 1; 2; 3; :::; N ; j = 1; 2; 3; :::; que representan el sistema de ecuaciones, 8 q1 = q1 (! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N ; t) > > > > ! ! ! ! > > < q2 = q2 ( r 1 ; r 2 ; r 3 ; : : : ; r N ; t) q3 = q3 (! r 1; ! r 2; ! r 3; : : : ; ! r N ; t) > > . > .. > > > : q = q (! r ;! r ;! r ;:::;! r ; t) 1

2

3

(2.60)

(2.61)

N

Se denomina Sistema Natural a todo aquél en el que los conjuntos de ecuaciones (2.58) y (2.60) no dependen explícitamente del tiempo, es decir, ( ! ri=! r i (qj ) , con i = 1; 2; 3; :::; N ; j = 1; 2; 3; :::; (2.62) qj = qj (! r i)

2.7.4.

Espacio de Configuración

Como ya se dijo antes, la configuración de un sistema de N partículas sujeto a K (h) ligaduras holónomas y K (nh) ligaduras no-holónomas está completamente descrita mediante un número mínimo e = 3N K (h) de coordenadas generalizadas y su número de grados de libertad viene dado por s = 3N K (h) K (nh) . Se puede, por lo tanto, representar el estado de tal sistema mediante un punto en un espacio denominado Espacio de Configuración. Se da el nombre de Espacio de Configuración al espacio abstracto constituído por cualquier conjunto de coordenadas generalizadas qi . La dimensión de este espacio es el número y cada dimensión de este espacio corresponde a una de las coordenadas generalizadas qi . Cada punto en este espacio, denominado Punto de Configuración, describe la Configuración del Sistema en un SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.7. COORDENADAS GENERALIZADAS

Figura (2.30): El historial temporal de un sistema es representado mediante una curva en el espacio de configuración. Se muestran cuatro posibles.

instante particular y la historia temporal del mismo vendrá representada mediante una curva. (ver figura 2.30). A través de cada punto pasa un infinito número de curvas que representan “movimientos” posibles del sistema. Cada curva corresponde a un conjunto particular de condiciones iniciales. Por lo tanto, se puede hablar del “camino” de un sistema como si éste se “moviese” a través del espacio de configuración, sin embargo, se debe tener cuidado de no confundir esta terminología con aquella aplicada al movimiento de una partícula a lo largo de un camino en el espacio tridimensional ordinario. A este camino, en el espacio de configuración, se le denomina Camino Dinámico.

El movimiento de un sistema completo es posible así describirlo mediante una única trayectoria en el espacio de configuración -dimensional, en vez de un conjunto de N trayectorias en el espacio de posición 3dimensional ordinario. En el caso de existir ligaduras holónomas, el punto de configuración se mueve en un espacio reducido de 3N K (h) = e dimensiones debido a que debe permanecer en cada una de las K (h) superficies de ligadura, es decir, en su intersección común. De esta manera, ciertas regiones del espacio de configuración -dimensional no son accesibles. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 115

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS En contraste, en el caso de ligaduras no-holónomas, son los movimientos diferenciales los que están limitados. Puesto que las ecuaciones diferenciales que representan a estas ligaduras no-holónomas no son integrables, no existen superficies de ligadura finitas en el espacio de configuración y no hay reducción de la región accesible. En otras palabras, mediante la elección apropiada del camino dinámico, es posible alcanzar cualquier punto en el espacio de configuración a partir de cualquier otro. Se puede definir un nuevo espacio que involucre a las coordenadas generalizadas qi y sus correspondientes velocidades generalizadas q i .

Se da el nombre de Espacio de Estado al espacio abstracto 2 dimensional constituído por cualquier conjunto de coordenadas generalizadas qi y sus correspondientes velocidades generalizadas q i .

Aquí, al contrario de lo que ocurre en el espacio de configuración, las ligaduras noholónomas limitan la región accesible del espacio de estado. Este espacio guarda una relación íntima con el Espacio de Fase conformado por coordenadas generalizadas qi y los correspondientes momentos generalizados pi a ser estudiado en el 6.

2.8.

Algunas magnitudes físicas en coordenadas generalizadas

Seguidamente serán expresadas, en coordenadas generalizadas, algunas magnitudes físicas de uso frecuente.

2.8.1.

Desplazamiento

El desplazamiento d! r i puede ser encontrado al hallar el diferencial total de (2.58). En efecto,

d! ri=

X

@! ri dqj @qj

+

@! ri dt, @t

con i = 1; 2; 3; :::; N

(2.63)

j=1

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2.8. ALGUNAS MAGNITUDES FÍSICAS EN COORDENADAS GENERALIZADAS

2.8.2.

Velocidad

Nuevamente, partiendo de las transformaciones (2.58) pero ahora hallando su derivada total con respecto al tiempo t resulta que, ! ri=

d! ri dt

=

X

@! ri q @qj j

+

@! ri , @t

con i = 1; 2; 3; :::; N

(2.64)

j=1

Aquí a las cantidades q j se les da el nombre de Velocidades Generalizadas. Para el caso particular de un sistema natural se puede escribir, d! r i X @! ri ! ri= = qj , con i = 1; 2; 3; :::; N dt @q j j=1 puesto que

2.8.3.

@! ri @t

(2.65)

= 0.

Aceleración Al derivar con respecto al tiempo (2.65) resulta, r i X d @! d2 ! ri d ! ri = = qj + 2 dt dt @qj dt j=1 =

pero,

X d dt j=1

@! ri @qj

@! ri @qj @! r

d dt d dt

i

@t

qj +

@! ri @t

@! ri d qj + @qj dt

@! ri @t

X @2! ri q = @qk @qj k k=1 X @2! ri = qk @q k @t k=1

entonces, al sustituir (2.67) y (2.68) en (2.66) resulta, X @2! X @! X @2! ri ri ri ! ri= q k qj + qj + qk @q @q @q k @qj j k @t j=1 j;k=1 k=1

(2.66)

(2.67) (2.68)

(2.69)

y como los índices que suman son mudos en los últimos dos términos es posible escribir, ! ri=

X

j;k=1

@2! ri q q @qk @qj k j

+

X

@! ri q @qj j

+

@2! ri q @qj @t j

, con i = 1; 2; 3; :::; N

(2.70)

j=1

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS Para el caso particular en el que el sistema considerado sea natural se puede escribir, X @! X @2! ri ri ! q k qj + qj , con i = 1; 2; 3; :::; N (2.71) ri= @q @q k @qj j j=1 j;k=1

2.8.4.

Trabajo Mecánico

El trabajo mecánico total W realizado sobre un sistema de N partículas viene dado por, N X ! dW = F i d! ri (2.72) i=1

y al sustituir d! r i a partir de (2.63) resulta,

i=1

j=1

N X X ! = Fi j=1

! @! ri dqj + dt @qj @t ! N ! X ! @ri dqj + Fi @qj i=1

X @! ri

N X ! dW = Fi

i=1

@! ri dt @t

o, dW =

X

Qj dqj +

j=1

N X ! Fi

@! ri dt @t

(2.73)

i=1

donde, N X ! Qj = Fi

@! ri , @qj

con j = 1; 2; 3; :::;

(2.74)

i=1

son las llamadas Fuerzas Generalizadas. Puesto que las coordenadas generalizadas qj no necesariamente tienen dimensión de longitud, entonces las Qj no necesariamente tienen dimensión fuerza: 1. Si qj es una longitud, entonces Qj es una fuerza. 2. Si qj es un ángulo, entonces Qj es un torque. 3. Si qj es una superficie, entonces Qj es una tensión. 4. Si qj es un volumen, entonces Qj es una presión. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.8. ALGUNAS MAGNITUDES FÍSICAS EN COORDENADAS GENERALIZADAS Sin embargo, el producto Qj dqj siempre tiene dimensión de trabajo como lo exige (2.74). ! En el caso de un sistema conservativo, las fuerzas F i se derivan de una función de energía potencial U = U (qi ), !U Fi =

! r i U , con i = 1; 2; 3; :::; N

(2.75)

donde el superíndice U indica que las fuerzas son derivables de una función de energía potencial o, equivalentemente, de una función potencial. Ahora, al sustituir (2.75) en (2.74) resulta, N N X X !U @ ! ! ri @! ri U = (2.76) Qj = Fi r iU @qj @qj i=1 i=1

pero,

! r iU

@! ri = @qj =

de manera que, ! r iU

@ @ @ @ + eby + ebz (xi ebx + yi eby + zi ebz ) U @xi @yi @zi @qj @U @U @U @yi @yi @xi ebx + eby + ebz ebx + eby + ebz @xi @yi @zi @qj @qj @qj

ebx

X @U @xi; @xi; @! ri X @U ri; U = = = @qj @qj @xi; @qj @qj =1 =1 3

3

donde el índice , como en la sección 2.2, indica la coordenada xi;1 = xi , xi;2 = yi , xi;3 = zi . Entonces, al sustituir este resultado en (2.76) se obtiene, QUj =

@U , @qj

con j = 1; 2; 3; :::; para sistemas conservativos

(2.77)

En el caso de una función de energía potencial dependiente de las velocidades U = U qi ; q i ; t se tiene que,

QUj qi ; q i ; t =

d dt

@U @ qj

@U @qj

(2.78)

notándose que cuando U = U (qi ) se reduce a (2.77), es decir, el caso para sistemas conservativos. Una energía potencial del tipo U = U qi ; q i ; t se aplica a un tipo muy importante de campo de fuerzas: el de las fuerzas electromagnéticas sobre cargas móviles. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS Cuando se está describiendo un sistema natural (2.73) se reduce a, dW =

X

(2.79)

Qj dqj

j=1

2.8.5.

Energía Cinética

Como ya se sabe, la energía cinética total T de un sistema de N partículas viene dada por, N N N 2 1X 1X 1X ! ! 2 mi vi = mi r i = mi r i r i (2.80) T = 2 i=1 2 i=1 2 i=1 Ahora, al sustituir aquí la expresión (2.65) resulta, N X @! @! ri ri 1X mi qj + T = 2 i=1 @qj @t j=1 2

!

X @! ri k=1

@! ri qk + @qk @t

!

6 6 6 6 ! ! ! N n 6 ! ! ! X X X X @ri @! ri 1 @ri @ri 6 = mi 6 qj qk + qj 6 2 i=1 @qj @qk @qj @t j=1 k=1 6 j=1 {z } | {z } 6| 6 n X X 4 @! r i @! ri @! r i @! ri =

@qj

@qk

=

qj qk

j;k=1

3

7 7 7 7 ! X @! ri @! r i @! r i7 @! ri 7 qk + + 7 @t @qk | @t {z @t }7 k=1 7 {z } | 7 @! ri 2 = @t 7 X ! ! 5 @ri @ri = q @t

@qk

k=1

1X @! ri = mi 2 i=1 @t N

2

+

@qj

@t

qj

j=1

k

" N X X j=1

mi

i=1

@! ri @t

@! ri @qj

#

" N 1 X X + mi 2 j;k=1 i=1

@! ri @qj

@! ri @qk

qj qk

#

o, T = ao +

X j=1

aj q j +

X

ajk q j q k = To + T1 + T2

(2.81)

j;k=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 120

2.8. ALGUNAS MAGNITUDES FÍSICAS EN COORDENADAS GENERALIZADAS donde ao , aj y ajk son funciones definidas de las ! r i y t y, por lo tanto, de las qi y t dadas por, 8 N X 2 > > @! ri 1 > m a = > i o 2 @t > > > i=1 > > N < X ! ! con j; k = 1; 2; 3; :::; (2.82) aj = mi @@tr i @@qrji > > i=1 > > N > X > ! ! > 1 > > mi @@qrji @@qrki : ajk = 2 i=1

Si el sistema es natural se anulan todos los términos de (2.81) menos el último resultando, T =

X

(2.83)

ajk q j q k

j;k=1

y, por lo tanto, T será siempre una forma cuadrática homogénea respecto a las velocidades generalizadas7 . En efecto, si se halla la derivada parcial de (2.83) con respecto a las velocidades generalizadas q r resulta, ! X X @ qj @ qk @T @ = ajk qj qk = ajk q k + ajk q j @ qr @ qr @ qr @ qr j;k=1 j;k=1 | {z } ajk no depende de las q r , ver (2.82).

=

X

ajk

jr q k

+ ajk q j

kr

j;k=1

=

X

ark q k +

X

ajr q j , con r = 1; 2; 3; :::;

(2.84)

j=1

k=1

multiplicando ahora por q r y sumando sobre r se obtiene, X r=1

qr

@T

=

@ qr

X

ark q k q r +

X

ajr q j q r

(2.85)

j;r=1

k;r=1

y como en este caso todos los índices son mudos (ya que todos suman), los dos términos de la derecha son idénticos entonces, X r=1

7

q r @T = 2 @ qr

X

ajl q j q r = 2T

(2.86)

j;r=1

El subíndice de T en (2.80) indica el grado de homogeneidad de la función en su dependencia con respecto a las velocidades generalizadas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 121

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS Este importante resultado es un caso especial del Teorema de Euler (ver apéndice B), el cual establece que,

Si f (yi ) es una Función Homogénea de las yi que es de grado p, es decir, f ( y1 ; y2 ; :::; yn ) = siendo

p

f (y1 ; y2 ; :::; yn )

(2.87)

6= 0, entonces, n X j=1

yj

@f (yi ) = pf (yi ) , con i = 1; 2; 3; : : : ; n @yj

(2.88)

Al comparar (2.85) con (2.87) finalmente se verifica que, para el caso de un sistema natural, T será siempre una forma cuadrática (p = 2) homogénea respecto a las velocidades generalizadas.

2.9.

Forma general en coordenadas generalizadas de las ligaduras holónomas, no-holónomas y semi-holónomas

En vista de que las ligaduras tienen un rol importantísimo en el estudio de los sistemas mecánicos y de que en los capítulos 5 en adelante, cuando se estudie la Mecánica de Lagrange y la Mecánica de Hamilton, estarán involucradas en las ecuaciones de movimiento escritas en coordenadas generalizadas; se procederá ahora a reescribir en estas coordenadas las formas generales de las ligaduras holónomas, no holónomas y semi-holónomas ya estudiadas en la sección 2.4.3.

2.9.1.

Ligaduras holónomas en coordenadas generalizadas

La forma general de las ligaduras holónomas (2.13) se puede escribir en coordenadas generalizadas como, (h)

fl

(qi ; t) = 0, i = 1; 2; 3; :::; ; l = 1; 2; 3; :::; K (h)

(2.89)

En el particular caso de las ligaduras holónomas en forma diferencial (2.35) y en forma de velocidad (2.36) se tiene que, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 122

2.9. FORMA GENERAL EN COORDENADAS GENERALIZADAS DE LAS LIGADURAS HOLÓNOMAS, NO-HOLÓNOMAS Y SEMI-HOLÓNOMAS

(hd)

fl

(h)

(qi ; t) = dfl

(qi ; t) =

P

(h)

@fl

j=1

(qi ;t) dqj @qj

(h)

+

@fl

(qi ;t) dt @t

= 0, l = 1; 2; 3; :::; K (h)

(2.90)

que representan las restricciones sobre los desplazamientos dqj y,

(hD)

fl

(qi ; t) =

d (h) f dt l

(qi ; t) =

P

j=1

(h)

(h)

@fl

(qi ;t) qj @qj

+

@fl

(qi ;t) @t

= 0, l = 1; 2; 3; :::; K (h)

(2.91)

que representan las restricciones sobre las velocidades generalizadas q j . (h)

En el caso de ligaduras holónomas esclerónomas fl 8 P (hd) (h) > > < fl (qi ) = dfl (qi ) =

j=1

(hD) > > (qi ) = : fl

2.9.2.

d (h) f dt l

(qi ) =

(h)

@fl (qi ) dqj @qj

P

j=1

(qi ) = 0 se tiene que,

=0 , l = 1; 2; 3; :::; K (h)

(h)

@fl (qi ) qj @qj

(2.92)

=0

Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en coordenadas generalizadas

Por otro lado, las ligaduras (2.39) se pueden escribir como,

fl

8 (nh) K > > > < si son holónomas qi ; q i ; t = 0, i = 1; 2; 3; :::; ; l = 1; 2; 3; :::; K = > K (h) > > : si son no-holónomas

(2.93)

sean no-holónomas o semi-holónomas. Considérese ahora el caso particular de las ligaduras (2.41). Para escribir esta expresión en función de las nuevas coordenadas qi se sustituye en ellas la expresión (2.63) SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 123

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS para los desplazamientos d! r i resultando, (d) fl

qi ; q i ; t

! ! @ r j dqi + dt + Bl (! r i ; t) dt = 0 = Alj (! r i ; t) @q @t i j=1 i=1 " N # " N # ! ! X X X @ r @ r j j = dqi + + Bl (! r i ; t) dt = 0 Alj (! r i ; t) Alj (! r i ; t) @q @t i i=1 j=1 j=1 X @! rj

N X

=

X

(2.94)

Ali (qi ; t) dqi + Bl (qi ; t) dt = 0

i=1

donde, 8 N P @! r > > A (q ; t) = Alj (! r i ; t) @qij li i < j=1

N P > @! r > : Bl (qi ; t) = Alj (! r i ; t) @t j + Bl (! r i ; t)

, i = 1; 2; 3; : : : ; N ; l = 1; 2; 3; :::; K

(2.95)

j=1

que son las ecuaciones de transformación para los coeficientes Alj y Bl desde las viejas coordenadas ! r i a las nuevas coordenadas qi . De forma análoga se procede con las ligaduras en la forma de velocidades (2.42) obteniéndose estas mismas ecuaciones de transformación. Por lo tanto, en general, se puede escribir ahora,

8 < f (nhd) qi ; q i ; t l : f (shd) qi ; q i ; t l

=

P

j=1

Alj (qi ; t) dqj + Bl (qi ; t) dt = 0, l = 1; 2; 3; :::; K =

(

K (nh) K (h) (2.96)

que representan las restricciones lineales sobre los desplazamientos dqj y, 8 < f (nhD) qi ; q i ; t l : f (shD) qi ; q i ; t l

=

P

j=1

Alj (qi ; t) q j + Bl (qi ; t) = 0, l = 1; 2; 3; :::; K =

(

K (nh) K (h)

(2.97)

que representan las restricciones lineales sobre las velocidades generalizadas q j . (nh)

En el caso de ligaduras no-holónomas esclerónomas fl

qi ; q i = 0 y semi-holónomas

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 124

2.10. UN MÉTODO PARA DETERMINAR SI UNA LIGADURA EN FORMA DE DIFERENCIAL O DE VELOCIDAD ES HOLÓNOMA O NO-HOLÓNOMA (sh)

esclerónomas fl qi ; q i = 0 se tiene que, 8 8 ( > < f (nhd) qi ; q i > P K (nh) l > > = A (q ) dq = 0, l = 1; 2; 3; :::; K = > lj i j > < : f (shd) qi ; q i K (h) j=1 8 l ( > < f (nhD) qi ; q i > P K (nh) l > > = Alj (qi ) q j = 0, l = 1; 2; 3; :::; K = > > : : f (shD) qi ; q i K (h) j=1 l

2.10.

(2.98)

Un método para determinar si una ligadura en forma de diferencial o de velocidad es holónoma o noholónoma

Para que las ligaduras del tipo (2.96) o (2.96) puedan ser integrables, es decir, para que puedan representar ligaduras semi-holónomas, deben constituir una diferencial exacta o una diferencial inexacta pero que se pueda convertir en exacta mediante el uso de un factor integrante. Supóngase que de todas las K (nh) ligaduras en (2.96), la l-ésima es semi-holónoma. Por lo tanto, al ser integrada debe ser posible encontrar una función fl del tipo (2.89) cuyo diferencial total viene dado por, (h)

dfl

(qk ; t) =

X @f (h) (qk ; t) l

@qi

i=1

(h)

dqi +

@fl

(qk ; t) dt = 0 @t

(2.99)

El caso más general de (2.99) se da cuando es dividida por un factor integrante Il (qk ), es decir, @f

(h)

(qk ;t)

@f

(h)

(q ;t)

k l dfl (qk ; t) X l @qi @t = dqi + dt = 0 Il (qk ) I (q ) I (q ) l k l k i=1

(h)

(2.100)

entonces, al comparar (2.96) con (2.100) resulta, (h)

@fl

(qk ;t) @qi

Il (qk )

= Ali (qk ; t)

(h)

@fl

(qk ;t) @t

Il (qk )

= Bl (qk ; t)

o, 8 < :

(h)

@fl @qi (h) @fl @t

= Il Ali

(2.101)

= Il Bl

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Pág.: 125

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS es decir, para que una ligadura dada por (2.96) sea semi-holónoma, deben existir una (h) función fl (qk ; t) y un factor integrante Il (qk ) que satisfagan las ecuaciones (2.101) a la vez. De la integración de las ecuaciones (2.101), encontrado ya el factor integrante Il (qk ) e identificadas las funciones Ali (qk ; t), Bl (qk ; t) a partir de las ligaduras dadas, es posible hallar la función fl (qk ; t). Para verificar lo anterior, se procede a derivar parcialmente las ecuaciones (2.101) con respecto a las coordenadas generalizadas, 8 (h) @ 2 fl (qk ;t) > > = @[email protected] j [Il (qk ) Ali (qk ; t)] > @qj @qi > < 2 (h) @ fl (qk ; t) (2.102) = @[email protected] i [Il (qk ) Alj (qk ; t)] , con i 6= j > > @qi @qj > > {z } : | Permutando

8 > > > > <

(h)

@ 2 fl (qk ;t) = @[email protected] j [Il (qk ) Bl (qk ; t)] @qj @t (h) @ 2 fl (qk ; t) @ = @t [Il (qk ) Alj (qk ; t)] @[email protected]

> > > > : |

{z

Permutando

}

, con i 6= j

(2.103)

donde se ha requerido que i 6= j para garantizar que las derivadas sean en pares de coordenadas diferentes. De las anteriores expresiones, al igualar las derivadas parciales cruzadas en cada caso, resultan las siguientes expresiones, (

@ @qj @ @qj

(Il Ali ) = (Il Bl ) =

@ (Il Alj ) @qi @ (Il Alj ) @t

, con i 6= j

(2.104)

concluyéndose de aquí que, si existe un factor integrante Il (qk ) tal que se satisfagan estas relaciones, entonces la l-ésima ligadura es semi-holónoma. Después de indentificadas las funciones Ali (qk ; t) y Bl (qk ; t) a partir de las ligaduras dadas, las ecuaciones (2.104) ayudan a encontrar el factor integrante Il (qk ). Al identificar este factor, se sustituye en las ecuaciones (2.101) (h) pudiéndose encontrar así las función fl (qk ; t) mediante su integración. Este procedimiento puede tornarse difícil para sistemas mecánicos cuyos grados de libertad son superiores a 3 ya que no existen directrices generales para encontrar el SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.10. UN MÉTODO PARA DETERMINAR SI UNA LIGADURA EN FORMA DE DIFERENCIAL O DE VELOCIDAD ES HOLÓNOMA O NO-HOLÓNOMA factor integrante Il (qk ). Este factor suele encontrarse por inspección en algunos casos. Si el único factor integrante posible es I = 0, entonces la ligadura correspondiente es no-holónoma por no poderse integrar. De existir un factor integrante I 6= 0 entonces la ligadura es semi-holónoma y, por lo tanto, es posible integrarla. En resumen, dada una ligadura del tipo (2.96) o equivalentemente del tipo (2.97) se pueden llevar a cabo los pasos siguientes para determinar si es una ligadura semiholónoma e integrarla: 1. Se determina el número de coordenadas generalizadas qi y el número K de ligaduras presentes de este tipo. 2. Con los datos del paso 1 se desarrolla la sumatoria presente en (2.96) o (2.97) y se compara con las ligaduras dadas, obteniéndose así los coeficientes Ali (qk ; t) y Bl (qk ; t). 3. Se busca el factor integrante Il (qi ) de tal manera que se cumplan las condiciones dadas por (2.104). 4. Por último, si Il (qi ) 6= 0, para integrar la ligadura se usan las ecuaciones (2.101). .............................................................................................. EJEMPLO 2.20 generalizadas

Supóngase que se tiene un sistema mecánico de coordenadas y ' en el cual está presente la ligadura diferencial, f ( ; ') = 5'd + 15

2 '

d' = 0

Determine si es semi-holónoma o no-holónoma. Si lo es semi-holónoma, intégrela. SOLUCION: Se determina el número de coordenadas y de ligaduras presentes: en este caso hay = 2 coordenadas (q1 ; q2 ) = ( ; ') de manera que i = 1; 2 y una ligadura K = 1 (no se ha utilizado la etiqueta h o sh en K porque aún no se sabe si la ligadura es integrable o no) por lo que l = 1. Se encuentran los coeficientes Ali y Bl : al desarrollar (2.96) hasta i = 2 con l = 1 resulta, 2 X A1i dqi + B1 dt = 0 ) A11 dq1 + A12 dq2 + B1 dt = 0 (2.105) i=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 127

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS Ahora, al comparar esta expresión con la ligadura diferencial dada resulta, 8 > < A11 = 5' 2 A12 = 15 ' > : B1 = 0

(2.106)

Se busca el factor integrante Il (qi ): en el caso de dos variables, de la primera de las condiciones (2.104) se puede escribir que, @ @ (I1 A11 ) = (I1 A12 ) @q2 @q1 o,

@ @ (I1 A11 ) = (I1 A12 ) (2.107) @' @ La segunda de las condiciones (2.104) no es considerada ya que no existe parte temporal en la ligadura dada. La condición (2.107) se cumple para un factor integrante, I1 = '2

(2.108)

En efecto, al sustituir este factor y (2.106) en (2.107) resulta, @ @'

'2 (5') 15'2

@ '2 @ = 15'2 =

15

2 '

verificándose así la igualdad. Esto garantiza que la ligadura dada es integrable y, por lo tanto, semi-holónoma. Se integra la ligadura: de (2.101) para i; j = 1; 2 se tiene que, ( @f1 1 = @f = I1 A11 = ('2 ) (5') = 5'3 @q1 @ @f1 @q2

=

@f1 @'

= I1 A12 = ('2 ) 15

2 '

= 15 '2

2'

que al ser integradas resultan en, ( f1 = 5'3 + C1 (') + c1 f1 = 5 '3 '2 + C2 ( ) + c2

(2.109)

(2.110)

Por último, al comparar las expresiones (2.110) se obtiene, '2

C1 (') = C2 ( ) = 0

c1 = c2 = c resultando finalmente, f1 ( ; ') = 5 '3

'2 + c = 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.111) Pág.: 128

2.10. UN MÉTODO PARA DETERMINAR SI UNA LIGADURA EN FORMA DE DIFERENCIAL O DE VELOCIDAD ES HOLÓNOMA O NO-HOLÓNOMA .............................................................................................. EJEMPLO 2.21 generalizadas

y

Supóngase que se tiene un sistema mecánico de coordenadas en el cual está presente la ligadura diferencial, f( ; )= 1+

2

Sen

2

d

d =0

Determine si es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. SOLUCION: Se determina el número de coordenadas y de ligaduras presentes: en este caso hay = 2 coordenadas (q1 ; q2 ) = ( ; ) de manera que i = 1; 2 y una ligadura K = 1 (no se ha utilizado la etiqueta h o sh en K porque aún no se sabe si la ligadura es integrable o no) por lo que l = 1. Se encuentran los coeficientes Ali y Bl : al desarrollar (2.96) hasta i = 2 con l = 1 resulta, 2 X A1i dqi + B1 dt = 0 ) A11 dq1 + A12 dq2 + B1 dt = 0 (2.112) i=1

Ahora, al comparar esta expresión con la ligadura diferencial dada resulta, 8 2 > < A11 = 1 + Sen A12 = 2 > : B1 = 0

(2.113)

Se busca el factor integrante Il (qi ): en el caso de dos variables, de la primera de las condiciones (2.104) se puede escribir que, @ @ (I1 A11 ) = (I1 A12 ) @q2 @q1 o,

@ @ (I1 A11 ) = (I1 A12 ) (2.114) @ @ La segunda de las condiciones (2.104) no es considerada ya que no existe parte temporal en la ligadura dada. La condición (2.114) se cumple para un factor integrante, I1 =

1

(2.115)

2

En efecto, al sustituir este factor y (2.113) en (2.114) resulta, @ @

1 2

1+

2

Sen

= 2 3

=

@ @

1

2

2

2 3

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 129

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS verificándose así la igualdad. Esto garantiza que la ligadura dada es integrable y, por lo tanto, semi-holónoma. Se integra la ligadura: de (2.101) para i; j = 1; 2 se tiene que, ( @f1 1 = @f = I1 A11 = 12 (1 + 2 Sen ) = 12 + Sen @q1 @ @f1 2 1 = @f = 23 = I1 A12 = 12 @q2 @ que al ser integradas resultan en, ( f1 = f1 =

2 2

Cos + C1 ( ) + c1 + C2 ( ) + c2

(2.116)

(2.117)

Por último, al comparar las expresiones (2.117) se obtiene, C1 ( ) = 0 C2 ( ) =

Cos

c1 = c2 = c resultando finalmente, f1 ( ; ) =

2

Cos

+c=0

(2.118)

.............................................................................................. EJEMPLO 2.22 Muestre que la ligadura, f q1 ; q2 ; q 1 ; q 2 ; q 3

=

`2 + r Cos q1 q 1 + `2 + r Cos q2 q 2 + a + 2 r2 + `2 +2`r (Cos q1 + Cos q2 )] q 3 = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1 , q2 y q3 es no-holónoma. SOLUCION: Se determina el número de coordenadas y de ligaduras presentes: en este caso hay = 3 coordenadas q1 ; q2 ; q3 de manera que i = 1; 2; 3 y una ligadura K (nh) = 1 no holónoma por lo que l = 1. Se encuentran los coeficientes Ali y Bl : al desarrollar (2.97) hasta i = 3 con l = 1 resulta, 3 X A1i q i + B1 = 0 ) A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + B1 dt = 0 (2.119) i=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 130

2.10. UN MÉTODO PARA DETERMINAR SI UNA LIGADURA EN FORMA DE DIFERENCIAL O DE VELOCIDAD ES HOLÓNOMA O NO-HOLÓNOMA Ahora, al comparar esta expresión con la ligadura dada resulta, 8 A11 = `2 + r Cos q1 > > > < A = `2 + r Cos q 12 2 2 > A13 = a + 2 (r + `2 ) + 2`r (Cos q1 + Cos q2 ) > > : B1 = 0

(2.120)

Se busca el factor integrante Il (qi ): en el caso de tres variables, de la primera de las condiciones (2.104) se puede escribir que, @ @ (I1 A11 ) = (I1 A12 ) (2.121) @q2 @q1 @ @ (I1 A11 ) = (I1 A13 ) (2.122) @q3 @q1 @ @ (I1 A13 ) = (I1 A12 ) (2.123) @q2 @q3 Si realmente la ligadura dada es no-holónoma, el único factor integrante posible sería I1 = 0. En efecto, de las expresiones (2.121) a (2.123) debido a la dependencia funcional de cada una de las Aij se obtiene, @I1 @I1 = A12 @q2 @q1 @I1 @I1 @A13 A11 = A13 + I1 @q3 @q1 @q1 @I1 @I1 @A13 A12 = A13 + I1 @q3 @q2 @q2 entonces al sustituir (2.120) en (2.124) a (2.126) resulta, @I1 @I1 `2 + r Cos q1 = `2 + r Cos q2 @q2 @q1 @I1 `2 + r Cos q1 = a + 2 r2 + `2 + 2`r (Cos q1 + Cos q2 ) @q3 @I1 = a + 2 r2 + `2 + 2`r (Cos q1 + Cos q2 ) `2 + r Cos q2 @q3

(2.124)

A11

(2.125) (2.126)

(2.127) @I1 @q1 @I1 @q2

2`r Sen q1 I1 (2.128) 2`r Sen q2 I1 (2.129)

@I1 Finalmente, si se despeja @q de (2.129), luego se sustituye en (2.128) y de aquí se 3 @I1 despeja @q2 para sustituirla en (2.127) resulta,

2`r Sen q2 `2 + r Cos q1 I1 =

2`r Sen q1 `2 + r Cos q2 I1

(2.130)

siendo así, I1 = 0

(2.131)

el único valor posible para el factor integrante, mostrándose que la ligadura dada es no-holónoma. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 131

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

2.11.

Ejemplos de determinación de coordenadas generalizadas para algunos sistemas

En esta sección se presentarán ejemplos donde se encontrará un conjunto de coordenadas generalizadas y sus ecuaciones de transformación para algunos sistemas de partículas dados. Es de hacer notar que sólo la ejercitación intensa y contínua es la que permitirá, al novicio, adquirir destrezas e intuición a la hora de escoger las coordenadas generalizadas óptimas para una situación en particular. .............................................................................................. EJEMPLO 2.23 La figura 2.31 muestra un sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un hilo de masa despreciable y de longitud constante `. La masa m1 se mueve a lo largo del eje x con una velocidad constante ! v impuesta, mientras que m2 permanece en el mismo plano vertical. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas o ecuaciones de transformación. Suponer que en el instante inicial to = 0 la posición de m1 es x = xo .

Figura (2.31): Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un hilo de masa despreciable y de longitud constante `. La masa m1 se mueve a lo largo del eje x con una velocidad constante ! v impuesta.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 132

2.11. EJEMPLOS DE DETERMINACIÓN DE COORDENADAS GENERALIZADAS PARA ALGUNOS SISTEMAS SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas. (a) Ligaduras: las coordenadas de las masas presentes son, (

m1 ! (x1 ; y1 ; z1 ) m2 ! (x2 ; y2 ; z2 )

(2.132)

donde, (2.133)

x1 = xo + vt

por lo descrito en el enunciado del ejemplo. El sistema tiene 3N = 3 (2) = 6 coordenadas Cartesianas correspondientes a los vectores de posición ! r1 y ! r 2 , existiendo (h) únicamente las siguientes K = 5 ligaduras holónomas (es fácil encontrarlas a partir de un análisis geométrico de la figura dada), 8 (h) x1 = xo + vt ) f1 = x1 xo vt = 0, que pre-determina el > > > > > movimiento de m1 . > > ( > > (h) > y1 = 0 ) f2 = y1 = 0 > > , fijan a m1 sobre el eje x. > (h) < z1 = 0 ) f3 = z1 = 0 (h) > z2 = 0 ) f4 = z2 = 0, fija a m2 sobre el plano xy. > > > (h) > > (x2 x1 )2 + y22 = `2 ) f5 = (x2 x1 )2 + y22 `2 = 0, acopla > > > > > el movimiento de m2 > > : a m1 y es la trayectoria descrita por m2 con respecto a m1 .

(2.134)

(h)

por lo que el sistema dado es holónomo reónomo, pues la ligadura f1 plícitamente del tiempo.

depende ex-

(b) Grados de Libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: como existen K (h) = 5 ligaduras holónomas entonces, a partir de (2.14), el número de grados de liberdad es, s = 3N

K (h) = 3 (2)

5=1

(2.135)

e = 3N

K (h) = 3 (2)

5=1

(2.136)

y a partir de (2.56),

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

(c) Coordenadas Generalizadas y ecuaciones de transformación: del resultado (2.109) se deduce que debe existir 1 coordenada generalizada capaz de describir por completo la configuración del sistema. Es posible tomar (se infiere de la figura 2.31) SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 133

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS como coordenada generalizada propia al águlo q1 = de manera que, 8 > > x1 = xo + vt > > > y1 = 0 > > > < z =0 1 > x2 = x1 + ` Sen = xo + vt + ` Sen > > > > > y2 = ` Cos > > : z2 = 0

(2.137)

que son las transformaciones ! ri=! r i (q1 ), con i = 1. Se observa que la expresión de x2 (h) depende explícitamente del tiempo, esto es debido al ligadura móvil f1 (movimiento impuesto) de m1 . Asimismo, es posible considerar que el sistema de coordenadas generalizadas para definir la posición de m2 es móvil, ya que el origen de las coordenadas polares está en m1 . Las transformaciones (2.110) deben satisfacer las ligaduras holónomas en (2.107). En efecto, la segunda, tercera y cuarta son satisfechas ya que en (2.110) y1 = z1 = z2 = 0. La primera y la quinta también son satisfechas, (h)

f1

= 0

0 = (xo + vt)

xo

vt

0 = 0 (h)

f5

= 0

0 = [(xo + vt + ` Sen )

(xo + vt)]2 + ( ` Cos )2

`2

0 = 0 .............................................................................................. EJEMPLO 2.24 La figura 2.32 muestra un péndulo doble formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas entre sí por una cuerda de masa despreciable y de longitud constante `2 , estando m1 a su vez unida a un punto fijo O por medio de otra cuerda de masa despreciable y longitud `1 . El conjunto se mueve en un plano vertical. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas o ecuaciones de transformación. SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 134

2.11. EJEMPLOS DE DETERMINACIÓN DE COORDENADAS GENERALIZADAS PARA ALGUNOS SISTEMAS

Figura (2.32): Péndulo doble formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas entre sí por una cuerda de masa despreciable y de longitud constante `2 , estando m1 a su vez unida a un punto fijo O por medio de otra cuerda de masa despreciable y longitud `1 .

(a) Ligaduras: las coordenadas de las masas presentes son, ( m1 ! (x1 ; y1 ; z1 ) m2 ! (x2 ; y2 ; z2 )

(2.138)

El sistema tiene 3N = 3 (2) = 6 coordenadas Cartesianas correspondientes a los vectores de posición ! r1y! r 2 , existiendo únicamente las siguientes K (h) = 4 ligaduras holónomas (es fácil encontrarlas a partir de un análisis geométrico de la figura dada), 8 (h) > > z1 = 0 ) f1 = z1 = 0, fija a m1 sobre el plano xy. > > (h) > > z2 = 0 ) f2 = z2 = 0, fija a m2 sobre el plano xy. > > > (h) 2 2 2 2 2 2 > > < x1 + y1 = `1 ) f3 = x1 + y1 `1 = 0, acopla a m1 con el punto O, (2.139) manteniendo la distancia `1 de ésta al punto 0 constante. > > (h) 2 2 2 2 2 2 > `2 = 0, (x2 x1 ) + (y2 y1 ) = `2 ) f4 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) > > > > > que acopla a m1 con m2 , manteniendo la distancia `2 entre ellas > > > : constante.

por lo que el sistema dado es holónomo esclerónomo.

(b) Grados de Libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: como existen K (h) = 4 ligaduras holónomas entonces, a partir de (2.14), el número de grados de liberdad es, s = 3N K (h) = 3 (2) 4 = 2 (2.140) y a partir de (2.56), e = 3N

K (h) = 3 (2)

4=2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.141) Pág.: 135

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

(c) Coordenadas Generalizadas y ecuaciones de transformación: del resultado (2.141) se deduce que deben existir 2 coordenadas generalizadas capaces de describir por completo la configuración del sistema. Es posible tomar como coordenadas generalizadas propias q1 = x1 y q2 = x2 de manera que, 8 > x1 = x1 > > p > > > `21 y1 = > > > < z1 = 0 x2 = x2 > > q > > > > y = `22 > 2 > > : z2 = 0

x21 (2.142) p

x1 )2

(x2

`21

x21

que son las transformaciones ! ri=! r i (q1 ; q2 ), con i = 1; 2. Las transformaciones (2.142) deben satisfacer las ligaduras holónomas en (2.139). En efecto, las primeras dos son satisfechas automáticamente ya que en (2.142) z1 = z2 = 0. La tercera y cuarta también son satisfechas, (h)

f3

= 0

0 =

+

q

(x2

x1 )2

x21

0 = 0

(h)

f4

= 0

0 = (x2 0 = 0

2

x1 ) +

q

`22

2

`21

`21

x21

q

`21

x21

q

2

`21

x21

`22

En el caso de usar coordenadas esféricas, se tendrían las siguientes K (h) = 4 ligaduras holónomas, 8 (h) > = 1 2 = 0, 1 = 2 ) f1 > > > (h) > > < 2 = 2 ) f1 = 2 2 = 0, (h) (2.143) r1 = `1 ) f1 = r1 `1 = 0, fija a m sobre el plano yz. > > (h) ! ! ! ! > jr2 r 1 j = `2 ) f2 = j r 2 r 1 j `2 = 0, mantiene la > > > : masa m a una distancia ` constante respecto del origen 0.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 136

2.11. EJEMPLOS DE DETERMINACIÓN DE COORDENADAS GENERALIZADAS PARA ALGUNOS SISTEMAS Ahora es posible tomar como coordenadas generalizadas propias q1 = de manera que, 8 > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > :

x1 = r1 Sen 1 Cos '1 = `1 Sen 2 Cos 32 + 1 = `1 Sen 1 y1 = r1 Sen 1 Sen '1 = `1 Sen 2 Sen 32 + 1 = `1 Cos 1 z1 = r1 Cos 1 = r1 Cos 2 = 0 x2 = x1 + x e2 = `1 Sen 1 + re2 Sen 2 Cos '2 = `1 Sen 1 + `2 Sen 2 Cos 32 + 2 = `1 Sen 1 + `2 Sen 2 y2 = y1 + ye2 = `1 Cos 1 + re2 Sen 2 Sen '2 = `1 Cos 1 + `2 Sen 2 Sen 32 + `1 Cos 1 `2 Cos 2 z2 = z1 + ze2 = 0 + re2 Cos 2 = `2 Cos 2 = 0

1

y q2 =

2

(2.144) 2

f r 2 (con donde x e2 , ye2 y ze2 son las coordenadas de m2 tomando como origen m1 y ! módulo re2 = `2 ) su vector de posición con respecto al mismo origen. Las coordenadas x e2 , ye2 y ze2 están desplazadas x1 , y1 y z1 respectivamente con respecto al origen 0. ..............................................................................................

EJEMPLO 2.25 En la figura 2.33 se muestra un sistema formado por dos partículas de masas m1 y m2 , unidas por una barra rígida de masa despreciable y de longitud `. El conjunto se mueve sobre un plano horizontal liso, existiendo en m1 un pequeño cuchillo que obliga a que ese punto se mueva según la dirección de la varilla. Determinar (a) las ligaduras presentes en el sistema, (b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas o ecuaciones de transformación. SOLUCION: (a) Ligaduras: las coordenadas de las masas presentes son, (

m1 ! (x1 ; y1 ; z1 ) m2 ! (x2 ; y2 ; z2 )

(2.145)

El sistema tiene 3N = 3 (2) = 6 coordenadas Cartesianas correspondientes a los vectores de posición ! r1y! r 2 . Sin embargo, existen las siguientes K (h) = 3 ligaduras holónomas y K (nh) = 1 ligadura no-holónoma (es fácil encontrarlas a partir de un análisis SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 137

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

Figura (2.33): Sistema formado por dos partículas de masas m1 y m2 , unidas por una barra rígida de masa despreciable y de longitud constante `.

geométrico de la figura dada), 8 (h) z1 = 0 ) f1 = z1 = 0, fija a m1 sobre el plano xy. > > > (h) > > z2 = 0 ) f2 = z2 = 0, fija a m2 sobre el plano xy. > > > (h) < (x x1 )2 + (y2 y1 )2 = `2 ) f3 = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 `2 = 0, que 2 > acopla a m1 con m2 . > > ! ! ! > (nh) ! > > v 1 N = 0 ) f4 = ! v 1 N = 0, con N un versor normal a la barra. Esta > > : obliga a que la velocidad ! v 1 de la masa m1 esté a lo largo de la barra.

(2.146)

por lo que el sistema dado es no-holónomo esclerónomo.

Póngase atención en la ligadura f4 . La velocidad ! v 1 debe tener la misma dirección ! que la barra, por lo tanto, un vector perpendicular a v 1 también lo será a la recta que contiene a la barra. La ecuación de dicha recta viene dada por, |

(2.147)

(y2 y1 )x + (x2 x1 )y + x1 y2 x2 y1 = 0 | {z } {z } | {z } A

C

B

Se sabe, a partir de la Geometría Analítica, que un vector perpendicular a la recta ! Ax + By + C = 0 viene dado por N = Ab ex + Bb ey . En este caso se tiene que, ! N = por lo tanto, (nh)

f4

=! v1

(y2

y1 ) ebx + (x2

! N = x1 ebx + y 1 eby

[ (y2

x1 ) eby y1 ) ebx + (x2

(2.148)

x1 ) eby ] = 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 138

2.11. EJEMPLOS DE DETERMINACIÓN DE COORDENADAS GENERALIZADAS PARA ALGUNOS SISTEMAS o, (nh)

f4

=

x1 (y2

y1 ) + y 1 (x2

x1 ) = 0

(2.149)

que es una ligadura no-holónoma ya que no es integrable. Más adelante, en la sección 2.9, se estudiará la integrabilidad de este tipo de ligaduras. (b) Grados de Libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: como existen K (h) = 3 ligaduras holónomas y K (nh) = 1 ligadura no-holónoma entonces, a partir de (2.40), el número de grados de liberdad es, K (h)

s = 3N

K (nh) = 3 (2)

3

1=2

(2.150)

y a partir de (2.56), K (h) = 3 (2)

e = 3N

3=3

(2.151)

siendo e > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo.

(c) Coordenadas Generalizadas y ecuaciones de transformación: del resultado (2.151) se deduce que deben existir 3 coordenadas generalizadas capaces de describir por completo la configuración del sistema, debido a que la ligadura no-holónoma (nh) f4 presente no reduce el número de coordenadas mínimas necesarias. Podrían escogerse coordenadas generalizadas que eliminen las ligaduras holónomas pero no las no-holónomas. Es posible escoger como coordenadas generalizadas las del centro de masa q1 = xcm , q2 = ycm y el ángulo q3 = formado por la barra respecto al eje x, un total de tres coordenadas generalizadas. Es fácil mostrar, a partir de la figura 2.33, que las escuaciones de transformación vienen dadas por, 8 x1 = xcm 2` Cos > > > > > y1 = ycm 2` Sen > > > < z =0 1 (2.152) ` > x 2 = xcm + 2 Cos > > > > > y2 = ycm + 2` Sen > > : z2 = 0 que son las transformaciones ! r =! r (q ; q ; q ), con i = 1; 2. En estas nuevas coordei

i

1

2

3

nadas la ligadura no-holónoma (2.149) se puede escribir como, (nh)

f4

=

xcm Sen + y cm Cos

` =0 2

(2.153)

De esta forma, el sistema queda definido por tres coordenadas generalizadas q1 = xcm , q2 = ycm y q3 = sujetas a la ecuación de ligadura no-holónoma (2.153). A pesar de SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS que el sistema dado tiene 2 grados de libertad, debido a la naturaleza de esta ligadura, no es posible definir explícitamente un conjunto de dos coordenadas generalizadas propias. Las transformaciones (2.152) deben satisfacer las ligaduras holónomas en (2.146). En efecto, las primeras dos son satisfechas automáticamente ya que en (2.152) z1 = z2 = 0. La tercera también es satisfecha, (h)

f3

= 0

0 =

xcm + ycm

` Cos 2 ` Sen 2

xcm

` Cos 2

2

+

ycm +

` Sen 2

2

`2

0 = 0 .............................................................................................. EJEMPLO 2.26 La figura 2.34 muestra un sistema formado por una varilla (de masa despreciable) lisa y fija en la que está ensartada una cuenta de masa m que se mueve libremente por ella. Suponiendo que la posición de la cuenta viene dada por, y = A Sen (!t) Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas o ecuaciones de transformación. SOLUCION: (a) Ligaduras: las coordenadas de la masa presente son, m ! (x; y; z)

(2.154)

El sistema tiene 3N = 3 (1) = 3 coordenadas Cartesianas correspondientes al vector de posición ! r , existiendo únicamente las siguientes K (h) = 3 ligaduras holónomas, 8 ( (h) > x = 0 ) f1 = x = 0 > > , que fijan el movimiento de m sobre > (h) > > z = 0 ) f2 = z = 0 < (2.155) el eje y. > > (h) > y = A Sen (!t) ) f3 = y A Sen (!t) = 0, debida al movimiento > > > : pre-establecido de m.

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2.11. EJEMPLOS DE DETERMINACIÓN DE COORDENADAS GENERALIZADAS PARA ALGUNOS SISTEMAS

Figura (2.34): Sistema formado por una varilla lisa en la cuale está ensartada una cuenta de masa m. La cuenta realiza un movimiento pre-establecido.

(h)

por lo que el sistema dado es holónomo esclerónomo (f3 del tiempo t).

depende explícitamente

(b) Grados de Libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces, el número de grados de liberdad s es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

3=0

(2.156)

y debido a este resultado en el sistema dado no existe dinámica alguna, sólo cinemática. El número mínimo e de coordenadas necesarias para fijar la configuración del sistema es, e = 3N K (h) = 3 (1) 3 = 0 (2.157) siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

(c) Coordenadas Generalizadas y ecuaciones de transformación: del resultado (2.157) se deduce que no existen coordenadas generalizadas para este sistema. Entonces, 8 > < x=0 (2.158) y = A Sen (!t) > : z=0 observándose, efectivamente, que no aparece coordenada alguna del lado derecho en (2.158). Recuérdese que, en Mecánica Clásica, el tiempo t no es considerado como coordenada. Las expresiones (2.158) deben satisfacer las ligaduras holónomas en (2.155). En efec(h) (h) (h) to, f1 y f2 son satisfechas ya que en (2.158) x = z = 0. La f3 también es satisfecha, A Sen (!t)

A Sen (!t) = 0 0 = 0

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS ..............................................................................................

2.12.

Desplazamiento real y virtual

El objetivo de la presente sección es la de establecer las definiciones de desplazamiento virtual y trabajo virtual de la forma más clara posible. Ambas definiciones constituyen piezas claves para establecer, más adelante, el Principio de los Trabajos Virtuales y el Principio de D’Alembert. El Principio de D’Alembert va a ser el punto de partida para formular la Mecánica de Lagrange a ser estudiada en el capítulo 5.

2.12.1.

Desplazamiento real

Se le dará el nombre de Desplazamiento Real d! r i a todo aquel desplazamiento que puede realizar una partícula o un conjunto de ellas en un sistema de partículas, empleando para ello un determinado tiempo t y, por ende, realizado a una velocidad finita ! v i. En coordenadas generalizadas estos desplazamientos son los dqi y las velocidades son las generalizadas q i . No se está agregando nada nuevo desde el punto de vista físico pues estos desplazamientos son los que comúnmente se encuentran en el estudio del movimiento de las partículas. Sólo se ha agregado el calificativo de “real” para hacer incapié en que son desplazamientos que realmente pueden realizar las partículas, calificativo que será muy útil a la hora de distinguirlos de otro tipo de desplazamientos que serán introducidos más adelante. Si estos desplazamientos cumplen con las ligaduras presentes en el sistema, entoces se dice que son Desplazamientos Reales Compatibles con las Ligaduras. Los desplazamientos d! r i presentes en las ligaduras holónomas (2.90) y en las ligaduras semi-holónomas (2.91) y los dqi presentes en sus correspondientes en coordenadas generalizadas (2.96) y (2.97), son de este tipo.

2.12.2.

Desplazamiento virtual

Se introducirá ahora otro tipo de desplazamiento denominado Desplazamiento Virtual. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.12. DESPLAZAMIENTO REAL Y VIRTUAL Definición Se da el nombre de Desplazamiento Virtual a un desplazamiento infinitesimal de la posición de una partícula realizado instantáneamente. Es decir, es llevado a cabo con velocidad infinita y, por ende, sin que transcurra ningún tiempo durante su realización. De lo anterior proviene la condición de virtual, ya que no es posible realizarlo efectivamente.

Es un desplazamiento puramente geométrico, ficticio, no dinámico, que es útil como herramienta para resolver problemas mecánicos y se representará por la diferencial de primer orden ! r en vez de d! r que es el usado para los desplazamientos reales. También puede ser un desplazamiento virtual un desplazamiento angular proveniente de la rotación de un cuerpo, por ejemplo. La diferencia entre un desplazamiento virtual ! r i y un desplazamiento real d! r i es posible verla a partir de (2.63). En efecto los desplazamientos reales vienen dados por, d! ri=

X @! ri j=1

@qj

dqj +

@! ri dt, con i = 1; 2; 3; : : : ; N @t

(2.159)

donde los dqj son los desplazamientos reales de las coordenadas generalizadas. Como ! ! en la realización de los desplazamientos virtuales no transcurre ningún tiempo @@tr i = 0 , entonces resulta que8 ,

Figura (2.35): (a) Desplazamiento real d! r en presencia de una ligadura reónoma (b) Desplazamiento ! virtual r , la ligadura se ha dejado çongelada.en el tiempo.

8

Por ser

@! ri @t

= 0, aquí las ligaduras pueden cosiderarse esclerónomas.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS ! ri=

X @! ri j=1

@qj

qj , con i = 1; 2; 3; : : : ; N

(2.160)

donde los qj son los desplazamientos virtuales de las coordenadas generalizadas y ! r i representa el desplazamiento virtual de la i-ésima partícula. En el caso de haber ligaduras reónomas o móviles (ver figura 2.35), éstas quedarían “congeladas” ya que el tiempo no transcurre para los desplazamientos virtuales. Por el contrario, en un desplazamiento real d! r i transcurriría un tiempo dt en el cual las fuerzas y las ligaduras del sistema podrían variar.

Figura (2.36): Desplazamiento real d! r y desplazamiento virtual ! r.

De esta expresión puede observarse que los desplazamientos virtuales son vectores tangenciales en el espacio de configuración. Los vectores ! r i apuntan a diferentes trayectorias geométricamente posibles de la i-ésima partícula en un instante de tiempo dado. Por ejemplo ver figura 2.36, una determinada trayectoria de la i-ésima partícula puede llevarse a cabo partiendo de unas condiciones iniciales dadas, pero ! ri puede también apuntar hacia otras trayectorias imaginarias. En la figura 2.37 puede observarse la trayectoria real q (t) en el espacio de configuración para un determinado sistema unidimensional, en la cual se representa un posible desplazamiento virtual de dicha trayectoria. Los desplazamientos virtuales, aparte de ser instantáneos, pueden ser arbitrarios y no relacionados con el movimiento real de la partícula en el instante considerado. A estos desplazamientos se les denominan Desplazamientos Virtuales Arbitrarios. Existen ciertos tipos de desplazamientos virtuales que son los más útiles y que serán de interés más adelante, estos son los denominados Desplazamientos Virtuales Compatibles con las Ligaduras 9 , de la misma forma como existen los deplazamientos reales compatibles 9

D’Alembert fue el primero en proponer la consideración de un desplazamiento de este tipo. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.12. DESPLAZAMIENTO REAL Y VIRTUAL

Figura (2.37): Espacio de fase unidimensional. Coordenada real q (t) y la coordenada desplazada virtualmente q (t) + q (t).

con las ligaduras mencionados en la sección 2.12.1. Los Desplazamientos Virtuales Compatibles con las Ligaduras son aquellos en los que se han incluido las ligaduras, es decir, son aquellos que respetan las ligaduras. Después de realizado un desplazamiento virtual de este tipo, se mantienen las relaciones de ligadura del sistema. Los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras holónomas se obtienen a partir de (2.90). Efectivamente, si en esta expresión se impone la condición de que el tiempo no transcurra resulta, P

j=1

(h)

@fl

(qi ;t) @qj

qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (h)

(2.161)

donde aquí los qj son los desplazamientos virtuales compatibles buscados. Al hacer lo mismo con las ligaduras no-holónomas o semi-holónomas (2.96) resulta, P

j=1

Alj (qi ; t) qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::;

(

K (nh) K (h)

(2.162)

siendo ahora los qj presentes aquí los desplazamientos virtuales compatibles con estas ligaduras en particular. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS ¿Cómo encontrar los desplazamientos virtuales?. La respuesta a esta pregunta ya fue dada al pasar de (2.159) a (2.160). Los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras se obtienen a partir de los desplazamientos reales compatibles con las ligaduras, “congelando” estas últimas en el caso de ser reónomas. Obviamente, también es cierto para las ligaduras esclerónomas, con la diferencia de que estas últimas ya son inmóviles. En resumen, los requerimientos para un desplazamiento virtual son los siguientes: 1. El tiempo es mantenido fijo (no hay cambio en las derivadas temporales), de allí su calificativo de virtual. 2. Es un desplazamiento puramente geométrico. 3. Son infinitesimales al igual que los desplazamientos reales dqi . 4. Existen tantos desplazamientos virtuales posibles como variables necesarias para describir el movimiento al igual que para los desplazamientos reales. 5. Si son compatibles con las ligaduras, las obedecen. Adicionalmente, desde el punto de vista matemático, el símbolo diferencial tiene las mismas propiedades que el símbolo diferencial d de la diferenciación ordinaria. Por ejemplo, (x2 ) x = 2x x x (Sen x) = Cos x x x2

=

(tan x) = sec2 x x esto es debido a que provienen de los desplazamientos reales, conservando sus propiedades matemáticas. Para obtener los desplazamientos virtuales arbitrarios y los compatibles con las ligaduras se procede como sigue: 1. Se encuentran los desplazamientos reales d! r i , los cuales se obtienen al diferenciar ! el vector de posición r i (en coordenadas Cartesianas, esféricas, etc.) de cada una SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 146

2.12. DESPLAZAMIENTO REAL Y VIRTUAL de las partículas del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentes. Los desplazamientos así obtenidos son todos aquellos posibles para las partículas del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentes, es decir, son los desplazamientos reales arbitrarios. 2. Se identifican las ligaduras presentes, se determina el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para describir el sistema. 3. Se encuentran los desplazamientos reales compatibles con las ligaduras, los cuales se obtienen: (a) al introducir las ligaduras encontradas en el paso 2 (de ser holónomas) en los desplazamientos obtenidos en el paso 1, (b) en el caso de que se haga matemáticamente engorrosa dicha sustitución debido a la forma en la que están expresadas las ligaduras (todas o parte de ellas), alternativamente se procede a encontrar un conjunto de coordenadas generalizadas para el sistema dado y se escriben las ecuaciones de transformación correspondientes para luego encontrar los desplazamientos reales a partir de éstas. Esto es equivalente a lo descrito en (a) ya que, como se sabe, las transformaciones contienen las ligaduras holónomas. 4. Por último, los desplazamientos reales d! r i se convierten en virtuales ! r i cuando se impone la condición de que el tiempo no transcurra. De aquí se desprende que si las ligaduras involucradas dependen explícitamente del tiempo t (reónomas) éstas quedarán congeladas o inmóviles, permaneciendo en el estado en que se encontraban en el instante del desplazamiento. Obviamente, si las ligaduras involucradas no dependen explícitamente del tiempo t (esclerónomas) o si no existen ligaduras, entonces los desplazamiento virtuales coinciden completamente con los desplazamientos reales encontrados en el paso 1 (de no existir ligaduras) o en el 3 (de existir ligaduras). Finalizado esto, los desplazamientos virtuales obtenidos son compatibles con las ligaduras. Los pasos anteriores sólo son una simple guía, no pretenden ser una receta de estricto cumplimiento. .............................................................................................. EJEMPLO 2.27 Partícula sobre una esfera lisa. Se tiene el caso de una partícula de masa m que se mueve sobre una esfera, centrada en el origen del referencial, sin fricción (ver figura 2.38) y que no se separa de su superficie. Encuentre: (a) las condiciones que deben cumplir los desplazamientos reales para ser compatibles con la ligadura, (b) lo mismo para los desplazamientos virtuales, (c) los desplazamientos reales SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 147

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS compatibles con la ligadura, (d) los desplazamientos virtuales compatibles con la ligadura y (e) chequear que los desplazamientos reales y los virtuales encontrados antes cumplen con las condiciones encontradas en (a) y (b) respectivamente.

Figura (2.38): Partícula de masa m que se mueve sobre una esfera lisa sin separarse de su superficie.

SOLUCION: antes de responder a las preguntas planteadas en el enunciado del ejemplo, se procederá a encontrar los desplazamientos reales y virtuales siguiendo los pasos antes descritos. Desplazamientos reales arbitrarios: en coordenadas esféricas el vector de posición de la partícula viene dado por, ! r = (r Sen Cos '; r Sen Sen '; r Cos ) de manera que,

8 > < x = r Sen Cos ' y = r Sen Sen ' > : z = r Cos

(2.163)

(2.164)

Los desplazamientos reales arbitrarios se obtienen diferenciar (2.164). En efecto, 8 > r Sen Sen 'd' < dx = Sen Cos 'dr + r Cos Cos 'd (2.165) dy = Sen Sen 'dr + r Cos Sen 'd + r Sen Cos 'd' > : dz = Cos dr r Sen d

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 148

2.12. DESPLAZAMIENTO REAL Y VIRTUAL Ligaduras, grados de libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: en este caso existe K (h) = 1 ligadura holónoma cuya ecuación en coordenadas Cartesianas viene dada por, (h)

x2 + y 2 + z 2 = R2 ) f1

= x2 + y 2 + z 2

R2 = 0

(2.166)

que es una esfera de radio R centrada en el origen del sistema de referencia. Esta ligadura es holónoma esclerónoma y en coordenadas esféricas se escribe como, (h)

r = R ) f1

=r

R=0

(2.167)

Como existe K (h) = 1 ligadura holónoma entonces, a partir de (2.14), el número de grados de liberdad es, s = 3N K (h) = 3 (1) 1 = 2 (2.168) y a partir de (2.56), e = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

(2.169)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Desplazamientos reales compatibles con las ligaduras: para hacer que los desplazamientos (2.165) sean compatibles con la ligadura (2.167) simplemente se sustituye en ellos resultando (en este caso es sencillo hacerlo), 8 > R Sen Sen 'd' < dx = R Cos Cos 'd (2.170) dy = R Cos Sen 'd + R Sen Cos 'd' > : dz = R Sen d que son los desplazamientos reales de la partícula compatibles con la ligadura.

Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras: los desplazamientos virtuales compatibles con la ligadura son idénticos a los desplazamientos reales compatibles con la ligadura encontrados en (c), ya que la ligadura involucrada es esclerónoma. Por lo tanto, 8 > R Sen Sen ' ' < x = R Cos Cos ' (2.171) y = R Cos Sen ' + R Sen Cos ' ' > : z = R Sen Se procederá ahora a responder las preguntas formuladas en el enunciado del ejemplo: (a) Al diferenciar (2.166) resulta, (h)

df1 (x; y; z) = 2xdx + 2ydy + 2zdz = 0 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.172) Pág.: 149

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS que es la condición que deben cumplir los desplazamientos reales dx, dy y dz para ser compatibles con la ligadura (2.166). (b) Como la ligadura dada es esclerónoma entonces la condición que deben cumplir los desplazamientos virtuales es idéntica a (2.172) cambiando el símbolo diferencial d por . En efecto, (h)

f1 (x; y; z) = x x + y y + z z = 0

(2.173)

(c) Los desplazamientos reales compatibles con la ligadura son los dados por (2.170). (d) Los desplazamientos virtuales compatibles con la ligadura son los dados por (2.171). (e) En el caso de los desplazamientos reales, al sustituir (2.170) en (2.172) resulta, 0 = 2xdx + 2ydy + 2zdz 0 = 2x (R Cos Cos 'd

R Sen Sen 'd') + 2y (R Cos Sen 'd + R Sen Cos 'd') (2.174)

+2z ( R Sen d ) y al sustituir aquí (2.164) con r = R en el anterior resulatdo se obtiene, 0 = (R Sen Cos ') (R Cos Cos 'd

R Sen Sen 'd')

+ (R Sen Sen ') (R Cos Sen 'd + R Sen Cos 'd') + (R Cos ) ( R Sen d ) 0 = 0 satisfaciéndose así la condición (2.172). Por último, en el caso de los desplazamientos virtuales, al sustituir (2.171) y (2.164) con r = R en (2.173) análogamente resulta, 0=0 satisfaciéndose así la condición (2.173). .............................................................................................. EJEMPLO 2.28 Partícula que se mueve sobre una parábola que gira. En la figura 2.39 se muestra un alambre liso y rígido en forma parabólica z = r2 (en coordenadas cilíndricas) que gira alrededor de su eje de simetría con velocidad angular constante SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 150

2.12. DESPLAZAMIENTO REAL Y VIRTUAL

Figura (2.39): Anillo que se desplaza sobre un alambre liso en forma deparábola que rota con ! constante.

!, y un anillo de tamaño despreciable y masa m que se desplaza por él. Determínense los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras presentes. SOLUCION: se usarán coordenadas cilíndricas. Desplazamientos reales arbitrarios: en coordenadas cilíndricas el vector de posición de la partícula viene dado por, ! r = (r0 Cos '; r0 Sen '; z) r0 ' x y z m 0 ! r z = r02

(2.175)

donde se ha usado la prima en la coordenada cilíndrica r para distinguirla del módulo r del vector de posición ! r del anillo. De esta manera, 8 0 > < x = r Cos ' (2.176) y = r0 Sen ' > : z=z Los desplazamientos reales arbitrarios se obtienen diferenciar (2.176). En efecto, 8 0 0 > < dx = Cos 'dr r Sen 'd' (2.177) dy = Sen 'dr0 + r0 Cos 'd' > : dz = dz

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 151

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS Ligaduras, grados de libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: en este caso existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, 8 (h) 02 02 > < z = r ) f1 = z r = 0, que obliga a la partícula a moverse por el alambre. > : (h) ' = !t ) f2 = ' !t = 0, introduce la rotación del alambre. (h)

de manera que el sistema es reónomo (f2

(2.178)

depende explícitamente del tiempo t).

Como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces, a partir de (2.14), el número de grados de liberdad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(2.179)

e = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(2.180)

y a partir de (2.56),

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Desplazamientos reales compatibles con las ligaduras: para hacer que los desplazamientos (2.177) sean compatibles con las ligaduras (2.178) simplemente se sustituyen en ellos resultando (en este caso es sencillo hacerlo), 8 0 0 > < dx = Cos (!t) dr r ! Sen (!t) dt dy = Sen (!t) dr0 + r0 ! Cos (!t) dt > : dz = 2r0 dr0

(2.181)

que son los desplazamientos reales de la partícula compatibles con las ligaduras. Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras: por último, los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras se obtienen al congelar la ligadura reónoma. Por lo tanto, al hacer dt = 0 en (2.181) se obtiene finalmente, 8 0 > < x = Cos (!t) r y = Sen (!t) r0 > : z = 2r0 r0

(2.182)

que son los desplazamientos virtuales pedidos.

.............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 152

2.12. DESPLAZAMIENTO REAL Y VIRTUAL

Figura (2.40): Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por una barra telescópica de longitud ` = ` (t).

EJEMPLO 2.29 Se tienen dos partículas de masas m1 y m2 que están unidas por una barra telescópica, de longitud ` = ` (t), como se muestra en la figura 2.40. Determinar los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras presentes. Aquí es un ángulo variable. SOLUCION: se utilizarán coordenadas Cartesianas. Desplazamientos reales arbitrarios: las posiciones ! r1y! r 2 de las partículas vienen dadas en coordenadas Cartesianas por, ( de manera que,

(

! r 1 = (x1 ; y1 ; z1 ) ! r 2 = (x2 ; y2 ; z2 )

(2.183)

d! r 1 = (dx1 ; dy1 ; dz1 ) ! d r 2 = (dx2 ; dy2 ; dz2 )

(2.184)

son los desplazamientos reales arbitrarios de las partículas m1 y m2 . Ligaduras, grados de libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: en SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 153

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS el sistema dado están presentes K (h) = 3 ligaduras holónomas dadas por, 8 (h) z1 = 0 ) f1 = z1 = 0, que fija a m1 sobre el plano xy. > > > < z = 0 ) f (h) = z = 0, que fija a m sobre el plano xy. 2 2 2 2 (h) 2 2 2 > (x x ) + (y y ) = ` (t) ) f = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 `2 (t) = 0, 2 1 2 1 > 3 > : que fija la posición de m1 con respecto a m2 o viceversa. (h)

(h)

(h)

La ligaduras f1 y f2 son esclerónomas mientras que f3 de manera que el sistema es reónomo.

(2.185)

es reónoma por ser ` = ` (t),

Como existen K (h) = 3 ligaduras holónomas entonces, a partir de (2.14), el número de grados de liberdad es, s = 3N

K (h) = 3 (2)

3=3

(2.186)

e = 3N

K (h) = 3 (2)

3=3

(2.187)

y a partir de (2.56),

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Desplazamientos reales compatibles con las ligaduras: en este caso no es fácil susti(h) tuir la ligadura f3 en (2.184) para hacer que los desplazamientos sean compatibles con las ligaduras. En este caso procede a encontrar un conjunto de coordenadas generalizadas para el sistema dado y se escriben las ecuaciones de transformación correspondientes para luego encontrar los desplazamientos reales a partir de éstas. Se pueden tomar como coordenadas generalizadas las coordenadas de la posición de m1 y el ángulo (pueden tomarse las de m2 y ). Las ecuaciones de transformación se pueden obtener fácilmente a partir de la figura 2.40 resultando, 8 x1 = x1 > > > > > y1 = y1 > > > < z =0 1 > x2 = x1 + ` (t) Cos > > > > > y2 = y1 + ` (t) Sen > > : z2 = 0

(2.188)

Es fácil verificar que estas transformaciones satisfacen las ligaduras (2.185), lo cual indica que ya estas transformaciones las contienen. También es posible tomar como SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 154

2.12. DESPLAZAMIENTO REAL Y VIRTUAL coordenadas generalizadas x1 ,y1 y y2 de manera que, 8 > x1 = x1 > > > > > y1 = y1 > > > < z1 = 0 q > x2 = x1 + `2 (y2 y1 )2 > > > > > y2 = y2 > > > : z2 = 0

(2.189)

Se usarán las transformaciones (2.188). Ahora, al sustituir éstas en (2.184) resulta, 8 ! < d r 1 = (dx1 ; dy1 ; 0) (2.190) : d! r = dx ` Sen d + ` Cos dt; dy + ` Cos d + ` Sen dt; 0 2

1

1

ya que d` = `dt. Estos son los desplazamientos reales compatibles con las ligaduras de las partículas m1 y m2 .

Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras: por último, los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras se obtienen al congelar la ligadura reónoma. Por lo tanto, al hacer dt = 0 en (2.190) se obtiene finalmente, ( ! r 1 = ( x1 ; y1 ; 0) (2.191) ! r 2 = ( x1 ` Sen ; y1 + ` Cos ; 0) que son los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras pedidos. .............................................................................................. Clasificación de los desplazamientos virtuales Los desplazamientos virtuales se pueden clasificar en reversibles e irreversibles. 1. Reversibles: Son reversibles aquellos desplazamientos virtuales que pueden realizarse en un cierto sentido ( ri ) y en su opuesto ( ri ). 2. Irreversibles: Son irreversibles aquellos desplazamientos virtuales que se pueden realizar en un cierto sentido pero no en su opuesto, por impedirlo las ligaduras. Las ligaduras bilaterales sólo permiten desplazamientos reversibles, mientras que las ligaduras unilaterales permiten desplazamientos virtuales reversibles e irreversibles. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 155

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

2.13.

Trabajo real y trabajo virtual

2.13.1.

Trabajo Real

Desde los cursos básicos de Física se sabe que el trabajo mecánico dW ! realizado por una fuerza F para desplazar a un cuerpo de masa m una distancia d! r viene dado por, ! dW = F d! r = F dr Cos

(2.192)

! donde F y dr son los módulos de la fuerza F y el desplazamiento virtual d! r respectivamente, mientras que es el ángulo entre ambos vectores. Este trabajo dW será denominado, de aquí en adelante, como Trabajo Real. Se le da este nombre puesto que el desplazamiento d! r es un desplazamiento real de la partícula involucrada. Para un sistema de N partículas, como ya fue estudiado en el capítulo 1, el trabajo real viene dado por, 8 ! r i para la i-ésima partícula < dWi = F i d! N N ! (2.193) Trabajo real P P : dW = F i d! r i para el sistema de partículas dWi = i=1

2.13.2.

i=1

Trabajo Virtual

Ahora bien, el Trabajo Virtual se define de la siguiente manera: ! El trabajo virtual W realizado por una fuerza F para desplazar una partícula de masa m un desplazamiento virtual ! r viene dado por, ! W =F

! r = F r Cos

(2.194)

! donde F y r son los módulos de la fuerza F y el desplazamiento virtual ! r respectivamente, mientras que es el ángulo entre ambos vectores. ! ! El trabajo virtual que efectúa un par C durante un desplazamiento virtual del cuerpo viene dado por, ! W =C

!

=C

Cos

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.195) Pág.: 156

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS ! ! donde C y son los módulos del par C y el desplazamiento virtual respectivamente, mientras que es el ángulo entre ambos vectores. Es importante hacer notar que, como los desplazamiento virtuales r y en las expresiones (2.194) y (2.195) corresponden a movimientos ficticios, dichas expresiones no se podrán integrar.

2.14.

Algunos principios mecánicos básicos

2.14.1.

Principio de los Trabajos Virtuales

Si un sistema está en equilibrio traslacional significa que es nula la resultante ! ! de las fuerzas que actúan sobre cada partícula, F i = 0 . Es obvio que en tal caso se ! ! anulará también el producto escalar F i ! r i que es el trabajo virtual de la fuerza F i en el desplazamiento virtual ! r i . La suma de estos productos nulos extendida a todas las partículas será, N X ! Fi ! ri=0 (2.196) W = i=1

Hasta ahora nada se ha dicho que posea un contenido físico nuevo. Si se escribe !(lig) ! !(a) F i como la suma de la fuerza aplicada F i y la de ligadura F i , ! !(a) !(lig) Fi= Fi + Fi

(2.197)

la expresión (2.196) adopta la forma, N X !(a) Fi i=1

! ri+

N X !(lig) Fi

! ri=0

(2.198)

i=1

Pueden existir sistemas en los que el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura sea nulo. La ligadura del sólido rígido, los contactos sin rozamiento y la rodadura son algunas de las que tienen esta característica. A la ligadura cuya fuerza de ligadura correspondiente no realiza trabajo en los desplazamientos virtuales se le denomina Ligadura Ideal. Estas ligaduras son las ligaduras lisas estudiadas en la sección ??. De este modo, si una partícula se ve obligada a moverse sobre una superficie, la fuerza de ligadura será perpendicular a la misma, en tanto que el desplazamiento virtual deberá ser tangente y, por lo tanto, el trabajo virtual será nulo. Lo anterior deja de cumplirse si existen SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 157

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS fuerzas de rozamiento. Entonces, para sistemas de este tipo, la expresión (2.198) puede escribirse como,

N X !(a) W = Fi

! ri=0

(2.199)

i=1

que suele denominarse Principio de los Trabajos Virtuales. El Principio de los Trabajos Virtuales puede enunciarse de la manera siguiente, Para que un sistema mecánico sometido a ligaduras lisas permanezca en equilibrio debe cumplirse como condición necesaria y suficiente que se anule el trabajo del conjunto de fuerzas aplicadas sobre dicho sistema, para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras. Se debe tener presente, además, que: !(a) ! 1. Los coeficientes de ! r i no son ya nulos, es decir, en general F i 6= 0 . En esencia, esto se debe a que las ! r i no son completamente independientes, sino que están ! relacionadas por las ligaduras. Es decir, para una fuerza total F i sobre un punto ! ! dado, se verifica que F i r i = 0 8i (no sumado); sin embargo, para la fuerza !(a) aplicada correspondiente F i en general es, !(a) Fi

! r i 6= 0

En otras palabras, los términos individuales del trabajo virtual de las fuerzas aplicadas no tienen por qué anularse, aunque la suma sí es siempre nula, N X !(a) Fi

! ri=0

i=1

!(a) 2. Las fuerzas aplicadas F i deben incluir tanto las externas como las internas que, en !(a) un caso general, sí realizan trabajo virtual. Por el contrario, las fuerzas aplicadas F i excluyen a las fuerzas de reacción, que no desarrollan trabajo virtual. Sin embargo, !(a) a la hora de realizar los cálculos, las reacciones pueden ser incluidas en F i sin producir alteración alguna ya que su trabajo virtual se anulará. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 158

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS Por último, conviene notar que la ventaja del Principio de los Trabajos Virtuales es que plantea las condiciones para el equilibrio global del sistema sin emplear las reacciones de las ligaduras lisas, las cuales no hacen falta calcular en ningún momento. También pueden tratarse problemas con ligaduras no lisas usando (2.198). .............................................................................................. EJEMPLO 2.30 Encuentre la relación entre las cantidades mostradas en la figura 2.41a para que el péndulo permanezca en equilibrio estático.

Figura (2.41): Péndulo en equilibrio estático. (a) Diagrama de cuerpo libre. (b) Diagrama con fuerzas y desplazamientos virtuales.

SOLUCION: las reacciones, como la tensión de la cuerda, no realizan trabajo. Sin embargo, en los casos en los cuales no se tenga la seguridad de conocer las fuerzas que no realizan trabajo, todas estas pueden ser consideradas como aplicadas. En este ! ! caso las fuerzas aplicadas son ! w y F (no existen fuerzas inerciales) y la tensión T es una fuerza de reacción. Se resolverá el presente problema considerando la tensión como fuerza aplicada, aunque es obvio que no realiza trabajo. Supóngase un desplazamiento virtual donde el ángulo se incrementa una pequeña cantidad . Por lo tanto, a partir del Principio de los Trabajos Virtuales (2.199) para N = 1 (una partícula), N =1 X

!(a) Fi

!(a) ! ri= F1

! r1=0

(2.200)

i=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 159

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS pero,

!(a) ! ! ! F1 = F + w +T

(2.201)

entonces al sustituir (2.201) en (2.200) y observando los ángulos formados por los vectores involucrados a partir de la figura 2.41b, ! ! F r | {z }1

! Trabajo virtual de F

+

! ! w r | {z }1

! ! T r | {z }1

+

Trabajo virtual de ! w

F r1 Cos + w r1 Cos + {z 2 |

+ T r1 Cos

Ver figura 2.41b

F Cos

= 0

! Trabajo virtual de T

r1

w Sen

2}

= 0

r1 = 0

y finalmente, F = w tan

(2.202)

.............................................................................................. EJEMPLO 2.31 Una partícula de masa m unida elásticamente al origen 0 me! diante la fuerza F e = k ! r como se muestra en la figura 2.42, se desplaza sobre la pared interna de un cilindro de radio R y altura H (el origen 0 está en el eje del cilindro) describiendo una trayectoria en forma de hélice circular de eje vertical z = 2H '. Muestre que, 2 mg '= kH al alcanzarse el equilibrio, usando el Principio de los Trabajos Virtuales. SOLUCION: se usarán coordenadas cilíndricas con una prima en la coordenada radial para distinguirla del módulo r del vector de posición. En el sistema están presentes las ligaduras siguentes K (h) = 2 ligaduras holónomas esclerónomas, 8 0 (h) r = R ) f1 = r0 R = 0, que es la superficie sobre la > > > < cual se mueve la partícula (ecuación del cilindro). (2.203) (h) H H > z = ' ) f = z + ' = 0, que fija la trayectoriade > 2 2 2 > : la partícula (ecuación de la hélice circular). Nótese que ' es una de las coordenadas cilíndricas. En coordenadas cilíndricas la posición de la partícula viene dada por, 8 0 > < x = r Cos ' (2.204) y = r0 Sen ' > : z=z

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 160

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS

Figura (2.42): Partícula moviéndose dentro de un cilindro con trayectoria helicoidal.

o, ! r 1 = r0 Cos 'b ex + r0 Sen 'b ey + zb ez

(2.205)

donde el subíndice 1 indica que es el vector de posición de la partícula 1 del sistema (la partícula de masa m que es la única existente). A partir de (2.204) los desplazamientos reales dx, dy y dz de la partícula vienen dados por, d! r 1 = (Cos 'dr0 r0 Sen 'd')ebx + (Sen 'dr0 + r0 Cos 'd')eby + |{z} dz ebz (2.206) | {z } | {z } dx

dz

dy

Los correspodientes desplazamientos reales compatibles con las ligaduras se obtienen al sustituir (2.203) en (2.206). En efecto, 8 > < dx = Cos 'd (R) (R) Sen 'd' = R Sen 'd' dy = Sen 'd (R) + (R) Cos 'd' = R Cos 'd' > : H ' = 2H d' dz = d 2

o,

H d'b ez (2.207) 2 y como ambas ligaduras presentes son esclerónomas, los desplazamientos viertuales coinciden con los desplazamientos reales, d! r =

R Sen 'd'b ex + R Cos 'd'b ey

! r1=

R Sen ' 'b ex + R Cos ' 'b ey

H 'b ez 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.208) Pág.: 161

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS !(a) Por otro lado, la fuerza total aplicada F 1 sobre la bolita viene dada por, !(a) !(int) !(ext) F1 = F1 + F1 =

k! r 1 + m! g

(2.209)

!(int) donde, como ya se sabe del capítulo 1, F 1 es la resultante de las fuerzas internas !(ext) sobre la partícula 1 y F 1 es la resultante de las fuerzas externas sobre la misma partícula. Ahora, al introducir (2.205) en esta expresión teniendo presentes las ligaduras (2.203) y que ! g = gb ez resulta, !(a) F1 = =

H 'b ez 2 kH kR Sen 'b ey + ' 2

k R Cos 'b ex + R Sen 'b ey

+ m ( gb ez )

kR Cos 'b ex

mg ebz

(2.210)

que es la fuerza aplicada sobre la única partícula del sistema.

Finalmente, al sustituir (2.208) y (2.210) en la expresión (2.199) del Principio de los Trabajos Virtuales para N = 1 (una partícula) resulta, N =1 X

!(a) Fi

i=1

0 =

kR Cos 'b ex

kR Sen 'b ey +

!(a) ! ri=0) F1 kH ' 2

H 'b ez 2 kH 0 = ' mg 2 o, '=

mg ebz

! r1=0

( R Sen ' 'b ex + R Cos ' 'b ey

2 mg kH

(2.211)

como se pedía mostrar. .............................................................................................. El Principio de los Trabajos Virtuales, tal cual fue formulado en el presente texto, establece que la sumatoria de los trabajos virtuales realizados por las fuerzas presentes sobre cada una de las partículas del sistema es nula. En el caso de un sistema formado por cuerpos rígidos, se procede primero a transformar el sistema dado a uno de partículas mediante el cálculo del centro de masa de cada uno de los cuerpos rígidos presentes, de esta manera las fuerzas estarían ahora aplicadas sobre partículas. Con mucha frecuencia existen fuerzas que no quedan aplicadas sobre los centros de masa SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 162

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS y, por consiguiente, no quedan aplicadas sobre partícula alguna. Sin embargo, es posible colocar más masas puntuales sin que la posición del centro de masa del sistema conjunto se altere. La manera de lograr esto es suponer que las masas agregadas son despreciables, siendo tan pequeñas como se quiera. Esto no afecta el cálculo de los trabajos virtuales realizados por las fuerzas presentes ya que en su cálculo no está presente la masa. Estas masas despreciables se colocarán en aquellos puntos donde hayan quedado fuerzas que no estén aplicadas sobre alguna partícula. Después de hecho todo esto, se procede a aplicar el Principio de los Trabajos Virtuales tal cual fue formulado anteriormente. .............................................................................................. EJEMPLO 2.32 Una palanca horizontal de masa despreciable está en equilibrio ! estático bajo la aplicación de las fuerzas verticales F 1 a una distancia `1 del punto de ! apoyo y F 2 a una distancia `2 del mismo como se muestra en la figura 2.43. Utilizando el Principio de los Trabajos Virtuales, encuentre cuál debe ser la relación entre estas cantidades para que se mantenga el equilibrio. SOLUCION: este sistema no es de masas puntuales. Para convertirlo en uno de masas puntuales se encuentra la posición del centro de masa de la barra (su masa es despreciable pero no nula). Supóngase que sea homogénea (si no lo es, se comportará así debido a que su masa es despreciable), entonces su centro de masa estará 2 posicionado en su centro geométrico, es decir, en `1 +` . 2

Figura (2.43): Palanca horizontal en equilibrio estático.

Aquí las fuerzas aplicadas son el peso ! w = m! g de la barra (despreciable) que es ! ! aplicado en el centro de masa de misma, F 1 y F 2 . Se tiene, además, la fuerza de ! reacción R en el punto de apoyo de la barra. Estas tres últimas fuerzas no quedan aplicadas sobre una partícula después de haber hallado los centros de masa de cada uno de los cuerpos que componen al sistema (en este caso es sólo uno), entonces SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 163

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS en el lugar donde están aplicadas se colocarán masas despreciables adicionales, no alterándose con esto el sistema original. En la figura 2.44a se muestran las masas despreciables agregadas: la masa despreciable m1 se posicionó en el punto de apli! ! cación de F 1 , la m2 en el punto de aplicación de F 2 y m3 en el punto de aplicación ! de R. La masa M (que también es despreciable debido a la información dada en el enunciado) representa la masa de la barra. El sistema dado se ha convertido ahora en un sistema de 4 partiículas de masas m1 posicionada en ! r 1 , m2 posicionada en ! r 2, ! ! ! m3 posicionada en r 3 y m4 = M posicionada en r 3 = R (centro de masa). En la figura 2.44b se muestran sus vectores de posición, los desplazamientos virtuales y las fuerzas involucradas.

Figura (2.44): (a) Sistema de partículas equivalente al sistema dado. (b) Vectores de posición y desplazamientos virtuales.

! Las fuerza de reacción R no realiza trabajo. Sin embargo, en los casos donde no se esté seguro de cuáles fuerzas no realizan trabajo, las fuerzas de reación se pueden considerar dentro de las aplicadas. En este caso se tomarán todas las fuerzas existentes como aplicadas. Cálculo de los desplazamientos virtuales: para encontrar los desplazamientos virtuales primero es necesario encontrar los desplazamientos reales. Supóngase que la palanca realiza un desplazamiento infinitesimal d! r (ver figura 2.44b), rotando en el sentido horario con respecto a su punto de apoyo un ángulo infinitesimal d de maneSOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 164

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS ra que,

8 dr1 = `1 d > > > < dr = ` d 2 2 > dr3 = 0 > > : dr4 = dR = 12 (`1 + `2 ) d

(2.212)

! donde dR es el módulo del desplazamiento real del vector de posición R del centro de masa. Estos son los desplazamientos reales compatibles con la ligadura puesto que la contienen. Como la ligadura presente es esclerónoma, los desplazamientos reales coinciden con los virtuales. Por lo tanto, 8 r1 = `1 > > > < r =` 2 2 (2.213) > r3 = 0 > > : r4 = R = 21 (`1 + `2 ) que son los desplazamientos virtuales compatibles con la ligadura presente. Fuerzas involucradas: las fuerzas presentes en el sistema son, 8 ! ! (a) > F = F1 > 1 > > ! (a) < ! F2 = F2 !(a) ! > F3 = R > > > ! (a) : ! F4 =! w = M! g ' 0 por ser despreciable

(2.214)

Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales: a partir del Principio de los Trabajos Virtuales (2.199) con N = 4 (cuatro partículas), N =4 X

!(a) Fi

!(a) ! ri= F1

!(a) ! r1+ F2

!(a) ! r2+ F3

!(a) ! r3+ F4

! r4=0

(2.215)

i=1

Ahora, al sustituir (2.214) en (2.215) resulta,

|

! F1

! ! ! ! ! ! ! F2 r2 + R r3 + 0 r4 r1 + {z } | {z } | {z } | {z }

! Trabajo virtual de F 1

! Trabajo virtual de F 2

! Trabajo virtual de R

= 0

Trabajo virtual de ! w

! F1 r1 Cos + F2 r2 Cos 0 + R r3 Cos R; ! r3 = 0 | {z } Ver figuras 2.44a y b para visualizar los ángulos involucrados

! F1 r1 + F2 r2 + R r3 Cos R; ! r3

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

= 0

(2.216)

Pág.: 165

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS ! ! donde R; ! r 3 representa el ángulo entre los vectores R y ! r 3 . Al sustitituir aquí los desplazamientos virtuales (2.213) resulta finalmente, ! F1 (`1 ) + F2 (`2 ) + R (0) Cos R; ! r3 ( F1 `1 + F2 `2 )

= 0 = 0

o, F1 `1 = F2 `2

(2.217)

resultado conocido de los cursos básicos de Física General. .............................................................................................. EJEMPLO 2.33 Encuentre el valor del ángulo para que el sistema mostrado en la figura 2.45 permanezca en equilibrio. Las dos barras mostradas son homogéneas, de masa m y longitud A. La masa y el radio de la rueda son despreciables.

Figura (2.45): Mecanismo de barras homogéneas en equilibrio.

SOLUCION: lo primero que se debe hacer es transformar el sistema dado en un sistema equivalente formado sólo por masas puntuales. Con este fin se encuentran los centros de masa de las barras y de la rueda. Como las barras son homogéneas, sus centros de masa se ecuentran en sus respectivos centros geométricos, es decir, a 1 A. El centro de masa de la rueda será el punto que la representa. En la figura 2.46 2 se muestran los centros de masas involucrados y sus vectores de posición respecto al referencial indicado. Se han agregado las masas despreciables m3 en el soporte fijo y m4 en el lugar de la rueda. Ahora el sistema dado se a reemplazado por un sistema de 4 partículas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 166

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS

Figura (2.46): Centros de masa de los componentes del sistema, sus vectores de posición, los correspondientes desplazamientos virtuales y las fuerzas involucradas.

Esta vez, en vez de encontrar los ángulos formados entre los desplazamientos virtuales y las fuerzas como en los ejemplos anteriores, todo será desarrollado en forma de componentes. Cálculo de los desplazamientos virtuales: para encontrar los desplazamientos virtuales primero es necesario encontrar los desplazamientos reales. De la figura 2.46 es fácil deducir que, 8 > > > > > > > > > > > > > <

por lo tanto,

> > > > > > > > > > > > > :

x1 = xcm1 = 21 A Sen 2 y1 = ycm1 = 21 A Cos x2 = xcm2 = 32 A Sen 2 y2 = ycm2 = 21 A Cos x3 = 2A Sen 2 y3 = 0 x4 = 0 y4 = 0

8 ! ! > r 1 = R 1 = xcm1 ebx + ycm1 eby = 12 A Sen > > > ! < ! r 2 = R 2 = xcm2 ebx + ycm2 eby = 32 A Sen > ! r 3 = x3 ebx + y3 eby = 2A Sen 2 ebx > > > ! : ! r 4 = x4 ebx + y4 eby = 0

2 2

2

2

(2.218)

ebx ebx

1 A Cos 2 1 A Cos 2

2 2

eby eby

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.219)

Pág.: 167

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS entonces,

8 ! > d R 1 = 41 A Cos 2 d ebx + 14 A Sen > > > < ! d R 2 = 43 A Cos 2 d ebx + 14 A Sen > d! r 3 = A Cos 2 d ebx > > > ! : d! r4= 0

2 2

d eby d eby

(2.220)

Como las ligaduras presentes son esclerónomas entonces los desplazamientos reales coinciden con los virtuales. Por lo tanto, 8 ! > ebx + 14 A Sen 2 eby R 1 = 41 A Cos 2 > > > < ! R 2 = 34 A Cos 2 ebx + 14 A Sen 2 eby (2.221) ! > e b r = A Cos > x 3 2 > > ! : ! r4= 0 Fuerzas involucradas: las fuerzas expresadas en componentes vienen dadas por, 8 > > > > < > > > > :

!(a) F1 !(a) F2 !(a) F3 !(a) F4

=! w 1 = w1 eby ! = w 2 = w2 eby ! ! = F + R 3 = F ebx + R3 eby ! = R 4 = R4 eby

(2.222)

! ! donde las reacciones R 1 y R 2 fueron consideradas dentro de las fuerzas aplicadas a pesar de no serlo, como se ha venido haciendo desde los anteriores ejemplos. Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales: a partir del principio de los trabajos virtuales (2.199) con N = 4 (cuatro partículas), N =4 X

!(a) Fi

!(a) ! ri= F1

!(a) ! r1+ F2

!(a) ! r2+ F3

!(a) ! r3+ F4

! r4=0

(2.223)

i=1

Ahora, al sustituir (2.221) y (2.222) en (2.223) resulta, 1 A Cos 4 2

1 3 ebx + A Sen eby + ( w2 eby ) A Cos 4 2 4 2 h i 1 ! + A Sen eby + (F ebx + R3 eby ) A Cos ebx + (R4 eby ) 0 4 2 2 1 1 0 = w1 A Sen w2 A Sen + F A Cos 4 2 4 2 2 1 1 0 = w1 Sen w2 Sen + F Cos 4 2 4 2 2 pero w1 = M1 g = mg y w2 = M2 g = mg entonces, 1 mg Sen + F Cos = 0 2 2 2 2F tan = 2 mg 0 = ( w1 eby )

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

ebx

(2.224)

(2.225) Pág.: 168

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS o, = 2 tan

1

2F mg

(2.226)

que es el águlo pedido. Nótese que es independiente de la longitud de las barras. ..............................................................................................

2.14.2.

Principio de D’Alembert

Se extenderá el principio de los trabajos virtuales (que se refiere a sistemas estáticos) a sistemas dinámicos. Para realizar esto, se recurrirá a un artificio ideado inicialmente por Bernoulli10 y perfeccionado después por D’Alembert11 . La segunda ley de Newton establece que, ! Fi=! pi

(2.227)

de donde se tiene que, !

i

! = Fi

! ! pi= 0

(2.228)

Es decir, que si cada partícula i-ésima estuviera sometida a una fuerza neta dada por ! i el sistema estaría en equilibrio estático instantáneamente (las partículas del sistema ! estarán en equilibrio bajo los efectos de la fueza real F i y de otra “fuerza efectiva invertida” ! p ). Considerada desde este punto de vista, la dinámica se reduce a la i

estática. ! La fuerza i debe cumplir con lo establecido en el principio de los trabajos virtuales (2.199), por lo tanto, N X ! ! ri=0 (2.229) i i=1

entonces,

N X ! Fi

! pi

! ri=0

(2.230)

i=1

10

Daniel Bernoulli ( 8 de febrero de 1700 - 17 de marzo de 1782) fue un matemático, estadístico, físico y médico holandés/suizo. Destacó no sólo en matemática pura, sino también en las aplicadas. Hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad. 11 Jean le Rond D’Alembert (París, 16 de noviembre 1717 - ídem, 24 de octubre 1783) matemático y filósofo francés. Uno de los máximos exponentes del movimiento ilustrado, concibe las Ciencias como un todo integrado y herramienta para el progreso de la Humanidad. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 169

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS pero de (2.197), !(a) donde F i

! !(a) !(lig) Fi= Fi + Fi !(lig) es la fuerza aplicada y F i es la de ligadura, entonces,

N X !(a) !(lig) Fi + Fi

! pi

! ri=

i=1

N X !(a) Fi

! pi

! ri+

i=1

N X !(lig) Fi

(2.231)

! ri=0

(2.232)

i=1

Ahora, considerando sistemas en los que el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura es nulo resulta, N X !(a) Fi

! pi

! ri=0

(2.233)

i=1

que suele llamarse Principio de D’Alembert. Aquí las ! p i , como ya se mencionó, son las fuerzas inerciales dadas por, ! p =m! r (2.234) i

i

i

si las mi no varían. El Principio de D’Alembert puede enunciarse de la manera siguiente: En un sistema mecánico sometido a ligaduras lisas, la evolución dinámica del sistema está determinada, como condición necesaria y suficiente, por la anulación en todo instante del trabajo de las fuerzas aplicadas más el trabajo de las fuerzas inerciales para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras. ! En el principio de D’Alembert las fuerzas inerciales12 ddtp i = ! p i aparecen al mismo ! nivel de la fuerzas aplicadas F i , reduciendo el problema dinámico a un problema estático.

Se debe tener presente, además, que: 1. Para una partícula dada (por ejemplo la i-ésima) sería, en general, !(a) Fi 12

! pi

! r i 6= 0

Todos los cuerpos tienen una tendencia a permanecer en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme. Se puede pensar en esto como una resistencia inercial al cambio o, en otras palabras, en una fuerza inercial. La forma más conocida de la fuerza inercial es la fuerza centrífuga. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 170

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS es decir, que el sumando individual del trabajo virtual no se anula necesariamente, aunque la suma extendida a todo el sistema sí se anula siempre. 2. Aplica la misma observación realizada arriba para el principio de los trabajos vir!(a) tuales sobre la naturaleza de las fuerzas F i . .............................................................................................. EJEMPLO 2.34 Encuentre, usando el Principio de D’Alembert, la aceleración del sistema de dos masas m1 y m2 mostrado en figura 2.47(a). Las masas están unidas por una cuerda de longitud ` que pasa a través de una polea (de diámetro despreciable). Suponga que la cuerda es indeformable y que no existe fricción alguna.

Figura (2.47): Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través de una polea de diámetro despreciable.

SOLUCION: en la figura 2.47(b) se muestran los vectores de posición de cada masa y las fuerzas presentes, mientras que en la figura 2.47(c) se muestran los vectores de posición y los correspondientes desplazamientos virtuales. Aquí las fuerzas aplicadas ! son los pesos ! w 1 = m1 ! g,! w 2 = m2 ! g de cada masa. La tensión T , que es una fuerza de reacción, va a ser considerada dentro de las aplicadas. Las fuerzas inerciales son el producto de cada masa por su correspondiente aceleración. Al aplicar el principio de D’Alembert (2.233) para N = 2 (dos partículas) resulta, N =2 X

!(a) Fi

! pi

! ri = 0

!(a) ! r1+ F2

! p2

! r2 = 0

i=1

!(a) F1

! p1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.235) Pág.: 171

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS pero, !(a) ! F 1 = m1 ! g +T1 !(a) ! F 2 = m2 ! g +T2

(2.236) (2.237)

entonces de (2.235) resulta, ! m1 ! g +T1

m1 ! r1

! ! r 1 + m2 ! g +T2

m2 ! r2

! r2=0

(2.238)

y al desarrollar los productos escalares resulta, m1 ! g

! ! r1+T 1

m1 g r1 Cos 0 + T1 r1 Cos |

m 1 g r1

! r1

m1 ! r1

! ! r2+T 2

! r 1 + m2 ! g

! r2

m1 r 1 r1 Cos 0 + m2 g r2 Cos 0 + T2 r2 Cos {z T2 r2

m 1 r 1 r 1 + m 2 g r2

! r2 = 0

m2 r 2 r2 Cos 0 = 0 }

Ver figura 2.47(c)

T1 r1

m2 ! r2

(2.239)

m2 r 2 r2 = 0

pero, de la figura 2.47,

de manera que, r1 + r 2 = ` )

(

r1 + r2 = `

(2.240)

r1 + r2 = 0 ) r2 = r1 r1 + r2 = 0 ) r2 = r1

(2.241)

Entonces, al sustituir (2.241) en (2.239) y teniendo presente que T2 = T1 (cuerda indeformable) resulta, m 1 g r1

T1 r1

m1 r 1 r1 + m2 g (

r1 )

(T1 ) ( m1 g

r1 ) m1 r 1

m1 g

m2

r1 (

r1 ) = 0

m2 g

m2 r 1

r1 = 0

m1 r 1

m2 g

m2 r 1 = 0

o, r1 =

g (m1 m2 ) m1 + m2

(2.242)

y al usar la seguda de las expresiones (2.241), r2 =

g (m2 m1 ) m1 + m2

(2.243)

El resultado (2.242) indica la aceleración si el sistema se mueve en la dirección de ! r 1 y el (2.243) si lo hace en la dirección de ! r 2 . Estos son los resultados conocidos, para este sistema de partículas, del curso de Física elemental. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 172

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS ..............................................................................................

EJEMPLO 2.35 Encuentre la aceleración del sistema que se muestra en la figura 2.48(a), usando el Principio de D’Alembert. Suponga que no existe fricción y que la cuerda es indeformable, de longitud `.

Figura (2.48): Dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través de una polea y donde una de las masas se desliza sobre un plano inclinado.

SOLUCION: en la figura 2.48(b) se muestran los vectores de posición de cada masa y las fuerzas presentes, mientras que en la figura 2.48(c) se muestran los vectores de posición y los correspondientes desplazamientos virtuales. Aquí las fuerzas aplicadas ! ! son los pesos ! w 1 = m1 ! g,! w 2 = m2 ! g de cada masa. La tensión T y la normal N , que son fuerzas de reacción, van a ser consideradas dentro de las aplicadas. Las fuerzas inerciales son el producto de cada masa por su correspondiente aceleración. Al aplicar el principio de D’Alembert (2.233) para N = 2 (dos partículas) resulta, N =2 X

!(a) Fi

! pi

! ri = 0

!(a) ! r1+ F2

! p2

! r2 = 0

i=1

!(a) F1

! p1

(2.244)

pero, !(a) ! ! F 1 = m1 ! g +T 1+N !(a) ! F 2 = m2 ! g +T2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(2.245) (2.246) Pág.: 173

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS de manera que, al sustituir (2.245) y (2.246) en (2.244) resulta, 0 =

! ! m1 ! g +T 1+N

! ! 0 = m1 ! g r1+T 1 m2 ! r2 ! r2

0 = m1 g r1 Cos

! ! r 1 + m2 ! g +T2

! ! r1+N

! r1

m1 ! r1

+ T1 r1 Cos + N r1 Cos

2

+T2 r2 Cos

m1 ! r1

m2 ! r2

! r 1 + m2 ! g

! r2 ! ! r2+T 2

! r2

m1 r 1 r1 Cos 0 + m2 g r2 Cos 0

2

m2 r 2 r2 Cos 0 T1 r1

0 = m1 g r1 Sen

m 1 r 1 r 1 + m 2 g r2

T2 r2

(2.247)

m2 r 2 r2

pero, de la figura 2.48,

de manera que, r1 + r 2 = ` )

(

r1 + r2 = `

(2.248)

r1 + r2 = 0 ) r2 = r1 r1 + r2 = 0 ) r2 = r1

(2.249)

entonces, al sustituir (2.248) y (2.249) en (2.247) y teniendo presente que T2 = T1 (cuerda indeformable) resulta, m1 g r1 Sen

T1 r1

m1 r 1 r1 + m2 g (

r1 )

m1 g Sen

T1 (

r1 ) m1 r 1

m1 g Sen

m2

r1 (

r1 ) = 0

m2 g

m2 r 1

r1 = 0

m1 r 1

m2 g

m2 r 1 = 0

o, r1 =

g (m1 Sen m2 ) m1 + m2

(2.250)

y al usar la seguda de las expresiones (2.249), r2 =

g (m2 m1 Sen ) m1 + m2

(2.251)

El resultado (2.250) indica la aceleración si el sistema se mueve en la dirección de ! r 1 y el (2.251) si lo hace en la dirección de ! r 2 . Estos son los resultados conocidos, para este sistema de partículas, del curso de Física elemental. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 174

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS

EJEMPLO 2.36 Encuentre la aceleración del sistema que se muestra en la figura 2.14.2(a), usando el Principio de D’Alembert. Suponga que existe fricción y que la cuerda es indeformable, de longitud `. SOLUCION: en la figura 2.14.2(b) se muestran los vectores de posición de cada masa, los desplazamientos virtuales y las fuerzas presentes. Aquí las fuerzas aplicadas ! ! son los pesos ! w 1 = m1 ! g, ! w 2 = m2 ! g de cada masa. La tensión T , la normal N y la ! fricción F f , que son fuerzas de reacción, van a ser consideradas dentro de las aplicadas. Las fuerzas inerciales son el producto de cada masa por su correspondiente aceleración. Al aplicar el principio de D’Alembert (2.233) para N = 2 (dos partículas) resulta, N =2 X

!(a) Fi

! pi

! ri = 0

!(a) ! r1+ F2

! p2

! r2 = 0

i=1

!(a) F1

! p1

(2.252)

pero, !(a) ! ! ! F 1 = m1 ! g + T 1 + N + F f1 !(a) ! ! F 2 = m2 ! g + T 2 + F f2

(2.253) (2.254)

de manera que, al sustituir (2.253) y (2.254) en (2.252) resulta, 0 =

! ! ! m1 ! g + T 1 + N + F f1

0 = m1 ! g ! + F f2

! ! r1+T 1 ! r2

0 = m1 g r1 Cos +m2 g r2 Cos

m1 ! r1

! ! r1+N

m2 ! r2

! ! ! r 1 + m2 ! g + T 2 + F f2

! ! r 1 + F f1

! r1

2

! r 1 + m2 ! g

! r2

' + T1 r1 Cos + N r1 Cos

2

m1 ! r1

m2 ! r2

+ T2 r2 Cos + Ff 2

2 r2 Cos

+ Ff 1 r1 Cos f2

f1

! r2 ! ! r2+T 2

! r2

m1 r 1 r1 Cos 0

m2 r 2 r2 Cos 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 175

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS ! ! donde f 1 y f 2 son los ángulos que forman F f 1 y F f 2 con ! r1y ! r 2 respectivamente, los cuales tomarán valores de 0 o dependiendo en qué sentido se mueva el sistema (debe recordarse que la fuerza de fricción siempre es opuesta al sentido del movimiento). Por lo tanto, 0 = m1 g r1 Sen ' T2 r2

T1 r1 + Ff 1 r1 Cos

m1 r 1 r1 + m2 g r2 Sen + Ff 2 r2 Cos

f1

f2

(2.255)

m2 r 2 r2

pero, de la figura 2.14.2, de manera que, r1 + r 2 = ` )

(

r1 + r2 = `

(2.256)

r1 + r2 = 0 ) r2 = r1 r1 + r2 = 0 ) r2 = r1

(2.257)

entonces, al sustituir (2.256) y (2.257) en (2.255) y teniendo presente que T1 = T2 (cuerda indeformable) resulta, T1 r1 + Ff 1 r1 Cos

0 = m1 g r1 Sen ' +Ff 2 ( 0 =

r1 ) Cos

(T1 ) (

f2

m1 g Sen ' + Ff 1 Cos

0 = m1 g Sen ' + Ff 1 Cos

r1 ) m1 r 1

f1

m1 r 1

f1

m1 r 1 r1 + m2 g (

f1

m2

r1 (

m2 g Sen

r1 ) Ff 2 Cos

m2 g Sen

r1 ) Sen

Ff 2 Cos

m2 r 1

f2

r1 (2.258)

m2 r 1

f2

que da la aceleración si el sistema se mueve en la dirección de ! r 1 . En este caso la ! fuerza de fricción F f 1 formará un ángulo f 1 = con respecto a ! r 1 y la fuerza de ! ! fricción F f 2 formará un ángulo f 2 = 0 con respecto a r 2 . Por esta razón, la expresión (2.258) se puede escribir ahora como, m1 g Sen '

Ff 1

o, r1 =

m1 r 1

m2 g Sen

g (m1 Sen '

m2 Sen m1 + m2

Ff 2 Ff 1

m2 r 1 = 0 Ff 2 )

(2.259)

Por otro lado, al sustituir (2.257) en (2.255) de tal manera que sólo aparezca r 2 y teniendo presente que T2 = T1 , 0 = m1 g r1 Sen ' +Ff 2 ( 0 =

T1 r1 + Ff 1 r1 Cos

r1 ) Cos

f2

m1 g Sen ' + Ff 1 Cos

0 = m1 g Sen ' + Ff 1 Cos

(T1 ) ( f1 f1

r1 )

+ m1 r 2

+ m1 r 2

f1

m1

m2 r 2 ( m2 g Sen m2 g Sen

r2

r1 + m2 g (

r1 ) Sen

r1 ) Ff 2 Cos Ff 2 Cos

f2 f2

+ m2 r 2

+ m2 r 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

r1 (2.260) Pág.: 176

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS que da la aceleración si el sistema se mueve en la dirección de ! r 2 . En este caso la ! fuerza de fricción F f 1 formará un ángulo f 1 = 0 con respecto a ! r 1 y la fuerza de ! ! fricción F f 2 formará un ángulo f 2 = con respecto a r 2 . Por esta razón, la expresión (2.260) se puede escribir ahora como, r2 =

g (m2 Sen

m1 Sen ' m1 + m2

Ff 1

Ff 2 )

(2.261)

El resultado (2.259) indica la aceleración si el sistema se mueve en la dirección de ! r 1 y el (2.261) si lo hace en la dirección de ! r 2 . Estos dos resultados son los conocidos, para este sistema de partículas, del curso de Física elemental. .............................................................................................. El Principio de D’Alembert (2.233) debe considerarse como un principio básico de la Dinámica, alternativo a las leyes de Newton. Como caso particular, el Principio de D’Alembert da lugar al Principio de los Trabajos Virtuales estudiado en la sección anterior. Al igual que el Principio de los Trabajos Virtuales, el Principio de D’Alembert permite expresar la dinámica global del sistema en forma compacta, eliminando las fuerzas de reacción de las ligaduras lisas. Cuando lo que se busca es precisamente calcular el valor de alguna reacción, es posible realizarlo mediante trabajos virtuales empleando un artificio. Para ello, se considera esta ligadura “liberada” y la fuerza de reacción como una fuerza aplicada normal, que tendría el efecto precisamente de la ligadura, lo cual permite tomar ! ri vulnerando la ligadura. De esta manera, la reacción correspondiente sí realiza trabajo virtual y la expresión de los trabajos virtuales (2.199) o (2.233) permite calcular al final dicha reacción. La importancia de los métodos basados en los trabajos virtuales radica en que permiten obtener formulaciones prácticas muy generales para la estática o la dinámica de sistemas con varias partículas (las ecuaciones de Lagrange, por ejemplo, que serán estudiadas en el capítulo 5). Asimismo son la base de métodos numéricos, muy extendidos en la práctica, para la resolución de problemas con numerosos grados de libertad como es el caso del Método de los Elementos Finitos. Estos métodos son de una gran importancia en la Mecánica Computacional y en el cálculo de las estructuras. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 177

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

2.14.3.

Principio de Ostrogradski-Hamilton o de Acción Estacionaria

Antes de establecer el Principio de Ostrogradski-Hamilton es necesario aclarar la definición de Acción, En la Física, la Acción S es la magnitud que expresa el producto de la energía implicada en un proceso por el tiempo que dura este proceso. Se puede clasificar según el lapso de tiempo considerado en acción instantánea, acción promedio, etc. La acción es una magnitud física que no es directamente medible, aunque puede ser calculada a partir de cantidades medibles. Entre otras cosas, eso significa que no existe una escala absoluta de la acción, ni puede definirse sin ambigüedad un cero u origen de esta magnitud. La constante de Planck es el cuanto de acción. A pesar de lo diferentes que resultan tanto en sus aplicaciones como en algunos de sus principios la mecánica clásica, la mecánica relativista o la mecánica cuántica, todas las ecuaciones de evolución de los sistemas dentro de las mismas parecen derivables del principio de mínima acción aplicado a una acción de la forma adecuada, escogiendo bien el lagrangiano. Eso ha hecho que la acción sea vista como uno de los principios físicos más esenciales y de mayor generalidad conocida. La primera formulación del principio de Ostrogradski-Hamilton se debe a Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1744)13 , que dijo que la "naturaleza es económica en todas sus acciones"(D’Alembert había formulado un año antes el principio que lleva su nombre generalizando las leyes de Newton). Entre los que desarrollaron la idea se incluyen Euler y Leibniz14 . Anteriormente, Pierre de Fermat había introducido la idea de que los rayos de la luz, en situaciones ópticas tales como la refracción y la reflexión, seguían un principio de menor tiempo. El Principio de Hamilton o de acción estacionaria condujo al desarrollo de las formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de la Mecánica Clásica. Aunque sean al principio más difíciles de captar, tienen la ventaja que su cosmovisión es más transferible a los marcos de la Teoría de la Relatividad y la Mecánica Cuántica que la de las leyes de Newton. 13

Pierre Louis Moreau de Maupertuis (7 de julio de 1698, Saint-Malo — 27 de julio de 1759) Filósofo, matemático y astrónomo francés. 14 Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán. Fue uno de los grandes pensadores del siglo XVII y XVIII, y se le reconoce como el "último genio universal". SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 178

2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS El Principio de Ostrogradski-Hamilton puede enunciarse así: De todas las trayectorias posibles (compatibles con las ligaduras) que puede seguir un sistema dinámico para desplazarse de un punto a otro en un intervalo de tiempo determinado, la trayectoria verdaderamente seguida es aquella que hace mínima la acción dada por la integral temporal de la diferencia entre las energías cinética T y potencial U . Z t2 (T U ) dt (2.262) S= t1

Más adelante, en el capítulo 3, se estudiarán las herramientas matemáticas que permiten hallar los valores extremales (máximos y mínimos) de expresiones integrales como la (2.234), llamadas Funcionales Integrales.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 179

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

2.15.

Problemas

1. Mostrar que la ecuación de movimiento del péndulo simple de masa m y longitud ` mostrado en la figura 2.49, aplicando el Principio de D’Alembert y suponiendo que es pequeño, viene dada por, g + =0 `

Figura (2.49): Problema 1.

2. Utilice el Principio de D’Alembert para mostrar que el valor de , en la posición de equilibrio, de un punto de masa m situado en el interior de una semiesfera hueca de radio R que gira con velocidad angular ! constante alrededor del eje vertical (ver figura 2.50) viene dado por, 1

= Cos

g R! 2

Supóngase que no existre fricción alguna y ubíquese el origen del sistema de coordenadas de referencia en el centro de la base de la semiesfera. 3. Dos partículas de masas m1 y m2 están colocadas sobre un plano inclinado doble sin rozamiento y están unidas por una cuerda indeformable de masa despreciable que pasa sobre una polea liviana (ver figura 2.51). Usar el Principio de los Trabajos Virtuales para mostrar que en el equilibrio, Sen ' m2 = Sen m1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 180

2.15. PROBLEMAS

Figura (2.50): Problema 2.

Figura (2.51): Problemas 3 y 4.

En caso de estar en movimiento a velocidad constante, esta condición se cumple tanto si el sistema se mueve hacia la derecha como hacia la izquierda.Ubíquese el origen del sistema de coordenadas de referencia en el centro de la polea. 4. Usar el Principio de D’Alembert para mostrar que, una vez en movimiento, para el sistema mostrado en la figura 2.51 (ver problema 3) se tiene que las aceleraciones de las partículas vienen dadas por, g (m1 Sen ' m2 Sen ) m1 + m2 g (m2 Sen m1 Sen ') = m1 + m2

r1 = r2

donde r 1 es la aceleración del sistema si éste se mueve hacia la izquierda y r 2 es la aceleración si lo hace hacia la derecha. 5. Una cuerda indeformable de masa despreciable y longitud ` que pasa sobre un perno liso en B (ver figura 2.52) conecta una masa m1 sobre un plano inclinado un ángulo sin rozamiento, a otra masa m1 . Usando el Principio de los Trabajos Virtuales, mostrar que las masas estarán en equilibrio si, m2 = m1 Sen SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 181

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

Figura (2.52): Problemas 5.

Supóngase que no existe fricción alguna y ubíquese el origen del sistema de coordenadas de referencia en el centro de la polea. 6. Una escalera AB, de longitud ` y de masa m, tiene sus extremos apoyados sobre una pared vertical y sobre el piso (ver figura 2.53). El pie de la escalera está sujeto mediante una cuerda indeformable de masa despreciable a la base C de la pared de forma que la escalera hace un ángulo con el piso. Usando el Principio de los Trabajos Virtuales, mostrar que la tensión T de la cuerda viene dada por, 1 T = mg cot 2 Ubíquese el origen del sistema de coordenadas de referencia en el punto C.

Figura (2.53): Problema 6.

7. Una bolita de masa m está ensartada en un alambre liso cuya forma es la de una parábola de ecuación y = 2ax2 y gira con velocidad angular constante ! alrededor de su eje de simetría vertical (ver figura 2.54). Mostrar, usando el Principio de los SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 182

2.15. PROBLEMAS trabajos Virtuales, que el valor de ! para el cual la bolita estará en equilibrio en cualquier posición viene dado por, p ! = 2 ag

Figura (2.54): Problema 7.

8. Mostrar que si el plano inclinado del problema 5 tiene un coeficiente de rozamiento estático s se tiene que, m2 = m1 (Sen s Cos ) en el caso de que la tendencia de movimiento del sistema sea hacia la derecha y, m2 = m1 (Sen +

s

Cos )

en el caso que sea hacia la izquierda. 9. Decidir si la ligadura, f (x; y) = ydx + 1 + x2 dy = 0 presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas x y y es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semiholónoma, f = ln jyj + tan 1 x + c = 0, donde c es una constante. 10. La figura 2.55 muestra un péndulo simple formado por una masa puntual m unida a un punto fijo O por medio de una cuerda de masa despreciable y longitud `. La masa se mueve en el plano yz. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 183

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas (ecuaciones de transformación).

Figura (2.55): Problema 10.

11. La figura 2.56 muestra una máquina de Atwood simple que consiste en dos masas puntuales m1 y m2 unidas por una cuerda de longitud ` de masa despreciable que pasa a través de una polea de masa y radio despreciables. Las masas se mueven en el plano xy. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas (ecuaciones de transformación). 12. La figura 2.57 muestra un regulador centrífugo con masas m1 = m2 = m que gira con velocidad angular constante !. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas (ecuaciones de transformación). 13. Muestre que la ecuación de ligadura para el mecanismo biela-manivela mostrado en la figura 2.58 viene dada por, 0 1 s 2 L x R @Cos + Sen2 A = 0 R SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 184

2.15. PROBLEMAS

Figura (2.56): Problema 11.

donde x es pa posición del pistón respecto al origen del sistema de referencia. ¿Es holónoma, no holónoma o semi-holónoma?. Explique. 14. Un sistema está formado por dos varillas (de masas despreciables) fijas y lisas L1 y L2 en ángulo recto, una respecto de la otra, unidas entre sí como se muestra en la figura 2.59.En la barra L1 está ensartada una cuenta de masa m1 que se mueve por ella y cuya posición viene dada por, y1 = A Cos (!t) donde ! y A son constantes. En la barra L2 se encuentra ensartada una cuenta de masa m2 que se mueve por ella y cuya posición viene dada por, x2 = B Sen (!t) donde B es una costante. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas (ecuaciones de transformación). 15. Para el pédulo doble de la figura 2.60: a) Muestre que la posición (y1 ; z1 ) de la partícula de masa m1 y (y2 ; z2 ) pueden ser SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 185

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

Figura (2.57): Problema 12.

Figura (2.58): Problema 13.

escrtas como, Para m1 Para m2 donde los ángulos 1 y das propias ¿por qué?.

2

( (

y1 = `1 Sen 1 z1 = `1 Cos

1

y2 = `1 Sen 1 + `2 Sen 2 z2 = `1 Cos 1 `2 Cos

2

representan un conjunto de coordenadas generaliza-

b) De lo anterior se puede afirmar que las coordenadas generalizadas están, en general, asociadas al sistema de partículas y no a alguna de ellas en particular ¿por qué?. c) Encuentre la energía cinética total del sistema en función de

1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

y

2.

Resp.: T = Pág.: 186

2.15. PROBLEMAS

Figura (2.59): Problema 14.

2 1 2 m ` 2 1 1 1

+ 21 m2 `21

2

2

2 1 + `2

2

+ 2`1 `2

1 2

Cos (

2

1)

.

d) Encuentre la energía potencial total del sistema suponiendo que el origen de potencial (donde U = 0) está en z = 0. Resp.: U = g (2`1 m1 Cos 1 + `2 m2 Cos 2 ). 16. Decidir si la ligadura, 2

f( ; )=

3 Sen +

+2 d +

2

Cos + 2

d =0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas y es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semiholónoma, f1 ( ; ) = 3 Sen + 2 + 2 + c = 0 donde c es una constante. 17. Para los sistemas mostrados en la figura 2.61 que consisten en masas puntuales unidas mediante barras, encuentre: (1) los grados de libertad y (2) el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema. Aquí `1 , `2 , `3 son constantes y las barras tienen masas despreciables. Resp.: Sistema (a): (1) s = 5 grados de libertad: 3 de traslación del centro de masa + 2 de rotación; (2) e = 5. Sistema (b): (1) s = 6 grados de libertad: 3 de traslación del centro de masa + 3 de rotación; (2) e = 6. Sistema (c): (1) s = 3 grados de libertad: 3 de traslación del centro de masa + 3 de rotación + ángulo ; (2) e = 3. 18. Muestre que la ligadura,

f x; y; x; y = 2x + Sen y

ye

x

x + x Cos y + Cos y + e

x

y=0

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

Figura (2.60): Problema 15.

Figura (2.61): Problema 17.

es semi-holónoma e intégrela. Resp.: f1 (x; y) = x2 + x Sen y + ye c es una constante.

x

+ Sen y + c = 0 donde

19. Muestre que la ligadura, f

; x; y = x Sen

y Cos = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas x y y es no-holónoma. 20. Decidir si la ligadura, f q1 ; q2 ; q 1 ; q 2 = 3q12 + 2q22 q 1 + 4q1 q2 q 2 = 0 presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1 y q2 es semi-holónoma o no. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semi-holónoma, f1 = q13 + 2q22 q1 + c = 0 donde c es una constante. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.15. PROBLEMAS 21. Decidir si la ligadura, f q1 ; q2 ; q 1 ; q 2 = 4q1 + 3q22 q 1 + 2q1 q2 q 2 = 0 presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1 y q2 es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semiholónoma, f1 = q14 + q13 q22 + c = 0 donde c es una constante. 22. Decidir si la ligadura, f q1 ; q2 ; q3 ; q 1 ; q 2 ; q 3 = q1 q 1 + q2 q 2 + q3 q 3 = 0 presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1 , q2 y q3 es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semi-holónoma, f1 (q1 ; q2 ; q3 ) = q12 + q22 + q32 + c = 0 donde c es una constante. 23. Decidir si la ligadura, f q1 ; q 1 ; q 2 = q 1

q1 q 2 = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1 y q2 es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semiholónoma, f1 (q1 ; q2 ) = q1 e q2 + c = 0 donde c es una constante. 24. La figura 2.62 muestra a una partícula de masa m moviéndose dentro de un cono invertido liso.Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número

Figura (2.62): Problema 24.

de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas (ecuaciones de transformación). 25. La figura 2.63 muestra una partícula de masa m que se desliza sobre un aro circular liso centrado en 0 y radio R, que rota en torno al eje z con una velocidad angular ! constante.Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número

Figura (2.63): Problema 25.

de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas (ecuaciones de transformación). 26. Decidir si la ligadura, f q3 ; q 1 ; q 2 = q 1

q3 q 2 = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1 , q2 y q3 es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es no-holónoma 27. En la figura 2.64 se muestran dos rieles inclinados A0 y 0B lisos unidos en el punto 0 que forman ángulos y ' con respecto a la horizontal respectivamente.Sobre dichos rieles se colocan dos masas puntuales m1 y m2 (m1 < m2 ) unidas mediante una barra de masa despreciable y longitud `, quedando en equilibrio en la posición SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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2.15. PROBLEMAS

Figura (2.64): Problema 27.

mostrada. Demostrar, usando el Principio de los Trabajos Virtuales que el sistema alcanzará el equilibrio cuando la barra forme un águlo dado por, = tan

1

1 (m2 cot ' m1 + m2

m1 cot )

28. Usando el Principio de los Trabajos Virtuales encuentre la condición para el equilibrio estático del sistema mostrado en la figura 2.65.Se desprecian el radio y masa

Figura (2.65): Problema 28.

de la polea, la masa y la deformación la cuerda, y la fricción en el rodamiento de la polea. Ubíquese el origen del sistema de coordenadas de referencia en el centro de la polea. Resp.: F = 12 m1 g. 29. Usar el Principio de D’Alembert para encontrar la aceleración de la masa m1 en el sistema mostrado en la figura 2.66.Aquí ! a es la aceleración respecto a la Tierra con SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 191

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

Figura (2.66): Problema 29.

que sube la polea. Se desprecian el radio y masa de la polea, la masa y la deformación la cuerda, y la fricción en el rodamiento de la polea. Ubíquese el origen del sistema de coordenadas de referencia en el centro de la polea.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 192

CAPÍTULO 3 Cálculo variacional con fronteras …jas

El Cálculo Variacional constituye una herramienta matemática básica para estudiar la Mecánica de Lagrange y la Mecánica de Hamilton que serán abordadas en la parte II del presente texto, por esta razón su estudio se hace como capítulo aparte a diferencia de no pocos textos de Mecánica Clásica del mismo nivel. El contenido de este capítulo se desarrollará haciéndose énfasis en aquellos aspectos de la teoría de variaciones que tienen una aplicación directa en los sistemas clásicos, omitiendo algunas pruebas de existencia.

Contents 3.1. Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 3.1.1. De…nición de Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194

3.1.2. Variación de una funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

3.2. Planteamiento del problema variacional a estudiar . . . . . . . . . . . 200 3.3. Función vecina y variación admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 3.4. Cálculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 3.4.1. Para una variable dependiente — Ecuación de Euler . . . . . . . . . . .

206

3.4.2. Segunda forma y forma integrada de la Ecuación de Euler . . . . . . . .

212

3.4.3. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler - Lagrange 219 3.5. Cálculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 3.5.1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227

3.5.2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . .

248

193

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS 3.5.3. Restricciones del tipo Dl =

n P

j=1

Alj [yi (x) ; x] yj0 (x) + Bl [yi (x) ; x] = 0 . .

3.5.4. Restricciones del tipo isoperimétrico

R x2 x1

gl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l . . .

252 265

3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

3.1.

Funcional

3.1.1.

Definición de Funcional

Se denomina Funcional a una función J que toma funciones como su argumento, es decir, una función cuyo dominio es un conjunto de funciones. En el caso de las funciones a cada número le corresponde otro número, mientras que, en el caso de las funcionales a cada función le corresponde un número. Para los propósitos del presente texto se considerarán sólo funcionales dependientes de varias funciones de una variable ya que serán de importancia para estudios en capítulos posteriores, es decir, las funcionales a considerar tendrán la dependencia general, J = J [y (x)i ; y 0 (x)i ; x], con i = 1; 2; 3; : : : ; n

(3.1)

donde, 1. n es el número total de funciones y (x)i y el número total de sus derivadas y 0 (x)i = dyi (x) , dx 2. y (x)i y y 0 (x)i son las variables dependientes, 3. x es la variable independiente. 4. el punto y coma separa la Variable Independiente de las Variables Dependientes. En el caso de n = 1 se tendrá la dependencia, J = J [y (x) ; y 0 (x) ; x] que es el caso dependiente de una función. De forma análoga, es posible definir también las funcionales dependientes de varias funciones y las funcionales dependientes de funciones de varias variables. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 194

3.1. FUNCIONAL .............................................................................................. EJEMPLO 3.1 Algunos ejemplos de Funcionales. (a) Sea N = C [0; ] el conjunto de todas las funciones continuas y (x) definidas en el intervalo [0; ], y sea, Z y (x) dx (3.2) J= 0

una funcional que a cada función y (x) 2 C [0; ] le asocia un valor determinado por J [y (x)] entonces: (a.1) Si y (x) = x, J=

Z

xdx =

0

2

(b.2) Si y (x) = Cos x, J=

Z

(c.3) Si y (x) = e

2

Cos2 xdx =

0

x2

1 2

1 2

x3 ,

J=

Z

e

x2 3

x dx =

0

1h 1 2

1+

2

e

2

i

(b) El área A de la superficie de revolución generada al hacer girar una línea que une dos puntos fijos (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ) en torno a un eje coplanar con los dos puntos (ver figura 3.1), es una funcional que viene dada por, Z x2 1 A=2 x 1 + y 02 2 dx (3.3) x1

donde y 0 (x) =

dy(x) . dx

..............................................................................................

3.1.2.

Variación de una funcional

Se denomina Variación y (x) de una función y (x), que será denominada Camino Real, a la diferencia entre dos funciones y (x) y y0 (x) pertenecientes a una cierta clase de funciones, es decir, y (x) = y (x) y0 (x) (3.4) donde y0 (x) representa un Camino Variado a partir del Camino Real (ver figura 3.2). SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 195

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS

Figura (3.1): Superficie de revolución generada por una curva y = y (x).

La variación y puede ser interpretada físicamente como un desplazamiento virtual (ya estudiados en el capítulo anterior) a partir del camino y (x) (ver figura 3.2). Para el caso de funciones k veces diferenciables, ( y)(k) = y (k) (x)

(3.5)

La variación J de la funcional J correspondiente a la variación y de su argumento se define de la siguiente forma, Se llama Variación de una Funcional J [yi (x) ; yi0 (x) ; x] en los puntos yi = yi (x) al valor que toma en = 0 la derivada de la funcional J [yi (x) + yi (x) ; yi0 (x) + yi0 (x) ; x] respecto al parámetro . Matemáticamente se escribe, J=

@ J [yi (x) + @

yi (x) ; yi0 (x) +

yi0 (x) ; x]

(3.6) =0

A la variación (3.6) se le denomina Primera Variación de la funcional J. Es posible calcular una Segunda Variación de la funcional J pero no será considerada en el presente capítulo. Matemáticamente el símbolo variacional tiene las mismas propiedades del símbolo diferencial , al igual que para los desplazamientos virtuales como se había menSOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 196

3.1. FUNCIONAL

Figura (3.2): Camino real y camino variado.

cionado en el capítulo anterior. Debe tenerse presente que la variación de la variable independiente x es nula, es decir, x = 0. .............................................................................................. EJEMPLO 3.2 Hallar la variación de la funcional, Z b J= (x + y) dx a

donde a y b son fijos. SOLUCION: Z

J=

b

(x + y) dx

a

el que a y b sean fijos permite introducir el símbolo en la integral, por lo que es posible escribir, Z Z b

J=

b

(x + y) dx =

a

ydx

a

.............................................................................................. EJEMPLO 3.3 Hallar la variación de la funcional, Z b J= y 2 + y 02 dx a

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 197

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS donde a y b son fijos. SOLUCION: Z

J=

b

y 2 + y 02 dx

a

el que a y b sean fijos permite introducir el símbolo en la integral, por lo que es posible escribir, Z b Z b Z b 0 0 2 02 (y y + y 0 y 0 ) dx (2y y + 2y y ) dx = 2 y + y dx = J= a

a

a

.............................................................................................. EJEMPLO 3.4 Hallar la variación de la funcional, Z 1 2 J = y (0) + xy y 02 dx 0

SOLUCION:

2

J =

y (0) +

Z

1

xy Z 1

0

= 2y (0) y (0) +

y

02

2

dx = y (0) +

Z

1

xy

y 02 dx

0

(x y

2y 0 y 0 ) dx

0

.............................................................................................. EJEMPLO 3.5 Hallar la variación de la funcional, Z J= y 0 Sen ydx 0

SOLUCION: J=

Z

0

0

y Sen ydx =

Z

0

(y Sen y) dx =

0

Z

(Sen y y 0 + y 0 Cos y y) dx

0

.............................................................................................. EJEMPLO 3.6 Hallar la variación de la funcional, Z b J= y 2 dx a

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 198

3.1. FUNCIONAL donde a y b son fijos. SOLUCION: Z

J=

b 2

y dx =

Z

b 2

y dx =

b

2y ydx = 2

a

a

a

Z

Z

b

y ydx

a

..............................................................................................

EJEMPLO 3.7 Hallar la variación de la funcional,

J=

Z

b

f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; : : : ; n

a

donde f es una función continua de sus argumentos y sus derivadas parciales respecto a todos los argumentos son continuas en un recinto acotado G de variación de los mismos. Los límites de integración a, b son fijos, yi (x) = fy1 (x) ; y2 (x) ; y3 (x) ; : : : ; yn (x)g y i (x) yi0 (x) = fy10 (x) ; y20 (x) ; y30 (x) ; : : : ; yn0 (x)g = dydx . SOLUCION:

J = Z

Z

a b

b

f

[yi (x) ; yi0

(x) ; x] dx =

Z

b

f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx

a

@f @f @f @f @f @f y1 + y2 + y3 ; : : : ; yn + 0 y10 + 0 y20 @y1 @y2 @y3 @yn @y1 @y2 a @f @f + 0 y30 ; : : : ; 0 0 yn dx @y3 @yn ! Z bX Z b X n n n X @f @f @f @f 0 = yi + yi dx = yi + 0 yi0 dx 0 @yi @yi @yi @yi a a i=1 i=1 i=1

=

.............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 199

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS

3.2.

Planteamiento del problema variacional a estudiar El problema variacional que se abordará en el presente capítulo es el de determinar las funciones yi (x) = fy1 (x) ; y2 (x) ; y3 (x) ; : : : ; yn (x)g tales que la integral, Z x2 dyi (x) f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con yi0 (x) = ; x1 ; x2 fijos e i = 1; 2; 3; : : : ; n J= dx x1 (3.7) bajo las condiciones de frontera, ( yi (x1 ) = ai , con i = 1; 2; 3; : : : ; n; ai y bi constantes (3.8) yi (x2 ) = bi tenga un valor estacionario, es decir, que resulte un valor extremal (un máximo o un mínimo) considerando sólo las limitaciones que imponen las mencionadas condiciones de frontera o cuando, adicionales a ellas, se consideran restricciones que involucran las yi (x) y sus derivadas yi0 (x).

A las funciones yi (x) así obtenidas se les dará el nombre de Funciones Extremales o Caminos Extremales de J. A la J de la forma (3.7) se le denomina también Funcional Integral. Existen leyes de la Física que se apoyan en la afirmación de que una determinada funcional alcanza su mínimo o su máximo en una determinada situación. Dichas leyes reciben el nombre de Principios Variacionales de la Física. A dichos principios pertenecen el Principio de la Mínima Acción ya mencionado al final del capítulo anterior, la Ley de Conservación de la Energía, la Ley de Conservación del Impulso, la Ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento, el Principio de Fermat en Optica, etc. El problema variacional que se plantea en este capítulo se diferencia del cálculo de los valores extremales estudiado en los cursos de cálculo diferencial e integral, en el cual se tiene que variar una sola variable o un conjunto de ellas, en que ahora lo que será variado es una función y (x) o un conjunto yi (x) de ellas. Sin embargo, se puede aplicar el mismo criterio: cuando la integral (3.7) tiene un valor estacionario, debe permanecer sin cambios hasta el primer orden al hacer una pequeña variación en las funciones yi (x). Este es, justamente, el criterio que será usado más adelante. Como en el cálculo diferencial, la anulación de la primera derivada es una condición necesaria pero no suficiente para un máximo o un mínimo; así en el cálculo variaSOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 200

3.3. FUNCIÓN VECINA Y VARIACIÓN ADMISIBLE cional se habla de Primeras Variaciones y Segundas Variaciones de J, donde las últimas se emplean para discriminar entre máximos, mínimos y puntos de inflexión. Como se dijo antes, en este texto sólo se trabajará con la primera variación y se emplearán razonamientos geométricos o físicos para decidir si se ha encontrado un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. El funcional J depende de la función y (x), y los límites de integración x1 y x2 son fijos. Sin embargo, no es necesario que los límites de integración sean considerados fijos de manera que, si se permite que estos límites varíen, el problema se convierte en no sólo determinar y (x) sino también x1 y x2 de manera tal que J tome un valor estacionario. La función y (x) tiene entonces que ser variada hasta que se consiga un valor estacionario de J, queriéndose decir con esto que si y = y (x) hace que J tome un valor mínimo entonces cualquier Función Vecina, no importando lo cerca que esté de y (x), hará que J se incremente.

3.3.

Función vecina y variación admisible Se da el nombre de Función Vecina, Función Variada, Camino Vecino o Camino Variado de yi = yi (x) a todas las posibles funciones yi = yi ( ; x) con la condición de que, para = 0, yi (0; x) = yi (x).

Para caminos variados yi = yi ( ; x) la funcional (3.7) se puede escribir como, Z x2 J ( )= f [yi ( ; x) ; yi0 ( ; x) ; x] dx

(3.9)

x1

convirtiéndose así en un funcional del parámetro . La condición fundamental para que esta integral tome un valor estacionario es que su primera variación se anule, @J @

=0

(3.10)

=0) J =0

Ahora, considérese el caso de una sola variable dependiente y (x). En este caso (3.9) se escribe como, Z x2 J( )= f [y ( ; x) ; y 0 ( ; x) ; x] dx (3.11) x1

manteniéndose inalterada la condición (3.10).

Como caso particular considérese la función variada (ver figura 3.3), y ( ; x) = y (0; x) +

(x) = y (x) +

(x) | {z }

(3.12)

= y(x)

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 201

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS donde la variación (x) es una función auxiliar que introduce la variación y que debe anularse en las fronteras del camino x = x1 y x = x2 , (x1 ) = (x2 ) = 0 ) y (x1 ) = y (y2 ) = 0

(3.13)

debido a que la función variada y ( ; x) debe ser idéntica a y (x) en las fronteras del camino. Por simplicidad, se supondrá que y (x) y (x) son continuas y no singulares en el intervalo [x1 ; x2 ] con primera y segunda derivada continua en el mismo intervalo. y1 y2 y (x) + y (x) x1 x2 x y 0 y (x) = (x) Se denomina Variación Admisible de la funcional integral J a cualquier variación que cumpla con la condición (3.13).

Figura (3.3): La función y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un valor extremal. Las funciones y ( ; x) = y (x) + (x) = y (x) + y (x) son las funciones vecinas, donde (x) se anula en las fronteras del intervalo [x1 ; x2 ].

.............................................................................................. EJEMPLO 3.8 (a) Dada la función y (x) = 3x, construir funciones y ( ; x) vecinas a ella mediante (3.12) con (x) = Sen x Cos x + 1 y graficarlas para algunos valores de entre x1 = 0 y x2 = 2 , (b) mostrar que (x) cumple con la condición (3.13), h i2 (c) suponiendo que la función f = f (y; y 0 ; x) viene dada por f = dy(dx;x) , encontrar SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 202

3.3. FUNCIÓN VECINA Y VARIACIÓN ADMISIBLE

Figura (3.4): Función y (x) = 3x entre los límites de x = 0 y x = 2 3x + [Sen (x) Cos (x) + 1] (Ejemplo 3.1).

y dos de sus variaciones y ( ; x) =

J ( ) dada por (3.11) en el intervalo antes considerado y (d) mostrar J ( ) cumple la condición (3.10). SOLUCION: (a) Los caminos vecinos al camino estacionario vendrán dados por, y ( ; x) = y (x) +

(x) = 3x +

Estos caminos son mostrados en la figura 3.4 para

(Sen x

(3.14)

Cos x + 1)

= 0 y otros dos valores de .

(b) Es claro que la función (x) = Sen x Cos x + 1 cumple con que se anule en las fronteras x1 = 0 y x2 = 2 , ( (x = 0) = Sen (0) Cos (0) + 1 = 0 (3.15) (x = 2 ) = Sen (2 ) Cos (2 ) + 1 = 0 cumpliéndose así la condición (3.13). (d) Para encontar f (y; y 0 ; x) se determina primero, d dy ( ; x) = [3x + dx dx entonces, dy ( ; x) f= dx

(Sen x

Cos x + 1)] = 3 +

(Cos x + Sen x)

(3.16)

2

= 9 + 6 (Cos x + Sen x) +

2

[Sen (2x) + 1]

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.17) Pág.: 203

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Ahora, a partir de (3.11) finalmente se obtiene, Z 2 9 + 6 (Cos x + Sen x) + 2 [Sen (2x) + 1] dx = 2 J( )=

9+

2

(3.18)

0

pudiéndose notar que J ( ) es siempre mayor que J (0), no importando el valor (positivo o negativo) escogido para . (d) A partir de (3.18) se tiene que, @J @J = 2 @ @

9+

2

=4

)

@J @

= 4 (0) = 0

(3.19)

=0

cumpliéndose así la condición (3.10). .............................................................................................. EJEMPLO 3.9 (a) Dada la parábola y (x) = x2 , construir funciones y ( ; x) vecinas a ella mediante (3.12) con (x) = x3 x y graficarlas para algunos valores de entre x1 = 1 y x2 = 1, (b) mostrar que (x) cumple con la condición (3.13), (c) suponiendo h i2 que la función f = f (y; y 0 ; x) viene dada por f = dy(dx;x) + x, encontrar J ( ) dada por (3.11) en el intervalo antes considerado y (d) mostrar J ( ) cumple la condición (3.10).

Figura (3.5): Función y (x) = x2 entre los límites de x = x2 + x3 x .

1 y x = 1 y dos de sus variaciones y ( ; x) =

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 204

3.3. FUNCIÓN VECINA Y VARIACIÓN ADMISIBLE SOLUCION: (a) Los caminos vecinos al camino estacionario vendrán dados por, (x) = x2 +

y ( ; x) = y (x) +

Estos caminos son mostrados en la figura 3.5 para (b) Es claro que la función x1 = 1 y x2 = 1, (

(x) = x3

x3

(3.20)

x

= 0 y otros dos valores de .

x cumple con que se anule en las fronteras

(x = 1) = ( 1)3 ( 1) = 0 (x = 1) = (1)3 (1) = 0

(3.21)

cumpliéndose así la condición (3.13). (d) Para encontar f (y; y 0 ; x) se determina primero, d dy ( ; x) = x2 + dx dx entonces, dy ( ; x) f= dx

x3

x

3x2

= 2x +

2

+ x = 2x +

3x2

1

Ahora, a partir de (3.11) finalmente se obtiene, Z 1n o 2 2 J( )= 2x + 3x 1 + x dx = 8 1

2

(3.22)

1

(3.23)

+x

1 1 + 3 5

2

(3.24)

pudiéndose notar que J ( ) es siempre mayor que J (0), no importando el valor (positivo o negativo) escogido para . (d) A partir de (3.24) se tiene que, @J @J 8 = @ @

1 1 + 3 5

2

=

16 5

)

@J @

= =0

16 (0) = 0 5

(3.25)

cumpliéndose así la condición (3.10). .............................................................................................. Por último, es de hacer notar que si J es independiente del camino, entonces el problema variacional pierde todo sentido. Se sabe, de los cursos básicos de cálculo diferencial e integral, que la integral (3.7) será independiente del camino escogido si la cantidad f dx es una diferencial exacta. En el caso de que, f dx = M (x; y; z) dx + N (x; y; z) dy + R (x; y; z) dz SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.26) Pág.: 205

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS será exacta si se cumple que,

8 > < > :

3.4. 3.4.1.

@M @y @M @z @N @z

= @N @x = @R @x = @R @y

(3.27)

Cálculo de extremales sin restricciones Para una variable dependiente — Ecuación de Euler

En esta sección se determinará la única función y (x) tal que la integral funcional J (3.11) tome un valor estacionario sin restricciones adicionales a las ya impuestas por las condiciones de frontera x = x1 (fijo) y x = x2 (fijo). Para realizar lo anterior, se debe calcular la variación de (3.11) para luego aplicar la condición (3.10). En efecto, Z x2 J( )= f [y ( ; x) ; y 0 ( ; x) ; x] dx (3.28) x1

Puesto que los límites de integración son fijos, el símbolo sólo afecta al integrando (es posible introducir en la integral) resultando así, Z x2 Z x2 Z x2 @f 0 @f dy @f @f J = y + 0 y dx = y+ 0 f dx = dx @y @y @y @y dx x1 x1 x1 Z x2 Z x2 Z x2 @f d @f d @f @f y+ 0 ( y) dx = ydx + ( y) dx (3.29) = 0 @y @y dx x1 @y dx x1 @y x1 | {z } dy Puesto que ( dx )= dxd ( y) El segundo término de (3.29) puede ser integrado por partes, ( Z Z @f @f = u = @y 0 ) du = d @y 0 udv = uv vdu, con d dv = dx ( y) dx ) v = y

d dx

@f @y 0

dx

(3.30)

de manera que, Z

x2

x1

@f d @f ( y) dx = y @y 0 dx @y 0

pero, @f y @y 0

x2 x1

Z

x2

x1

d dx

@f @y 0

ydx

(3.31)

x2

=0

(3.32)

x1

ya que y debe anularse en x1 y x2 por ser una variación admisible. Entonces (3.31) resulta en, Z x2 Z x2 @f d d @f ( y) = ydx (3.33) 0 @y 0 x1 @y dx x1 dx SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 206

3.4. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES así la expresión (3.29) queda finalmente escrita como, Z x2 Z x2 Z x2 @f d @f @f J= ydx ydx = 0 @y @y x1 @y x1 dx x1

d dx

@f @y 0

ydx

(3.34)

Ahora, al aplicar la condición (3.10) para encontrar así los valores estacionarios de J resulta, Z x2 @f d @f ydx = 0 (3.35) J= @y dx @y 0 x1 que es independiente de ya que la anterior expresión está evaluada en = 0 en virtud de haber aplicado la condición (3.10). Aquí la variación y es completamente arbitraria. Por otro lado, en el cálculo variacional existe el llamado Lema 1 Fundamental del Cálculo de Variaciones (ver apéndice D) que establece lo siguiente: Si se cumple la expresión, Z

x2

(3.36)

M (x) (x) = 0

x1

para todas las funciones arbitrarias (x) continuas hasta la segunda derivada (al menos), entonces M (x) debe anularse idénticamente en el intervalo (x1 ; x2 ). Ahora bien, al aplicar el anterior lema a la expresión (3.35) resulta,

2 6 4

@f d @f =0 @y dx @y 0 | {z } Ecuación de Euler para funcionales de una variable dependiente.

(3.37) 3 7 5

Este resultado es conocido como la Ecuación de Euler 2 , que constituye la condición necesaria para que J tenga un valor estacionario. .............................................................................................. 1 2

Proposición que es preciso demostrar antes de establecer un teorema. Leonhard Paul Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 207

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS

EJEMPLO 3.10 Hallar las extremales de la funcional, Z x2 y 2 + y 02 + 2yex dx J= x1

SOLUCION: aquí, f = y 2 + y 02 + 2yex

(3.38)

Ahora bien, al sustituir (3.38) en la ecuación de Euler (3.37) resulta, @ y 2 + y 02 + 2yex @y

d @ = 0 y 2 + y 02 + 2yex dx @y 0 y + ex y 00 = 0

(3.39)

La expresión (3.39) es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes, cuya solución es, y = c1 ex + c2 e

x

1 + xex 2

(3.40)

que representa una familia de caminos extremales. .............................................................................................. EJEMPLO 3.11 Hallar la extremal de la funcional, Z 2 02 y J= dx 1 4x que satisfaga las condiciones de frontera y (1) = 5 y y (2) = 11. La extremal encontrada ¿maximiza o minimiza a J? SOLUCION: aquí, y 02 f= (3.41) 4x Ahora bien, al sustituir (3.41) en la ecuación de Euler (3.37) resulta, @ @y

y 02 4x

y 02 4x d y0 dx x

d @ dx @y 0

= 0 = 0

(3.42)

que al integrarse produce, y 0 = c1 x SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.43) Pág.: 208

3.4. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES Al integrar (3.43) resulta,

c1 2 x + c2 2 Si ahora se aplican las condiciones de frontera sobre (3.44) resulta, ( y (1) = 5: c21 + c2 = 5 Para y (2) = 11: 2c1 + c2 = 11 y=

(3.44)

(3.45)

de las cuales se obtiene c1 = 4 y c2 = 3. Por lo tanto, al sustituir estos resultados en (3.44) se obtiene finalmente, y = 2x2 + 3 (3.46) que es una parábola. Queda ahora por responder la pregunta: ¿la parábola (3.46) maximiza o minimiza a J?. La extremal hallada puede maximizar, minimizar o no hacer ninguna de las dos cosas. Con la teoría mostrada en este texto no es posible, en general, decidir qué es lo que ocurre. Sin embargo existen unos pocos casos simples (este ejemplo es uno de ellos) donde se puede decidir muy fácilmente. Si es cualquier variación admisible (ver sección 3.3) no necesariamente pequeña, entonces la variación que sobre J hace viene dada por (ye = y extremal= 2x2 + 3), Z Z 2 2 1 21 d 1 21 d J (ye + ) J (ye ) = (ye + ) dx (ye ) dx 4 1 x dx 4 1 x dx Z 2 Z 2 2 1 (4x + 0 ) = xdx dx 4 4 1 x 1 Z 2 1 2 02 = 2 + dx 4 1 x 1 y como es una variación admisible debe satisfacer (1) = 0 y se tiene que, Z 1 2 02 J (ye + ) J (ye ) = dx 0 4 1 x

(2) = 0, por lo tanto (3.47)

Entonces, ya que la integral de una función positiva debe ser positiva (x es positiva en el intervalo de integración), (3.46) proporciona realmente un mínimo global de J. El mínimo global de J viene dado al sustituir (3.46) en J y evaluar la integral resultante. En efecto, Z 2 2 1 d 2 2 J 2x + 3 = 2x + 3 dx = 6 (3.48) 1 4x dx

Es de hacer notar que, en el caso de que J provenga de una f obtenida del análisis de una situación física en particular, las condiciones físicas del sistema estudiado pueden ayudar a saber si el extremal encontrado para J es un máximo o un mínimo.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 209

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS .............................................................................................. EJEMPLO 3.12 ¿En qué curva puede alcanzar su extremo la funcional, Z 1 y 02 + 12xy dx J= 0

sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 1?. SOLUCION: aquí, f = y 02 + 12xy

(3.49)

Ahora bien, al sustituir (3.49) en la ecuación de Euler (3.37) resulta, @ y 02 + 12xy @y

d @ y 02 + 12xy = 0 0 dx @y 6x y 00 = 0

(3.50)

La ecuación diferencial (3.50) tiene como solución, y = x3 + c1 x + c2

(3.51)

Para hallar las constantes c1 y c2 se aplican sobre (3.51) las condiciones de frontera dadas. En efecto, ( y (0) = 0: c2 = 0 Para (3.52) y (1) = 1: 1 + c1 + c2 = 1 ) c1 = 0 Por último, al sustituir (3.52) en (3.51) resulta, y = x3

(3.53)

.............................................................................................. EJEMPLO 3.13 Superficie mínima de revolución. Considerar la superficie generada al hacer girar una línea que une dos puntos fijos (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ) en torno a un eje coplanar con los dos puntos. Determinar la ecuación de la línea que une dichos puntos de manera tal que el área de la superficie generada (el área de la superficie de revolución) sea mínima. SOLUCION: supóngase que la curva que pasa a través de (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ) es trasladada en torno al eje y, coplanar con los dos puntos. Para calcular el área total de la superficie de revolución, primero se encuentra el área dA de una cinta (ver figura 3.6), de manera que, 1 dA = xdsd' = x dx2 + dy 2 2 d' (3.54) SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 210

3.4. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES

Figura (3.6): Superficie de revolución generada por una curva que une a los puntos (x1 ; y1 ).y (x1 ; y1 ), haciéndola trasladarse entrono al eje y.

donde se ha supuesto que la curva generatriz está en el plano (x; y). Pudo haberse partído con la curva generatriz en el plano (y; z) sin problema alguno, siendo para este caso dA = zdsd'. Al integrar (3.54), A=

Z

(x2 ;y2 )

(x1 ;y1 )

Z

2 2

x dx + dy

2

1 2

d' = 2

Z

x2

x 1 + y 02

1 2

dx

(3.55)

x1

0

donde se ha escogido x como variable independiente. Si se hubiese escogido y como Rx 1 variable independiente se tendría A = 2 x12 x (x02 + 1) 2 dy con x0 = dx . dy El área (3.55) es la cantidad que se quiere minimizar, por lo tanto, f = 2 x 1 + y 02

1 2

(3.56)

y como, @f @y

entonces, de (3.37) resulta,

@f @y 0

=0

=2

xy 0

(3.57)

1

(1+y 02 ) 2

" # d xy 0 =0 2 1 dx (1 + y 02 ) 2 xy 0 1

(1 + y 02 ) 2

= c1 , c1 = constante

de aquí que, c1

0

y = (x2

c21 )

1 2

) y = c1

Z

(3.58)

dx (x2

1

c21 ) 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.59) Pág.: 211

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS donde se ha tomado el signo positivo para y en concordancia con el sistema de coordenadas de referencia que se está usando. La solución de (3.59) viene dada por, q y = c1 ln x + x2

c21

(3.60)

+ c2

donde c2 es una segunda constante de integración. Las constantes c1 y c2 pueden ser determinadas requiriendo que la curva pase por los puntos (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ). Como, cosh

1

x = ln x +

p

x2

1

la expresión (3.60) puede ser escrita también como, x = c1 Cosh

y

c2

(3.61)

c1

que es la ecuación de la Catenaria. Las constantes c1 y c2 se encuentran a partir de las condiciones de frontera. ..............................................................................................

3.4.2.

Segunda forma y forma integrada de la Ecuación de Euler

Es posible reescribir la ecuación de Euler (3.37), obteniéndose así una segunda forma de la misma que es muy conveniente para funcionales f que no dependen explícitamente de la variable independiente x, es decir, donde @f = 0. @x Para obtener dicha segunda forma, nótese primero que para cualquier funcional f (y; y 0 ; x) se tiene, df @f dy @f dy 0 @f @f @f @f = + 0 + = y0 + y 00 0 + dx @y dx @y dx @x @y @y @x

(3.62)

y además, d dx

y0

@f @y 0

= y 00

@f 0 d + y @y 0 dx

@f @y 0

(3.63)

@f ahora, al despejar y 00 @y 0 de (3.62) y sustituirlo en (3.63) resulta,

d dx

y0

@f @y 0

=

df dx

@f @x

y0 |

@f @y

d @f dx @y 0 {z }

(3.64)

=0 por (3.37)

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 212

3.4. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES donde el último término se anula debido a la ecuación de Euler (3.37). Por lo tanto,

2 6 4

@f @f d f y0 0 = 0 @x dx @y | {z } Segunda forma de la Ecuación de Euler para funcionales de una variable dependiente.

(3.65) 3 7 5

que a menudo se le llama Segunda Forma de la Ecuación de Euler. Es posible usar (3.65) en casos en los cuales f no depende explícitamente de x, de manera que @f = 0. Entonces, @x

2 6 4

@f @f = 0) f y 0 0 = c; c = constante (para @y @x | {z } Forma integrada de la Ecuación de Euler para funcionales de una variable dependiente

(3.66) 3 7 5

que es la llamada Forma Integrada de la Ecuación de Euler. .............................................................................................. EJEMPLO 3.14 Hallar las extremales de la funcional, Z x2 p 02 y +1 J= dx y x1 SOLUCION: aquí, f=

p

y 02 + 1 y

(3.67)

que no depende explícitamente de x, por lo tanto, es posible usar la forma integrada de la ecuación de Euler. En efecto, al sustituir (3.67) en (3.66) resulta, ! p p 02 + 1 y 02 + 1 y @ =c y0 0 y @y y

o,

1 p =c y y 02 + 1

y0 =

1p 1 cy

c2 y 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.68) Pág.: 213

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS que constituyen un par de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de variables separables. Al integrar (3.68) resulta, (x

c1 )2 + y 2 =

1 c2

(3.69)

donde c1 es una constante de integración. Por lo tanto, las curvas extremales de la funcional dada son una familia de circunferencias centradas en (c1 ; 0) y de radio 1c . .............................................................................................. EJEMPLO 3.15 El problema de la Braquistócrona3 . Supóngase que se tiene una rampa lisa como la mostrada en la figura 3.7 sobre la cual, y desde el punto P1 , se suelta una partícula de masa m que comienza a moverse bajo la acción de la gravedad. El punto P1 se encuentra a una altura h sobre el suelo, mientras que P2 se

Figura (3.7): Partícula de masa m que se desplaza sobre una rampa lisa desde el punto P1 hasta el punto P2 .

encuentra a nivel del mismo a una distancia horizontal d. Encontrar la forma que debe tener el perfil de esta rampa de manera tal que la mencionada partícula emplee el menor tiempo posible en viajar desde P1 hasta P2 . SOLUCION: como se muestra en la figura (3.8), el perfil pedido será la curva y = y (x) que une P1 con P2 de manera tal que el tiempo que emplea la partícula en viajar desde P1 hasta P2 sea el menor posible. Si se escoge un sistema de coordenadas de referencia cuyo origen coincide con el punto P1 , entonces P1 = (x1 ; y1 ) = (0; 0) y P2 = (x2 ; y2 ) = (d; h). 3

Del griego Braquistos = “el más breve” y Cronos= tiempo. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 214

3.4. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES

Figura (3.8): Planteamiento gráfico del problema de la braquistócrona.

Puesto que el campo gravitacional es conservativo, entonces la energía mecática total E de la partícula se mantiene constante durante todo el recorrido. En el punto P1 se tiene E = T + U = 0 y en cualquier otro punto P = (x; y), 1 E = T + U = mv 2 + mgy = 0 2

(3.70)

de la cual resulta, 1

(3.71)

v = ( 2gy) 2 Por otro lado se sabe que, (

v=

ds dt

(3.72)

1

ds = (dx2 + dy 2 ) 2

entonces, t=

Z

(x2 ;y2 )=(d; h)

(x1 ;y1 )=(0;0)

ds = v

Z

(d; h)

1

(dx2 + dy 2 ) 2 1

(0;0)

( 2gy) 2

=

Z

x2 =d

x1 =0

1 + y 02 2gy

1 2

dx

(3.73)

El tiempo transcurrido durante todo el movimiento es la cantidad que se quiere minimizar, por lo tanto, de (3.73) la función f puede ser identificada como, f=

1 + y 02 2gy

1 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.74) Pág.: 215

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS que no depende explícitamente de la variable independiente x. Entonces, a partir de la forma integrada de la ecuación de Euler (3.66) resulta, " 1 1# 02 2 02 2 1+y @ 1+y y0 0 = c 2gy @y 2gy 1 + y 02

y 02

1 2

(1 + y 02 ) 1 2gc2 y

o,

Z

x=

1

1 2

= y0

1

y 1 2gc2

= ( 2gy) 2 c

1 2

y

! 12

(3.75)

dy

Ahora, al hacer el cambio de variable4 , y=

1 Sen2 2gc2 2

la expresión (3.75) se puede escribir como, Z 1 1 x= ( Sen2 d = 2 2gc 2 4gc2

(3.76)

(3.77)

Sen ) + C

donde se ha escogido el signo positivo para x en correspondencia al sistema de coordenadas de referencia usado. Como al inicio del movimiento (x; y) = (0; 0), entonces de (3.76) se obtiene de (3.77) C = 0, de manera que, x=

1 ( 4gc2

Sen )

=0y

(3.78)

Además, la expresión (3.76) puede reescribirse como, y=

1 (1 4gc2

Cos )

(3.79)

En conjunto, las expresiones (3.78) y (3.79) representan las ecuaciones paramétricas de una cicloide que pasa por el origen (ver figura 3.9), siendo éste el perfil que debe tener la rampa para que la partícula se mueva de P1 hasta P2 en el menor tiempo posible. La constante c debe ser ajustada para permitir que la cicloide pase a través 4

El signo negativo es por el sistema de coordenadas de referencia usado. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 216

3.4. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES

Figura (3.9): Camino resultante para que la partícula se mueva desde (x1 ; y1 ) = (0; 0) hasta (x2 ; y2 ) = (d; h) en el menor tiempo posible.

del punto de llegada P2 . En efecto, al evaluar las expresiones (3.78) y (3.79) en P2 se obtiene, Para x = d ) Para y =

h)

Sen = 4gc2 d a partir de (3.78) = Cos

1

1

4gc2 h a partir de (3.79

entonces, al sustituir (3.78) en (3.79) resulta, hp Cos 1 1 4gc2 h = 2c 2gh (1

i 2gc2 h) + 2gcd

(3.80) (3.81)

(3.82)

expresión que proporciona el ajuste de la constante c.

La curva obtenida, la cicloide, recibe el nombre de Curva Braquistócrona o curva del descenso más rápido. Esta curva coincide además con una Curva Tautócrona o Curva Isócrona ya que si se colocan varias partículas sobre ella en distintos puntos de partida y se les suelta al mismo tiempo, llegan a encontrarse al mismo tiempo en un punto posterior, es decir, tardan el mismo tiempo en alcazar una posición común. .............................................................................................. EJEMPLO 3.16 Se tiene una película de jabón entre dos anillos paralelos concéntricos de radio a, separados por una distancia 2d (ver figura 3.10). Encuentre la forma adquirida por la película de jabón. SOLUCION: la forma que adquirirá la película de jabón será aquella que minimice la energía del sistema (todo sistema al tender a la estabilidad, tiende a su estado de mínima energía), por lo tanto este estado debe corresponder a aquél donde la superficie de la película de jabón sea la mínima. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 217

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS

Figura (3.10): Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio a y separados por una distancia 2d.

Es fácil ver de la figura 3.10 que las condiciones de frontera vienen dadas por y (d) = a y y ( d) = a. El elemento de superficie de la película de jabón vendrá dado por, (3.83)

dS = 2 yds y, ds2 = dy 2 + dz 2 ) ds = con y 0 =

dy : dz

p

y 02 + 1dz

(3.84)

Aquí y es la variable dependiente y z la independiente. Por lo tanto, Z d p (3.85) S=2 y y 02 + 1dz d

que es la cantidad que se quiere minimizar. En (3.85) es posible identificar, p f = 2 y y 02 + 1

(3.86)

Ahora bien, como f no depende de la variable independiente z, entonces es posible usar la forma integrada (3.66) de la ecuación de Euler. Entonces, f 2 y o,

p

y0

y 02 + 1

@f dy = c, con y 0 = 0 @y dz 2 y0 y 02 =

p @ y y 02 + 1 = c @y 0 y2 c21

1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.87) Pág.: 218

3.4. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES con c1 =

c 2

. Al introducir el cambio de variable, y = c1 Cosh u

(3.88)

en (3.87) e integrando resulta, y = c1 Cosh

z + c2 c1

(3.89)

con c2 una constante de integración. Esta es la curva que genera la superficie de revolución buscada. Las constantes c1 y c2 se calculan aplicando las condiciones de frontera y (d) = a y y ( d) = a sobre (3.89). En efecto, 8 < y (d) = a: a = c1 Cosh d + c2 c1 Para (3.90) d : y ( d) = a: a = c1 Cosh + c 2 c1

de las cuales se deduce que c2 = 0 ya que d 6= 0. La constante c1 vendrá dada por, a = c1 Cosh

d c1

(3.91)

que es una ecuación trascendental para dicha constante. Por último (3.89) se puede escribir como, y = c1 Cosh

z c1

(3.92)

con c1 dada por (3.91). La expresión (3.92) es la ecuación de una catenaria, por lo tanto, en perfil la película de jabón toma esta forma, con una distancia mínima al eje de rotación dada por c1 (verificarlo). ..............................................................................................

3.4.3.

Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler Lagrange

En esta sección se determinarán las funciones yi (x) tales que la integral funcional J (3.9) tome un valor estacionario sin restricciones adicionales a las ya impuestas por las condiciones de frontera x = x1 (fijo) y x = x2 (fijo). Para realizar lo anterior, se debe calcular la variación de (3.9) para luego aplicar la condición (3.10). En efecto, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 219

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Z

J=

x2

f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx

(3.93)

x1

Al igual que en la sección anterior, puesto que los límites de integración son fijos, el símbolo sólo afecta al integrando resultando así,

J =

Z

x2

f dx =

x1

=

n Z X i=1

x2

x1

Z

|

x2

x1

n X i=1

@f @f yi + 0 yi0 dx = @yi @yi {z }

Ver ejemplo 3.7

Z

X @f @f d yi + 0 ( yi ) dx = @yi @yi dx i=1 n

Z

x2

x1

x2

x1

n X @f @f yi + 0 @yi @yi i=1

@f yi dx + @yi

Z

x2

x1

El segundo término de (3.94) puede ser integrado por partes, ( Z Z @f @f d u = @y = dx 0 ) du = d @yi0 i udv = uv vdu, con d dv = dx ( yi ) dx ) v = yi

dyi dx

dx

@f d ( yi ) dx (3.94) @yi0 dx

@f @yi0

dx

(3.95)

de manera que, Z

x2

x1

@f d @f ( yi ) dx = yi 0 @yi dx @yi0

pero,

Z

x2

x2

x1

x1

d dx

@f @yi0

yi dx

(3.96)

x2

@f yi @yi0

(3.97)

=0 x1

ya que yi debe anularse en x1 y x2 por ser una variación admisible. Entonces (3.96) resulta en, Z x2 Z x2 @f d d @f ( yi ) dx = yi dx (3.98) 0 @yi0 x1 @yi dx x1 dx así la expresión (3.94) queda finalmente escrita como,

J =

Z n X i=1

=

x2

x1

Z n X i=1

x2

x1

@f yi dx @yi @f @yi

d dx

Z

x2

x1

@f @yi0

d dx

@f @yi0

yi dx

yi dx

(3.99)

Ahora, al aplicar la condición (3.10) para encontrar así el valor estacionario de J resulta, Z x2 n X @f d @f J= yi dx = 0 (3.100) 0 @y dx @y i x i 1 i=1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 220

3.4. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES que es independiente de ya que la anterior expresión está evaluada en = 0 en virtud de haber aplicado la condición (3.10). Aquí la variación yi es completamente arbitraria, entonces al aplicar el lema fundamental del cálculo de variaciones (3.36) resulta,

2 6 4

@f d @f = 0, con i = 1; 2; 3; :::; n @yi dx @yi0 | {z } Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiples variables dependientes.

(3.101) 3 7 5

que son las ecuaciones de Euler para un funcional J de múltiple variables dependientes y conforman un conjunto de n ecuaciones diferenciales. Se les conoce también como Ecuaciones de Euler-Lagrange. .............................................................................................. EJEMPLO 3.17 Hallar las extremales de la funcional, Z 2 J= y 02 + z 02 + 2yz dx 0

sabiendo que y (0) = 0, y SOLUCION: aquí,

2

= 1 y z (0) = 0, z

2

=

1.

f = y 02 + z 02 + 2yz

(3.102)

Ahora bien, f tiene dos variables dependientes y y z, por lo tanto, se debe escribir una ecuación de Euler para cada una de estas variables. Al sustituir (3.102) en las ecuaciones de Euler (3.101) (para i = 1; 2 con y1 = y y y2 = z) resulta, Para i = 1: @ y 02 + z 02 + 2yz @y

@f @y

d dx

@f @y 0

=0

d @ y 02 + z 02 + 2yz = 0 dx @y 0 z y 00 = 0

(3.103)

y, Para i = 2: @ y 02 + z 02 + 2yz @z

@f @z

d dx

@f @z 0

=0

d @ y 02 + z 02 + 2yz = 0 dx @z 0 y z 00 = 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.104) Pág.: 221

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Si entre (3.103) y (3.104) se elimina z resulta, y IV

(3.105)

y=0

que al integrarla produce, y = c1 ex + c2 e

x

+ c3 Cos x + c4 Sen x

(3.106)

Para encontrar z, se sustituye (3.106) en (3.103) resultando, z = c1 ex + c2 e

x

c3 Cos x

c4 Sen x

(3.107)

Por último, al aplicar las condiciones de frontera sobre (3.106) en (3.107) resulta, 8 c1 = 0 > > > < c =0 2 (3.108) > c3 = 0 > > : c4 = 1

por lo tanto, sustituyendo estos resultados en (3.106) y (3.107), ( y = Sen x (3.109) z = Sen x .............................................................................................. EJEMPLO 3.18 J=

Z

Analizar el extremo de la funcional, x2

[4x + 2y

z + (2x

2y + z) y 0 + ( x + y + 2z) z 0 ] dx

x1

sabiendo que y (x1 ) = yo , y (x2 ) = y1 y z (x1 ) = zo , z (x2 ) = z1 . SOLUCION: la integral no depende del camino de integración ya que f dx es una diferencial exacta, por lo tanto, problema variacional no tiene sentido. En efecto, f dx = [4x + 2y

z + (2x

= (4x + 2y siendo,

por lo tanto,

2y + z) y 0 + ( x + y + 2z) z 0 ] dx

z) dx + (2x

2y + z) dy + ( x + y + 2z) dz

8 > < M (x; y; z) = 4x + 2y z N (x; y; z) = 2x 2y + z > : R (x; y; z) = x + y + 2z 8 > < > :

@M @y @M @z @N @z

= @N =2 @x = @R = 1 @x @R = @y = 1

(3.110)

(3.111)

(3.112)

cumpliéndose así las condiciones (3.27) para que f dx sea una diferencial exacta. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 222

3.4. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES .............................................................................................. EJEMPLO 3.19 Hallar las extremales de la funcional, Z 1 J= y 02 + z 02 dx 0

sabiendo que y (0) = 0, y (1) = 1 y z (0) = 0, z (1) = SOLUCION: aquí, f = y 02 + z 02

2. (3.113)

Ahora bien, f tiene dos variables dependientes y y z, por lo tanto, se debe escribir una ecuación de Euler para cada una de estas variables. Al sustituir (3.113) en las ecuaciones de Euler (3.101) (para i = 1; 2 con y1 = y y y2 = z) resulta, Para i = 1: @ y 02 + z 02 @y

@f @y

d dx

@f @y 0

=0

d @ y 02 + z 02 dx @y 0

= 0 y 00 = 0

(3.114)

y, Para i = 2: @ y 02 + z 02 @z

@f @z

d dx

@f @z 0

=0

d @ y 02 + z 02 dx @z 0

= 0 z 00 = 0

(3.115)

Las soluciones de (3.114) y (3.115) son respectivamente, y = c1 x + c2

(3.116)

z = c3 x + c4

(3.117)

Por último, al aplicar las condiciones de frontera sobre (3.116) en (3.117) resulta, 8 c1 = 1 > > > < c =0 2 (3.118) > c 2 3 = > > : c4 = 0

por lo tanto, sustituyendo estos resultados en (3.116) y (3.117) resulta finalmente, ( y=x (3.119) z = 2x SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 223

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS .............................................................................................. EJEMPLO 3.20 Hallar las extremales de la funcional, Z x2 f (y 0 ; z 0 ) dx J= x1

SOLUCION: aquí, f = f (y 0 ; z 0 )

(3.120)

Ahora bien, f tiene dos variables dependientes y y z, por lo tanto, se debe escribir una ecuación de Euler para cada una de estas variables. Al sustituir (3.120) en las ecuaciones de Euler (3.101) (para i = 1; 2 con y1 = y y y2 = z) resulta, Para i = 1:

@ f (y 0 ; z 0 ) @y | {z }

d @ f (y 0 ; z 0 ) = 0 dx @y 0

=0

@ d f (y 0 ; z 0 ) = 0 dx @y 0

@ @y 0 |

@f @y 0

dy 0 @ + 0 dx @z {z

@f @y 0

Por regla de la cadena

dz 0 = 0 dx }

@ 2 f 00 @ 2 f 00 y + 0 0z = 0 @y 02 @z @y

(3.121)

y, Para i = 2:

@ f (y 0 ; z 0 ) @z | {z }

@ d f (y 0 ; z 0 ) = 0 dx @z 0

=0

d @ f (y 0 ; z 0 ) = 0 dx @z 0

@ @y 0 |

@f @z 0

dy 0 @ + 0 dx @z {z

@f @z 0

Por regla de la cadena

dz 0 = 0 dx }

@ 2 f 00 @ 2 f 00 y + 02 z = 0 @y 0 @z 0 @z

Por último, al resolver el sistema formado por (3.121) y (3.122) resulta, ) 2 y 00 = 0 @2f @2f @2f si 6= 0 @y 0 @z 0 @y 02 @z 02 z 00 = 0 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.122)

(3.123) Pág.: 224

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES de las cuales resulta, como se vió en el ejemplo anterior, lo siguiente, ( y = c1 x + c2 z = c3 x + c4

(3.124)

que es una familia de líneas rectas en el espacio. Como se puede ver, el ejemplo anterior constituye un caso especial de éste. ..............................................................................................

3.5.

Cálculo de extremales con restricciones

Existen aplicaciones en las que es natural considerar ciertas restricciones adicionales, a las ya impuestas por las condiciones de frontera, sobre el conjunto de funciones de las que depende el funcional integral J definido por (3.7). Por ejemplo, supóngase que se quiere buscar el camino más corto entre dos puntos sobre una superficie, entonces existe ahora la restricción de que el camino debe satisfacer la ecuación de dicha superficie. En una situación dada pueden existir más de una restricción. El número total de restriciones presentes será denotado por K y el subíndice l será utilizado para indicar cada una de las restricciones por separado, es decir, l = 1; 2; 3; : : : ; K. Debido a la utilidad que tendrán en capítulos posteriores, en el presente texto serán consideradas restricciones de los siguientes tipos: 1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0: son igualdades que expresan relaciones algebraicas entre las distintas yi (x) únicamente, no involucrando sus derivadas. Es decir, ahora no todas las yi (x) son independientes pues algunas de ellas estarán relacionadas unas a las otras mediante las ecuaciones Al [yi (x) ; x] = 0. Por ser relaciones algebraicas entre las yi (x), permiten eliminar (en general) todas aquellas yi (x) que son dependientes. Este tipo de restricciones corresponden con las ligaduras holónomas fl (qi ; t) = 0 ya estudiadas en el capítulo 2 (sección 2.9.1) donde qi (t) es ahora yi (x) y t es ahora x. 2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0: son igualdades que expresan relaciones entre las distintas yi (x) y sus correspondientes derivadas yi0 (x), es decir, son ecuaciones diferenciales de primer orden en las yi (x). Estas restricciones, por no ser relaciones algebraicas únicamente entre las yi (x), no permiten eliminar las yi (x) dependientes a menos que puedan ser integradas. De ocurrir lo último, entonces será SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 225

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS posible eliminar las yi0 (x) resultando restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Este tipo de restricciones corresponden con las ligaduras no-holónomas fl qi ; q i ; t = 0 ya estudiadas en el capítulo 2 (sección 2.9.2) donde qi (t) es ahora yi (x), q i (t) es ahora yi0 (x) y t es ahora x. 3. Restricciones del tipo Dl =

n P

j=1

Alj [yi (x) ; x] yj0 (x)+Bl [yi (x) ; x] = 0: representan un caso

menos general de las del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0, por lo tanto, son igualdades que expresan relaciones entre las distintas yi (x) y sus correspondientes derivadas yi0 (x), es decir, son ecuaciones diferenciales de primer orden en las yi (x). Pueden ser expresadas también en forma diferencial. Igual que para las anteriores, por no ser relaciones algebraicas únicamente entre las yi (x), no permiten eliminar las yi (x) dependientes a menos que puedan ser integradas. De ocurrir lo último, entonces será posible eliminar las yi0 (x) resultando restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Este tipo de restricciones corresponden con las ligaduras no-holónomas y semi-holónomas (3.262) o (3.263) ya estudiadas en el capítulo 2 (sección 2.9.2) donde qi (t) es ahora yi (x), q i (t) es ahora yi0 (x) y t es ahora x. Rx 4. Restricciones del tipo x12 Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l : son las denominadas Restricciones Isoperimétricas. En estas restricciones las %l son constantes y, al igual que (2) y (3), tampoco pueden ser usadas para eliminar algunas de las yi (x). Pueden ser reducidas a restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 como se verá más adelante. La manera de abordar este tipo de situaciones donde existen restricciones es transformar el problema con restricciones a uno equivalente sin restricciones. Esto se logra: 1. Usando las ecuaciones de las restricciones para despejar de ellas todas las yi (x) dependientes y sustituirlas en el integrando de J, resultando así una nueva Je cuyo integrando fe es sólo función de las yi (x) independientes y sus derivadas. Después de realizado esto, es posible usar las ecuaciones de Euler (3.37), (3.65) y (3.66) en el caso de una variable yi (x) o de Euler-Lagrange (3.101) en el caso de varias variables, todas ellas encontradas para una situación sin restricciones. De los tipos de restriciones mencionados antes, esto es posible hacerlo sólo con las Al [yi (x) ; x] = 0 o las Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 en los casos que sean integrables. Cuando se proceda de esta forma se dirá que las restricciones son usadas en forma implícita. 2. Usando el Método de los Multiplicadores de Lagrange de forma análoga a como se procede para hallar los valores extremales para las funciones en el curso básico de cálculo de varias variables. Más adelante serán encontradas las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes. Aquí las restricciones, en ningún caso, serán SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 226

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES usadas para eliminar las yi (x) dependientes. Cuando se proceda de esta forma se dirá que las restricciones son usadas en forma explícita. Las restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 (que en general no son integrables) y las del tipo Z x2

x1

Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l

sólo pueden ser empleadas en forma explícita ya que, por no ser relaciones únicamente entre las yi (x), no permiten eliminar las yi (x) dependientes. Las restricciones (Int) del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 y las del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 integrables5 , pueden ser usadas en las dos formas. Para estas dos últimas, la forma explícita proporciona información adicional contenida en los multiplicadores de Lagrange que no es posible obtenerla mediante la forma implícita.

3.5.1.

Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0

Forma implícita Como se dijo antes, las restricciones presentes serán usadas para eliminar las yi (x) dependientes. Se indicará cómo se procede mediante algunos ejemplos. Pasos a seguir cuando se usan las restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 en forma implícita: 1. Se identifican las restricciones existentes. 2. Se indentifica f del integrando de la J dada o construida a partir de la cantidad que se desea extremar. 3. Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f identificada en el paso anterior, escogiéndose las que se van a dejar como independientes entre sí. Esta nueva f sólo contendrá las yi (x) independientes entre sí. 4. Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler (3.37), (3.65) y (3.66) en el caso de una variable yi (x) o de Euler-Lagrange (3.101) en el caso de varias variables, usando la f hallada en el paso anterior. En el caso que sea necesario, se usan las ecuaciones de las restricciones para encontrar el resto de las yi (x) que fueron eliminadas en el paso 3. 5

Aquí (Int) en Dl singnifica que las l ligaduras son integrables. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 227

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS .............................................................................................. EJEMPLO 3.21 La geodésica. La geodésica es una línea que representa el camino más corto entre dos puntos cuando el camino está restringido a una superficie en particular. Hallar la longitud de la geodésica, es decir, la distancia más corta entre los puntos P1 (1; 0; 1) y P2 (0; 1; 1) en el plano x + y + z = 0. SOLUCION: se utilizarán coordenadas Cartesianas. Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la ecuación del plano, (3.125)

A=x+y+z =0 siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.

Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por, ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2

(3.126)

de aquí que la distancia venga dada por, s=

Z

(1;0; 1) 2

2

dx + dy + dz

2

1 2

=

Z

1

1 + y 02 + z 02

1 2

dx

(3.127)

0

(0; 1;1)

donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se quiere extremar, pudiéndose identificar f como, f = 1 + y 02 + z 02

1 2

(3.128)

Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Las variables y y z no son independientes entre sí debido a la restricción (3.125). Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : al despejar z de la restricción (3.125) resulta, z= x y (3.129) de la cual, z0 =

1

y0

(3.130)

que al ser sustituida en (3.128) se obtiene, h

02

f = 1+y +( 1

0 2

y)

i 21

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 228

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES o, 1

f = 2 2 1 + y 0 + y 02

1 2

(3.131)

convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, y. Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange sin restricciones: a partir de (3.37), d @f @f =0 (3.132) @y dx @y 0 donde f es la dada por (3.131) y a partir de la cual, (

@f @y @f @y 0

=0 =2

1 2

(3.133)

1+2y 0

1 (1+y 0 +y 02 ) 2

que al ser sustituidas en (3.132) se obtiene, # " d 1 + 2y 0 =0 dx (1 + y 0 + y 02 ) 12 o integrando, 1 + 2y 0 1

(1 + y 0 + y 02 ) 2

(3.134)

= c1

donde c1 es una constante de integración. Al despejar y 0 de (3.134) se obtiene, y 0 = c2

(3.135)

donde c2 es una constante igual a una expresión algebraica que involucra a c1 . Finalmente, si se integra ahora (3.135) resulta, (3.136)

y = c2 x + c3 donde c3 es una constante de integración. Esta es una de las extremales.

Falta la variable z que fue eliminada al usar la restricción (3.125) en (3.128). Para hallar z se sustituye (3.136) en (3.129) obteniéndose, z=

x

(c2 x + c3 )

z=

(1 + c2 ) x

o, c3

(3.137)

que es la otra extremal. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 229

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Para hallar las constantes c2 y c3 se aplican, sobre las extremales (3.136) y (3.137), las condiciones de frontera y (0) = 1, y (1) = 0, z (0) = 1 y z (1) = 1 resultando, ( c2 = 1 (3.138) c3 = 1 de manera que (3.136) y (3.137) pueden ser escritas ahora como, ( y=x 1 z = 2x + 1

(3.139)

que son dos rectas y representan los caminos que hacen de (3.127) un extremal. Por último, para hallar la distancia mínima se sustituye (3.139) en (3.127) y se evalúa la integral resultante. En efecto, Z 1 1 s= 1 + (1)2 + ( 2)2 2 dx 0

o,

s=

p

6

(3.140)

que es la distancia mínima pedida. Este caso puede ser resuelto, debido a que la f dada por (3.131) no depende explícitamente de la variable independiente x, mediante el uso de la forma integrada de la Ecuación de Euler (3.66) deducida antes. .............................................................................................. EJEMPLO 3.22 Encuentre la geodésica sobre una esfera de radio R. SOLUCION: se utilizarán coordenadas esféricas. Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la ecuación de la esfera de radio R, r=R es decir, A=r

R=0

(3.141)

siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Se indentifica f : en la figura 3.11 se muestra la situación planteada en el enunciado. El elemento de longitud viene dado por, ds2 = dr2 + r2 d

2

+ r2 Sen2 d'2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.142) Pág.: 230

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES

Figura (3.11): Geodésicas sobre una esfera.

de aquí que la distancia s entre los puntos 1 y 2 venga dada por, Z Punto 2 1 s= r02 + r2 02 + r2 Sen2 2 d'

(3.143)

Punto 1

dr donde se ha escogido ' como variable independiente y r0 = d' , cantidad que se quiere extremar, pudiéndose identificar f como, 02

f = r02 + r2

+ r2 Sen2

Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = r y y2 (x) = independiente '.

0

=

1 2

d . d'

Esta es la

(3.144)

(i = 1; 2) dependientes de la variable

Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : en este caso la restricción (3.141) sólo elimina la dependencia de f con respecto a r, haciendo r constante. En efecto, al sustituir r = R a partir de la restricción (3.141) en (3.144) resulta, f =R

02

+ Sen2

1 2

(3.145)

convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, . Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange sin restricciones: @f puesto que @' = 0 (f no depende explícitamente de la variable independiente '), se puede usar la forma integrada de la ecuación de Euler (3.66), f

0

@f = c1 @ 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.146) Pág.: 231

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS donde f es la dada por (3.145) y a partir de la cual, R

@f = @ 0

02

0

(3.147)

1 2

+ Sen2

que al ser sustituida en (3.146) se obtiene, 02

+ Sen2

02

1 2

02

+ Sen2

1 2

= c2 , con c2 =

c1 R

o, 02

Sen2 = c2 de la cual resulta,

1 2

+ Sen2

(3.148)

c2 csc2 d' = 1 d (1 c22 csc2 ) 2

(3.149)

y al integrar, ' = Sen

cot c3

1

donde c4 es la constante de integración y c23 = escrito como, cot = c3 Sen ('

(3.150)

+ c4 1 c22

1. El anterior resultado puede ser (3.151)

c4 )

Para interpretar este resultado, se transforma a coordenadas rectangulares. Con este fin, multiplicando (3.151) por R Sen se obtiene, R Cos = R Sen (c3 Cos c4 ) Sen ' R Sen (c3 Sen c4 ) Cos ' {z } | Aplicando la identidad Sen('

y puesto que

)=Sen ' Cos

(3.152)

Cos ' Sen

y c3 son constantes, se puede escribir, ( c3 Cos c4 = A c3 Sen c4 = B

(3.153)

de modo que (3.152) queda escrita como, A (R Sen Sen ')

B (R Sen Cos ') = (R Cos )

(3.154)

Las cantidades en los paréntesis son justo las expresiones para y, x y z respectivamente, en coordenadas esféricas, por lo tanto resulta, Ay

Bx = z

(3.155)

que es la ecuación de un plano que pasa a través del centro de la esfera. Por lo tanto, la geodésica sobre una esfera es el camino que se origina al intersectar el plano (3.155) con la esfera, es decir, el círculo mayor. Nótese que el círculo mayor es el máximo a la vez que es la mínima distancia en “línea recta” entre dos puntos sobre la superficie de una esfera. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 232

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES .............................................................................................. EJEMPLO 3.23 Encuentre la ecuación de la geodésica en el plano xy, es decir, de la línea que proporciona la distancia más corta entre dos puntos en dicho plano (ver figura 3.12).

Figura (3.12): Distancia más corta entre dos puntos del plano.

SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas. Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la ecuación del plano xy, (3.156)

A=z=0 siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.

Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por, ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 de aquí que la distancia venga dada por, Z (x2 ;y2 ) s= dx2 + dy 2 + dz 2 (x1 ;y1 )

1 2

=

Z

(3.157)

x2

1 + y 02 + z 02

1 2

dx

(3.158)

x1

donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se quiere extremar, pudiéndose identificar f como, f = 1 + y 02 + z 02

1 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.159) Pág.: 233

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : al sustituir z de la restricción (3.156) en (3.159) resulta, f = 1 + y 02

1 2

(3.160)

convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, y. Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange sin restricciones: a partir de (3.37), d @f @f =0 (3.161) @y dx @y 0 donde f es la dada por (3.160) y a partir de la cual, ( @f =0 @y (3.162) @f y0 = 1 @y 0 02 (1+y ) 2

que al ser sustituidas en (3.161) se obtiene, " # d y0 =0 dx (1 + y 02 ) 12 o integrando,

y0

(3.163) 1 = c1 (1 + y 02 ) 2 donde c1 es una constante de integración. Al despejar y 0 de (3.163) se obtiene, y 0 = c2

(3.164)

donde c2 es una constante igual a una expresión algebraica que involucra a c1 . Finalmente, al integrar (3.164), resulta, y = c2 x + c3

(3.165)

donde c3 es otra constante de integración. En rigor, sólo se ha probado que la recta es una trayectoria que hace que (3.158) dé un valor estacionario, aunque en este problema es obvio que se trata de un mínimo. Las constantes de integración c2 y c3 quedan determinadas por la condición de que la curva pase por los dos puntos fronteras (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ). Este caso puede ser resuelto, debido a que la f dada por (3.160) no depende explícitamente de la variable independiente x, mediante el uso de la Forma Integrada de la Ecuación de Euler (3.66) deducida antes. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 234

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES .............................................................................................. EJEMPLO 3.24 Hallar las geodésicas del cilindro circular r = R.

Figura (3.13): Geodésicas en un cilindro circular recto de radio R.

SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas. Se identifican las restricciones existentes: en la figura 3.13 se muestra esquemáticamente lo planteado. Existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la ecuación del cilindro de radio R, x2 + y 2 = R 2 (3.166) de aquí que, A = x2 + y 2

R2 = 0

(3.167)

siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por, ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 de aquí que la distancia venga dada por, Z Punto 2 s= dx2 + dy 2 + dz 2 Punto 1

1 2

=

Z

(3.168)

1

1 + y 02 + z 02

1 2

dx

(3.169)

0

donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se quiere extremar, pudiéndose identificar f como, f = 1 + y 02 + z 02

1 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.170) Pág.: 235

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Las variables y y z no son independientes entre sí debido a la restricción (3.167). Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : al despejar y de la restricción (3.111) resulta, 1 (3.171) y= R 2 x2 2 de la cual,

x

y0 =

(3.172)

1

(R2

x2 ) 2

que al ser sustituida en (3.170) se obtiene, 8 91 " #2 < =2 x 02 f = 1+ +z 1 : ; (R2 x2 ) 2 o,

f=

R2

R2

x2

+z

1 2

02

(3.173)

convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, z. Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange sin restricciones: a partir de (3.37), d @f @f =0 (3.174) @z dx @z 0 donde f es la dada por (3.173) y a partir de la cual, 8 @f < @z = 0 @f z0 1 : @z0 = 2

que al ser sustituidas en (3.174) se obtiene, 2 d 4 z0 dx R2 + z 02

1 2

R 2 x2

o integrando,

z0 R2 R 2 x2

+

z 02

1 2

(3.175)

2

R +z 02 R2 x2

3

5=0 (3.176)

= c1

donde c1 es una constante de integración. Al despejar y 0 de (3.176) se obtiene, z0 =

c2 R (R2

1

(3.177)

x2 ) 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 236

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES donde c2 =

c1

(3.178)

1

c21 ) 2

(1

Finalmente, al integrar (3.177) se obtiene, z=

c2 R tan

1

p

x R2

x2

+ c3

(3.179)

donde c3 es otra constante de integración. Esta es la ecuación de la geodésica pedida, que es una hélice. .............................................................................................. Forma explícita Supóngase que se quiere encontrar las funciones yi (x) que hacen que la integral, Z x2 J= f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; :::; n (3.180) x1

tome un valor estacionario bajo las restricciones algebraicas impuestas por, Al [yi (x) ; x] = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K y K < n

(3.181)

donde, como fue mencionado antes, el subíndice l indica que puede haber más de una restricción de este tipo (en total K). La idea ahora es transformar el problema dado a uno equivalente sin restricciones pero sin usar las restricciones (3.181) para eliminar las yi (x) dependientes entre sí y dejar sólo las independientes entre sí (forma implícita) como se hizo en la sección anterior. Para realizar esto se usará el Método de los Multiplicadores de Lagrange . El valor estacionario de (3.180) viene dado por, Z x2 J= f dx = 0 (3.182) x1

de la cual se obtiene (ver sección ??*************************************), Z x2 Z x2 X n d @f @f yi dx = 0 f dx = dx @yi0 x1 x1 i=1 @yi

(3.183)

Aquí, como las funciones yi están sometidas a las K restricciones independientes (3.181) de manera que K de las yi pueden ser designadas como variables dependientes entre sí y espresadas en términos de las otras, las variaciones yi no son arbitrarias por lo que aún no es posible aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 237

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Las variaciones yi deben satisfacer las restricciones impuestas por (3.181). Para encontrar las yi que satisfacen estas restricciones se halla la variación de las ecuaciones de restricción (3.181). En efecto, Al =

n X @Al

@yi

i=1

yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K

(3.184)

que se mantienen para cualquier valor de x. En consecuencia, sólo n K variaciones yi se pueden considerar arbitrarias, es decir, yK+1 ; yK+2 ; yK+3 ; : : : ; yn ; y el resto se determinan de (3.184). De acuerdo al Método de los Multiplicadores de Lagrange, al multiplicar cada una de las ecuaciones (3.184) por un factor indeterminado l resulta, l

Al =

l

n X @Al i=1

@yi

yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K

(3.185)

donde la suma es la que es nula, no sus términos individuales en general. Puesto que las restricciones (3.181) están prescritas para cualquier valor de la variable independiente x, los factores l tienen que ser aplicados para cualquier valor de esta variable, haciéndolos dependientes de la misma l = l (x). Ahora, al ser sumadas miembro a miembro estas K ecuaciones y luego integradas desde x1 hasta x2 se obtiene, Z

K x2 X

x1

l=1

l

n X @Al i=1

@yi

(3.186)

yi dx = 0

Si ahora se suman miembro a miembro (3.183) y (3.186) resulta, ) Z x2 (X n K n X X @f d @f @Al yi + yi dx = 0 l 0 @y dx @y @y i i x1 i i=1 i=1 l=1 o,

Z

x2

x1

" n X @f @yi i=1

d dx

@f @yi0

+

K X l=1

@Al l @yi

#

yi dx = 0

(3.187)

Esta movida no es trivial ya que, a pesar de haberse sumado cero, se ha adicionado realmente una suma cuyos términos individuales no son nulos como se dijo antes. Aquí aún no se puede aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones, puesto que las variaciones yi no son arbitrarias. La eliminación de las K variaciones yi dependientes entre sí, a diferencia de como se procedió en la forma implícita, puede ser llevada a cabo mediante la elección SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 238

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES apropiada de los K factores l (x), de manera que los coeficientes de las yi en (3.187) se anulen. Estos l (x) se obtienen a partir de las K ecuaciones, @f @yi

d dx

@f @yi0

+

K X l=1

l

@Al = 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; K @yi

que forman un sistema lineal de ecuaciones con respecto a las nante debe ser no singular,

l

(3.188) (x) cuyo determi-

D (A1 ; A2 ; A3 ; : : : ; AK ) D (Al ) = 6= 0, con i; l = 1; 2; 3; : : : ; K D (y1 ; y2 ; y3 ; : : : ; yK ) D (yi ) garantizándose así que el sistema de ecuaciones posea solución Con las da como,

l

1;

2;

(3.189) 3; : : : ;

K.

escogidas como antes, la condición para valor estacionario (3.187) queZ

x2

x1

n X

i=K+1

"

@f @yi

@f @yi0

d dx

+

K X l=1

@Al l @yi

#

(3.190)

yi dx = 0

donde todas las yi son independientes entre sí. Ahora, es posible aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones (cada uno de sus coeficientes se anulan por separado) resultando, @f @yi

d dx

@f @yi0

+

K X l=1

l

@Al = 0, con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n @yi

(3.191)

Finalmente, las condiciones sobre los l (3.188) combinadas con las ecuaciones (3.191) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de las yi en (3.187) se anula justo como si todas las yi fuesen independientes de manera que, @f @yi o,

2 6 4

d dx

@f @yi0

+

K X l=1

l

@Al = 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n @yi

d @f @f = Qi , con i = 1; 2; 3; :::; n 0 dx @yi @yi | {z } Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiples variables dependientes y restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.

(3.192) 3 7 5

donde, Qi =

K P

l=1

@Al l @yi

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.193)

Pág.: 239

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Las expresiones (3.192) son las Ecuaciones de Euler - Lagrange para restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0, cuando son usadas en forma explícita. Estas restricciones entran en forma explícita en los Qi dados por (3.193). Los Qi serán asociados, a partir del capítulo 5, con las fuerzas generalizadas de ligadura. La solución completa al problema depende ahora de la determinación de n funciones yi y K funciones l . Como hay K ecuaciones de restricción dadas por (3.181) y n ecuaciones dadas por (3.192), entonces existen suficientes ecuaciones (n + K en total) para permitir una solución completa al problema planteado. Aquí las l (x) son consideradas indeterminadas y pueden ser obtenidas como parte de la solución satisfaciendo las restricciones (3.181). El problema anterior puede ser planteado de otra forma. Es posible reobtener las ecuaciones (3.192) planteándose el problema variacional sin restricciones, @ fe @yi

d dx

@ fe @yi0

= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n

(3.194)

donde, P fe = f + K

l=1

l

(x) Al [yi (x) ; x]

(3.195)

Pasos a seguir cuando se usan las restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 en forma explícita:

1. Se identifican las restricciones existentes. 2. Se indentifica f del integrando de la J dada o construida a partir de la cantidad que se desea extremar, con las yi (x) dependientes e independientes. No deben usarse las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes entre sí en f . 3. Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.192), usando la f hallada en el paso anterior. 4. Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones, que son usadas para completar el sistema. Aquí se obtienen las extremales yi (x) y los multiplicadores de Lagrange l que permiten encontrar los Qi dados por (3.193).

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 240

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES .............................................................................................. EJEMPLO 3.25 Resolver el ejemplo 3.21 usando la restricción presente en forma explícita. SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas. Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la ecuación del plano, (3.196)

A=x+y+z =0 siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.

Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por, ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 de aquí que la distancia venga dada por, Z (1;0; 1) s= dx2 + dy 2 + dz 2

1 2

=

Z

(3.197)

1

1 + y 02 + z 02

1 2

dx

(3.198)

0

(0; 1;1)

donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se quiere extremar, pudiéndose identificar f como, 1 2

f = 1 + y 02 + z 02

(3.199)

Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Las variables y y z no son independientes entre sí debido a la restricción (3.196). Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.192), las ecuaciones de Euler vendrán dadas por, d dx d dx

@f @y @f @z

@f @y 0 @f @z 0

@A @y @A = Qz = @z = Qy =

(3.200) (3.201)

pero de (3.196) y (3.199), 8 > > < > > :

@f @y @f @y 0

=0 =

@A @y

=1

y0

1 (1+y 02 +z 02 ) 2

@f @z @f @z 0

=0 =

@A @z

=1

z0

1 (1+y 02 +z 02 ) 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.202)

Pág.: 241

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS entonces al sustituir estos resultados en (3.200) y (3.201) se obtiene, i 1 d h 0 y 1 + y 02 + z 02 2 = dx i 1 d h 0 z 1 + y 02 + z 02 2 = dx

(3.203) (3.204)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: queda ahora resolver el sistema de ecuaciones diferenciales formado por (3.203) y (3.204) junto con la restricción (3.196). Restando miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores resulta, i 1 d h 0 0 02 02 2 (y z ) 1 + y + z =0 (3.205) dx que al ser integrada resulta en,

(y 0

1 2

z 0 ) 1 + y 02 + z 02

= c1

(3.206)

donde c1 es una constante de integración. Por otro lado, de la restricción (3.196), z=

x

y ) z0 =

y0

1

(3.207)

entonces, al sustituir este resultado en (3.206) se puede escribir, (1 + 2y 0 ) 1 + 2y 0 + 2y 02

1 2

= c1

(3.208)

de la cual, y 0 = c2

(3.209)

donde la constante c2 es una constante que viene dada por una expresión en la que aparece c1 y que no vale la pena mostrar explícitamente ya que no es útil para ningún cálculo posterior. Finalmente, al integrar (3.209) se obtiene, y = c2 x + c3

(3.210)

donde c3 es una constante de integración. Usando este resultado en la restricción (3.196) resulta, z = (1 + c2 ) x c3 (3.211) Las constantes c2 y c3 se hayan al utilizar las condiciones de frontera y (0) = 1, y (1) = 0, z (0) = 1 y z (1) = 1 en (3.210) y (3.211) resultando, ( c2 = 1 (3.212) c3 = 1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 242

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES de manera que (3.210) y (3.211) pueden ser escritas ahora como, ( y=x 1 z = 2x + 1

(3.213)

que son los mismos resultados obtenidos en 3.21. Es obvio que la distancia mínima será p también la misma, es decir, s = 6. El multiplicador de Lagrange o (3.204) obteniéndose,

puede ser encontrado sustituyendo (3.213) en (3.203) (3.214)

=0

que es una información que no podía ser obtenida al usar la restricción en forma implícita. En este caso particular, no se aporta mayor información. .............................................................................................. EJEMPLO 3.26 Resolver el ejemplo 3.23, usando la restricción presente en forma explícita. SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas. Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la ecuación del plano xy, (3.215)

A=z=0 siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.

Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por, ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 de aquí que la distancia venga dada por, Z (x2 ;y2 ) s= dx2 + dy 2 + dz 2 (x1 ;y1 )

1 2

=

Z

(3.216)

x2

1 + y 02 + z 02

1 2

dx

(3.217)

x1

donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se quiere extremar, pudiéndose identificar f como, f = 1 + y 02 + z 02

1 2

(3.218)

Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 243

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.192), las ecuaciones de Euler vendrán dadas por, d dx d dx

@f @y 0 @f @z 0

@f @y @f @z

@A @y @A = Qz = @z = Qy =

(3.219) (3.220)

pero de (3.215) y (3.218), 8 > > < > > :

@f @y @f @y 0

=0 =

@A @y

=0

y0

1 (1+y 02 +z 02 ) 2

@f @z @f @z 0

=0 =

@A @z

=1

z0

1 (1+y 02 +z 02 ) 2

(3.221)

entonces al sustituir estos resultados en (3.219) y (3.220) se obtiene, d h 0 y 1 + y 02 + z 02 dx d h 0 z 1 + y 02 + z 02 dx

1 2

i

i 1

2

= 0

(3.222)

=

(3.223)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: queda ahora resolver el sistema de ecuaciones diferenciales formado por (3.222) y (3.223) junto con la restricción (3.215). Sustituyendo la restricción (3.215) en (3.222) y (3.223) resulta, d h 0 y 1 + y 02 dx

1 2

i

= 0

(3.224)

= 0

(3.225)

El resultado (3.225) es una información que no podía ser obtenida al usar la restricción en forma implícita. En este caso particular, no se aporta mayor información. La ecuación diferencial (3.224) al ser integrada resulta en, y 0 1 + y 02

1 2

= c1

donde c1 es una constante de integración. Esta ecuación diferencial es idéntica a la (3.163) del ejemplo 3.23, por lo tanto, el obvio que se llegará al mismo resultado (3.165), es decir, y = c2 x + c3

(3.226)

.............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 244

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES

EJEMPLO 3.27 Resolver el ejemplo 3.24, usando la restricción presente en forma explícita. SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas. Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la ecuación del cilindro de radio R, x2 + y 2 = R 2

(3.227)

de aquí que, A = x2 + y 2

R2 = 0

(3.228)

siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por, ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 de aquí que la distancia venga dada por, Z Punto 2 s= dx2 + dy 2 + dz 2

1 2

=

Punto 1

Z

(3.229)

1

1 + y 02 + z 02

1 2

dx

(3.230)

0

donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se quiere extremar, pudiéndose identificar f como, 1 2

f = 1 + y 02 + z 02

(3.231)

Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Las variables y y z no son independientes entre sí debido a la restricción (3.228). Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.192), las ecuaciones de Euler vendrán dadas por, d dx d dx

@f @y 0 @f @z 0

@f @y @f @z

@A @y @A = Qz = @z = Qy =

(3.232) (3.233)

pero de (3.228) y (3.231), 8 > > < > > :

@f @y @f @y 0

=0 =

@A @y

= 2y

y0

1 (1+y 02 +z 02 ) 2

@f @z @f @z 0

=0 =

@A @z

=0

z0

1 (1+y 02 +z 02 ) 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.234)

Pág.: 245

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS entonces al sustituir estos resultados en (3.232) y (3.233) se obtiene, i 1 d h 0 y 1 + y 02 + z 02 2 = 2y dx i 1 d h 0 z 1 + y 02 + z 02 2 = 0 dx

(3.235) (3.236)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: ahora bien, de (3.236) resulta, 1 2

1 + y 02 + z 02

z 0 = c1

(3.237)

y de la restricción (3.228), y=

R2

x2

1 2

x

) y0 =

(R2

1

(3.238)

x2 ) 2

entonces, al sustituir este resultado en (3.237) se puede escribir, z0 =

c2 R (R2

con,

1 2

c21

c2 =

(3.239)

1

x2 ) 2

(3.240)

c21

1

La ecuación (3.239) es idéntica a la ecuación diferencial (3.177) del ejemplo 3.24. Por lo tanto, es obvio que al integrarla el resultado será idéntico al (3.179), es decir, z=

c2 R tan

1

p

x

+ c3 R 2 x2 siendo la ecuación de la geodésica pedida una hélice.

(3.241)

Por último, la ecuación (3.235) permite encontrar usando los resultados (3.238) y (3.241) obteniéndose, 1 p (3.242) = 2 2R (c2 + 1) (R2 x2 )

Este resultado es una información que no podía ser obtenida al usar la restricción en forma implícita. .............................................................................................. EJEMPLO 3.28

Geodésicas en general. Sea (x; y; z) = 0 la ecuación de una superficie S dada y suponiendo que toda curva diferenciable definida sobre S admite una parametrización del tipo, (t) = (x (t) ; y (t) ; z (t)) ,

: [t0 ; t1 ] ! S

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Pág.: 246

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES hallar las geodésicas sobre S. SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas. Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la ecuación, (3.243)

(x; y; z) = 0 de aquí que,

(3.244)

A = (x; y; z) = 0

La restricción (3.244) es del tipo Al [yi (x) ; x] = 0, sin embargo sólo es posible tratarla en forma explícita ya que no se posee la expresión de (x; y; z). Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por, ds2 = [dx (t)]2 + [dy (t)]2 + [dz (t)]2

(3.245)

de aquí que la longitud de la curva venga dada por, s =

Z

Punto 2

Punto 1 Punto 2

=

Z

Punto 1

[dx (t)]2 + [dy (t)]2 + [dz (t)]2

1 2

n o1 2 2 2 2 0 0 0 [x (t)] + [y (t)] + [z (t)] dt

(3.246)

donde se ha escogido t como variable independiente y la prima indica derivada total con respecto a dicha variable independiente. Esta es la cantidad que se quiere extremar, pudiéndose identificar f como, n o1 2 2 2 2 f = [x0 (t)] + [y 0 (t)] + [z 0 (t)]

(3.247)

Aquí se tienen 3 variables y1 (t) = x, y2 (t) = y y y2 (t) = z (i = 1; 2; 3) dependientes de la variable independiente t. Las variables x, y y z no son independientes entre sí debido a la restricción (3.244). Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.192), las ecuaciones de Euler vendrán dadas por, d dt d dt d dt

@f @x0 @f @y 0 @f @z 0

@f @A = Qx = @x @x @f @A = Qy = @y @y @f @A = Qz = @z @z

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(3.248) (3.249) (3.250) Pág.: 247

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS pero de (3.244) y (3.247), 8 @f > > < @x = 0 0 @f = 02 02x 02 1 @x0 (x +y +z ) 2 > > : @A = @ @x

@x

@f @y @f @y 0

=0 =

@A @y

=

y0

1

(x02 +y 02 +z 02 ) 2 @ @y

@f @z @f @z 0

=0 =

@A @z

=

z0

1

(x02 +y 02 +z 02 ) 2 @ @z

(3.251)

entonces al sustituir estos resultados en (3.248), (3.249) y (3.250) se obtiene, d dt d dt d dt

@f @x0 @f @y 0 @f @z 0

@ @x @ @y @ @z

= = =

(3.252) (3.253) (3.254)

pero como, d ds d d = = s0 dt dt ds ds

(3.255)

y de (3.246), 1 ds = x02 + y 02 + z 02 2 dt entonces (3.252), (3.253) y (3.254) se pueden escribir como, 8 2 2 d x=ds > > < @ [email protected] = s0

> > :

o,

d2 y=ds2 @ [email protected] d2 z=ds2 @ [email protected]

=

=

(3.256)

s0

s0

d2 x=ds2 d2 y=ds2 d2 z=ds2 = = = 0 @ [email protected] @ [email protected] @ [email protected] s

(3.257)

expresando que la normal a la curva coincide con la normal a la superficie, definición usual de geodésica en geometría diferencial. En este caso no es posible resolver las ecuaciones diferenciales resultantes con la información suministrada. ..............................................................................................

3.5.2.

Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0

Supóngase ahora que se quieren encontrar las funciones yi (x) que hacen que la integral, Z x2 J= f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; :::; n (3.258) x1

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Pág.: 248

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES tome un valor estacionario bajo las restricciones impuestas por, Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K y K < n

(3.259)

Estas restricciones sólo pueden ser usadas en forma explícita ya que no representan una relación algebraica que sólo involucre las yi (x) a menos que sean integrables, convirtiéndose así en restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 como las estudiadas en la sección anterior. Supóngase que se cumple, D (Di ) D (D1 ; D2 ; D3 ; : : : ; DK ) = 6= 0 0 0 0 0 D (y1 ; y2 ; y3 ; : : : ; yK ) D (yi0 )

(3.260)

el cual representa uno de los determinantes funcionales de orden K, garantizándose así la independencia de las K restricciones (3.259). Debido a lo anterior es posible ahora, en virtud de (3.260), resolver las ecuaciones (3.259) con respecto a las yi0 obteniéndose, yl0 = Dl yi ; yj0 ; x con l = 1; 2; 3; : : : ; K; i = 1; 2; 3; : : : ; n y j = K +1; K +2; K +3; : : : ; n (3.261) y si adicionalmente se supone que, yi , con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n

(3.262)

son funciones dadas en forma completamente arbitraria. Entonces, del sistema de ecuaciones (3.261), es posible determinar las funciones, yi , con i = 1; 2; 3; : : : ; K

(3.263)

Por todo lo anterior, las funciones (3.262) son derivables arbitrarias con valores de frontera fijos y, en consecuencia, sus variaciones son también arbitrarias. Dado un sistema admisible arbitrario de funciones yi (i = 1; 2; 3; : : : ; n) que satisface el sistema de ecuaciones de restricciones (3.259) se tiene que, Dl =

n X @Dl i=1

@yi

yi +

n X @Dl i=1

@yi0

yi0 = 0, con l = 1; 2; 3; : : : ; K

(3.264)

Si ahora se multiplican miembro a miembro todas las K ecuaciones anteriores por un factor l = l (x) (por ahora indeterminado) se obtiene, l

Dl =

l

n X @Dl i=1

@yi

yi +

l

n X @Dl i=1

@yi0

yi0 = 0, con l = 1; 2; 3; : : : ; K

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.265) Pág.: 249

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS y al ser sumadas miembro a miembro estas K ecuaciones y luego integradas desde x1 hasta x2 se obtiene, Z

K x2 X

l

x1

=

l=1 n K XX i=1 l=1

Z

n X @Dl i=1

@yi

x2

l

x1

Z

yi dx +

K x2 X

x1

@Dl yi dx + @yi

Z

l

i=1

l=1

x2

n X @Dl

@yi0

yi0 dx

@Dl d ( yi ) dx = 0 @yi0 dx

l

x1

(3.266)

El segundo término entre corchetes de (3.266) puede ser integrado por partes, ( Z Z l u = l @D @yi0 (3.267) udv = uv vdu, con d dv = dx ( yi ) dx ) v = yi de manera que, Z

x2

x1

@Dl d ( yi ) dx = l @yi0 dx

@Dl yi l @yi0

pero,

Z

x2

x2

x1

x1

d dx

l

@Dl @yi0

yi dx

(3.268)

x2

@Dl yi l @yi0

(3.269)

=0 x1

ya que yi debe anularse en x1 y x2 por ser una variación admisible. Entonces (3.268) resulta en, Z x2 Z x2 @Dl d d @Dl ( yi ) dx = yi dx (3.270) l l 0 @yi dx @yi0 x1 x1 dx así la expresión (3.266) queda finalmente escrita como, Z n X K X Z

x2

x1

Z

@Dl yi dx l @yi

x1

i=1 l=1

o,

x2

n X K X i=1 l=1

l

x2

x1

@Dl @yi

d dx

d dx

l

@Dl @yi0

l

@Dl @yi0

yi dx = 0

yi dx = 0

Por otro lado, el valor estacionario de (3.258) viene dado por, Z x2 J= f dx = 0

(3.271)

(3.272)

x1

de la cual se obtiene (ver sección ??), J=

Z

x2

x1

n X @f @yi i=1

d dx

@f @yi0

yi dx = 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.273) Pág.: 250

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES

o,

Si ahora se suman miembro a miembro (3.271) y (3.273) resulta, Z x2 X Z x2 X n X K n @Dl @f d @f d @Dl y dx + l i l 0 dx @yi @yi dx @yi0 x1 i=1 l=1 x1 i=1 @yi Z

x2

x1

n X i=1

(

@f @yi

d dx

@f @yi0

+

K X

l

l=1

@Dl @yi

d dx

0 @Dl l @yi0

@Dl @yi0

)

yi dx = 0

yi dx = 0

(3.274)

A este nivel aún no es aplicable el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones ya que las variaciones yi (i = 1; 2; 3; : : : ; n) no son arbitrarias. La eliminación de las K variaciones yi dependientes entre sí puede ser llevada a cabo mediante la elección apropiada de los K factores l , de manera que los coeficientes de las yi en (3.274) se anulen. Estos l se obtienen a partir de las K ecuaciones, @f @yi

d dx

@f @yi0

+

K X

l

l=1

d dx

@Dl @yi

@Dl @yi0

0 @Dl l @yi0

= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; K (3.275)

que es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con respecto a l y 0l = ddxl que posee, bajo las hipótesis planteadas al comienzo, la solución l (l = 1; 2; 3; : : : ; K) que depende de K constantes arbitrarias de integración. Con las l escogidas como antes, la condición para valor estacionario (3.274) queda como, ( ) Z x2 X n K X d @f d @Dl @f @Dl 0 @Dl + yi dx = 0 (3.276) l l 0 0 @yi dx @yi @yi dx @yi @yi0 x1 i=K+1 l=1

donde ahora si son arbitrarias las variaciones yi (i = K+1; K+2; K+3; : : : ; n) pudiéndose aplicar ahora el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones resultando, @f @yi

d dx

@f @yi0

+

K X

l

l=1

@Dl @yi

d dx

@Dl @yi0

0 @Dl l @yi0

, con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n

(3.277) Finalmente, las condiciones sobre los l (3.275) combinadas con las ecuaciones (3.277) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de las yi en (3.274) se anula justo como si todas las yi fuesen independientes de manera que, @f @yi o,

2 6 4

d dx

@f @yi0

+

K X l=1

l

@Dl @yi

d dx

@Dl @yi0

0 @Dl l @yi0

(3.278)

=0

d @f @f = Qi , con i = 1; 2; 3; :::; n 0 dx @yi @yi | {z } Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiples variables dependientes y restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.279) 3 7 5

Pág.: 251

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS donde, Qi =

K n h P @Dl l

l=1

@yi

d dx

@Dl @yi0

i

0 @Dl l @yi0

o

(3.280)

Las expresiones (3.279) son las Ecuaciones de Euler - Lagrange para restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0. Estas restricciones entran en forma explícita en los Qi dados por (3.280). La solución completa al problema depende ahora de la determinación de n funciones yi y K funciones l . Como hay K ecuaciones de restricción dadas por (3.259) y n ecuaciones dadas por (3.279), entonces existen suficientes ecuaciones (n + K en total) para permitir una solución completa al problema planteado. Aquí las l (x) son consideradas indeterminadas y pueden ser obtenidas como parte de la solución satisfaciendo las restricciones (3.259). Las ecuaciones (3.279) pueden ser obtenidas, al igual que en la sección anterior, planteándose el problema variacional sin restricciones, @ fe @yi

d dx

@ fe @yi0

= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n

(3.281)

(x) Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x]

(3.282)

donde, P fe = f + K

l=1

l

Existen restricciones menos generales a las del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 cuyas Ecuaciones de Euler-Lagrange no resultan en forma correcta, en general, a partir de (3.279) o (3.281). Estas restricciones serán el objeto de estudio de la siguiente sección.

3.5.3.

Restricciones del tipo Dl =

n P

j=1

Alj [yi (x) ; x] yj0 (x) + Bl [yi (x) ; x] = 0

La derivada total de una restricción del tipo (3.181), es decir Al [yi (x) ; x] = 0, con respecto a la variable independiente x y su diferencial total vienen dados respectivamente por, 8 n P @Al [yi (x);x] 0 > i (x);x] i (x);x] > dAl [ydx = yj (x) + @Al [[email protected] =0 < @yj j=1 , con l = 1; 2; 3; :::; K (3.283) n P @Al [yi (x);x] @Al [yi (x);x] > > dA [y (x) ; x] = dx = 0 dy (x) + l i j : @yj @x j=1

Respectivamente, las expresiones (3.283) tienen la forma general,

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 252

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES

8 n P (D) > > [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = Alj [yi (x) ; x] yj0 (x) + Bl [yi (x) ; x] = 0 < Dl j=1

> > : Dl

(d)

[yi (x) ; yi0 (x) ; x] =

n P

, con l = 1; 2; 3; :::; K

Alj [yi (x) ; x] dyj (x) + Bl [yi (x) ; x] dx = 0

j=1

(3.284) donde (D) significa que aparecen las derivadas totales (x) de las yj (x) y (d) que aparecen los diferenciales totales dyj (x) de las yj (x). Aquí los coeficientes Alj y Bl son funciones dadas que dependen, en general, de las yi (x) y la variable independiente x como puede verse. Representan un caso menos general de restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0, por esta razón fue usado el en Dl para distinguirlas de las Dl . En general no son integrables, impidiendo que puedan convertirse en relaciones algebraicas que solamente involucren a las yi (x). Es obvio que estas restricciones se pueden convertir en restriciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 [equivalentemente en (3.283)] sólo si son integrables, es decir, cuando se cumple que, ( Alj = @Al [[email protected] (x);x] j (3.285) @Al [yi (x);x] Bl = @x yj0

convirtiéndose (3.284) en una diferencial exacta o en una derivada total. Como se dijo antes, las restricciones (3.284) son las mismas ligaduras noholónomas y semi-holónomas (2.96) o (2.97) estudiadas en la sección 2.9.2, por lo tanto, las condiciones para que (3.284) representen una derivada total o una diferencial exacta son las mismas estudiadas en dicha sección. Igualmente, cuando una restricción está expresada en la forma de la segunda de las expresiones (3.284), se dice que está escrita en Forma Diferencial o en Forma Pfaffiana . Es obvio que ambas expresiones son equivalentes. a

Se dice que una restricción está escrita en la forma Pfaffian cuando está expresada en forma de diferenciales.

En general, como ya se había visto en la sección anterior, las restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 deben satisfacer las ecuaciones (3.264), es decir, Dl =

n X @Dl i=1

@yi

yi +

n X @Dl i=1

@yi0

yi0 = 0, con l = 1; 2; 3; : : : ; K

(3.286)

que son las condiciones que deben cumplir los caminos yi (x) para ser geométricamete posibles bajo estas restricciones, es decir, aquellos caminos que las obedencen. Para SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 253

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS que las restricciones del tipo (3.284) puedan ser tratadas con las Ecuaciones de Lagrange (3.279) o (3.281) deben satisfacer (3.286) lo cual, en efecto, lo hacen pero en forma parcial como será mostrado. Antes de mostrar esto, las ecuaciones (3.286) serán d ( yi ), al sumar reescritas en una forma más manejable. Teniendo presente que yi0 = dx n P d @Dl y restar yi en las ecuaciones (3.286) resulta, dx @y 0 i

i=1

Dl

n X d = dx i=1

=

n X i=1

|

d dx

n X d = dx i=1

@Dl @yi0

yi

@Dl @yi0 =

n P

i=1

n X d dx i=1

@Dl @yi0

yi +

n X @Dl i=1

n X @Dl d yi + ( yi ) = 0 0 @yi @y dx i i=1

n X @Dl d @Dl yi + ( yi ) + 0 @yi dx @yi {z } i=1

d dx

@Dl @y 0 i

d dx

@Dl @yi0

yi = 0

yi

X @Dl y + Dli yi = 0 i @yi0 i=1 n

o, d Dl = dx donde,

n X @Dl i=1

Gli =

@yi0

@Dl @yi

yi

!

d dx

+

n X

(3.287)

Gli yi = 0

i=1

@Dl @yi0

(3.288)

Se mostrará ahora si las restricciones del tipo (3.284) cumplen con las condiciones (3.287). Para que esto ocurra debe cumplirse que, ! n n X d X @Dl Dl = y + Gli yi = 0 (3.289) i dx i=1 @yi0 i=1 pero, a partir de (3.284) se obtiene, 8 ! n n > P P @D > @Alj 0 @ 0 l l > = A y + B y + @B = > lj l j @y @y @yi j @yi > i i > j=1 > > ! j=1 < n n n P P P @yj0 @Dl @ 0 = A y = Alj + B = A 0 0 0 lj l lj j @yi @yi @yi > > j=1 j=1 j=1 > > > n P > @D dA @Ali 0 > d li > y + @A : dx @y0l = dxli = @yj j @x i

ji

(3.290)

= Ali

j=1

que al ser sustituidos en (3.289) resulta, ! n n X d X @Alj 0 @Bl Dl = Ali yi + y + dx i=1 @yi j @yi i;j=1

@Ali 0 y @yj j

@Ali @x

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

yi = 0 Pág.: 254

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES o, d Dl = dx

n X i=1

Ali yi

!

+

n X

@Alj @yi

i;j=1

@Ali @yj

yj0 +

@Bl @yi

@Ali @x

yi = 0

(3.291)

que son las condiciones que deben cumplir las restricciones del tipo (3.284) para poder ser tratadas con las Ecuaciones de Lagrange (3.279) o (3.281). Se puede verificar fácilmente que (3.291) sólo se cumple cuando los coeficientes Ali y Bl sean los dados por n P (3.285), teniéndose presente que Ali yi = 0. Es decir: i=1

Las restricciones (3.284) sólo pueden ser tratadas con las Ecuaciones de Lagrange (3.279) o (3.281) cuando sean integrables!, convirtiéndose así esencialmente en restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Por lo anteriormente mostrado, serán encontradas ahora las Ecuaciones de EulerLagrange particulares para las restricciones del tipo (3.284) sean integrables o no. Supóngase que se quieren encontrar las funciones yi (x) que hacen que la integral, Z x2 J= f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; :::; n (3.292) x1

tome un valor estacionario bajo las restricciones impuestas por (3.284). A partir de estas restricciones, n X Dl = Ali yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (3.293) i=1

que se cumplen para cualquier valor de x. Se usará el Método de los Multiplicadores de Lagrange como se hizo en las secciones anteriores. Al multiplicar cada una de las ecuaciones (3.293) por un factor indeterminado l resulta, l Dl =

l

n X

Ali yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K

(3.294)

i=1

donde la suma es la que es nula, no sus términos individuales en general. Puesto que las restricciones (3.284) están prescritas para cualquier valor de la variable independiente x, los factores l tienen que ser aplicados para cualquier valor de esta variable, haciéndolos dependientes de la misma l = l (x). Ahora, al ser sumadas miembro a miembro estas K ecuaciones y luego integradas desde x1 hasta x2 se obtiene, Z

K x2 X

x1

l=1

l

n X

Ali yi dx = 0

(3.295)

i=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 255

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Por otro lado, la variación de (3.292) viene dada por (ver sección 3.4.3), Z x2 X Z x2 n @f d @f f dx= yi dx = 0 J= dx @yi0 x1 i=1 @yi x1

(3.296)

que se ha igualado a cero para así encontrar el valor estacionario de J. Si ahora se suman miembro a miembro (3.295) y (3.296) resulta, ) Z x2 (X n K n X X @f d @f yi + Ali yi dx = 0 l @yi dx @yi0 x1 i=1 i=1 l=1 o,

Z

x2

x1

" n X @f @yi i=1

d dx

@f @yi0

+

K X l=1

l Ali

#

(3.297)

yi dx = 0

Al igual que en la sección anterior, esta movida no es trivial. A pesar de haberse sumado cero, se ha adicionado realmente una suma cuyos términos individuales no son nulos. Aquí aún no se puede aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones, puesto que las variaciones yi no son arbitrarias. La eliminación de las K variaciones yi dependientes entre sí puede ser llevada a cabo mediante la elección apropiada de los K factores l , de manera que los coeficientes de las yi en (3.291) se anulen. Estos l se obtienen a partir de las K ecuaciones, @f @yi

d dx

@f @yi0

+

K X

l Ali

= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; K

(3.298)

l=1

que forman un sistema lineal de ecuaciones con respecto a las debe ser no singular,

l

cuyo determinante

D (D1 ; D2 ; D3 ; : : : ; DK ) D (Dl ) = 6= 0, con i; l = 1; 2; 3; : : : ; K D (y1 ; y2 ; y3 ; : : : ; yK ) D (yi ) garantizándose así que el sistema de ecuaciones posea solución

1;

2;

(3.299) 3; : : : ;

K.

Con las l escogidas en (3.298), la condición para valor estacionario de J (3.297) queda como, " # Z x2 X n K X @f d @f + yi dx = 0 (3.300) l (x) Ali dx @yi0 x1 i=K+1 @yi l=1

donde todas las yi son independientes entre sí. Ahora, es posible aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones (cada uno de los coeficientes de las yi se anulan por separado) resultando, @f @yi

d dx

@f @yi0

+

K X

l Ali

con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n

(3.301)

l=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 256

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES Finalmente, las condiciones sobre los l (3.298) combinadas con las ecuaciones (3.301) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de las yi en (3.297) se anula justo como si todas las yi fuesen independientes entre sí de manera que, @f @yi

d dx

@f @yi0

+

K X

l Ali

= 0 con i = 1; 2; 3; : : : ; n

l=1

o,

2 6 4

d @f @f = Qi , con i = 1; 2; 3; :::; n 0 dx @yi @yi | {z } Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiples variables dependientes y restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0.

(3.302) 3 7 5

donde, Qi =

K P

l Ali

(3.303)

l=1

Las expresiones (3.302) son las Ecuaciones de Euler - Lagrange buscadas para restricciones del tipo (3.284), sean no-holónomas o semi-holónomas. Estas restricciones entran en forma explícita en los Qi dados por (3.303) mediante los coeficientes Ali . Los Qi serán asociados, a partir del capítulo 5, con las fuerzas generalizadas de ligadura. La solución completa al problema depende ahora de la determinación de n funciones yi y K funciones l . Aquí las l son consideradas indeterminadas y pueden ser obtenidas como parte de la solución. Las restricciones tipo (3.284) integrables, previa integración, pueden ser tratadas con las Ecuaciones de Euler-Lagrange (3.192) o (3.193). Sin embargo, puede ocurrir que la integración no sea fácil y es en estos casos donde realmente son útiles las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.302) pues únicamente se requiere determinar los coeficientes Ali , lo cual es muy trivial. También son útiles estas Ecuaciones de Euler-Lagrange cuando se tienen restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 en las que se hace difícil despejar las variables yi (x) dependientes en función de las independientes, resolviéndose el problema al hallar la diferencial total de dichas restricciones para expresarlas en la forma diferencial (3.284) y luego aplicar (3.302).

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 257

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Pasos a seguir cuando se tienen restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0: 1. Se indentifica f del integrando de la J dada o construida a partir de la cantidad que se desea extremar. 2. Se identifican las restricciones existentes. Si se tienen restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 pueden ser tratadas como restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 hallando su diferencial total sin realizar simplificaciones (esto haría que la diferencial hallada no fuese exacta aunque siga siendo integrable). 3. Se identifican los coeficientes Ali mediante comparación directa de (3.284) con las restricciones dadas. 4. Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.302), usando la f hallada en el paso anterior. 5. Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las ecuaciones de las restricciones, que son usadas para completar el sistema. Aquí se obtienen las extremales yi (x) y los multiplicadores de Lagrange l que permiten encontrar los Qi dados por (3.303). .............................................................................................. EJEMPLO 3.29 Resolver el ejemplo 3.21 usando las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.296). SOLUCION: Se indentifica f : ya en el ejemplo 3.21 fue identificada f resultando, f = 1 + y 02 + z 02

1 2

(3.304)

Aquí se tienen 2 variables y1 = y y y2 = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la ecuación del plano, A=x+y+z =0

(3.305)

siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Puede ser tratada como una ligadura (d) del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 al hallar su diferencial total. En efecto, D1

(d)

= dx + dy + dz = 0

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(3.306) Pág.: 258

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES pudiendo ser vista ahora como una restricción del tipo Dl

(d)

[yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0.

Se identifican los coeficientes Ali : se tienen n = 2 variables yi y una restricción l = 1. Entonces a partir de (3.284) para l = 1 se tiene que, 2 X i=1

A1i dyi + B1 dx = 0 ) A11 dy1 + A12 dy2 + B1 dx = 0

(3.307)

o, (3.308)

A1y dy + A1z dz + B1 dx = 0 Ahora, al comparar (3.306) con (3.308) se deduce que,

(3.309)

A1y = 1 A1z = 1 B1 = 1

Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.302), las ecuaciones de Euler vendrán dadas por, 8 1 P > @f @f d > = Q = < dx l Aly = A1y y 0 @y @y l=1 (3.310) 1 P > @f @f d > A = A = Q = : dx l lz 1z z @z 0 @z l=1

ahora, al sustituir (3.304) y (3.309) en estas ecuaciones resulta, 8 h i 1 < d y 0 (1 + y 02 + z 02 ) 2 = dx h i 1 : d z 0 (1 + y 02 + z 02 ) 2 = dx

(3.311)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: las ecuaciones (3.311) son idénticas a las ecuaciones (3.203) y (3.204) del ejemplo 3.21. Por lo tanto, los resultados subsiguientes son igualmente idénticos a los obtenidos en dicho ejemplo. .............................................................................................. EJEMPLO 3.30 Dada la funcional, Z b J= S1 02 +

02

a

+ S2

02

+ S3

02

dx

sujeta a las restricciones, 0 0

S4 Sen + S4 Cos

0

= 0

0

= 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 259

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS encuéntrense las Qi . Aquí S1 , S2 , S3 y S4 son constantes positivas no nulas y la prima indica derivada total con respecto a x. SOLUCION: Se indentifica f : en este caso, f = S1

02

02

+

Aquí se tienen n = 4 variables y1 = , y2 = de la variable independiente x.

+ S2

02

, y3 =

+ S3

02

y y4 =

(3.312) (i = 1; 2; 3; 4) dependientes

Se identifican las restricciones existentes: existen 2 restricciones (K = 2 ) l = 1; 2) que vienen dadas por, D1 D2

(D)

=

0

(D)

=

0

S4 Sen

0 0

+ S4 Cos

=0

(3.313)

=0

(3.314)

que no son integrables. Estas restricciones son del tipo Dl designado l = 1 a (3.313) y l = 2 a (3.314).

(D)

[yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 y se ha

Se identifican los coeficientes Ali : se tienen n = 4 variables yi y dos restricciones l = 1; 2. Entonces a partir de (3.284) se tiene que, Para l = 1: 4 X i=1

o,

A1i yi0 + B1 = 0 ) A11 y10 + A12 y20 + A13 y30 + A14 y40 + B1 = 0 A1

0

+ A1

0

+ A1

0

+ A1

0

+ B1 = 0

(3.315)

Para l = 2: 4 X i=1

o,

A2i yi0 + B2 = 0 ) A21 y10 + A22 y20 + A23 y30 + A24 y40 + B2 = 0

A2

0

+ A2

0

+ A2

0

+ A2

0

+ B2 = 0

(3.316)

Ahora, al comparar (3.315) y (3.316) con (3.313) y (3.314) respectivamente se deduce que, A1 = 1 A1 = 0 A1 = S4 Sen A1 = 0 B1 = 0 (3.317) A2 = 0 A2 = 1 A2 = S4 Cos A2 = 0 B2 = 0 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 260

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.302), las ecuaciones de Euler vendrán dadas por, 8 2 P > @f @f d > = Q = > l A l = 1 A1 + 2 A2 0 dx @ @ > > l=1 > > 2 > P > @f @f d > = Q = < dx 0 l Al = 1 A1 + 2 A2 @ @ l=1 (3.318) 2 P > @f @f d > =Q = > l A l = 1 A1 + 2 A2 > dx @ 0 @ > l=1 > > 2 > P > @f @f d > : dx = Q = 0 l Al = 1 A 1 + 2 A2 @ @ l=1

pero a partir de (3.312), @f @ @f @ 0 d dx

=0 = 2S1 @f @ 0

0

= 2S1

00

@f =0 @ @f = 2S1 0 @ 0 @f d = 2S1 dx @ 0

00

@f =0 @ @f = 2S2 0 @ 0 @f d = 2S2 00 dx @ 0

@f =0 @ @f = 2S3 0 @ 0 @f d = 2S3 00 dx @ 0

(3.319)

entonces, al sustituir los resultados (3.317) y (3.322) en las ecuaciones (3.318) resulta, 8 2S1 > > > < 2S 1 > 2S 2 > > : 2S3

00

= 1 = 2 00 = 1 S4 Sen + 00 =0 00

2 S4

(3.320)

Cos

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: en este caso se deben encontrar los ya que son necesarios, debido a (3.303), para encontrar los Qi pedidos. Al derivar con respecto a x las restricciones (3.312) y (3.313) y despejar 00 y 00 resulta, 00 00

S4 0 Cos

0

S4 0 Sen

0

S4 Sen + S4 Cos

00 00

00

= 0)

00

= 0)

= S4 0 Cos

= S4 0 Sen

0 0

+ S4 Sen

00

(3.321)

00

(3.322)

S4 Cos

y al sustituirlos en las primeras dos ecuaciones (3.320) se obtiene, 1 2

= 2S1 S4 ( 0 Cos

= 2S1 S4 ( 0 Sen

0

+ Sen

00

)

(3.323)

0

Cos

00

)

(3.324)

Al sustituir estos resultados en la tercera de las ecuaciones (3.320) resulta, 2S2

00

= =

2S1 S42 ( 0 Cos 2S1 S42

00

0

+ Sen

00

) Sen + 2S1 S42 ( 0 Sen

0

Cos

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

00

) Cos

Pág.: 261

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS o, 2 |

S2 +S 1 S42 {z

6=0

}

00

=0)

(

00 0

=0 = c1

(3.325)

además, de la última de las ecuaciones (3.320) se obtiene, 00

=0)

0

(3.326)

= c2

Si ahora se sustituyen (3.325) y (3.326) en (3.323) y (3.324) resulta, 1

= 2S2 S4 c1 c2 Cos

2

= 2S2 S4 c1 c2 Sen

(3.327) (3.328)

Finalmente, a partir de (3.303) se tiene que teniendo presente los resultados (3.317), (3.327) y (3.328), 8 2 P > > > Q = l Al = 1 A1 + 2 A2 = 1 = 2S1 S4 c1 c2 Cos > > > l=1 > > 2 P > > > Q = l Al = 1 A1 + 2 A2 = 2 = 2S1 S4 c1 c2 Sen > > < l=1 2 P (3.329) Q = > l Al = 1 A1 + 2 A2 = 1 S4 Sen + 2 S4 Cos > > l=1 > > > > = 2S1 S42 c1 c2 Cos Sen + 2S1 S42 c1 c2 Sen Cos = 0 > > > 2 > P > > Q = : l Al = 1 A1 + 2 A 2 = 0 l=1

.............................................................................................. EJEMPLO 3.31

Resolver el ejemplo 3.27 usando las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.296). SOLUCION: Se indentifica f : ya en el ejemplo 3.27 fue identificada f resultando, f = 1 + y 02 + z 02

1 2

(3.330)

Aquí se tienen 2 variables y1 = y y y2 = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la ecuación del cilindro, A = x2 + y 2

R2 = 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.331) Pág.: 262

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Su diferencial total viene dado por, D1

(d)

(3.332)

= 2xdx + 2ydy = 0

pudiendo ser vista ahora como una restricción del tipo Dl

(d)

[yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0.

Se identifican los coeficientes Ali : se tienen n = 2 variables yi y una restricción l = 1. Entonces a partir de (3.284) para l = 1 se tiene que, 2 X i=1

A1i dyi + B1 dx = 0 ) A11 dy1 + A12 dy2 + B1 dx = 0

(3.333)

o, A1y dy + A1z dz + B1 dx = 0

(3.334)

Ahora, al comparar (3.306) con (3.308) se deduce que, A1y = 2y A1z = 0 B1 = 2x

(3.335)

Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.302), las ecuaciones de Euler vendrán dadas por, 8 1 P > @f @f d > = Q = < dx y l Aly = A1y @y 0 @y l=1 (3.336) 1 P > @f @f d > = Q = A = A : dx @z0 z l lz 1z @z l=1

pero de (3.330),

(

@f @y @f @y 0

=0 =

y0

1 (1+y 02 +z 02 ) 2

@f @z @f @z 0

=0 =

z0

(3.337)

1 (1+y 02 +z 02 ) 2

entonces, al sustituir (3.335) y (3.337) en las ecuaciones (3.336) resulta, 8 i h 1 < d y 0 (1 + y 02 + z 02 ) 2 = 2y dx h i 1 : d z 0 (1 + y 02 + z 02 ) 2 = 0 dx

(3.338)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: las ecuaciones (3.338) son idénticas a las ecuaciones (3.235) y (3.236) del ejemplo 3.27. Por lo tanto, los resultados subsiguientes son igualmente idénticos a los obtenidos en dicho ejemplo. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 263

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS

EJEMPLO 3.32 Dada la funcional, Z b S1 z 02 + y 02 + S2 '02 + S3 z + S4 Cos ' dx J= a

sujeta a la restricción,

z 0 Sen '

y 0 Cos ' = 0

Encuéntrense las ecuaciones de Euler-Lagrange. Aquí S1 , S2 , S3 y S4 son constantes positivas no nulas y la prima indica derivada total con respecto a x. SOLUCION: Se indentifica f : en este caso, f = S1 z 02 + y 02 + S2 '02 + S3 z + S4 Cos '

(3.339)

Aquí se tienen n = 3 variables y1 = z, y2 = y y y3 = ' (i = 1; 2; 3) dependientes de la variable independiente x. Se identifican las restricciones existentes: existe 1 restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por, (D) D1 = z 0 Sen ' y 0 Cos ' = 0 (3.340) que no es integrable. Esta restricción es del tipo Dl

(D)

[yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0.

Se identifican los coeficientes Ali : se tienen n = 3 variables yi y una restricción l = 1. Entonces a partir de (3.284) se tiene que, Para l = 1: 3 X i=1

o,

A1i yi0 + B1 = 0 ) A11 y10 + A12 y20 + A13 y30 + B1 = 0 A1z z 0 + A1y y 0 + A1' '0 + B1 = 0

(3.341)

Ahora, al comparar (3.341) con (3.340) se deduce que, A1z = Sen ' A1y = Cos ' A1' = 0 B1 = 0

(3.342)

Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.302), las ecuaciones de Euler vendrán dadas por, 8 1 P > @f @f d > = Q = > dx @z0 z l Alz = 1 A1z @z > > l=1 > < 1 P @f @f d = Q = (3.343) y l Aly = 1 A1y 0 dx @y @y > l=1 > > 1 > P > @f @f d > : dx = Q = ' l Al' = 1 A1' 0 @' @' l=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 264

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES pero a partir de (3.339), @f = S3 @z @f = 2S1 z 0 @z 0 @f d = 2S1 z 00 dx @z 0

@f @y @f @y 0 d dx

=0 = 2S1 y 0 @f @y 0

= 2S1 y

00

@f = S4 Sen ' @' @f = 2S2 '0 @'0 @f d = 2S2 '00 dx @ 0

(3.344)

entonces, al sustituir los resultados (3.342) y (3.344) en las ecuaciones (3.343) resulta, 8 00 > S3 = 1 Sen ' < 2S1 z (3.345) 2S1 y 00 = 1 Cos ' > : 00 2S2 ' + S4 Sen ' = 0 que son las ecuaciones de Euler-Lagrange pedidas.

..............................................................................................

3.5.4.

Restricciones del tipo isoperimétrico

R x2 x1

gl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l

Se llaman problemas isoperimétricos a los problemas sobre la determinación de una figura geométrica de superficie máxima con perímetro dado. Actualmente se les da este nombre a todos los problemas variacionales en los cuales se pide hallar el extremo de la funcional, Z x2 J= f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; :::; n (3.346) x1

para que tome un valor estacionario pero bajo las llamadas Restricciones Isoperimétricas, Z x2 Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l , con l = 1; 2; 3; :::; K (3.347) x1

donde las %l son constantes, K puede ser mayor, menor o igual a n, y también problemas análogos para funcionales más complejas. Los problemas isoperimétricos pueden ser reducidos a problemas con restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 por medio de la introducción de nuevas funciones desconocidas. En efecto, a partir de (3.347) haciendo el límite superior de la integral igual a x, Z x x1

Il [yi (e x) ; yi0 (e x) ; x e] de x = hl (x)

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(3.348)

Pág.: 265

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS con,

(

hl (x1 ) = 0 hl (x2 ) = %l , por la condición (3.347)

(3.349)

donde se ha colocado s en la variable de integración para distinguirla del límite superior de la integral. Ahora derivando hl (x) con respecto a x se obtiene, h0l (x) = Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x] o, Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x]

h0l (x) = 0

(3.350)

de manera que las restricciones isoperimétricas (3.347) se han reemplazado por restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0, reduciéndose así al problema estudiado en la primera parte de la sección anterior. Por lo tanto, son aplicables las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.279) para las restricciones, Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; h0l (x) ; x] = Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x]

h0l (x) = 0

(3.351)

Las variables son, en este caso, las yi (x) y las h0l (x). Las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.279) correspondientes a estas dos variables vienen dadas por, d dx

@f @yi0

d dx

@f @h0j

K X @f = @yi l=1

l

@Dl @yi

d dx

@Dl @yi0

0 @Dl l @yi0

, con i = 1; 2; 3; :::; n(3.352)

@f @hj

l

@Dl @hj

d dx

@Dl @h0j

0 @Dl l @h0j

, con j = 1; 2; 3; :::; K(3.353)

=

K X l=1

Entonces, al sustituir (3.351) en (3.352) resulta, d dx

X @f = @yi l=1 K

@f @yi0

o, d dx

@f @yi0

@ (Il h0l ) @yi

l

X @f = @yi l=1 K

l

@ (Il h0l ) @yi0

d dx @Il @yi

d dx

@Il @yi0

[email protected] l

(Il h0l ) @yi0

0 @Il l @yi0

(3.354)

y al sustituir (3.351) en (3.353) resulta, d dx

@f @h0j

@f @hj

=

0 =

K X l=1

K X l=1

0 =

K X

l

8 > > <

@ (Il h0l ) @hj

d ( > dx > : | {z l

0 l lj

=0

d dx

lj )

}

@ (Il h0l ) @h0j 9 > > = 0 lj ) l( > > ;

[email protected] l

(Il h0l ) @h0j

l=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 266

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES o, 0 j

=0)

j

= constantes

(3.355)

Finalmente, debido al anterior resultado, las ecuaciones (3.354) se reducen a,

2 6 6 6 6 6 4

@f d @f = Qi , con i = 1; 2; 3; :::; n 0 dx @yi @yi | {z } Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiples variables dependientes y restricciones del tipo Rx isoperimétrico x12 gl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l .

(3.356) 3 7 7 7 7 7 5

donde, Qi =

K P

l=1

l

h

@Il @yi

d dx

@Il @yi0

i

(3.357)

que son las ecuaciones de Euler-Lagrange para el problema isoperimétrico planteado. Las restricciones del tipo isoperimétrico, como ya se mencionó antes, sólo pueden ser usadas en forma explícita ya que no representan igualdades que únicamente involucren las yi (x). Pasos a seguir cuando se tienen restricciones del tipo isoperimétrico: 1. Se identifican las Il a partir de los integrandos de las restricciones isoperimétricas dadas o construidas y la f del integrando de la J dada o construida a partir de la cantidad que se desea extremar. 2. Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.356), usando la f y las Il halladas en los pasos 1 y 2. 3. Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones, que son usadas para completar el sistema.Aquí se obtienen las extremales yi (x) y los multiplicadores de Lagrange l que permiten encontrar los Qi dados por (3.357). .............................................................................................. EJEMPLO 3.33 Hallar las extremales de la funcional, Z J= y 02 dx 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 267

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS sabiendo que y (0) = 0, y ( ) = 0 y sujeta a la restricción isoperimétrica, Z y 2 dx = 1 0

SOLUCION: aquí se tiene n = 1 variable y1 = y (i = 1) dependiente de la variable independiente x y existe K = 1 restricción (l = 1). Se identifican la f y las Il : a partir del integrando de la J se tiene que, f = y 02

(3.358)

y a partir del integrando de la restricción isoperimétrica, I1 = y 2

(3.359)

Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.356) se puede escribir para este caso, d dx

@f = Qy = @y

@f @y 0

pero de (3.358) y (3.359) se tiene que, 8 @f > > < @y = 0 @f = 2y 0 @y 0 > > : d @f0 = 2y 00 dx

@y

@I1 @y

1

d dx

@I1 = 2y @y @I1 =0 @y 0 @I1 d dx @y 0

@I1 @y 0 9 > > =

> > =0 ;

(3.360)

(3.361)

resuldados que al ser sustituidos en (3.360) se obtiene, y 00 =

(3.362)

1y

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: la ecuación diferencial (3.363) representa un problema de autovalores. Las p raíces del polinomio característico son . Se tienen dos casos posibles dos: 1. Si

0, la solución general viene dada por, p

y (x) = c1 e

x

+ c2 e

p

x

(3.363)

que no puede satisfacer las condiciones de frontera dadas (verificarlo), no existiendo así solución para 0. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 268

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES 2. Si

< 0, la solución general viene dada por, y (x) = c1 Sen

p

x + c2 Cos

p

x

(3.364)

Esta es la solución útil. De la condición de frontera y (0) = 0 resulta, y (0) = c2 = 0

(3.365)

y de y ( ) = 0, Sen

p

=0)

= 0; 1; 4; : : : ; n2 , con n = 0; 1; 2; 3; : : :

(3.366)

Ahora, al sustituir los resultados (3.365) y (3.366) en la restricción isoperimétrica resulta, Z h i2 p p c1 Sen x + c2 Cos x dx = 1 (3.367) 0

de la cual, c1 =

r

2

(3.368)

Finalmente, al sustituir los resultados (3.365), (3.366) y (3.368) en (3.364) se obtiene finalmente, r 2 y (x) = Sen (nx) , con n = 1; 2; 3; : : : (3.369) .............................................................................................. EJEMPLO 3.34 Determinar la función y (x) de longitud ` limitada por el eje x en la parte inferior, que pasa por los puntos P1 = ( a; 0), P2 = (a; 0) y que encierra la mayor área. SOLUCION: la figura 3.14 muestra la situación planteada en el enunciado del ejemplo. Se identifican la f y las Il : a partir de la figura 3.14 se tiene que, dA = ydx

(3.370)

Z

(3.371)

de la cual, A=

a

ydx a

que es la cantidad a ser maximizada. De aquí, f =y SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.372) Pág.: 269

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS

Figura (3.14): Función y (x) cuya área por ella encerrada ha de maximizarse.

teniéndose presente que y (x) debe cumplir con las condiciones y ( a) = 0 y y (a) = 0. Por otro lado, y (x) debe tener longitud constante ` entonces, Z a 1 1 2 2 2 ds = dx + dy )s= 1 + y 02 2 dx = `

(3.373)

a

que es una restricción isoperimétrica. De aquí que, I1 = 1 + y 02

1 2

(3.374)

De todo lo anterior se puede observar que existe n = 1 variable y1 = y (i = 1) dependiente de la variable independiente x y existe K = 1 restricción (l = 1). Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.356) se puede escribir para este caso, d dx

@f @y 0

@f = Qy = @y

pero de (3.372) y (3.374) se tiene que, 8 @f =1 > > < @y @f =0 @y 0 > > : d @f dx

@y 0

1

@I1 @y @I1 @y 0

@I1 @y

=0 =

d dx

y0

1

(1+y 02 ) 2

=0

resuldados que al ser sustituidos en (3.375) se obtiene, " # d y0 1 = 1 dx (1 + y 02 ) 2 1

@I1 @y 0 9 > > = > > ;

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.375)

(3.376)

(3.377) Pág.: 270

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: al integrar la ecuación diferencial (3.377) resulta, y0 1

(1 + y 02 ) 2

=x

(3.378)

c1

donde c1 es una constante de integración. Esta ecuación puede ser reescrita como, (x

y0 = 2

c1 )

(x

c1 )2

(3.379)

1 2

que al ser integranda resulta en, y=

2

(x

c1 )2

1 2

2

+ c2 ) y =

(x

c1 )2

1 2

+ c2

(3.380)

donde c2 es otra constante de integración y se ha escogido el signo positivo para y en concordancia con el sistema de coordenadas mostrado en la figura 3.14. Reordenando términos, (x c1 )2 + (y c2 )2 = 2 (3.381) La expresión (3.381) representa un círculo de radio centrado en (c1 ; c2 ). El área máxima es un semicírculo limitado por la línea y = 0 (eje x). El semicírculo parte del punto ( a; 0) y llega hasta el (a; 0) (o viceversa), lo cual significa que debe estar centrado en el origen (c1 ; c2 ) = (0; 0) y tiene radio = a. La longitud del semicírculo es a = `, por lo tanto, a = `= . De todo lo anterior a partir de (3.380) se deduce que, y=

"

`

2

x2

# 21

(3.382)

es la función buscada. .............................................................................................. EJEMPLO 3.35 Para atravesar un río se coloca, desde una orilla a la otra, una cuerda de longitud ` de densidad de masa lineal . Si la separación entre las orillas es 2a (2a < `), ¿qué forma tomará la cuerda con el fin de minimizar la energía potencial? (ver figura 3.15). SOLUCION: Se identifican la f y las Il : si ds es el elemento de longitud de la cuerda, entonces su energía potencial vendrá dada por, dU =

gyds

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.383) Pág.: 271

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS

Figura (3.15): Cuerda de longitud ` colocada entre las orillas de un río de ancho 2a.

donde y > 0 ya que su signo negativo ha sido considerado explícitamente. Como, 1 2

ds = dx2 + dy 2 entonces, U=

g

Z

1 2

= 1 + y 02

a

1 2

y 1 + y 02

(3.384)

dx

(3.385)

dx

a

que es la cantidad que se desea minimizar. La minimización de U está sujeta a la restricción de que la longitud de la cuerda permanezca constante e igual a `, es decir, Z Z a 1 (3.386) ds = 1 + y 02 2 dx = ` a

que es una restricción de tipo isoperimétrica. De (3.385) y (3.386) se puede identificar, f = D1 =

gy 1 + y 02 1 + y 02

1 2

(3.387)

1 2

(3.388)

Aquí se tiene n = 1 variable y1 = y (i = 1) dependiente de la variable independiente x y existe K = 1 restricción (l = 1). Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.356) se puede escribir para este caso, d dx

@f @y 0

@f = Qy = @y

pero de (3.387) y (3.388) se tiene que, 8 @f 1 02 2 > = g (1 + y ) > @y > 0 < @f = g yy02 1 @y 0 (1+y ) 2 > > > y 02 yy 0 y 00 : d @f0 = g 1 + 3 dx @y 02 02 (1+y ) 2

(1+y ) 2

1

@I1 @y

d dx

1

yy 00

1

(1+y 02 ) 2

d dx

(3.389)

1

gy (1 + y 02 ) 2 @I1 @y @I1 @y 0

@I1 @y 0

(1 + y 02 ) 2

=0 =

y0

1

(1+y 02 ) 2

@I1 @y 0

=

y 02 y 00

3

(1+y 02 ) 2

+

y 00

1

(1+y 02 ) 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

9 > > > = > > > ;

(3.390)

Pág.: 272

3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES resuldados que al ser sustituidos en (3.389) se obtiene, y 00 y o,

y puesto que dx =

= 1 + y 02

g

dy 0 dx = 02 1+y y dx dy dy

=

1 dy, y0

(3.391)

(3.392) g

entonces resulta que, y 0 dy 0 dy = 02 1+y y

(3.393) g

Ahora bien, al integrar (3.393) se obtiene, 2 02

y = c1 y

(3.394)

1

g

donde c1 es una constante de integración. Al hacer ahora la sustitución, y

g

=

1 1=2 c1

(3.395)

Cosh u

en (3.394) se obtiene, u02 = c1

(3.396)

u = c1 x + c2 , c2 = constante de integración

(3.397)

cuya solución es, 1=2

donde c2 es otra constante de integración. Entonces, de (3.395) y (3.397) se obtiene, y=

1 1=2 c1

1=2

Cosh c1 x + c2 +

g

(3.398)

Las condiciones de frontera establecen que y ( a) = 0. Al aplicarlas sobre (3.398) resulta que, 8 1=2 1 < y (a) = 0: 0 = 1=2 Cosh c1 a + c2 + g c1 Para (3.399) 1=2 1 : y ( a) = 0: 0 = 1=2 Cosh c1 a + c2 + g c1

de las cuales se puede deducir que c2 = 0 ya que a 6= 0 y por lo tanto, =

g 1=2 c1

1=2

Cosh c1 a

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(3.400) Pág.: 273

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS Por otro lado, para hallar c1 se usa la restricción isoperimétrica (3.386). En efecto, al sustituir (3.398) en dicha restricción resulta, Z ah i 21 2 1=2 1=2 dx = ` ) 1=2 Senh c1 a = ` 1 + Senh2 c1 x (3.401) c1 a que es una ecuación trascendental para c1 . Finalmente, de (3.398) y (3.400) resulta, y=

1 h

1=2

c1

Cosh

1=2 c1 x

Cosh

1=2 c1 a

i

que es una catenaria, con c1 dada por (3.401). ..............................................................................................

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 274

3.6. PROBLEMAS

3.6.

Problemas

1. Hallar la extremal del problema isoperimétrico, Z 1 y 02 + x2 dx J= 0

con la restricción,

Z

1

y 2 dx = 2

0

sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 0. Resp.: y=

2 Sen (n x)

donde n es un entero. 2. Hallar las extremales del problema isoperimétrico, Z 1 J= y 02 dx 0

con la restricción,

Z

1

ydx = a

0

donde a es una constante y sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 0. Resp.: y = 6ax (1 3. Dada la funcional,

Z

J=

x).

1

ay 02

by 2 dx

0

donde a y b son costantes positivas y que satisface las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (1) = 1. a) Hallar el camino extremal de la funcional. Resp.: y = Csc

q

b a

Sen

q

b x a

.

b) Encuentre q el valor de J usando el camino extremal hallado en (a). Resp.: J = 2 b b Csc . a 4. Hallar el extremal de la funcional, J=

Z

2y Sen x

y 02 dx

0

que satisface y (0) = 0 y y ( ) = 0. Mostrar que este extremal hace que J tome un máximo global. Resp.: y = Sen x. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 275

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS 5. Hallar las curvas (caminos) extremales del problema isoperimétrico, Z 1 y 02 + z 02 4xz 0 4z dx J= 0

con la restricción,

Z

1

y 02

xy 0

z 02 dx = 2

0

sabiendo que,

y (0) = 0, z (0) = 0 y y (1) = 1, z (1) = 1 Resp.: y =

5 2 x 2

+ 72 x o y = 3x2

2x; z = x.

6. Analizar el extremo de la funcional, Z J=

x2

y 2 + 2xyy 0 dx

x1

sabiendo que y (x1 ) = yo y y (x2 ) = y1 . Resp.: la integral no depende del camino de integración. El problema variacional no tiene sentido. 7. Hallar las extremales de la funcional, Z x2 J= y 0 1 + x2 y 0 dx x1

Resp.: las extremales son las hipérbolas, y = c2 con c2 =

1 c1 2

1 + c3 x

y c3 una constante de integración.

8. Hallar las extremales de la funcional, Z x2 J= y 02 + 2yy 0

16y 2 dx

x1

Resp.: y = c1 Cos (4x) + c2 Sen (4x) o también y = C1 Sen (4x general distintas, a c1 y c2 .

C2 ) donde C1 y C2 son en,

9. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

1

y 02 + x dx

0

bajo las condiciones de frontera, y (0) = 1 y y (1) = 2 Resp.: y = x + 1. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 276

3.6. PROBLEMAS 10. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

1

y 02 + y 2 dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 1 y y (1) = e 1 . Tener presente que e Cosh x Senh x. Resp.: y = Cosh x Senh x.

x

=

11. Hallar las extremales de la funcional, Z x2 xy 0 + y 02 dx J= x1

Resp.: y =

x2 4

+ c1 x + c2 .

12. Hallar las extremales de la funcional, J=

Z

`

y 03 ydx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y (`) = R. Resp.: y = R parábola de grado 34 . 13. Hallar las extremales de la funcional, Z x2 J= y 2 + y 02

x `

3 4

, que es una

2y Sen x dx

x1

Resp.: y = c1 ex + c2 e

x

+ 21 Sen x.

14. Hallar las extremales de la funcional, Z J= 2yz

2y 2 + y 02

z 02 dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y ( ) = 1, z (0) = 0 y z ( ) = 1. Resp.: y= z=

1 1

x Cos x + c Sen x x Cos x + 2 + c Sen x

donde c es una constante arbitraria. Es una familia de extremales. 15. ¿En qué curva puede alcanzar su extremo la funcional Z 2 J= y 02 y 2 dx 0

sabiendo que y (0) = 1 y y (2 ) = 1?. Resp.: y = Cos x+c Sen x, donde c es una constante arbitraria, es decir, el problema variacional considerado tiene un conjunto infinito de soluciones. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 277

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS 16. ¿En qué curvas puede alcanzar su extremo la funcional Z 1 1 J= 1 + y 02 2 dx 0

sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 1?. Resp.: y = x. 17. ¿En qué curvas puede alcanzar su extremo la funcional Z x2 y 2 dx J= x1

sabiendo que y (x1 ) = yo y y (x2 ) = y1 ?. Resp.: y = 0. La extremal y = 0 pasa por los puntos frontera sólo cuando yo = 0 y y1 = 0. 18. Hallar el extremal de la funcional, Z

J=

2

x2 y 02 dx

1 1 x

que satisface y (1) = 0 y y (2) = 1. Resp.: y = 2 1

.

19. Hallar el extremal de la funcional, J=

Z

1

0

2

(1 + y 2 ) dx y 02

que satisface y (0) = 0 y y (1) = 1. Resp.: y = tan

4

+n

x+n

, con n = 0; 1; 2; 3; : : :.

20. Hallar el extremal de la funcional, J=

Z

1

y 02

y 04 dx

0

que satisface y (0) = 0 y y (1) = 0. Resp.: y = 0. 21. Hallar el extremal de la funcional, J=

Z

1

2

x3 dx y 03

que satisface y (1) = 1 y y (2) = 4. 22. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

2

y (2x

y) dx

0

bajo las condiciones de frontera: SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 278

3.6. PROBLEMAS a) y (0) = 0 y y

2

= 2 . Resp.: y = x.

b) y (0) = 0 y y 2 = 1. Resp.: la extremal y = x no pasará por los puntos frontera (0; 0) y 2 ; 1 de modo que el problema variacional con estas condiciones de frontera no tendrá solución. 23. Hallar las extremales de la funcional, Z 2 y2 J=

y 02

8y Cosh x dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 2 y y 24. Hallar las extremales de la funcional, Z x2 J= y2

y 02

= 2 Cosh 2 . Resp.: y = 2 Cosh x.

2

2y Sen x dx

x1

25. Obténgase la forma que adopta la ecuación de Euler-Lagrange en los siguientes casos particulares: a) f sólo depende de y. b) f no depende de y. p c) f = Q (x; y) 1 + y 02 .

26. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

2

y 02

2xy dx

1

bajo las condiciones de frontera y (1) = 0 y y (2) =

1. Resp.: y (x) =

x 6

(1

x2 ).

27. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

3

(3x

y) ydx

1

bajo las condiciones de frontera y (1) = 1 y y (3) = 29 . Resp.: y = 32 x. La extremal encontrada no satisface la condición y (1) = 1, por lo tanto, este problema variacional no tiene solución. 28. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

2

2

(y 0 + y) dx

1

bajo las condiciones de frontera y (1) = 1 y y (2) = 0. Resp.: y (x) =

Senh(2 x) . Senh 1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 279

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS 29. Hallar la extremal de la funcional, Z

J=

p

1

y (1 + y 02 )dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = dadas por, 1+ 3 y (x) =

p1 2

y y (1) =

p 2 2 (2x p 4 2 1

p1 . 2

Resp.: Hay dos extremales

1)2

30. Hallar las extremales de la funcional, J=

Z

1

yy 02 dx

0

bajo las condiciones q = 1 y y (1) = q de frontera y (0) 2 3 dadas por, y (x) = (x + 1) y y (x) = 3 (3x 1)2 .

31. Hallar la extremal de la funcional, Z J=

p 3

4. Resp.: Hay dos extremales

1

y 02

y2

y e2x dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (1) = e 1 . Resp.: y (x) =

1 e 2

x

+ (1 + e) xe

x

1

32. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

e

xy 02 + yy 0 dx

1

bajo las condiciones de frontera y (1) = 0 y y (e) = 1. Resp.: y (x) = ln x. 33. Hallar la extremal de la funcional, Z b J= 2xy + x2 + ey y 0 dx a

bajo las condiciones de frontera y (a) = A y y (b) = B. Resp.: La integral no depende del camino de integración, por lo tanto, este problema variacional no tiene sentido. 34. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

1

(xy 0 + ey ) dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (1) = . Resp.: y (x) = 0 si no existe extremal suave. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

= 0; si

6= 0

Pág.: 280

3.6. PROBLEMAS 35. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

1

2ey

y 2 dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 1 y y (1) = e. Resp.: No hay extremales, la ecuación de Euler no tiene soluciones. 36. Considérese la funcional, J=

Z

x2

f [y (x) ; y 0 (x) ; x] dx

x1

con las condiciones de frontera y (x1 ) = A y y (x2 ) = B. Demostrar que la ecuación de Euler se mantiene al agregar al integrando la derivada total de cualquier función u = u (x; y). 37. Hallar las extremales de la funcional, J=

Z

b

xn y 02 dx

a

y probar que para n > 1 no existen extremales que pasen por dos puntos distintos situados sobre el eje Oy. 38. Demuéstrese la invariancia de la ecuación de Euler frente a cambios de coordenadas. 2

39. Considerar la función f = dy(x) donde y (x) = x. Sumar a y (x) la función (x) = dx Sen (x), y (a) graficar y (x) y dos de sus variaciones y ( ; x) en un mismo plano Cartesiano, (b) encontrar J ( ) entre los límites x = 0 y x = 2 , (b) mostrar que el valor estacionario de J ( ) se da cuando = 0. Resp.: (b) J ( ) =

2

2+

40. Considerar la función f=

:

2

dy (x) dx

x

e

1

+ x2

donde y (x) = x + ex . Sumar a y (x) la función (x) = x2 Cos 2 x 1, y (a) graficar y (x) y dos de sus variaciones y ( ; x) en un mismo plano Cartesiano, (b) encontrar J ( ) entre los límites x = 1 y x = 1, (b) mostrar que el valor estacionario de J ( ) se da cuando = 0. Resp.: (b) J ( ) =

2 1 + 3

1 4

3

+

8 + 16 3

2

:

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Pág.: 281

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS 41. Encuentre y resuelva las ecuaciones para las geodésicas sobre un plano usando coordenadas polares planas (r; '), en términos de las cuales el elemento de distancia ds es dado por ds2 = dr2 + r2 d'2 . Resp.: r = c1 Sec (' c2 ), donde c1 y c2 son constantes de integración. Esta es la ecuacción de la recta en coordenadas polares. 42. Encuentre: a) La expresión general para el camino más corto sobre la superficie de un cono de semiángulo mediante cálculo variacional. Tome la ecuación del camino en la forma = ('), donde es la distancia desde el vértice O y ' es el ángulo polar cilíndrico medido alrededor del eje del cono (ver figura 42a). La ecuación p x2 + y 2 . Resp.: = 1b Sen sec [(' c) Sen ], de un cono viene dada por z = 1 con c una constante.

Problema 43. b) Encuentre el camino particular que satisface las condiciones de frontera a Cos( Sen ) = a. Resp.: = Cos('2Sen ) .

2

43. Un fabricante desea minimizar la funcional de costo, Z 4 C= [(3 + y 0 ) y 0 + 2y] dx 0

sujeta a las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (4) = X, donde X es el volumen deseado de producción. Encuentre el extremal de C que satisface las condiSOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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3.6. PROBLEMAS ciones dadas y pruebe que ésta hace que C tome un mínimo global. Resp.: y = 1 x (2x + X 8). 4 44. Considérese la propagación de los rayos de luz en un medio axialmente simétrico donde, en un sistema de coordenadas cilíndricas (r; '; z), el índice de refracción es n = n (r) y los rayos están en el plano z = 0. Para este caso el principio de Fermat resulta en la funcional, Z ' =c

1

1

n r2 + r02

1 2

d'

'o

donde c es la velocidad de la luz en el vacío, es el tiempo empleado por un rayo de luz para ir de un punto a otro, r = r (') es la ecuación del camino seguido y dr r0 = d' . a) Mostrar que las extremales de

satisfacen la ecuación diferencial ordinaria, nr2 1

(r2 + r02 ) 2

= constante

b) Mostrar que si se escribe r0 = r tan ( ángulo entre la tangente al rayo y la superficie cilíndrica local r =constante), la anterior ecuación se transforma en, = constante

rn Cos

que es la forma de la ley de Snell para este caso. 45. Muestre que al sustituir la funcional, fe = f +

K X l=1

l

(x) Al [yi (x) ; x]

en las ecuaciones de Euler-Lagrange, ! @ fe d @ fe = 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n @yi dx @yi0 se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange, d dx

@f @yi0

X @f = @yi l=1 K

l

@Al @yi

46. Encuentre el camino más corto sobre la superficie de una esfera usando los multiplicadores de Lagrange. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS 47. A partir de la forma usual (no integrada) de la ecuación de Euler, rehacer el problema de encontrar la geodésica sobre la superficie de una esfera de radio R, usando como variable dependiente y ' como independiente. a) Mostrar que se obtiene la ecuación diferencial, Cos Sen donde

0

=

d . d'

d d'

0

=0

Sen2

Use la restricción presente en forma implícita.

b) Mostrar que, d d'

Cos Sen

=

0

Sen2

c) Use la expresión anterior para resolver la ecuación encontrada en (a). Resp.: z = c1 x + c2 y, que es la ecuación de un plano que pasa a través del centro de la esfera. Por lo tanto, la geodésica sobre una esfera es el camino que se origina al intersectar este plano con la esfera, es decir, el círculo mayor. 48. Rehaga el problema de encontrar el camino más corto sobre la superficie de una esfera usando ambas y ' como variables dependientes, formulándolo como un problema paramétrico escribiendo las condiciones de frontera apropiadas. Combine las dos Ecuaciones de Euler - Lagrange resultantes y muestre que se obtiene el camino ya conocido. 3

49. Dada la superficie z = x 2 , a) ¿cuál es la curva sobre esta superficie que une los puntos (x; y; z) = (0; 0; 0) y (1; 1; 1) que tiene la mínima longitud?. Resp.: " # 3=2 8 9 y = 3=2 1+ x 1 13 8 4 b) Use la computadora para generar una gráfica conjunta que muestre la superficie dada y el camino más corto obtenido en (a). 50. Considérese la línea que une los puntos (x1 ; y1 ) = (0; 0) y (x1 ; y1 ) = (1; 1) Mediante los siguientes pasos, se mostrará explícitamente que la función y (x) = x produce un camino de mínima longitud mediante el uso de la función variada y ( ; x) = x + Sen [ (1 x)]. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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3.6. PROBLEMAS a) Muestre que la longitud s de la curva y ( ; x) que une los puntos (x1 ; y1 ) = (0; 0) y (x1 ; y1 ) = (1; 1) es, p Z 1 2 2 1 2 2 1 Cos u + Cos2 u du s= 2 0 donde se ha hecho el cambio

(1

x) = u. Aquí s es el funcional.

b) La anterior integral no puede resolverse directamente puesto que, de hecho, es una integral elíptica. Sin embargo, como es pequeña podemos desarrollar el integrando en la forma (1 x)1=2 hasta el término cuadrático. Mostrar que el resultado de esta operación viene dado por, p Z 1 2 1 2 2 1 Cos2 u Cos u s = 2 2 0 # 2 1 1 2 2 Cos2 u + ::: du Cos u 8 2 c) Ahora, si en la anterior expresión se dejan sólo los términos hasta Cos2 u y se integra, mostrar que el resultado viene dado por, s=

p

2 1+

1 16

2

2

d) Por último, mostrar que cumple con la condición para que esta integral tome un valor estacionario, es decir, @s =0 @ =0 mostrándose así que la función y (x) = x produce un camino de mínima longitud. 51. Encuéntrese la ecuación de la línea que proporciona la distancia más corta entre dos puntos en el espacio (x1 ; y1 ; z1 ) y (x2 ; y2 ; z2 ). Ayuda: Supóngase que x, y y z dependen del parámetro ` y que los puntos extremos son expresados por, (x1 (`1 ) ; y1 (`1 ) ; z1 (`1 )) y (x2 (`2 ) ; y2 (`2 ) ; z2 (`2 )) Resp.: xx2 xx11 = yy2 yy11 = zz2 zz11 que es la ecuación de la recta en el espacio que pasa por los puntos (x1 ; y1 ; z1 ) y (x2 ; y2 ; z2 ). 52. Mostrar que la geodésica sobre la superficie de un cilindro circular recto de radio R (ver figura 52b) es un segmento de hélice, ' = c1 z + c2 Usar coordenadas cilíndricas ds2 = dr2 + r2 d'2 + dz 2 . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS a) Usando la restricción presente en forma implícita. b) Usando la restricción presente en forma explícita.

Problema 53. 53. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

1

y 2 + x2 y 0 dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (1) = a. Resp.: y = x. La primera condición de frontera se cumple pero la segunda se satisface sólo cuando a = 1. Si a 6= 1, no existe ninguna extremal que satisfaga las condiciones de frontera. 54. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

x1

(y + xy 0 ) dx

x0

bajo las condiciones de frontera y (x0 ) = y0 y y (x1 ) = y1 . Resp.: La integral no depende del camino de integración, por lo tanto el problema variacional no tiene sentido. 55. Hallar las extremales de la funcional, Z 2 J= y 02 + 2yy 0 + y 2 dx 1

bajo las condiciones de frontera y (1) = 1 y y (2) = 0. Resp.: y =

Senh(2 x) . Senh 1

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3.6. PROBLEMAS 56. Hallar la extremal de la funcional, Z 1 xy + y 2 J=

2y 2 y 0 dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 1 y y (1) = 2. Resp.: No hay extremo. 57. Hallar las extremales de la funcional, Z x1 y 2 + y 02 + J= x0

Resp.: y = c1 Cosh x + c2 Senh x + x Senh x

2y cosh x

dx

Cosh x ln (Cosh x).

58. Hallar las extremales de la funcional, Z x1 J= x2 y 02 + 2y 2 + 2xy dx x0

Resp.: y = c1 x +

c2 x2

+ 13 x ln jxj.

59. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

0

12xy

y 02 dx

1

bajo las condiciones de frontera y ( 1) = 1 y y (0) = 0. Resp.: y = 60. Hallar la extremal de la funcional, Z J= 4y Cos x + y 02

x3 .

y 2 dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y ( ) = 0. Resp.: y = (c + x) Sen x, donde c es una costante arbitraria. 61. Hallar la extremal de la funcional, J=

Z

1

y 02 + 4y 2 dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = e2 y y (1) = 1. Resp.: y = e2(1 62. Hallar las extremales de la funcional, Z J=

a

b

y+

y3 3

x)

.

dx

Resp.: no hay extremales. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS 63. Hallar las extremales de la funcional, Z 2 y 02 + z 2 + z 02 dx J= 1

bajo las condiciones de frontera y (1) = 1, y (2) = 2, z (1) = 0 y z (2) = 1. Resp.: y = x, 1) z = Senh(x . Senh 1 64. Hallar las extremales de la funcional, Z 4 J= 2z

4y 2 + y 02

z 02 dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y 2 y = Sen (2x), z = 12 x2 + 32+ x. 8 65. Hallar las extremales de la funcional, Z 1 J= 2xy 1

4

= 1, z (0) = 0 y z

4

= 1. Resp.:

1 y 02 + z 03 dx 3

bajo las condiciones de frontera y (1) = 0, y ( 1) = 2, z (1) = 1 y z ( 1) = familia de extremales es: y = 61 (x3 + 5x 6) z=x 66. Hallar las extremales de la funcional, Z 2 y 02 + z 02 J=

1. Resp.: La

2yz dx

0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y 2 familia de extremales es: y = Sen x z = Sen x

= 1, z (0) = 0 y z

2

= 1. Resp.: La

67. Hallar las extremales de la funcional, Z 1 J= y 02 + z 02 + 2y dx 0

bajo las condiciones de frontera y (0) = 1, y (1) = 23 , z (0) = 0 y z (1) = 1. Resp.: La familia de extremales es: y = 21 x2 + 1 z=1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 288

3.6. PROBLEMAS 68. Probar que la ecuación de Euler de la funcional, J=

Z

b

F (y; z; y 0 ; z 0 ; x) dx

a

tiene las siguientes primeras integrales: a)

@F @y 0

b) F

= c (c constante) si F no comprende y; @F y 0 @y 0

@F z 0 @z 0 = c si F no comprende x.

69. Un cohete de masa m, partiendo del reposo, ha de ser acelerado verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra hasta una altura h en un tiempo (ver figura 3.16), mediante la fuerza generada por su motor mA (t) (A aceleración que le imprime al cohete los gases expulsados). Si se supone que m y g permanecen constantes durante el vuelo, que y (0) = y (0) = 0 y que y ( ) = h:

Figura (3.16): Problema 70.

a) Mostrar que la aceleración resultante con la que sube el cohete viene dada por, y = A (t)

g

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Pág.: 289

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS b) Mostrar que h viene dada por, h=

1 g 2

2

+

Z

(T

t) A (t) dt

0

c) Si el consumo { de combustible del cohete viene dado por, { [A (t)] =

Z

A2 (t) dt

0

use el anterior resultado escrito en la forma, Z 1 (T t) A (t) dt = h + g 2 0

2

= constante

como restricción isoperimétrica y muestre que la u (t) que minimiza dicho consumo viene dada por, 3 1 u (t) = 3 h + g 2 ( t) 2 d) ¿Durante cuánto tiempo (mínimo) se debería acelerar el cohete para consumir el mínimo posible de combustible y cuál sería el consumo para este tiempo?. Resp.: s 6h = g 4 p { = g 6gh 3

70. Dado el problema isoperimétrico,

1 J (x; y) = 2

Z

t1

xy

y x dt

to

(el punto denota derivada total con respecto a t) con la restricción isoperimétrica, Z t1 q 2 2 x + y dt = L to

mostrar que J representa el área encerrada bajo la circunferencia, (x

c2 )2 + (y

con, =

c1 )2 =

2

1 L 2

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Pág.: 290

3.6. PROBLEMAS 71. Encuentre la extremal del problema isoperimétrico, Z J (y) = y 02 dx 0

con y (0) = y ( ) = 0, sujeto a la restricción, Z y 2 dx = 1 0

72. Si f (x; y) = y + xy 0 muéstrese que la funcional, Z b (y + xy 0 ) dx J= a

no depende de y = y (x) y, por lo tanto, no tiene sentido econtrar un camino que haga de J un valor extremo. 73. Hallar la distancia más corta entre los puntos P1 ( 2; 1; 1) y P2 (6; 1; 2) en el plano p x + 2y 4z = 0. Use la restricción presente en forma explícita. Resp.: 77. 74. Encuentre la extremal del problema isoperimétrico, Z 1 J (y) = y 02 dx 0

con y (0) = 0 y y (1) =

Resp.: y (x) = 14 (2x

1 , 4

sujeto a la restricción, Z 1 1 y y 02 dx = 12 0

x2 ).

75. Muestre que al sustituir la funcional, fe = f +

K X l=1

l

(x) Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x]

en las ecuaciones de Euler-Lagrange, ! e e @f d @f = 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n @yi dx @yi0 se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange, d dx

@f @yi0

X @f = @yi l=1 K

l

@Dl @yi

d dx

@Dl @yi0

0 @Dl l @yi0

76. Resuelva el problema 73 usando ahora la restricción presente en forma implícita. p Resp.: 77.

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CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 292

CAPÍTULO 4 Transformada de Legendre La transformada de Legendre1 es una herramienta matemática comúnmente utilizada en Mecánica Estadística y Termodinámica para definir los potenciales termodinámicos y en Mecánica Clásica para establecer la correspondencia entre los marcos Lagrangiano y Hamiltoniano de los sistemas dinámicos. Bajo algunas circunstancias, es útil almacenar la información contenida en una determinada función de una forma diferente. Dos ejemplos comunes son las transformaciones de Fourier y de Laplace. Estas expresan la función como la suma de exponenciales (reales o complejas), mostrando la información contenida en la función en términos de la suma de cada componente contenida en la misma más que en términos de su valor.

Contents 4.1. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 4.2. Convexidad y concavidad de funciones y propiedades . . . . . . . . . . 297 4.2.1. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

297

4.2.2. Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

299

4.2.3. Determinación de la convexidad y la concavidad de una función . . . . .

300

4.2.4. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310

4.3. Transformada de Legendre para una variable independiente . . . . . . 311 1

Reciben su nombre debido a Adrien-Marie Legendre (París, 18 de septiembre de 1752 - Auteuil, Francia, 10 de enero de 1833), Matemático francés. Hizo importantes contribuciones a la estadística, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análisis matemático.

293

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE 4.4. Transformada de Legendre para más de una variable independiente . 316 4.5. Variables activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 4.6. Algunas propiedades matemáticas de la transformada de Legendre . 325 4.6.1. La inversa de la transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . .

325

4.6.2. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

329

4.6.3. Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

330

4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

4.1.

Definición

En ciertos problemas matemáticos o físicos es deseable expresar una cierta magnitud F (como la energía interna) mediante una función diferente G en la que los argumentos sean precisamente las derivadas de la función respecto a las antiguas variables. Supóngase que se tiene una relación matemática cualquiera, F = F (u1 ; u2 ; :::; un ) = F (ui ) , con i = 1; 2; 3; : : : ; n

(4.1)

donde n es el número de variables. Esta expresión será llamada Relación Fundamental para señalar que contiene toda la información necesaria para caracterizar la relación. Ahora el objetivo es tomar las variables, vi =

@F (uj ) @ui

(4.2)

como variables independientes sin perder nada de la información contenida en la relación fundamental, es decir, se quiere escribir F = F (vi ). Esto no se logra por el simple artilugio de escribir las ui en términos de las vi usando (4.2) y reemplazándolas en la relación fundamental (4.1). Para comprender mejor lo inadecuado de este procedimiento piénsese en el caso de una sola variable u. Si la relación fundamental F = F (u) está representada como se muestra en la figura 4.1(a) y se elimina u mediante la expresión para la pendiente v, v=

dF (u) du

(4.3)

una breve reflexión indica que con tal procedimiento se perdería algo del contenido matemático de la relación fundamental F = F (u) puesto que: SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 294

4.1. DEFINICIÓN

Figura (4.1): (a) Representación de la relación fundamental F = F (u). (b) Representación de una familia de relaciones fundamentales F = F (v).

1. Desde el punto de vista geométrico es evidente que el conocimiento de F en función de la pendiente v no permitirá reconstruir la curva F = F (u). En efecto, cualquiera de las curvas de la figura 4.1(b) satisface la relación F = F (v). 2. Desde el punto de vista analítico la relación F = F (v) es una ecuación diferencial de primer orden y su integración da una F = F (u) en la que queda indeterminada una constante de integración. Así pues, se ve que la aceptación de F = F (v) como relación fundamental en lugar de F = F (u) implicaría la pérdida de parte de la información contenida originalmente en la relación fundamental. A pesar de la conveniencia de disponer de v como variable independiente, este sacrificio del contenido informativo es completamente inaceptable. La solución aceptable al problema planteado es suministrada por la dualidad entre la geometría convencional del punto y la geometría de Plücker2 de las líneas3 . El concepto esencial en la geometría de Plücker de las líneas es que una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia de líneas 2

La geometría de Plücker propone una relación funcional para las rectas a través de los pares ordenados (v; G (v)) donde v es la pendiente y G (v) la ordenada al origen. 3 Julius Plücker nació en Elberfeld (ahora parte de Wuppertal). Después de ser educado en Düsseldorf y las universidades de Bonn, Heidelberg y Berlín fue a París en 1823, donde encontró la influencia de la gran escuela de geómetras, cuyo fundador, Gaspard Monge, había muerto recientemente. En 1825 volvió a Bonn, y en 1828 se hizo catedrático en matemática. En el mismo año publicó el primer volumen de su Analytisch-geometrische Entwickelungen, que introdujo por primera vez el método de anotación abreviada. En 1831 publicó el segundo volumen, en el cual estableció la dualidad proyectiva en una base sólida e independiente. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 295

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

Figura (4.2): Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia de líneas tangentes.

tangentes (ver figura 4.2) o como lugar geométrico de los puntos que satisfacen la relación fundamental F = F (u). Por consiguiente, cualquier expresión que permita construir la familia de líneas tangentes determina la curva tan satisfactoriamente como la relación F = F (u).

Del mismo modo que cualquier punto del plano está descrito por dos números (u, F (u)), así cualquier recta del plano puede describirse por los dos números (v; G (v)), donde G (v) es su intersección con el eje u. Por lo tanto, del mismo modo que la relación fundamental F = F (u) selecciona un subconjunto de todos los puntos posibles (u; G (u)), una relación G = G (v) selecciona un subconjunto de todas las rectas posibles (v; G (v)). El conocimiento de las intersecciones G de las líneas tangentes en función de las pendientes v permite construir la familia de líneas tangentes y, por consiguiente, la curva que constituye su envolvente. Así la relación G = G (v) es completamente equivalente a la relación fundamental F = F (u). En G = G (v) la variable independiente es v por lo que proporciona una solución completa y satisfactoria al problema, pudiéndose considerar como una relación fundamental equivalente.

El procedimiento para encontrar G = G (v) lo proporciona la llamada Transformada de Legendre, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 296

4.2. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD DE FUNCIONES Y PROPIEDADES

Una Transformada de Legendre da como resultado una nueva función en la que se sustituye una o más variables independientes con la derivada de la función original respecto a esa variable.

4.2.

Convexidad y concavidad de funciones y propiedades

4.2.1.

Funciones convexas

Un conjunto S es convexo si no existen puntos A y B en S tales que en el segmento de recta entre A y B exista, al menos, un punto que no pertenece a S (ver figura 4.3).

Figura (4.3): (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo.

Es de hacer notar que se incluye el conjunto vacío dentro de la definición de convexidad. La definición también incluye conjuntos únicos donde A y B tienen que ser el mismo punto y por lo tanto la línea entre A y B es el mismo punto. Ahora bien, Sea S Rn un conjunto convexo no vacío y sea F : S ! R, se dice que F es una Función Convexa en S si y sólo si, F [ ua + (1

) ub ] 6 F (ua ) + (1

) F (ub )

(4.4)

8 2 [0; 1] ^ 8ua ; ub 2 S, como se muestra gráficamente en la figura 4.4. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 297

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

Figura (4.4): Función F (u) convexa en el intervalo [ua ; ub ].

En otras palabras, una función es convexa si y sólo si su Epigrafo4 (el conjunto de puntos situados en o sobre el grafo como se muestra en la figura 4.5) es un conjunto convexo.

Figura (4.5): El epigrafo de una función de valor real es la zona "sobre"la curva.

4

EL epigrafo de una función es la zona .arriba"de la función. Análogamente, el conjunto de puntos en o por debajo de esta función es un hipografo. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 298

4.2. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD DE FUNCIONES Y PROPIEDADES

Una Función Estrictamente Convexa es aquella en que, F [ ua + (1

) ub ] < F (ua ) + (1

) F (ub )

(4.5)

8 2 (0; 1) ^ 8ua ; ub 2 S con ua 6= ub .

Geométricamente, F = F (u) será convexa si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función se sitúa siempre encima o a la altura de ésta

4.2.2.

Funciones cóncavas

Sea S Rn un conjunto convexo no vacío y sea F : S ! R, se dice que F es una Función Cóncava en S si y solo si, F [ ua + (1

) ub ] > F (ua ) + (1

) F (ub )

(4.6)

8 2 [0; 1] ^ 8ua ; ub 2 S, como se muestra gráficamente en la figura 4.6.

Figura (4.6): Función F (u) cóncava en el intervalo [ua ; ub ].

y además, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 299

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

Una Función Estrictamente Cóncava es aquella en que, F [ ua + (1

) ub ] > F (ua ) + (1

) F (ub )

(4.7)

8 2 (0; 1) ^ 8ua ; ub 2 S con ua 6= ub . Geométricamente, F = F (u) será convexa si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función se sitúa siempre por debajo de ésta.

Figura (4.7): Gráfica de la finción F (u) = Cos (u). En el dominio 2 ; 32 es una función estrictamente convexa y en el dominio 32 ; 52 es una función estrictamente cóncava.

Las funciones lineales son cóncavas y convexas a la vez, dado que cumplen la definiciones (4.4) y (4.6) como una igualdad entre los dos miembros. Sin embargo, por lo anterior, no son extrictamente convexas ni extrictamente cóncavas. Por el contrario, la función coseno F (u) = Cos (u), mostrada en la figura 4.7, no es cóncava ni convexa sobre todo su dominio R pero. Sin embargo, sobre ciertos subdominios si tiene algunas de estas propiedades. Así, en el dominio 2 ; 32 es una función convexa, mientras que en el dominio 32 ; 52 es una función cóncava, siéndolo estrictamente en ambos casos.

4.2.3.

Determinación de la convexidad y la concavidad de una función

Obsérvese que no es fácil demostrar la convexidad y la concavidad de una función por definición. Por ello es conveniente disponer de unas condiciones necesarias SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 300

4.2. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD DE FUNCIONES Y PROPIEDADES y suficientes que nos permitan determinar si una función es convexa o cóncava, estudiando otros elementos más operativos. Siempre que la función dada sea al menos dos veces derivable, se puede determinar su carácter convexo o cóncavo. En caso de funciones de una variable

Figura (4.8): Representación gráfica de la desigualdad (4.8) que expresa la condición de convexidad.

Si la función F = F (u) es derivable entonces la convexidad equivale a la condición que expresa la desigualdad, d F (ub ) F (ua ) 6 dx ub

F (ua ) d 6 F (ub ) ua dx

(4.8)

como se muestra gráficamente en la figura 4.8. Esto significa que la pendiente de la curva entre los puntos ua y ub está contenida entre los valores extremos de la derivada, lo cual equivale a que la derivada sea creciente en todo el dominio de F . Si F es dos veces derivable, el carácter creciente de la primera derivada implica que que la segunda derivada sea positiva, d2 F du2

(u) > 0

(4.9)

Para una función convexa

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 301

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE y para una función estrictamente convexa, d2 F du2

(u) > 0

(4.10)

Para una función estrictamente convexa

Mediante un razonamiento análogo al anterior se puede encontrar que para las funciones cóncavas se debe cumplir que, d2 F du2

(u) 6 0

(4.11)

Para una función cóncava

y, d2 F du2

(u) < 0

(4.12)

Para una función estrictamente cóncava para una función estrictamente cóncava. .............................................................................................. EJEMPLO 4.1 Determinar si la función, F (u) =

1 u

con u > 0, es cóncava o covexa. Ver figura 4.9. SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta, d2 2 F (u) = 3 > 0 2 du u lo cual indica que es estrictamente convexa. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 302

4.2. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD DE FUNCIONES Y PROPIEDADES

Figura (4.9): Gráfica de la función F (u) =

1 u

para u > 0.

EJEMPLO 4.2 Determinar si la función, F (u) = e

u

con 6 0 y u > 0 variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 4.10. SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta, d2 F (u) = du2

3

e

u

60

lo cual indica que es cóncava. .............................................................................................. EJEMPLO 4.3 Determinar si la función, F (u) = au2 + bu + c con a < 0 y u variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 4.11. SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta, d2 F (u) = 2a < 0 du2 lo cual indica que es estrictamente cóncava. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 303

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

Figura (4.10): Gráfica de la función F (u) = e

u

para

6 0 y u > 0.

Figura (4.11): Gráfica de la función F (u) = au2 + bu + c con a < 0 y u variable real.

EJEMPLO 4.4 Determinar si la función, F (u) = e con

u

+u

> 0 y u variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 4.12.

SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta, d2 F (u) = du2

2

e

u

>0

lo cual indica que es convexa. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 304

4.2. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD DE FUNCIONES Y PROPIEDADES

Figura (4.12): Gráfica de la función F (u) = e

u

+ u con

> 0 y u variable real.

En caso de funciones de varias variables Antes de indicar cómo saber si una función de varias variables es convexa o cóncava se definirá la Matriz Hessiana H y sus menores principales. La matriz Hessiana H de una función de n variables F = F (u1 ; u2 ; :::; un ) = F (ui ), con i = 1; 2; 3; : : : ; n, es la matriz cuadrada simétricaa n n formada por las segundas derivadas de F (ui ) y cuyos elementos vienen dados por, Hij = a

@F (uk ) @ui @uj

(4.13)

Una matriz es simétrica es una matriz cuadrada cuya transpuesta es igual a ella misma.

Explícitamente la matriz Hessiana se escribe como, 0

B B B B H=B B B B @

@2F @u21 @2F @u2 @u1 @2F @u3 @u1

@2F @u1 @u2 @2F @u22 @2F @u3 @u2

@2F @u1 @u3 @2F @u2 @u3 @2F @u23

@2F

@2F

@2F

@un @u1

@un @u2

@un @ q 3

.. .

.. .

.. .

..

@2F @u1 @un @2F @u2 @un @2F @u3 @un

.

.. .

@2F @u2n

1 C C C C C C C C A

(4.14)

Se llaman Menores Principales Dominantes Dk de la matriz Hessiana H a los n deterSOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 305

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE minantes,

Dk =

@2F @u21 @2F @u2 @u1 @2F @u3 @u1

@2F @u1 @u2 @2F @u22 @2F @u3 @u2

@2F @u1 @u3 @2F @u2 @u3 @2F @u23

@2F @uk @u1

@2F @uk @u2

@2F @uk @ q 3

.. .

.. .

.. .

@2F @u1 @uk @2F @u2 @uk @2F @u3 @uk

, con k = 1; 2; 3; : : : ; n

(4.15)

.. .

...

@2F @u2k

o explícitamente,

D1 =

!

@2F @u21

! D2 =

! Dn =

@2F @u21 @2F @u2 @u1 @2F @u3 @u1

.. .

@2F @un @u1

@2F @u21 @2F @u2 @u1 @2F @u1 @u2 @2F @u22 @2F @u3 @u2

.. .

@2F @un @u2

@2F @u1 @u2 @2F @u22 @2F @u1 @u3 @2F @u2 @u3 @2F @u23

.. .

@2F @un @ q 3

! D3 =

..

@2F @u21 @2F @u2 @u1 @2F @u3 @u1

@2F @u1 @u2 @2F @u22 @2F @u3 @u2

@2F @u1 @u3 @2F @u2 @u3 @2F @u23

@2F @u1 @un @2F @u2 @un @2F @u3 @un

.

.. .

@2F @u2n

Ahora, es posible asociar el carácter de la función F = F (ui ) con el estado de la matriz Hessiana H la cual es mostrada en la siguiente tabla: Valores propios de H

Dk

>0

Dk > 0, k = 1; 2; 3; : : : ; n

>0

Dk > 0, k = 1; 2; 3; : : : ; n 8 > < Dk 6 0, k impar. y > : D > 0, k par. 8 k > < Dk < 0, k impar. y > : Dk > 0, k par.

F (ui )

H

1

Estrictamente convexa

2

Convexa

Definida positiva Semidefinida positiva

3

Cóncava

Semidefinida negativa

60

4

Estrictamente cóncava

Definida negativa

0 6 2 2 4 D2 = =0 2 2

(4.17)

cumpliéndose el caso 2 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es semidefinida positiva en todo R2 . Por lo tanto, F (u1 ; u2 ) es convexa en todo R2 . .............................................................................................. EJEMPLO 4.6 Determinar si la función F : R2 ! R, F (u1 ; u2 ) = u41 + u22 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 307

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

Figura (4.14): Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u41 + u22 .

es cóncava o covexa. Ver figura 4.14. SOLUCION: se halla la matriz Hessiana (4.14) a partir de la función dada, ! ! @2F @2F 2 2 12u 0 @u1 @u2 @u1 1 = H= @2F @2F 0 2 @u2 @u1 @u2

(4.18)

2

y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (4.15), 2 D1 = 12u21 > 0 6 12u21 0 4 = 24u21 > 0 D2 = 0 2

(4.19)

cumpliéndose el caso 2 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es semidefinida positiva en todo R2 . Por lo tanto, F (u1 ; u2 ) es convexa en todo R2 . .............................................................................................. EJEMPLO 4.7 Determinar si la función F : R2 ! R, F (u1 ; u2 ) = u41 + u22

4u1 u2

es cóncava o covexa. Ver figura 4.15. SOLUCION: se halla la matriz Hessiana (4.14) a partir de la función dada, ! ! @2F @2F 12u21 4 @u1 @u2 @u21 H= = @2F @2F 4 2 @u2 @u1 @u2

(4.20)

2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 308

4.2. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD DE FUNCIONES Y PROPIEDADES

Figura (4.15): Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u41 + u22

4u1 u2 .

y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (4.15), 2 D1 = 12u21 > 0 6 12u21 4 4 = 24u21 16 > 0 D2 = 4 2

(4.21)

El signo de D2 depende de u1 lo que indica que la matriz Hessiana no es semidefinida positiva ni negativa en todo R2 . Por esta razón la función F (u1 ; u2 ) es indefinida en todo R2 , pudiendo ser convexa o cóncava en algunos subconjuntos de R2 . .............................................................................................. EJEMPLO 4.8 Determinar si la función F : (0; 1)

(0; 1) ! R,

F (u1 ; u2 ) = ln u1 + ln u2 es cóncava o covexa. Ver figura 4.16. SOLUCION: se halla la matriz Hessiana (4.14) a partir de la función dada, ! ! @2F 1 @2F 0 2 2 @u1 @u2 @u1 u1 = H= @2F @2F 1 0 @u2 @u1 @u2 u2 2

(4.22)

2

y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (4.15), 2 D1 = u12 < 0 1 6 1 6 0 u21 4 D = = u21u2 > 0 2 1 1 2 0 2 u

(4.23)

2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 309

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

Figura (4.16): Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = ln u1 + ln u2 .

cumpliéndose el caso 4 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es definida negativa en todo (0; 1) (0; 1). Por lo tanto, F (u1 ; u2 ) es cóncava en todo (0; 1) (0; 1). ..............................................................................................

4.2.4.

Algunas propiedades

Siguientemente se presentarán algunas propiedades, sin demostrarlas, relacionadas con el carácter cóncavo o convexo de las funciones. 1. Si la función F es cóncava en S, entonces

F es convexa en S.

2. Si la función F es convexa en S, entonces

F es cóncava en S.

3. Si la función F es estrictamente cóncava en S, entonces vexa en S.

F es estrictamente con-

4. Si la función F es estrictamente convexa en S, entonces cava en S.

F es estrictamente cón-

5. Si las n funciones Fi , i = 1; 2; 3; : : : ; n son convexas en S, entonces su combinación n P lineal i Fi con i > 0 es convexa en S. i=1

6. Si las n funciones Fi , i = 1; 2; 3; : : : ; n son cóncavas en S, entonces su combinación n P lineal i Fi con i > 0 es cóncava en S. i=1

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Pág.: 310

4.3. TRANSFORMADA DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE 7. El producto de funciones cóncavas no ha de ser necesariamente una función cóncava. 8. El producto de funciones convexas no ha de ser necesariamente una función convexa.

4.3.

Transformada de Legendre para una variable independiente

Dada una función F (u), la transformada de Legendre proporciona una forma más conveniente de almacenar la información en la función cuando son satisfechas las siguientes condiciones: 1. La función F (u) es suave, es decir, tiene “suficientes” derivadas continuas. 2. La función F (u) es estrictamente convexa en el intervalo considerado. 3. Es más fácil medir, controlar o pensar sobre la derivada de F con respecto a u que medir o pensar directamente respecto a u. Debido a la condición 1, la derivada de F (u) con respecto a u puede servir como un sustituto de u, es decir, hay un mapeo uno a uno entre u y dFdu(u) . La transformada de Legendre muestra cómo crear una función que contenga la misma información que F (u) pero que, en vez de ser función de u, sea función de v (u) = dFdu(u) . Una forma gráfica de constatar cómo el valor de la pendiente v puede sustituir el valor de u en una función convexa puede verse considerando el ejemplo mostrado en la figura 4.17(a). En dicha figura la curva dibujada representa una función F (u) convexa. Al moverse a lo largo de la curva hacia la derecha (el sentido en que u se incrementa), la pendiente v de la tangente a la curva se incrementa continuamente. En otras palabras, si se grafica la pendiente v como una función de u, resultará una curva suavemente creciente, como se muestra en la figura 4.17(b). Si la segunda derivada de F (u) existe en cualquier rango de u en la cual F (u) está definida (que es parte de la condición de que F (u) sea suave), entonces existe un valor único de la pendiente v para cada valor de u y viceversa. En lenguaje matemático apropiado, se dice que existe una relación 1 1 entre v y u. Para encontrar la forma de realizar esta transformación se tomará una ruta geométrica. Considérese la gráfica de F (u) vs u mostrada en la figura 4.18. Escójase SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 311

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

Figura (4.17): (a) Gráfica de una función convexa F = F (u). (b) Gráfica de su tangente v = v (u).

ahora un valor de u que represente la abcisa del punto donde la recta tangente toca a F (u), por lo tanto, F (u) será la ordenada de dicho punto. La ordenada del punto de corte de la tangente a la curva con el eje horizontal (“eje F ”) está representado por G. Es fácil entonces ver a partir del triángulo ABC que, Tg

=v=

F +G dF (u) = u du

(4.24)

de aquí que, G (v) = uv F (u) Transformada de Legendre para una variable independiente

(4.25)

donde la función G (v) se denomina Transformada de Legendre de F (u). Se tienen ahora dos posibles situaciones: 1. Se conoce la relación F (u) y se quiere hallar G (v): este es el caso que representa la transformada de Legendre (4.25). Si se conoce F (u) entonces se tiene también v = dFdu(u) , de donde se puede despejar u como función de v y reemplazarla en (4.25). De esta manera G queda como una función sólo de v, G = G (v). 2. Se conoce la relación G (v) y se quiere hallar F (u): al diferenciar (4.25), dG = vdu + udv

dF

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(4.26) Pág.: 312

4.3. TRANSFORMADA DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Figura (4.18): Obtención geométrica de la transformada de Legendre para una relación fundamental de una variable F = F (u).

y como por (4.24), dF = vdu

(4.27)

dG = udv

(4.28)

entonces de (4.26) resulta,

de la cual, dG (v) (4.29) dv Ahora, si se conoce G (v) entonces se tiene también u por (4.29), de donde se puede despejar v como función de u y reemplazarla en la ecuación que resulta de despejar F de (4.25), u=

F (u) = uv G (v) Transformada de Legendre Inversa para una variable independiente

(4.30)

quedando de esta manera F como una función sólo de u, F = F (u). Esta es la Transformada de Legendre Inversa de la función G (v). Más adelante se hablará un poco más de esta transformada. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 313

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

EJEMPLO 4.9 Sea F (u) = u3 , encontrar su transformada de Legendre. SOLUCION: de (4.25), u3

G (v) = uv

(4.31)

y de (4.24), dF (u) d v = u3 = 3u2 ) u (v) = du du 3 por lo tanto, al sustituir (4.32) en (4.31) resulta, v=

G (v) =

v 3

1 2

v 3

v

1 2

(4.32)

3 2

o, G (v) = 2

v 3

3 2

(4.33)

que es la transformada de Legendre pedida. .............................................................................................. EJEMPLO 4.10 Sea F (u) = au2 + bu + c (a, b y c constantes), encontrar su transformada de Legendre. SOLUCION: de (4.25), au2 + bu + c

G (v) = uv

(4.34)

y de (4.24), v=

dF (u) d 1 = au2 + bu + c = 2au + b ) u (v) = (v du du 2a

por lo tanto, al sustituir (4.35) en (4.34) resulta, ( 1 1 G (v) = (v b) v a (v b) 2a 2a

2

1 +b (v 2a

b) + c

b)

(4.35)

)

o, G (v) =

1 4a

(v

b)2

c

(4.36)

que es la transformada de Legendre pedida. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 314

4.3. TRANSFORMADA DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE .............................................................................................. EJEMPLO 4.11 Sea F (u) = eu + 1, encontrar su transformada de Legendre. SOLUCION: de (4.25), (eu + 1)

G (v) = uv

(4.37)

y de (4.24), d u dF (u) = (e + 1) = eu ) u (v) = ln v du du por lo tanto, al sustituir (4.38) en (4.37) resulta,

(4.38)

v=

G (v) = v ln v

(v + 1)

o, G (v) = v (ln v

1)

(4.39)

1

que es la transformada de Legendre pedida. .............................................................................................. EJEMPLO 4.12 Sea F (u) = u ln u, encontrar su transformada de Legendre. SOLUCION: de (4.25), G (v) = uv

(4.40)

u ln u

y de (4.24), dF (u) d = (u ln u) = ln u + 1 ) u (v) = ev du du por lo tanto, al sustituir (4.41) en (4.40) resulta, v=

G (v) = ev 1 v

ev

1

G (v) = ev

1

ln ev

1

(4.41)

1

o, (4.42)

que es la transformada de Legendre pedida. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 315

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

4.4.

Transformada de Legendre para más de una variable independiente

Ahora bien, todo el desarrollo anterior es válido para el caso de más de una variable independiente. Así, para una función de n variables independientes la transformada de Legendre tomará la forma,

G (vj ) =

n X

ui v i

F (uj ) , j = 1; 2; 3; : : : ; n

(4.43)

i=1

Transformada de Legendre para n variables independientes uj con, vj =

@F (ui ) @uj

(4.44)

.............................................................................................. EJEMPLO 4.13 Encuentre la transformada de Legendre G (v1 ; v2 ) de la función, F (u1 ; u2 ) = eu1 + u22 SOLUCION: este es un caso de n = 2 variables independientes, por lo tanto, de (4.43) se puede escribir, G (v1 ; v2 ) = u1 v1 + u2 v2

eu1 + u22

(4.45)

y de (4.44), @ @F = eu1 + u22 = eu1 ) u1 = ln v1 @u1 @u1 @F @ 1 = = eu1 + u22 = 2u2 ) u2 = v2 @u2 @u2 2

v1 =

(4.46)

v2

(4.47)

por lo tanto, al sustituir (4.46) y (4.47) en (4.45) resulta, " 1 G (v1 ; v2 ) = v1 ln v1 + v2 v2 v1 + 2

1 v2 2

2

#

(4.48)

o, G (v1 ; v2 ) = v1 (ln v1

1) + 41 v22

(4.49)

que es la transformada de Legendre pedida. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 316

4.4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE PARA MÁS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE .............................................................................................. EJEMPLO 4.14 Encuentre la transformada de Legendre G (v1 ; v2 ; v3 ) de la función, F (u1 ; u2 ; u3 ) = u21 + cu3 Sen u2 donde c es una constante. SOLUCION: este es un caso de n = 3 variables independientes, por lo tanto, de (4.43) se puede escribir, G (v1 ; v2 ; v3 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

u21 + cu3 Sen u2

(4.50)

y de (4.44), @ 1 @F = u21 + cu3 Sen u2 = 2u1 ) u1 = v1 @u1 @u1 2 @F @ 1 = = u21 + cu3 Sen u2 = cu3 Cos u2 ) u3 = v2 sec u2 @u2 @u2 c 1 @F @ = u21 + cu3 Sen u2 = c Sen u2 ) u2 = Sen 1 v3 = @u3 @u3 c

v1 =

(4.51)

v2

(4.52)

v3

(4.53)

de las cuales, u1 =

1 v1 2

u2 = Sen u3 =

(4.54) 1

1 v3 c

1 v2 sec Sen c

(4.55) 1

1 v3 c

=p

v2 c2

(4.56)

v32

por lo tanto, al sustituir (4.54) a (4.56) en (4.50) resulta, G (v1 ; v2 ; v3 ) =

o,

1 1 v2 v1 v1 + v2 Sen 1 v3 + v3 p 2 c c2 v32 ( 2 1 v2 1 v1 + c p Sen Sen 1 v3 2 2 2 c c v3

G (v1 ; v2 ; v3 ) = 14 v12 + v2 Sen

1

)

1 v c 3

(4.57)

(4.58)

que es la transformada de Legendre pedida. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 317

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE .............................................................................................. EJEMPLO 4.15 Encuentre la transformada de Legendre G (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) de la función, F (u1 ; u2 ; u3 ; u4 ) = u2 ln u1

Cos u3 + u2 u4

donde c es una constante. SOLUCION: este es un caso de n = 4 variables independientes, por lo tanto, de (4.43) se puede escribir, G (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 + u4 v4

(u2 ln u1

Cos u3 + u2 u4 )

(4.59)

y de (4.44), @F @u1 @F = @u2 @F = @u3 @F = @u4

v1 = v2 v3 v4

@ @u1 @ = @u2 @ = @u3 @ = @u4 =

u2 u1

(4.60)

(u2 ln u1

Cos u3 + u2 u4 ) =

(u2 ln u1

Cos u3 + u2 u4 ) = ln u1 + u4

(4.61)

(u2 ln u1

Cos u3 + u2 u4 ) = Sen u3

(4.62)

(u2 ln u1

Cos u3 + u2 u4 ) = u2

(4.63)

de las cuales, v4 v1 = v4

u1 =

(4.64)

u2

(4.65)

u3 = Sen u4 = v 2

1

(4.66)

(v3 ) v4 ln v1

(4.67)

por lo tanto, al sustituir (4.64) a (4.67) en (4.59) resulta, G (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) =

v4 v4 v1 + v4 v2 + v3 Sen 1 (v3 ) + v2 ln v1 v1 v4 v4 ln Cos Sen 1 (v3 ) + v4 v2 v1

v4 ln

v4 v1

(4.68)

o, h G (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) = v4 1 + v2

ln

v4 v1

i

+

p

1

v32 + v3 Sen

1

(v3 )

(4.69)

que es la transformada de Legendre pedida. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 318

4.5. VARIABLES ACTIVAS Y PASIVAS

4.5.

Variables activas y pasivas A las variables que se incluyen en la sumatoria de (4.25), es decir, las variables que se transforman se les denominan Variables Activas y las variables adicionales que no son parte de la transformación como tal, pero tienen estatus de parámetros, se les denominan Variables Pasivas.

Es posible encontrar cómo están relacionadas las derivadas parciales, con respecto a las variables pasivas, de las funciones F y G. En efecto, supóngase que se tiene F = F (u1 ; u2 ; w) y G = G (v1 ; v2 ; w), donde w es una variable pasiva, y que satisfacen las expresiones, @F @F , v2 = (4.70) v1 = @u1 @u2 u1 =

@G @G , u2 = @v1 @v2

(4.71)

donde (4.70) define v1 y v2 como funciones de u1 , u2 y w; y (4.71) define u1 y u2 como funciones de v1 , v2 y w, es decir, v1 = v1 (u1 ; u2 ; w) , v2 = v2 (u1 ; u2 ; w) u1 = u1 (u1 ; u2 ; w) , u2 = u2 (u1 ; u2 ; w) De (4.43) se tiene que, F (u1 ; u2 ; w) + G (v1 ; v2 ; w) = u1 v1 + u2 v2

(4.72)

y supóngase, además, que se sustituye en ella v1 y v2 por sus respectivas expresiones en términos de u1 , u2 y w. Entonces, al derivar parcialmente (4.72) respecto a w, resulta, @F @G @v1 @G @v2 @G @w @v1 @v2 + + + = u1 + u2 @w @v1 @w @v2 @w @w |{z} @w @w @w =1

o,

@F @G + = @w @w de aquí que,

u1 |

@G @v1 @G @v2 + u2 =0 @v1 @w @v2 @w {z } | {z }

=0 por (4.71)

(4.73)

=0 por (4.71)

@F @G + =0 @w @w SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(4.74) Pág.: 319

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE que es la relación buscada y se mantiene para cada una de las variables pasivas. En general, @F (uj ;wj ) @wk

+

@G(vj ;wj ) @wk

(4.75)

= 0, k = 1; 2; 3; : : : ; m

donde las wj son las distintas variables pasivas que pueda contener F . La expresión general para la transformación de una función con n variables activas y m variables pasivas queda ahora escrita como,

G (vj ; wk ) =

n X

ui v i

F (uj ; wk ) , j = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ; m

(4.76)

i=1

Transformada de Legendre para n variables activas uj y m variables pasivas wk con, vj =

@F (uj ;wk ) @uj

(4.77)

.............................................................................................. EJEMPLO 4.16 Encuentre la transformada de Legendre G (v1 ; v2 ; w) de la función, F (u1 ; u2 ; w) = 2u21

3u1 u2 + u22 + 3wu1

donde w es una variable pasiva. Verifique que, @F @G + =0 @w @w SOLUCION: de (4.76), G (v1 ; v2 ; w) = u1 v1 + u2 v2

2u21

3u1 u2 + u22 + 3wu1

(4.78)

y de (4.77), @F @ = 2u21 @u1 @u1 @F @ = = 2u21 @u2 @u2

v1 =

3u1 u2 + u22 + 3wu1 = 4u1

v2

3u1 u2 + u22 + 3wu1 =

3u2 + 3w

3u1 + 2u2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(4.79) (4.80) Pág.: 320

4.5. VARIABLES ACTIVAS Y PASIVAS Al resolver el sistema formado por (4.79) y (4.80) para u1 y u2 resulta, u1 =

2v1

3v2 + 6w

(4.81)

u2 =

3v1

4v2 + 9w

(4.82)

por lo tanto, al sustituir (4.81) y (4.82) en (4.78), y después de algunos cálculos algebraicos elementales resulta, G (v1 ; v2 ; w) =

(v1

3w)2 + v2 (9w

3v1

(4.83)

2v2 )

que es la transformada de Legendre pedida. Por otro lado, @F @G @ + = 2u21 3u1 u2 + u22 + 3wu1 @w @w @w @ (v1 3w)2 + v2 (9w 3v1 + @w = 3u1 + 6 (v1 3w) + 9v2 = 3 ( 2v1 3v2 + 6w) + 6 (v1 | {z }

2v2 )

3w) + 9v2 = 0

por (4.81)

verificándose así que

@F @w

+

@G @w

= 0.

.............................................................................................. EJEMPLO 4.17 Encuentre la transformada de Legendre G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ) de la función, F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ) = 7u1 u3 + 2u22

5w1 u3

w22

donde w1 y w2 son variables pasivas. Verifique además que, @F @G @F @G + =0 y + =0 @w1 @w1 @w2 @w2 SOLUCION: de (4.76), G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

7u1 u3 + 2u22

5w1 u3

w22

(4.84)

y de (4.77), @F = 7u3 @u1 @F = = 4u2 @u2 @F = = 7u1 @u3

v1 =

(4.85)

v2

(4.86)

v3

5w1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(4.87) Pág.: 321

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE de las cuales se obtiene, 1 (v3 + 5w1 ) 7 1 v2 = 4 1 = v1 7

u1 =

(4.88)

u2

(4.89)

u3

(4.90)

por lo tanto, al sustituir (4.88) a (4.90) en (4.84) resulta, G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ) = 18 v22 + 17 v1 (v3 + 5w1 ) + w22

(4.91)

que es la transformada de Legendre pedida. Por otro lado, @G @F @F + = 7u1 u3 + 2u22 5w1 u3 w22 @w1 @w1 @w1 @ 1 2 1 v + v1 (v3 + 5w1 ) + w22 + @w1 8 2 7 5 = 5u3 + v1 7 1 5 v1 + v1 = 0 = 5 7 7 | {z } por (4.90)

y,

@F @G @ + = 7u1 u3 + 2u22 5w1 u3 w22 @w2 @w2 @w2 @ 1 2 1 v + v1 (v3 + 5w1 ) + w22 + @w2 8 2 7 = 2w2 + 2w2 = 0 verificándose así que

@F @w1

+

@G @w1

=0y

@F @w2

+

@G @w2

= 0.

.............................................................................................. EJEMPLO 4.18 Encuentre la transformada de Legendre G (v; w) de la función, 1 F (u; w) = mR2 u2 2

mgR Cos w

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 322

4.5. VARIABLES ACTIVAS Y PASIVAS donde w es una variable pasiva, m y R son constantes. Verifique que, @G @F + =0 @w @w SOLUCION: de (4.76), G (v; w) = uv

1 mR2 u2 2

(4.92)

mgR Cos w

y de (4.77), v=

@ @F = @u @u

1 mR2 u2 2

mgR Cos w

= mR2 u ) u =

v mR2

(4.93)

que al sustituir en (4.92) resulta, G (v; w) =

v v mR2

1 v mR2 2 mR2

2

mgR Cos w

(4.94)

o, G (v; w) =

1 v2 2 mR2

+ mgR Cos w

(4.95)

que es la transformada de Legendre pedida. Por otro lado, @F @G @ 1 + = mR2 u2 mgR Cos w @w @w @w 2 @ 1 v2 + + mgR Cos w @w 2 mR2 = 0 verificándose así que

@F @w

+

@G @w

= 0.

.............................................................................................. EJEMPLO 4.19 Encuentre la transformada de Legendre G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) de la función, F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ; w3 ) = w1 u2 ln u1

w3 Cos u3 + w2 u2

donde w1 , w2 y w3 son variables pasivas. Verifique que, @F @G @F @G @F @G + = 0, + =0 y + =0 @w1 @w1 @w2 @w2 @w3 @w3 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 323

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE SOLUCION: de (4.76), G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

(w1 u2 ln u1

w3 Cos u3 + w2 u2 )

(4.96)

y de (4.77), @ @F = (w1 u2 ln u1 @u1 @u1 @F @ = = (w1 u2 ln u1 @u2 @u2 @F @ = = (w1 u2 ln u1 @u3 @u3

w1 u2 u1

(4.97)

v1 =

w3 Cos u3 + w2 u2 ) =

v2

w3 Cos u3 + w2 u2 ) = w1 ln u1 + w2

(4.98)

w3 Cos u3 + w2 u2 ) = w3 Sen u3

(4.99)

v3

de las cuales resulta, v2

w2

(4.100)

u 1 = e w1 v1 v2w w2 e 1 u2 = w1 v3 u3 = Sen 1 w3

(4.101) (4.102)

por lo tanto, al sustituir (4.100) a (4.102) en (4.96) resulta, G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) = v1 e

v2 w2 w1

w1

+ v2

v1 v2w w2 e 1 + v3 Sen w1

v2 w2 v1 v2w w2 e 1 ln e w1 w1

1

v3 w3

w3 Cos Sen

1

v3 w3

+ w2

v1 v2w w2 1 e (4.103) w1

o, G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) =

p

w32

v32 + v1 e

v2 w2 w1

+ v3 Sen

1

v3 w3

(4.104)

que es la transformada de Legendre pedida. Por otro lado, @F @G @ + = (w1 u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2 u2 ) @w1 @w1 @w1 q v2 w2 @ v3 + w32 v32 + v1 e w1 + v3 Sen 1 @w1 w3 v w 2 2 v1 = u2 ln u1 (v2 w2 ) e w1 2 w1 v2 w2 v2 w2 v1 v2w w2 v1 w1 e 1 ln e w1 (v w ) e =0 = 2 2 w1 w12 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 324

4.6. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LA TRANSFORMADA DE LEGENDRE @F @G @ + = (w1 u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2 u2 ) @w2 @w2 @w2 q v2 w2 @ + w32 v32 + v1 e w1 + v3 Sen @w2 v1 v2w w2 e 1 = u2 w1 v1 v2w w2 v1 v2w w2 e 1 e 1 =0 = w1 w1 | {z }

1

v3 w3

por (4.101)

y,

@F @G @ + = (w1 u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2 u2 ) @w3 @w3 @w3 q v2 w2 @ v3 + w32 v32 + v1 e w1 + v3 Sen 1 @w3 w3 2 w3 v p 3 = Cos u3 + p 2 w3 v32 w3 w32 v32 v3 w3 v2 p 3 = Cos Sen 1 +p 2 w3 w3 v32 w3 w32

verificándose así que

@F @w1

+

@G @w1

= 0,

@F @w2

+

@G @w2

=0y

@F @w3

+

@G @w3

v32

=0

= 0.

..............................................................................................

4.6.

Algunas propiedades matemáticas de la transformada de Legendre

La construcción geométrica y las relaciones resultantes permiten mostrar relaciones elegantes y útiles. En particular considérense las siguientes:

4.6.1.

La inversa de la transformada de Legendre

Ordinariamente, la inversa de una transformación es distinta de la transformación en sí. La transformada de Legendre se distingue entre ellas ya que ella misma es su inversa. Si se lleva a cabo la transformada de Legendre por segunda vez, se recobra la función convexa y suave original. Se mostrará esta propiedad, por simplicidad, para el caso de una variable independiente pero el resultado es válido para el caso de más de una variable independiente. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 325

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE Dada la función F = F (u), su transformada de Legendre viene dada según (4.25) por, dF (u) du Ahora, supóngase que se quiere la transformada de Legendre de G (v). De forma análoga, su transformada H se obtiene al estilo de (4.25) como sigue, F (u) , con v =

G (v) = uv

dG (v) dv Según la propiedad, debe cumplirse que H = F . En efecto, de (4.105), G (v) , con u =

H (u ) = u v

H (u ) = u v

[uv F (u)] = (u {z } |

u) v + F (u)

(4.105)

(4.106)

por (4.25)

pero, u

=

du d dG (v) = [uv F (u)] = u + v {z } dv dv | dv

dF (u) du du dv

por (4.25)

du v |{z} dv = u

du = u+v dv

(4.107)

por (4.24)

por lo tanto, al sustituir el resultado (4.107) en (4.106), resulta, H (u) = F (u) de aquí que, La transformada de Legendre de una transformada de Legendre es la función original. La transformada de Legendre inversa para una función de n variables F (uj ) viene dada por, F (uj ) =

n X

ui v i

G (vj ) , j = 1; 2; 3; : : : ; n

(4.108)

i=1

con,

@G (vj ) @vj o en forma más general al incluir m variables pasivas, uj =

F (uj ; wk ) =

n X

ui v i

G (vj ; wk ) , j = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ; m

(4.109)

(4.110)

i=1

Transformada de Legendre Inversa para n variables activas vj y m variables pasivas wk

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 326

4.6. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LA TRANSFORMADA DE LEGENDRE con, uj =

@G(vj ;wk ) @vj

(4.111)

cumpliendo cada variable pasiva con las condiciones (4.75). .............................................................................................. EJEMPLO 4.20 Encuentre la transformada de Legendre de la transformada encontrada en el ejemplo 4.9, v 32 G (v) = 2 3 SOLUCION: de (4.110), v 32 F (u) = uv 2 (4.112) 3 y de (4.111), dG (v) d v 12 v 32 u= = = ) v = 3u2 (4.113) 2 dv dv 3 3 por lo tanto, al sustituir (4.113) en (??) resulta, 2

F (u) = 3u u

2

1 2 3u 3

3 2

= u3

(4.114)

o, F (u) = u3

(4.115)

que es, precisamente, la función cuya transformada de Legendre es la G (v) dada en el ejemplo 4.9. .............................................................................................. EJEMPLO 4.21 Encuentre la transformada de Legendre de la transformada encontrada en el ejemplo 4.13, G (v1 ; v2 ) = v1 (ln v1

1 1) + v22 4

SOLUCION: este es un caso de dos variables independientes, por lo tanto, de (4.110), F (u1 ; u2 ) = u1 v1 + u2 v2

v1 (ln v1

1 1) + v22 4

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(4.116) Pág.: 327

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE y de (4.111), @G @ = v1 (ln v1 @v1 @v1 @G @ = = v1 (ln v1 @v2 @v2

u1 = u2

1 1) + v22 = ln v1 ) v1 = eu1 4 1 1 1) + v22 = v2 ) v2 = 2u2 4 2

(4.117) (4.118)

por lo tanto, al sustituir (4.117) y (4.118) en (4.116) resulta, F (u1 ; u2 ) = u1 eu1 + 2u2 u2

eu1 (ln eu1

1) +

1 (2u2 )2 4

(4.119)

o, F (u1 ; u2 ) = eu1 + u22

(4.120)

que es, precisamente, la función cuya transformada de Legendre es la G (v1 ; v2 ) dada en el ejemplo 4.13. .............................................................................................. EJEMPLO 4.22 Encuentre la transformada de Legendre de la transformada encontrada en el ejemplo 4.17, 1 1 G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ) = v22 + v1 (v3 + 5w1 ) + w22 8 7 SOLUCION: este es un caso de tres variables independientes, por lo tanto, de (4.110), F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

1 2 1 v + v1 (v3 + 5w1 ) + w22 8 2 7

(4.121)

y de (4.111), @G @ = @v1 @v1 @ @G = = @v2 @v2 @G @ = = @v3 @v3

u1 = u2 u3

1 2 v + 8 2 1 2 v + 8 2 1 2 v + 8 2

1 1 v1 (v3 + 5w1 ) + w22 = (v3 + 5w1 ) ) v3 = 7u1 7 7 1 1 v1 (v3 + 5w1 ) + w22 = v2 ) v2 = 4u2 7 4 1 1 v1 (v3 + 5w1 ) + w22 = v1 ) v1 = 7u3 7 7

5w1 (4.122) (4.123) (4.124)

por lo tanto, al sustituir (4.122) a (4.124) en (4.121) resulta, F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ) = 7u3 u1 + 4u2 u2 + u3 (7u1 1 1 (4u2 )2 + 7u3 (7u1 8 7

5w1 ) 5w1 + 5w1 ) + w22

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(4.125) Pág.: 328

4.6. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LA TRANSFORMADA DE LEGENDRE o, F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ) = 7u1 u3 + 2u22

5w1 u3

w22

(4.126)

que es, precisamente, la función cuya transformada de Legendre es la G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ) dada en el ejemplo 4.17. ..............................................................................................

4.6.2.

Valores extremos

Supóngase que la función F (u) es convexa (como en la figura 4.18), entonces debe tener un mínimo. Suponiendo que esto ocurre, entonces el mínimo es único. Denótese este punto por, Fmín = F (umín ) (4.127) Por supuesto, la pendiente se anula en este punto, es decir, v (umín ) = 0. Si se introduce este punto en la expresión (4.25), que define la transformada de Legendre, resulta que el valor mínimo de F es, Fmín =

G (0)

(4.128)

De forma similar, a partir del hecho de que F es la transformada de Legendre de G, se puede concluir que el valor mínimo de G es, Gmín =

F (0)

(4.129)

Ahora bien, se puede usar (4.25) escrita en la forma, G (v) + F (u) = uv

(4.130)

(que muestra la simetría entre G (v) ; v y F (u) ; u explícitamente) para ver qué ocurre para extremos generales. Supóngase que F (u) toma su valor extremo en uext , el cual corresponde a una tangente horizontal, v = 0. De esta manera, a partir de (4.130), G (0) + F (uext ) = 0

(4.131)

De forma similar, G (v) tendrá un valor extremo en vext , donde u (vext ) = 0 debido a (4.29), de manera que, G (vext ) + F (0) = 0 (4.132) Para apreciar el significado geométrico de esta ecuación sólo se necesita examinar la figura 4.18 y ver que la intersección de la tangente a la curva F (u) con el eje vertical nunca alcanza más allá de F (0). SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 329

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

4.6.3.

Simetrías y relaciones entre derivadas

Puesto que F (u) y G (v) son transformaciones de Legendre la una de la otra, es de esperarse que existan numerosas relaciones simétricas. Las primeras relaciones de simetría las constituyen las mismas relaciones que proporcionan la transformada de Laplace (4.25) y las relaciones entre v (4.24) y u (4.29), G (v) + F (u) = uv v = dFdu(u) ! u = dG(v) dv

(4.133)

A partir de estas expresiones se puede obtener un conjunto infinito de relaciones, entre F (u) y G (v), que conducen a algunas relaciones muy elegantes e interesantes. Al derivar (4.24) con respecto a u y (4.29) con respecto a v resultan, dv (u) d2 F (u) = du du2 2 du (v) d G (v) = dv dv 2

(4.134) (4.135)

que al ser multiplicadas miembro a miembro dan como resultado, d2 G (v) d2 F (u) du dv = dv du dv 2 du2 o, d2 G(v) d2 F (u) dv 2 du2

(4.136)

=1

que es una relación simétrica para la segunda derivada, ilustrando claramente la importancia de la covexidad estricta ya que ninguno de los dos factores pueden anularse. Derivando (4.136) con respecto a u (igual resulta con respecto a v) se puede escribir una relación simétrica para la tercera derivada, d3 G dv 3 3=2 d2 G dv 2

+

d3 F du3 3=2 d2 F du2

=0

(4.137)

Es posible obtener un conjunto infinito de relaciones como (4.136) y (4.137) para derivadas de orden superior derivando una y otra vez. Tal ejercicio también muestra que si F es suave, entonces G también lo es. Las relaciones para derivadas superiores son más y más complejas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 330

4.7. PROBLEMAS

4.7.

Problemas

1. Sea F (u) = un , encontrar su transformada de Legendre. Resp.: G (v) = (n 2. Sea F (u) = 1 2 G (v) = 2k v .

1 ku2 2

1)

v n

n n 1

.

(k constante), encontrar su transformada de Legendre. Resp.:

3. Sea F (u) = 1 u ( constante), encontrar su transformada de Legendre. Resp.: G (v) = 1 1 v 1. 4. Encuéntrese la transformada de Legendre, G = G (v1 ; v2 ) de la función, F (u1 ; u2 ) = 2u21 + 3u1 u2 + u22 Resp.: G (v1 ; v2 ) =

v12 + 3v1 v2

2v22 .

5. Encuéntrese la transformada de Legendre, G = G (v1 ; v2 ; v3 ) de la función, F (u1 ; u2 ; u3 ) = au21 + bu23 + u2 u1 donde a y b son constantes. Resp.: G (v1 ; v2 ; v3 ) = v1 v2 +

1 2 v 4b 3

av22

6. Encuéntrese la transformada de Legendre, G = G (v; w) de la función, F (u; w) = w u2 w

4

donde w es una variable pasiva. Verifique que, @G @F + =0 @w @w Resp.: G (v; w) =

1 v2 4w2

+ 4w.

7. Encuéntrese la transformada de Legendre, G = G (v1 ; v2 ; w1 ; w2 ) SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 331

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE de la función, F (u1 ; u2 ; w1 ; w2 ) = 2u21 w1 + 3u1 u2 w2 + u22 donde w1 y w2 son variables pasivas. Verifique que, @F @G @F @G + = 0, + =0 @w1 @w1 @w2 @w2 Resp.: G (v1 ; v2 ; w1 ; w2 ) =

2v22 w1 +v12 3v1 w2 v2 . 8w1 9w22

8. Encuentre la transformada de Legendre, G = G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) de la función, F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ; w3 ) = u2 (w1 + w2 u1 ) + u3 (w2

w3 u3 )

donde w1 , w2 y w3 son variables pasivas. Verifique que, @G @F @G @F + = 0, + =0 @w1 @w1 @w2 @w2 @F @G y + = 0 @w3 @w3 Resp.: G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) =

1 w2

(v2

w1 ) v1 +

1 4w3

(2w2

v3 ) v3

w22 .

9. Si G = G (v) es la transformada de Legendre de F = F (u), muestre la relación simétrica de las transformaciones de Legendre para la tercera derivada, d3 G dv 3 d2 G 3=2 dv 2

+

d3 F du3 d2 F 3=2 du2

=0

derivando la relación simétrica ya mostrada en el desarrollo del capítulo, d2 G (v) d2 F (u) =1 dv 2 du2 a) con respecto a u y b) con respecto a v. 10. Muestre que si G = G (vi ) es la transformada de Legendre de F = F (ui ), entonces la transformada de Legendre de G = G (vi ) es precisamente F = F (ui ). 11. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema 1 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 332

4.7. PROBLEMAS 12. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema 2 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema. 13. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema 3 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema. 14. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema 4 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema. 15. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema 5 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema. 16. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema 6 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema. 17. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema 7 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema. 18. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema 8 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 333

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 334

Parte II Mecánica de Lagrange y Hamilton

335

CAPÍTULO 5 Mecánica Lagrangiana

La aplicación directa de las Leyes de Newton al movimiento de sistemas mecánicos será ahora sustituido por una propuesta general, un método muy elegante y sofisticado para encontrar las ecuaciones de movimiento para todos los sistemas dinámicos, desarrollado por el matemático Joseph Louis Lagrange.

Contents 5.1. Ecuaciones de Lagrange obtenidas partiendo del Principio de D’Alembert338 5.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341

5.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

343

5.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . .

349

5.2. Ecuaciones de Lagrange obtenidas a partir del Principio de OstrogradskiHamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 5.2.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

355

5.2.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

356

5.2.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . .

358

5.3. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . 360 5.4. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . 362 5.4.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita 362 5.4.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . . . .

395

5.4.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . .

419

5.5. Propiedades del Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

337

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA 5.5.1. Invariancia bajo una transformación de Gauge . . . . . . . . . . . . . .

437

5.5.2. Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

439

5.5.3. Invariancia bajo una transformación de coordenadas . . . . . . . . . . .

441

5.6. Coordenadas cíclicas - Momentos Generalizados y su conservación

. 442

5.6.1. Coordenadas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

442

5.6.2. Momentos Generalizados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

443

5.6.3. Conservación de los Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . .

444

5.7. Integrales Primeras de Movimiento

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

5.8. Integrales Primeras de Movimiento para un sistema cerrado . . . . . 447 5.9. Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 5.9.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

448

5.9.2. Conservación del momento lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . . .

451

5.10. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 5.10.1. Forma simpli…cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

457

5.10.2. Forma más general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

462

5.11. Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 5.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

5.1.

Ecuaciones de Lagrange obtenidas partiendo del Principio de D’Alembert

Se comenzará por escribir el Principio de D’Alembert en Coordenadas Generalizadas. A partir de (2.233) se puede escribir, N X ! Fi i=1

! pi

! ri=

N X ! Fi i=1

|

{z

! ri

Término A

}

N X

! pi

i=1

|

{z

! ri=0

Término B

(5.1)

}

Por otro lado, la expresión para los desplazamientos virtuales ! r i (ver sección 2.12.2) viene dada por, X @! ri ! ri= qj , con i = 1; 2; 3; : : : ; N (5.2) @qj j=1 Ahora, al sustituir (5.2) en los términos A y B de (5.1) resulta, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 338

5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT Desarrollo del Término A: N X ! X @! ri ! qj ri= Fi @qj i=1 i=1 j=1 ! N X X X ! @! ri = qj = Qj qj Fi @q j j=1 j=1 i=1

N X ! Término A = Fi

donde, Qj =

N X ! Fi i=1

!

N X X ! = Fi i=1 j=1

@! ri qj @qj (5.3)

@! ri @qj

(5.4)

son las componentes de las llamadas Fuerzas Generalizadas como ya se mencionó en la sección 2.8.4, ecuación (2.74). Desarrollo del Término B:

Término B =

N X

! pi

! ri=

i=1

N X

X @! ri

mi ! ri

i=1

j=1

pero al usar la propiedad, ! dA ! d ! ! B = A B dt dt

! A

@qj

qj

!

=

N XX

mi ! ri

j=1 i=1

@! ri @qj

! ! ! ! @! dB ri , con A = r i y B = dt @qj

qj

(5.5)

(5.6)

se tiene que, ! ri

@! ri d! ri = @qj dt

@! ri d = @qj dt

! ri

@! ri @qj

@! ri @qj

d dt

! ri

(5.7)

entonces, Término B = ahora aquí, 8 > > @! ri d > > dt @qj > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > :

@! ri @ qj

=

P

l=1

N XX d dt j=1 i=1

@2! ri

q @qj @ql l

+

@2! ri

@qj @t

=

mi ! ri

@ @qj

|

@! ri @qj

mi ! ri

! @! ri q + = @ql l @t {z }

X @! ri l=1

qj

(5.8)

@! ri @qj

!

=ri ! ! X @! X @! P @! ri @ri ri r i @ ql @ = ql + = = lj = @ql @ q @ qj @ql @t @ql j l=1 l=1 l=1 | {z } | {z } =! ri

@! ri @qj

d dt

@ ql @ qj

=

@! ri @qj

que suele

(5.9)

lj

llamársele Regla de Supresión o Eliminación de Puntos.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 339

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA entonces, Término B =

n X N X j=1 i=1

y como,

8 > > mi ! ri > > > > > < mi ! ri > > > > > > > :

@! ri @ qj

=

@ @ qj

@! ri @q | {zj}

4 d @m i ! ri dt

1 ! @ r iA

1 m! ri 2 i

=

0

2

1 m! ri 2 i

@ @qj

=

mi ! ri

@ qj

! ri

@ @ qj

3 ! @ r i5 qj @qj

1 m v2 2 i i

! ri

=

@ @qj

=

(5.10)

@Ti @ qj

1 m v2 2 i i

=

@Ti @qj

(5.11)

6=0, ! r i qi ;q i ;t

resulta en definitiva que,

Término B =

X j=1

=

X j=1

(

"

" @ d dt @ q j @T

d dt

@ qj

!

N X

Ti

i=1

@T @qj

!# #

@ @qj

N X i=1

Ti

!)

qj (5.12)

qj

Ahora bien, al sustituir en (5.1) el resultado (5.3) obtenido para el Término A y el (5.12) obtenido para el Término B se obtiene, ! # " X X d @T @T qj = 0 Qj qj dt @q j @ q j=1 j=1 j o,

X j=1

"

d dt

@T @ qj

!

@T @qj

Qj

#

qj = 0

(5.13)

que, al tratarse del Principio de D’Alembert, debe ser considerada como ecuación fundamental de la Dinámica. Póngase atención ahora a las fuerzas generalizadas Qj presentes en (5.13). Las fuerzas (5.4) pueden ser descompuestas en una parte QUj provenientes de una función de energía potencial (en el caso más general) del tipo U = U qi ; q i ; t (ver sección 2.8.4), ! d @U @U (5.14) QUj qi ; q i ; t = dt @ q j @qj U y una parte QN no proveniente de una función de energía potencial, j

U QN j

N X !N U = Fi i=1

@! ri @qj

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.15) Pág.: 340

5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT es decir, U Qj = QUj + QN j

(5.16)

por lo que al sustituir (5.16) en (5.13) resulta que, " ! X d @T @T QUj dt @ q j @qj j=1 8 > > > " # ! ! > X < d @T d @U @T @U > dt @ q @qj dt @ q j @qj j=1 > j > > | {z } : Por (5.14) # ( " X d @ @ (T U ) (T U ) dt @ q j @qj j=1

U QN j

U QN j

U QN j

#

9 > > > > =

> > > > ; )

qj = 0

qj = 0

qj = 0

o,

2 6 4

# @L U QN qj = 0 j @q j @ q j=1 j | {z } Principio de D’Alembert en Coordenadas Generalizadas. X

"

d dt

@L

!

(5.17) 3 7 5

donde, L qi ; q i ; t = T qi ; q i ; t {z |

U qi ; q i ; t

Lagrangiana o Lagrangiano

(5.18) }

es una función que será llamada La Lagrangiana o El Lagrangiano del sistema a estudiar. A partir de aquí es necesario considerar dos casos: cuando se tiene un sistema con ligaduras holónomas y cuando se tiene un sistema con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas.

5.1.1.

Para sistemas sin ligaduras

En este caso todas las 3N coordenadas generalizadas qj son independientes ya que no existen ligaduras, por lo tanto, lo son también todos los desplazamientos virtuales qj en (5.17). Entonces, para que se satisfaga esta última se requiere que cada coeficiente de los qj se anule por separado resultando, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 341

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

@L

d dt |

@ qj

! 2 6 4

@L U = QN j , con j = 1; 2; 3; :::; = 3N @qj {z } 3 Ecuaciones de Lagrange 7 5 para sistemas sin ligaduras

(5.19)

A estas ecuaciones se les denominan Ecuaciones de Lagrange o Ecuaciones de Movimiento de Lagrange para sistemas sin ligaduras. Hay = s = 3N de estas ecuaciones que junto con las condiciones iniciales que son impuestas (posiciones y velocidades iniciales, la energía total o ciertos momentos), permiten encontrar las = s = 3N coordenadas qi dando así completamente la configuración del sistema. En este proceso se involucran 2 constantes de integración relacionadas a las condiciones iniciales antes mencionadas. Es importante hacer notar que (5.19) no es, en realidad, un conjunto de ecuaciones diferenciales para L. El Lagrangiano es una función dada con ayuda de la cual es posible encontrar las qi (t) mediante las ecuaciones (5.19). Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial U (QN = 0), las ecuaciones (5.19) se reducen a, j

d dt |

2 6 4

!

@L = 0, con j = 1; 2; 3; :::; = 3N @qj @ qj {z } 3 Ecuaciones de Lagrange 7 5 NU para sistemas sin ligaduras y Qj = 0 @L

(5.20)

Además, de (5.13) se obtiene también que,

2 6 4

! d @T @T = Qj , con j = 1; 2; 3; :::; = 3N dt @ q j @qj {z } | Ecuaciones de Lagrange en su Forma Básica para sistemas sin ligaduras

(5.21) 3 7 5

que son las llamadas Ecuaciones de Lagrange en su Forma Básica. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 342

5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT

5.1.2.

Para sistemas con ligaduras holónomas Es posible que se presenten dos casos:

Cuando las ligaduras se usan en forma implícita Se dirá que las ligaduras holónomas son empleadas en Forma Implícita cuando se utilicen para eliminar todas las coordenadas dependientes, reduciéndose así la descripción matemática del sistema a sólo coordenadas independientes. Esto esposible realizarlo únicamente cuando el sistema de partículas objeto de estudio es holónomo. Por supuesto, dentro de este grupo se deben considerar los sistemas donde no existen ligaduras, ya que todas sus coordenadas serán independientes por no existir relaciones matemáticas entre ellas. Cuando las K (h) ligaduras holónomas (ver secciones 2.4.3 y 2.9.1), (h)

fl

(qi ; t) = 0, con i = 1; 2; 3; :::; ; l = 1; 2; 3; :::; K (h)

(5.22)

son usadas para reducir el número de coordenadas generalizadas desde 3N (dependientes + independientes) a = s = 3N K (h) (independientes), todos los desplazamientos virtuales qj en (5.17) se convierten en independientes los unos de los otros pudiendo así tomar cualquier valor arbitrario. Entonces, para que se satisfaga (5.17) se requiere que cada coeficiente de los qj se anule por separado resultando,

d dt | 2 6 6 6 6 6 4

@L

!

@L U = QN K (h) j , con j = 1; 2; 3; :::; = 3N @q j @ qj {z } 3 Ecuaciones de Lagrange 7 7 para sistemas con ligaduras holónomas usadas 777 5 en forma implícita.

(5.23)

A estas ecuaciones se les denominan Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos. Hay = s = 3N K (h) de estas ecuaciones que junto con las K (h) ecuaciones de ligadura y las condiciones iniciales que son impuestas (posiciones y velocidades iniciales, la energía total o ciertos momentos), permiten encontrar las = s = 3N K (h) coordenadas qi dando así completamente la configuración del sistema. En este proceso se SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 343

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA involucran 2 constantes de integración relacionadas a las condiciones iniciales antes mencionadas. Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial = 0), las ecuaciones (5.23) se reducen a,

U (QN j

2 6 6 6 6 6 4

d dt |

@L

!

@L = 0, con j = 1; 2; 3; :::; = 3N K (h) @qj @ qj {z } Ecuaciones de Lagrange para U =0y sistemas con ligaduras holónomas, QN j donde las ligaduras son usadas en forma implícita.

(5.24) 3 7 7 7 7 7 5

Además, de (5.13) se obtiene también que,

d dt | 2 6 4

!

@T = Qj , con j = 1; 2; 3; :::; = 3N K (h) @q j @ qj {z } 3 Ecuaciones de Lagrange en su Forma Básica 7 5 con ligaduras holónomas en forma implícita @T

(5.25)

que son las llamadas Ecuaciones de Lagrange en su Forma básica, con ligaduras holónomas en forma implícita Cuando las ligaduras se usan en forma explícita Se dirá que las ligaduras holónomas son empleadas en Forma Explícita cuando no se utilicen para eliminar las coordenadas dependientes, efectuándose la descripción del sistema de partículas dado con la totalidad (dependientes + independientes) de sus coordenadas. Para trabajar con las K (h) ligaduras holónomas (5.22) en forma explícita lo que se hace es convertir el sistema de partículas dado en un sistema equivalente sin ligaduras, no empleándolas para eliminar las coordenadas dependientes sino anexándolas en forma explícita a la expresión (5.17) mediante el uso del Método de los Multiplicadores de Lagrange. Para hacer esto, se sigue un procedimiento semejante al descrito en SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 344

5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT la sección 3.5.1 para restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 cambiando yi (x) ! qi (t) y x ! t pero partiendo de (5.17) y teniendo presente que en este caso el número de coordenadas a ser utilizadas es el número total del sistema, es decir, 3N . En efecto, los desplazamientos virtuales qj en (5.17) deben satisfacer las condiciones impuestas por las K (h) ligaduras holónomas (5.22). Estas condiciones sobre los desplazamientos fueron encontradas en la sección 2.12.2 resultando, X @f (h) l

@qj

i=1

qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (h)

(5.26)

que se mantienen para cualquier valor de t y representan los desplazamientos posibles (h) en presencia de las ligaduras fl = 0. En consecuencia, sólo 3N K (h) desplazamientos qj se pueden considerar arbitrarios, es decir, qK (h) +1 ; qK (h) +2 ; qK (h) +3 ; : : : ; q ; y el resto se determinan de (5.26). De acuerdo al Método de los Multiplicadores de Lagrange, al multiplicar cada una de las ecuaciones (5.26) por un factor indeterminado l resulta, l

X @f (h) l

j=1

@qj

qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (h)

(5.27)

donde la suma es la que es nula, no sus términos individuales en general. Puesto que las ligaduras (5.22) están prescritas para cualquier valor de la variable independiente t, los factores l tienen que ser aplicados para cualquier valor de esta variable, haciéndolos dependientes de la misma l = l (t). Ahora, al ser sumadas miembro a miembro estas K (h) ecuaciones se obtiene, ! (h) K X X @f (h) l qj = 0 l @q j j=1 l=1 o, X j=1

o,

0 @

(h) K X

l=1

l

1

(h) @fl

qj A = 0

@qj

(5.28)

Si ahora se resta miembro a miembro (5.28) a (5.17) resulta, 0 1 ! # " (h) K (h) X d @L X X @L @fl U @ qj QN qj A = 0 l j dt @q @q j j @ qj j=1 j=1 l=1 X

2

4d dt j=1

@L @ qj

!

@L @qj

(h) K X

l=1

l

(h) @fl

@qj

3

U5 QN qj = 0 j

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.29)

Pág.: 345

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Esta operación no es trivial ya que, a pesar de haberse restado cero, se ha adicionado realmente una suma cuyos términos individuales no son nulos. Aquí aún los desplazamientos virtuales qj no son arbitrarios y, por lo tanto, los coeficientes de éstos no son nulos en general. La eliminación de los K (h) desplazamientos qj dependientes entre sí, a diferencia de como se procedió en la forma implícita, puede ser llevada a cabo mediante la elección apropiada de los K (h) factores l (t), de manera que los coeficientes de los qj en (5.29) se anulen. Estos l (t) se obtienen a partir de las K (h) ecuaciones, d dt

@L @ qj

!

@L @qj

(h) K X

(h)

@fl l @qj

l=1

U QN = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; K (h) j

que forman un sistema lineal de ecuaciones con respecto a las nante debe ser no singular, (h)

(h)

(h)

(h)

D f1 ; f2 ; f3 ; : : : ; fK (h) D (q1 ; q2 ; q3 ; : : : ; qK (h) )

l

(t) cuyo determi-

(h)

=

D fl

D (qj )

6= 0, con j; l = 1; 2; 3; : : : ; K (h)

garantizándose así que el sistema de ecuaciones posea solución Con las

l

(5.30)

1;

2;

(5.31) 3; : : : ;

escogidas como antes, la expresión (5.30) queda como, 2 3 ! (h) K (h) X X @L @fl U5 4 d @L QN qj = 0 l j dt @q @q j j @ qj (h) l=1 j=K

K (h) .

(5.32)

+1

donde ahora todos los desplazamientos qj son independientes entre sí y, por lo tanto, los coeficientes de éstos son todos nulos de manera que, d dt

@L @ qj

!

@L @qj

(h) K X

l=1

(h)

@fl l @qj

U QN = 0, con j = K (h) + 1; K (h) + 2; K (h) + 3; : : : ; j

(5.33)

Finalmente, las condiciones sobre los l (5.30) combinadas con las ecuaciones (5.33) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de los desplazamientos qj en (5.29) se anula justo como si todos los desplazamientos qj fuesen independientes de manera que, d dt

@L @ qj

!

@L @qj

(h) K X

l=1

(h)

@fl l @qj

U QN = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; j

o, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 346

5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT

d dt |

2 6 6 6 6 6 4

@L

!

@L (lig) U = Qj + QN j , con j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N @q j @ qj {z } 3 Ecuaciones de Lagrange 7 7 para sistemas con ligaduras holónomas usadas 777 5 en forma explícita.

(5.34)

donde, (lig) Qj

=

(h) K P

l=1

(h)

@fl l @qj

(5.35)

Las expresiones (5.34) son las Ecuaciones de Lagrange para ligaduras holónomas (qi ; t) = 0, cuando son usadas en forma explícita. Representan un conjunto de = 3N ecuaciones para el conjunto completo de coordenadas (dependientes + independientes) q1 ; q2 ; q3; : : : ; q =3N . Estas ecuaciones en conjunto con las K (h) ecuaciones de ligadura dadas por (5.22) forman un sistema de 3N +K (h) ecuaciones para 3N +K (h) incógnitas, 3N coordenadas qj y K (h) multiplicadores de Lagrange l , quedando así determinado dicho sistema de ecuaciones (en principio). Aquí las ligaduras entran en (lig) forma explícita en los Qj dados por (5.35), que son fuerzas adicionales que actúan sobre el sistema. Debido a que estas fuerzas están relacionadas con las ligaduras [de (lig) allí la etiqueta (lig) en Qj ] se les da el nombre de Fuerzas Generalizadas de Ligadura, las cuales no realizan trabajo virtual como lo requiere la validez del Principio de D’Alembert. (h) fl

Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial, las ecuaciones (5.34) se reducen a,

d dt |

@L

!

(h)

K X @L (lig) = Qj = @qj l=1

(h)

@fl , con j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N l @qj @ qj {z } 2 3 Ecuaciones de Lagrange 6 7 6 7 6 7 NU 6 para sistemas con ligaduras holónomas, Qj 7 = 0 y 7 6 4 5 donde las ligaduras son usadas en forma explícita.

(5.36)

El problema planteado en esta sección es posible abordarlo de una forma distinta SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 347

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA a la anterior. Se puede escribir (5.19) como, 0 ! (h) K X @ @ d @L L+ dt @ q j @qj l=1 además,

0

(h) K X

@ @ @ q j l=1

1

(h) A l fl

1

(h) A l fl

U = QN j

(5.37)

(5.38)

=0

por ser la cantidad entre parántesis independiente de las velocidades generalizadas q j , entonces al sumar miembro a miembro (5.37) y (5.38) resulta, d dt

o,

@L

0

!

(h) K X

1

0

(h) K X

@ @ @ @ (h) A L+ + l fl @qj @ qj @ q j l=1 l=1 2 0 0 13 (h) K K (h) X d 4 @L @ @ X @ @ (h) A5 L+ l fl dt @ q j @ q j l=1 @qj l=1 d dt

e @L

@ qj

!

1

(h) A l fl

U = QN j

(h) A l fl

U = QN j

1

e @L U = QN j , con j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N @qj

(5.39)

donde, e =L+ L

(h) K X

(h) l fl

(5.40)

l=1

Los resultados (5.39) y (5.40) indican que el problema de estudiar un sistema holónomo usando las ligaduras en forma explícita puede ser abordado mediante el estudio de un sistema equivalente sin ligaduras pero cuyo Lagrangiano es ahora dado por (5.40). La utilidad del Método de los Multiplicadores de Lagrange es doble: 1. Los multiplicadores de Lagrange están relacionados con las fuerzas de ligadura, a través de (5.35), que son requeridas frecuentemente. 2. Cuando, para un sistema dado, no se desea un cojunto de coordenadas generalizadas propias o es muy difícil obtenerlas, este método puede ser usado para incrementar el número de coordenadas generalizadas mediante la inclusión explícita de las relaciones de ligadura entre las coordenadas.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 348

5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT

5.1.3.

Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

Las ligaduras no-holónomas sólo pueden ser introducidas en forma explícita ya que, por su naturaleza, no es posible usarlas para eliminar coordenadas dependientes. Las semi-holónomas son integrables pudiéndose, por lo tanto, ser utilizadas (en principio) para eliminar coordenadas dependientes. Sin embargo, las presentadas aquí serán utilizadas en forma explícita sin haber sido integradas. Estudiar sistemas donde están presentes ligaduras no-holónomas es, en general, bastantante complicado ya que hay infinidad de ligaduras de este tipo y, por ende, no existe un procedimiento general para involucrarlas en las ecuaciones de Lagrange de un sistema de partículas dado. Como lo importante a este nivel es aprender a usar la herramienta presentada en este capítulo (La Mecánica de Lagrange), serán consideradas un conjunto muy especial de ligaduras no-holónomas y semi-holónomas. En el presente texto, como fue mencionado en el capítulo 2, sólo serán consideradas las ligaduras de este tipo estudiadas en las secciones 2.4.3 y 2.9.2: ligaduras no-holónomas (nhd) (shd) en forma diferencial fl , semi-holónomas fl en forma diferencial, no-holónomas (nhD) (shD) en forma de velocidad fl y semi-holónomas fl en forma de velocidad. Estas ligaduras vienen dadas respectivamente por, 8 < f (nhd) qk ; q k ; t l : f (shd) qk ; q k ; t l

=

P

Alj (qk ; t) dqj + Bl (qk ; t) dt = 0, con l = 1; 2; 3; :::;

j=1

(

K (nh) K (h) (5.41)

que representan las restricciones lineales sobre los desplazamientos dqj y, 8 < f (nhD) qk ; q k ; t l : f (shD) qk ; q k ; t l

=

P

j=1

Alj (qk ; t) q j + Bl (qk ; t) = 0, con l = 1; 2; 3; :::;

(

K (nh) K (h)

(5.42)

que representan las restricciones lineales sobre las velocidades generalizadas q j . Se justifica esta elección en el hecho de que son las más frecuentes en los problemas de Mecánica. Como ya se sabe, las ligaduras (5.41) y (5.42) no imponen ningún tipo de condiciones sobre las coordenadas qj restringiendo sólo sus derivadas q j o sus diferenciales dqj respectivamente, permitiendo eliminar K (nh) o K (h) de las q j o dqj . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 349

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Se hará el estudio para las ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en la forma diferencial (5.41). Los resultados obtenidos serán aplicables también a las (5.42) ya que éstas son equivalentes a las diferenciales.

Las ligaduras holónomas pueden ser expresadas en cualquiera de las dos formas mostradas en (5.41) o (5.42) hallando su diferencial total (en el primer caso) o hallando su derivada total con respecto al tiempo t (en el segundo caso).

Como se hizo en la sección anterior, para trabajar con las K (nh) ligaduras difer(nhd) (shd) enciales no holónomas fl o las K (h) ligaduras diferenciales semi-holónomas fl dadas por (5.41) lo que se hace es convertir el sistema de partículas dado en un sistema equivalente sin ligaduras, anexando estas en forma explícita a la expresión (5.17) mediante el uso del Método de los Multiplicadores de Lagrange. Para hacer esto, se sigue un procedimiento semejante al descrito en la sección 3.5.3 para restricciones del tipo Dl = 0 cambiando yi (x) ! qi (t), yi0 (x) ! q i (t) y x ! t pero partiendo de (5.17) y teniendo presente que el número de coordenadas a utilizar es el número total del sistema, es decir, 3N . En efecto, los desplazamientos virtuales qj en (5.17) deben satisfacer las condiciones impuestas por las K (nh) ligaduras no-holónomas o K (h) semi-holónomas (5.41). Estas condiciones se encuentran al hacer dt = 0 en (5.41), en concordancia con la definición de desplazamiento virtual vista en la sección 2.12.2 resultando, ( X K (nh) Alj qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::; (5.43) K (h) j=1 que se cumplen para cualquier valor de t. Se usará el Método de los Multiplicadores de Lagrange como se hizo en las sección anterior. Al multiplicar cada una de las ecuaciones (5.43) por un factor indeterminado l resulta, ( X K (nh) A q = 0, con l = 1; 2; 3; :::; (5.44) l lj j (h) K j=1 donde la suma es la que es nula, no sus términos individuales en general. Puesto que las ligaduras (5.41) están prescritas para cualquier valor de la variable independiente t, los factores l tienen que ser aplicados para cualquier valor de esta variable, haciéndolos dependientes de la misma l = l (t). Ahora, al ser sumadas miembro a miembro estas SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 350

5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT K (nh) o K (h) ecuaciones se obtiene, K (nh) ;K (h)

X

l

X j=1

o,

0

Alj qj

j=1

l=1

o,

X

K (nh) ;K (h)

X

@

l Alj

l=1

!

=0

1

qj A = 0

(5.45)

Si ahora se resta miembro a miembro (5.45) a (5.17) resulta, 1 0 (nh) (h) " ! # K ;K X X X d @L @L U A=0 @ QN qj l Alj qj j dt @q j @ qj j=1 j=1 l=1 X

2

4d dt j=1

@L @ qj

!

@L @qj

K (nh) ;K (h)

X l=1

l Alj

3

U5 QN qj = 0 j

(5.46)

Esta operación no es trivial ya que, a pesar de haberse restado cero, se ha adicionado realmente una suma cuyos términos individuales no son nulos. Aquí aún los desplazamientos virtuales qj no son arbitrarios y, por lo tanto, los coeficientes de éstos no son nulos en general. La eliminación de los K (nh) o K (h) desplazamientos virtuales qj dependientes entre sí puede ser llevada a cabo mediante la elección apropiada de los K (nh) o K (h) factores l , de manera que los coeficientes de los desplazamientos qj en (5.46) se anulen. Estos (nh) o K (h) ecuaciones, l se obtienen a partir de las K d dt

@L @ qj

!

@L @qj

K (nh) ;K (h)

X

l Alj

U QN = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; j

l=1

que forman un sistema lineal de ecuaciones con respecto a las debe ser no singular, (nhd)

D f1

(nhd)

; f2

(nhd)

; f3

(nhd)

; : : : ; fK (nh)

D (q1 ; q2 ; q3 ; : : : ; qK (nh) )

( l

K (nh) K (h)

(5.47)

cuyo determinante

(nhd)

=

D fl

D (qj )

6= 0, con j; l = 1; 2; 3; : : : ; K (nh)

(5.48)

6= 0, con j; l = 1; 2; 3; : : : ; K (h)

(5.49)

para el caso no-holónomo o, (shd)

D f1

(shd)

; f2

(shd)

; f3

(shd)

; : : : ; fK (h)

D (q1 ; q2 ; q3 ; : : : ; qK (h) )

(shd)

=

D fl

D (qj )

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 351

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA para el caso semi.holónomo, garantizándose así que el sistema de ecuaciones posea solución 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; K (nh) o 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; K (h) . Con los

l

escogidas como antes, la expresión (5.46) queda como, 2 3 ! K (nh) ;K (h) X X @L U5 4 d @L QN qj = 0 l Alj j dt @q j @ qj (nh) (h) l=1 j=K

+1;K

(5.50)

+1

donde ahora todos los desplazamientos qj son independientes entre sí y, por lo tanto, los coeficientes de éstos son todos nulos de manera que, ( ! K (nh) ;K (h) X K (nh) + 1; K (nh) + 2; K (nh) + 3; : : : ; d @L @L U = 0, con j = QN l Alj j dt @ q j @qj K (h) + 1; K (h) + 2; K (h) + 3; : : : ; l=1 (5.51) Finalmente, las condiciones sobre los l (5.51) combinadas con las ecuaciones (5.47) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de los desplazamientos qj en (5.46) se anula justo como si todos los desplazamientos qj fuesen independientes de manera que, ! K (nh) ;K (h) X d @L @L U QN = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; l Alj j dt @ q j @qj l=1 o,

2 6 6 6 6 6 4

d dt |

@L

!

@L (lig) U = Qj + QN j , con j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N @qj @ qj {z } Ecuaciones de Lagrange para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas del tipo (5.41) o (5.42)

(5.52) 3 7 7 7 7 7 5

donde, (lig)

Qj

=

K (nh) P;K (h)

l Alj

(5.53)

l=1

Las expresiones (5.52) son las Ecuaciones de Lagrange para ligaduras no-holónomas y semi-holónomas del tipo (5.41) o (5.42). Representan un conjunto de = 3N ecuaciones para el conjunto completo de coordenadas q1 ; q2 ; q3; : : : ; q =3N . Estas ecuaciones SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 352

5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT en conjunto con las K (nh) o K (h) ecuaciones de ligadura dadas por (5.41) o (5.42) forman un sistema de 3N + K (nh) o 3N + K (h) ecuaciones para 3N + K (nh) o 3N + K (h) incógnitas, 3N coordenadas qj y K (nh) o K (h) multiplicadores de Lagrange l , quedando así determinado dicho sistema de ecuaciones (en principio). Aquí las ligaduras entran (lig) en forma explícita en los Qj dados por (5.53), que son las Fuerzas Generalizadas de Ligadura para este caso y no realizan trabajo virtual como lo requiere la validez del Principio de D’Alembert. Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial U , las ecuaciones (5.52) se reducen a,

2 6 6 6 6 6 4

d dt |

@L @ qj

!

@L (lig) = Qj = @qj

K (nh) ;K (h)

X

l Alj ,

con j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N

(5.54)

l=1

{z } 3 Ecuaciones de Lagrange 7 7 para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas 777 5 U del tipo (5.41) o (5.42) y QN = 0. j

Las ligaduras tipo (5.41) o (5.42) semi-holónomas, previa integración, pueden ser tratadas con las Ecuaciones de Lagrange (5.23) o (5.34). Sin embargo, puede ocurrir que la integración no sea fácil y es en estos casos donde realmente son útiles las Ecuaciones de Lagrange (5.54) pues únicamente se requiere determinar los coeficientes Ali , lo cual es muy trivial. También son útiles estas Ecuaciones de Lagrange cuando se tienen ligaduras holónomas en las que se hace difícil despejar las coordenadas dependientes en función de las independientes, resolviéndose el problema al hallar la diferencial total de dichas ligaduras para expresarlas en la forma diferencial (5.41) y luego aplicar (5.54). Puesto que las ligaduras del tipo (5.41) o (5.42) corresponden a las restricciones del tipo Dl = 0 estudiadas en la sección 3.5.3 del capítulo 3 con qi (t) = yi (x), q i (t) = yi0 (x) y x = t, vale aquí todo lo presentado sobre éstas en dicha sección. En consecuencia, para este tipo de ligaduras es incorrecto el sustituir el sistema dado por uno equivalente sin ligaduras con un Lagrangiano dado por, e =L+ L

(h) K X

(nh) l fl

qi ; q i ; t

(5.55)

l=1

ya que las ecuaciones así obtenidas son incapaces de reproducir las correctas ecuaciones (5.54) obtenidas a partir del Principio de D’Alembert (5.17). Una explicación minuciosa y muy clara sobre lo anterior se presenta en la referencia [21]. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 353

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

5.2.

Ecuaciones de Lagrange obtenidas a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton

En términos del Cálculo Variacional, el Principio de Ostrogradski-Hamilton (sección 2.14.3) se puede escribir como, Z t2 L qi ; q i ; t dt = 0 (5.56) S= t1

donde L qi ; q i ; t es el Lagrangiano ya definido en la sección 5.1 por la expresión (5.18). A (5.56) suele llamásele Principio Variacional de Ostrogradski-Hamilton. Esta versión es para sistemas donde no existen fuerzas que no provengan de una función de energía U = 0. potencial U , es decir, para QN i U Este principio puede ser escrito de una forma más general para QN 6= 0. En efecto, i al hallar la variación L del Lagrangiano L = L qi ; q i ; t resulta,

L=

X @L X @L qj + qj @qj j=1 j=1 @ q j

(5.57)

pero, dqj dt

qj = entonces, L=

=

d ( qj ) dt

(5.58)

X @L d X @L qj + ( qj ) @qj dt j=1 @ q j j=1

Si en esta última expresión se suma y resta la cantidad

(5.59)

P

j=1

derecho se obtiene,

d dt

@L @ qj

qj en su miembro

! ! X d @L X @L X @L d X d @L L = qj qj + qj + ( qj ) dt @ q j dt @ q j @qj dt j=1 j=1 j=1 j=1 @ q j " ! # " !# X d @L X @L @L d d @L qj + qj = ( qj ) + dt dt @q dt j @ q @ q @ q j=1 j=1 j j j | {z } ! =

P

j=1

o, d L= dt

d dt

@L

@ qj

X @L j=1

@ qj

qj

qj

!

X j=1

"

@L d + @qj dt

@L @ qj

!#

qj

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.60) Pág.: 354

5.2. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS A PARTIR DEL PRINCIPIO DE OSTROGRADSKI-HAMILTON pero, a partir del Principio de D’Alembert (5.17) se puede escribir que,

P

@L @ qj

d dt

j=1

@L @qj

j=1

resultando, X @L

d L= dt

@ qj

j=1

P

qj =

qj

!

X

U qj QN j

(5.61)

U QN qj j

(5.62)

j=1

que es la Versión L del Principio de D’Alembert. Por último, al integrar esta expresión desde un tiempo t1 hasta uno t2 se obtiene, Z

Z

t2

Ldt =

t1

t2

Ldt =

t1

=

j=1

=

Z

t2

t1

@ qj {z

=0

t2

qj

X @L

d dt

Z

t2

X @L

|

Z

j=1

t2

t1

t1

}

@ qj

|

qj

X j=1

!

dt

Z

U QN qj j

{z

t2

t1

!

X

U QN qj j

j=1

!

dt

dt

}

U = W N U , trabajo virtual de las QN j

W N U dt

t1

o, Z

t2

L + W N U dt = 0

(5.63)

t1

U que es el Principio de Ostrogradski-Hamilton que incluye a las fuerzas QN no provej nientes de una función potencial U .

5.2.1.

Para sistemas sin ligaduras

En esta sección se reobtendrán las Ecuaciones de Lagrange para sistemas de partículas sin ligaduras y en presencia de fuerzas que no se derivan de una función de energía potencial, es decir, las ecuaciones (5.19). En este caso = s = 3N y partir de SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 355

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA (5.60) se puede escribir, Z

t2

L + W N U dt = 0 t1 ! Z t2 X X @L X @L U QN qj dt = 0 qj + qj + j @q j t1 @ q j=1 j=1 j=1 j # Z t2 X " @L @L d U qj + ( qj ) + QN qj dt = 0 j dt t1 j=1 @qj @ qj " # X Z t2 @L X Z t2 @L d U QN qj = 0 qj + ( qj ) dt + j @q dt j t t @ q 1 1 j=1 j=1 j

(5.64)

El primer sumando de la expresión anterior es análogo a la penúltima expresión en las igualdades (3.94) de la sección 3.4.3 del Cálculo Variacional sin restricciones, con yi (x) = qi (t), yi0 (x) = q i (t) y x = t resultando, ( X Z

t2

t1

j=1

"

@L @qj

XZ j=1

!#

qj dt

@L @qj

d dt

@L

d dt

@ qj "

t2

t1

)

+

XZ j=1

@L @ qj

!

t2 U QN qj dt = 0 j

t1

U + QN j

#

qj dt = 0

(5.65)

al seguir, para dicho sumando, el procedimiento empleado en la mencionada sección. Ahora, como no existen ligaduras, todos los qj en esta última expresión son completamente independientes de manera que al aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones resulta que, @L @qj

d dt

o, d dt

@L @ qj

@L @ qj !

!

U + QN = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N j

@L U = QN j , con j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N @qj

(5.66)

que son las mismas ecuaciones (5.19).

5.2.2.

Para sistemas con ligaduras holónomas Como en la sección 5.1, es posible que se presenten dos casos:

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 356

5.2. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS A PARTIR DEL PRINCIPIO DE OSTROGRADSKI-HAMILTON Cuando las ligaduras se usan en forma implícita En esta sección se reobtendrán las Ecuaciones de Lagrange para sistemas de partículas con ligaduras holónomas empleadas en forma implícita y en presencia de fuerzas que no se derivan de una función de energía potencial, es decir, las ecuaciones (h) (5.25). Como las ligaduras holónomas fl (qi ; t) = 0 se utilizarán en forma implícita, las = 3N K (h) coordenadas generalizadas restantes serán totalmente independientes las unas de las otras. A partir de (5.60) y siguiendo un procedimiento idéntico al de la sección anterior se obtiene, ! # " X Z t2 @L d @L U + QN qj dt = 0 (5.67) j @q dt j t @ q 1 j=1 j que es idéntica a (5.65) con la diferencia de que ahora = 3N K (h) . Como todos los qj en esta última expresión son completamente independientes es posible aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones resultando que, ! @L d @L U + QN = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N K (h) j @qj dt @ q j

o, d dt

@L @ qj

!

@L U = QN j , con j = 1; 2; 3; : : : ; = @qj

= 3N

K (h)

(5.68)

que son las mismas ecuaciones (5.23). Cuando las ligaduras se usan en forma explícita En esta sección se reobtendrán las Ecuaciones de Lagrange para sistemas de partículas con ligaduras holónomas empleadas en forma explícita y en presencia de fuerzas que no se derivan de una función de energía potencial, es decir, las ecuaciones (5.34). Igual que en las dos secciones anteriores, a partir de (5.60) se llega a que, " ! # X Z t2 @L d @L U + QN qj dt = 0 (5.69) j @q dt j t @ q 1 j=1 j con = 3N ya que las ligaduras están siendo usadas en forma explícita. Este problema variacional, de aquí en adelante, es el mismo que el planteado en la sección 3.5.1 para las restricciones Al [yi (x) ; x] = 0 usadas en forma explícita, haciendo los cambios yi (x) ! qi (t), yi0 (x) ! q i (t) y x ! t. Aquí (5.69) hace el papel de (3.183) en la mencionada sección obteniéndose así, ! (h) K X @f (h) @L d @L U l = + QN (5.70) l j , con j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N dt @ q j @qj @q j l=1

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Pág.: 357

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA que son las mismas Ecuaciones de Lagrange dadas por (5.34). También es posible, como se mostró al final de la sección 3.5.1, convertir el sistema dado a uno equivalente sin ligaduras mediante el Lagrangiano, e =L+ L

(h) K X

(h)

l

(t) fl

(5.71)

(qi ; t)

l=1

(h)

en el cual se han introducido las ligaduras holónomas fl (qi ; t) = 0 en forma explícita mediante el uso de los Multiplicadores de Lagrange l . Por lo tanto, el problema variacional puede escribirse en este caso como, # ! " X Z t2 @ L e e d @L U qj dt = 0 (5.72) + QN j @qj dt @ q j j=1 t1 donde = 3N , representando un problema variacional sin restricciones (sin ligaduras) como el estudiado en la sección 5.2.1.

5.2.3.

Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

En esta sección se reobtendrán las Ecuaciones de Lagrange para sistemas de partículas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas del tipo (5.41) o (5.42) en presencia de fuerzas que no se derivan de una función de energía potencial, es decir, las ecuaciones (5.52). Igual que en las tres secciones anteriores, a partir de (5.60) se llega a que, " ! # X Z t2 @L d @L U + QN qj dt = 0 (5.73) j @q dt j @ qj j=1 t1

con = 3N ya que ligaduras (5.41) o (5.42) están siendo usadas en forma explícita así sean semi-holónomas. Este problema variacional, de aquí en adelante, es el mismo que el planteado en la sección 3.5.3 para las restricciones Dl = 0, haciendo los cambios yi (x) ! qi (t), yi0 (x) ! q i (t) y x ! t. Aquí (5.73) hace el papel de (3.296) en la mencionada sección obteniéndose así, ! K (nh) ;K (h) X @L d @L NU = (5.74) l Alj + Qj , con j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N dt @ q j @qj l=1 que son las mismas Ecuaciones de Lagrange dadas por (5.52).

Valen aquí todas las limitaciones y consideraciones presentadas en la sección 3.5.3 para las restricciones del tipo Dl = 0 y Dl = 0, entre las cuales está el que El Principio Variacional de Ostrogradski-Hamilton (5.63) no puede ser generalizado para li(nh) e = gaduras no-holónomas generales del tipo fl qi ; q i ; t = 0 reemplazando L por L

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Pág.: 358

5.2. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS A PARTIR DEL PRINCIPIO DE OSTROGRADSKI-HAMILTON (nh)

(nh)

L + l fl qi ; q i ; t . El hecho de que fl 6= 0 implica que los caminos variados no son geométricamente posibles. La generalización del Principio de Ostrogradski-Hamilton y del Principio de D’Alembert se apoya en el Método de lo Multiplicadores de Lagrange el cual exige que los caminos variados sean geométricamente posibles.

A manera de resumen, las ligaduras a ser consideradas y las ecuaciones de Lagrange a ser usadas en el presente texto son las siguientes:

LIGADURAS

Ligaduras Holónomas

Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

8 > < fl (qi ; t) = 0 ! l = 1; 2; 3; :::; K (h) > : i = 1; 2; 3; : : : ; 3N

8 P > Alj (qk ; t) dqj + Bl (qk ; t) dt = 0 > > > j=1 > > > Forma de diferencial > > > > > > > < P Alj (qk ; t) q j + Bl (qk ; t) = 0 ! j=1 > > > Forma de derivada > > > > donde, en ambos casos, > ( > > > > K (nh) , no-holónomas. > > : l = 1; 2; 3; :::; K (h) , semi-holónomas.

(5.75)

(5.76)

ECUACIONES DE LAGRANGE SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 359

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

d dt

=

5.3.

@L @ qj (lig) Qj

@L @qj U + QN j

8 ( > Sin ligaduras > (lig) > Qj = 0 ! > > > j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N > > > > > > > 8 > > > > Ligaduras holónomas > < > > (lig) > Qj = 0 ! > en forma implícita > > > > : > j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N K (h) > > > < 8 ! > > > (h) < Ligaduras holónomas en > > (lig) KP @fl(h) > > ! Qj = forma explícita. l @qj > > > > l=1 : > > j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N > > > > > > 8 > > > > Ligaduras no-holónomas > (nh) (h) < > K P ;K > (lig) > > Qj = y semi-holónomas. > l Alj ! > > > l=1 : : j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N

(5.77)

Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange

Como se vió antes, si se conoce el Lagrangiano de un sistema determinado es posible obtener las ecuaciones de movimiento de Lagrange correspondientes. Al integrarlas y emplear las condiciones iniciales (por ejemplo las coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas en t = to ) se obtiene su descripción única y completa, radicando aquí el origen del por qué es de gran interés conocer bajo qué condiciones son integrables dichas ecuaciones. Al desarrollar la derivada total con respecto al tiempo t presente en las ecuaciones de Lagrange (5.77) resulta, ! X @2L X @2L d @L @2L = (5.78) qi + qi + dt @ q j @q @ q @ q @ q @[email protected] q i i=1 i=1 j i j j pudiéndose así escribir como, X @2L i=1

@ qj @ qi

q i = Fj qi ; q i ; t , con j = 1; 2; 3; : : : ;

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(5.79) Pág.: 360

5.3. CONDICIÓN DE INTEGRABILIDAD DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE con, X @2L

(lig)

U Fj qi ; q i ; t = QN + Qj j

i=1

@ q j @qi

@2L

qi

+

@ q j @t

@L @qj

(5.80)

que son funciones que se conocen si el Lagrangiano es conocido. El sistema (5.79) de ecuaciones diferenciales de segundo orden puede pensarse como un sistema de ecuaciones lineales en las aceleraciones q i , 8 > > > > > > > > > <

o matricialmente, 0 B B B B B B B B B @

|

@2L

q1 +

2 @ q1 @2L

@ q2 @ q1 @2L @ q3 @ q1

> > > > > > > > > :

@2L @ q @ q1

@2L

@2L @ q1 @ q2 @2L

q1 + q1 +

q1 +

2 @ q1 2 @ L

@2L @ q1 @ q2 @2L

@ q2 @ q1 @2L @ q3 @ q1

@ q2 @2L @ q3 @ q2

.. .

@2L @ q @ q1

2

.. .

@2L @ q @ q2

q2 +

@2L @ q1 @ q3 @2L @ q2 @ q3 @2L

2 q2 + @ q2 @2L q + 2 @ q3 @ q2 2 @ q3

@2L @ q @ q2

q2 +

..

.

@2L @ q @ q3

{z

q3 +

+

q3 +

+

.. . q3 +

@2L @ q1 @ q @2L @ q2 @ q @2L @ q3 @ q

2

.. .

+

@2L @ q @ q3

@2L @ q1 @ q3 @2L @ q2 @ q3 @2L @ q3

q3 +

.. .

@2L @q

2

Matriz Hessiana H qi ;q i ;t

@2L @ q1 @ q @2L @ q2 @ q @2L @ q3 @ q

+

1

0 C CB CB CB CB CB CB [email protected] C A }

q = F2 q = F3

@2L @q

q1 q2 q3 .. . q

q = F1

2

(5.81)

q =F

1

0

C B C B C B C=B C B C B A @

F1 F2 F3 .. . F

1 C C C C C C A

(5.82)

A la matriz de los coeficientes de las aceleraciones q i se le denomina Matriz Hessiana H. Estas aceleraciones podrán ser determinadas de manera única y en función de las coordenadas generalizadas qi y las velocidades generalizadas q i si y sólo si la matriz Hessiana H es invertible. Para que lo anterior ocurra debe cumplirse que el Hessiano (determinante de H) sea, det H 6= 0

(5.83)

indicando que la matriz Hessiana debe ser no-singular. A los Lagrangianos que cumplen con la condición (5.83) se les denominan Lagrangianos Estándares. Quedan así excluidos en esta formulación los Lagrangianos singulares o de primer orden en las velocidades generalizadas q i por razones obvias. Los Lagrangianos de interés que son definidos por (5.18), en su mayoría, cumplen con la condición (5.83). Sin embargo, no pocos Lagrangianos de sistemas relativistas o de SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 361

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA sistemas con infinitos grados de libertad (presentes en Teoría de Campos) no cumplen dicha condición1 . Para los propósitos del presente texto sólo serán estudiados sistemas que pueden describirse mediante Lagrangianos estándares.

5.4.

Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Lagrange

En las siguientes secciones se mostrarán una serie de ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Lagrange.

5.4.1.

Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita

Los ejemplos siguientes representan sistemas sin ligaduras y sistemas con ligaduras holónomas en los que las ecuaciones de ligadura serán usadas en forma implícita. Pasos a seguir cuando se tienen sistemas sin ligaduras: recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = 3N . 1. Se halla el número de grados de libertad, que es igual al número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema. 2. Se construye el Lagrangiano del sistema. 3. Se encuentran las ecuaciones de Lagrange (5.77). 4. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Lagrange. Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras holónomas a ser usadas en forma implícita: recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = e = 3N K (h) . 1. Se identifican las ligaduras presentes en el sistema dado.

2. Se halla el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema. 1

Para el tratamiento de Lagrangianos no estándares, con frecuencia, es empleado el formalismo de Dirac [17]. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 362

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE 3. Se construye el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras. 4. Se usan las ligaduras para eliminar coordenadas dependientes en el Lagrangiano construido en el paso anterior, obteníéndose así el Lagrangiano con las ligaduras incluidas. 5. Se encuentran las ecuaciones de Lagrange (5.77). 6. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones de ligadura. Los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas, no pretenden ser reglas de estricto cumplimiento y son introducidos como una guía para ordenar los conocimientos presentados en los siguientes ejemplos. .............................................................................................. EJEMPLO 5.1 La figura 5.1 muestra un sistema donde una partícula masa m se desliza sobre un plano inclinado sin rozamiento. Encuentre la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema y la aceleración de la partícula a lo largo del plano inclinado.

Figura (5.1): Partícula de masa m que se desplaza hacia abajo en un plano inclinado un ángulo respecto a la horizontal.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, 8 (h) > < z = 0 ) f1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy (h) y = x Tg + h ) f2 = y + x Tg h = 0, limita el movimiento > : de m al plano inclinado.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

con

(5.84)

Pág.: 363

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA (h)

que son esclerónomas. La ligadura f2 es sencilla de encontrar ya que es la ecuación de la línea recta que define el plano inclinado. Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

(5.85)

2=1

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (1)

(5.86)

2=1

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas Cartesianas se tiene que la energía cinética viene dada por, 2 2 2 1 1 T = mv 2 = m x + y + z 2 2

(5.87)

y la energía potencial (para el origen de potencial escogido) por, (5.88)

U = mgy de manera que el Lagrangiano viene dado por, L=T

2 2 2 1 U = m x +y +z 2

mgy

(5.89)

que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (5.84). Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se usarán las ligaduras (5.84) para eliminar dos de las coordenadas. Si se escoge x como coordenada generalizada, al sustituir (5.84) en (5.89) el Lagrangiano se puede escribir como, 2 2 1 L= m x + x Tg mg ( x Tg + h) 2 (h)

ya que a partir de f2 , y=

x Tg

(5.90)

por lo tanto, 2 1 L = mx sec2 + mgx Tg mgh (5.91) 2 observándose que quedó en función de solamente una coordenada generalizada, en este caso x, lo cual está en concordancia con el resultado (5.86).

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 364

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Ecuaciones de Lagrange: de (5.91) se tiene que, @L @x

= mg Tg

@L @x

d dt

= mx sec2

@L @x

= m x sec2

U = 0 (por no existir Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j este tipo de fuerzas) se obtiene,

d dt

@L =0 @x

@L @x

(5.92)

de la cual resulta, (5.93)

x = g Sen Cos

que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema dado para la coordenada generalizada x. Cálculo de las cantidades pedidas: la ecuación para la aceleración en y viene dada al derivar (5.90) con respecto al tiempo, es decir, y =

x Tg

=

|

g Sen2 {z }

(5.94)

por (5.92)

entonces la aceleración a lo largo del plano inclinado viene dada por,

a=

o,

q

v0 12 0 12 u u 2 2 u x + y = [email protected] Sen Cos A + @ g Sen2 A | {z } | {z } por (5.93)

por (5.94)

a = g Sen

(5.95)

que es el resultado ya conocido de la Física Elemental. Es de hacer notar que este método no permite encontrar la fuerza o fuerzas que mantienen unido a m a la superficie del plano inclinado. Nótese que si = 2 en (5.93) y (5.94) resulta, (

x=0 y = g

(5.96)

indicando que la partícula está en caída libre como era de esperarse. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 365

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

Figura (5.2): Partícula de masa m inmersa en un campo de fuerza conservativo.

EJEMPLO 5.2 Encuentre las ecuaciones de movimiento de Lagrange de una partícula de masa m que se encuentra inmersa en un campo de fuerza conservativo como se muestra en la figura figura 5.2, (a) en coordenadas Cartesianas y (b) en coordenadas esféricas. SOLUCION: la figura 5.2 muestra la situación descrita en el problema. No existen ligaduras. Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como no existen ligaduras entonces el número de grados de libertad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

0=3

(5.97)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e=N

K (h) = 3 (1)

0=3

(5.98)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema sin ligaduras. (a) En coordenadas Cartesianas:

Lagrangiano: la energía cinética total del sistema es dada por, 2 2 2 1 1 T = mv 2 = m x + y + z 2 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.99) Pág.: 366

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE y la energía potencial total por, (5.100)

U = U (x; y; z) de manera que el Lagrangiano viene dado por, L=T

2 2 2 1 U = m x +y +z 2

U (x; y; z)

(5.101)

donde se tienen 3 coordenadas generalizadas x, y y z en concordancia con el resultado (5.98). De aquí que, @L @x

=

@U @x

= Fx

@L @y

=

@U @y

= Fy

@L @z

=

@U @z

= Fz

@L @x @L @y @L @z

= mx ) = my ) = mz )

d dt d dt d dt

@L @x @L @y @L @z

= mx = my = mz

U Ecuaciones de Lagrange: a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = j 0 (por no existir este tipo de fuerzas) se obtiene,

8 > > > < > > > :

d dt d dt d dt

@L @x @L @y @L @z

@L @x @L @y @L @z

= 0 ) Fx = m x (5.102)

= 0 ) Fy = m y = 0 ) Fz = m z

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas, en coordenadas Cartesianas. (b) En coordenadas esféricas: Lagrangiano: la energía cinética total del sistema resulta de, 2 1 1 T = mv 2 = m r + r2 2 2

2

+ r2 Sen2 '

2

2

2

(5.103)

2

ya que en coordenadas esféricas v = r + r + r2 Sen2 ' , y la energía potencial total viene dada por, U = U (r; ; ') (5.104) 2

2

entonces, el Lagrangiano viene dado por, L=T

2 1 U = m r + r2 2

2

+ r2 Sen2 '

donde las coordenadas generalizadas son ahora r, concordancia con el resultado (5.98).

2

U (r; ; ')

(5.105)

y ', que igualemente son 3 en

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 367

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Ecuaciones de Lagrange: de (5.105) se tiene que,

d dt

d dt

d dt

@L = mr @r @L = mr @r @L = mr @r

2

+ mr Sen2 '

2 @L = mr2 Sen Cos ' @ @L = mr2 @! @L = mr2 + 2mrr @

2

@U @r

@U @

@U @L = = F' @' @' @L = mr2 Sen2 ' @' ! @L = 2mrr Sen2 ' + 2mr2 ' Sen Cos + mr2 Sen2 ' @'

U = 0 (por no existir Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j este tipo de fuerzas) se obtiene,

d dt d dt d dt

@L @r ! @L @ ! @L @'

@L = 0 ) mr @r

2

+ mr Sen2 '

2 @L = 0 ) mr2 Sen Cos ' @

@L = 0) @'

2

@U = mr @r @U = mr2 + 2mrr @

(5.106) (5.107)

@U = 2mrr Sen2 ' + 2mr2 ' Sen Cos @'

+mr2 Sen2 '

(5.108)

pero en coordenadas esféricas, ! F =

! rU =

@U ebr @r

1 @U ebr [email protected]

1 @U eb' r Sen @'

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.109) Pág.: 368

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE de la cual, @U = Fr @r 1 @U = F ) [email protected] 1 @U = F' ) r Sen @'

(5.110) @U = rF @ @U = r Sen F' @'

(5.111) (5.112)

entonces al sustituir (5.110) a (5.112) en (5.106) a (5.108) se obtiene finalmente, 8 2 2 > > Fr = m r r r Sen2 ' > > > > | {z } > > > Componente r de la aceleración > > > 2 > < F = m r + 2r r Sen Cos ' | {z } > > > Componente de la aceleración > > > > > > F' = m 2r Sen ' + 2r ' Cos + r Sen ' > > > > {z } | :

(5.113)

Componente ' de la aceleración

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas, en coordenadas esféricas. No existen fuerzas de ligadura ya que no hay ligaduras presentes. De haberlas, este método no permitiría encontrarlas. .............................................................................................. EJEMPLO 5.3 La Máquina de Atwood simple. Ecuentre la ecuación de movimiento de Lagrange y la aceleración de las partículas M1 y M2 en el sistema mostrado en la figura 5.3. Se desprecia el rozamiento en la polea y su masa, su tamaño, la masa de la cuerda y su deformación. SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras: existen K (h) = 5 ligaduras holónomas, 8 ( (h) > x1 = 0 ) f1 = x1 = 0 > > , fijan el movimiento de M1 sobre el eje y. > (h) > > < ( z1 = 0 ) f2 = z1 = 0 (h) (5.114) x2 = 0 ) f3 = x2 = 0 > , fijan el movimiento de M sobre el eje y. 2 > (h) > z2 = 0 ) f4 = z2 = 0 > > > : (h) y1 + y2 = ` ) f5 = y1 + y2 ` = 0, acopla el movimiento de M1 al de M2 . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 369

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

Figura (5.3): La máquina simple de Atwood.

que son esclerónomas. Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es, s = 3N

K (h) = 3 (2)

5=1

(5.115)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (2)

5=1

(5.116)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: es fácil notar que la energía potencial total del sistema es, U = M1 gy1 M2 gy2 (5.117) y que la energía cinética total es, 2 2 2 2 2 2 1 1 T = M 1 x 1 + y 1 + z 1 + M2 x 2 + y 2 + z 2 2 2

de aquí que el Lagrangiano venga dado por, i 2 2 2 2 2 2 1h L=T U = M1 x1 + y 1 + z 1 + M2 x2 + y 2 + z 2 + g (M1 y1 + M2 y2 ) 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.118)

(5.119) Pág.: 370

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se usarán las ligaduras (5.114) para eliminar cinco de las coordenadas. Si se escoge y1 como coordenada generalizada, al sustituir (5.114) en (5.119) el Lagrangiano se puede escribir como, 2 1 (5.120) L = (M1 + M2 ) y 1 + (M1 M2 ) gy1 + M2 g` 2 observándose que quedó en función de solamente una coordenada generalizada, en este caso y1 , lo cual está en concordancia con el resultado (5.116). Ecuaciones de Lagrange: de (5.120) se tiene que, @L @y1

= (M1

M2 ) g

@L @ y1

= (M1 + M2 ) y 1 )

d dt

@L @ y1

= (M1 + M2 ) y 1

U = 0 (por no existir Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j este tipo de fuerzas) se obtiene, ! @L d @L =0 dt @ y 1 @y1

(M1 + M2 ) y 1 -(M1

(5.121)

M2 ) g = 0

que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema dado para la coordenada generalizada y1 . Cálculo de las cantidades pedidas:de (5.121) se obtiene, y1 =

M1 M2 M1 +M2

(5.122)

g (h)

y al derivar dos veces con respecto al tiempo la ecuación de ligadura f5 sustituir el resultado en la expresión (5.122) resulta, y2 =

M1 M 2 M1 +M2

g

en (5.114) y

(5.123)

Los resultados (5.122) y (5.123) son las aceleraciones pedidas y constituyen el resultado familiar de los cursos de Física Elemental para este sistema. No es posible encontrar la o las fuerzas de ligaduras presentes cuando las ligaduras son usadas en forma implícita. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 371

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

EJEMPLO 5.4 Encontrar la ecuación de movimiento de Lagrange de un anillo de masa m (tamaño despreciable) que se desliza por un alambre (masa despreciable) que gira uniformemente con una velocidad angular constante ! en una región libre de fuerzas (ver figura 5.4).

Figura (5.4): Anillo de masa m que se desliza por un alambre, de masa despreciable, que gira uniformemente.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras y se usarán coordenadas Cartesianas para la ubicación del anillo. Puede observarse que el ángulo ' coincide completamente con la coordenada cilíndrica o esférica ' y que ' = !t, la cual no es una ligadura ya que ' no representa una coordenada en el sistema de coordenadas escogido. Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, 8 (h) > < z = 0 ) f1 = z = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy. (h) y = x Tg ' ) f2 = y x Tg ' = y x Tg (!t) = 0, fija el movimiento > : de m sobre el alambre giratorio e introduce la rotación del mismo. (h)

donde f1

(h)

es esclerónoma y f2

(5.124)

es reónoma.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.125) Pág.: 372

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE y el número mínimo de coordenadas generalizadas, K (h) = 3 (1)

e = 3N

2=1

(5.126)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: como el movimiento se realiza en una región libre de fuerzas se tiene que, U =0 (5.127) y la energía cinética viene dada por, 2 2 2 1 T = m x +y +z 2

(5.128)

de aquí que el Lagrangiano sea, L=T

2 2 2 1 U = m x +y +z 2

(5.129)

En el caso de usarse, por ejemplo, coordenadas esféricas el Lagrangiano es, L=T

2 1 U = m r + r2 2

2

2

+ r2 ' Sen2

y las ligaduras se pueden escribir para estas coordenadas como, ( (h) = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy. = 2 ) f1 = 2 (h) ' = !t ) f2 = ' !t = 0, que introduce la rotación.

(5.130)

(5.131)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se usarán las ligaduras (5.124) para eliminar dos de las coordenadas. Si se escoge x como coordenada generalizada, al sustituir (5.124) en (5.129) resulta, ( ) 2 2 1 d L = m x + (x Tg ') 2 dt h i2 2 1 = m x + x Tg (!t) + x! sec2 (!t) (5.132) 2 Se observa que quedó en función de solamente 1 coordenada generalizada, en este caso x, lo cual está en concordancia con el resultado (5.126). En el caso del Lagrangiano (5.130) resulta, 2 1 L = m r + r2 !2 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.133) Pág.: 373

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA donde ahora la coordenada generalizada es r. Ecuaciones de Lagrange: se usará el Lagrangiano (5.133) por ser más simple, obteniéndose a partir de éste, @L @r

= mr! 2

@L @r

= mr )

d dt

@L @r

= mr

U = 0 (por no existir este tipo Entonces, de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j de fuerzas) se obtiene, d @L @L =0 dt @ r @r

r = r! 2

(5.134)

que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema dado para la coordenada generalizada r. Esta ecuación expresa el resultado ya conocido de que el anillo se mueve hacia afuera debido a la fuerza centrípeta. Como en el caso anterior, el método no sirve para hallar las fuerzas de ligadura. .............................................................................................. EJEMPLO 5.5 Considérese el caso del movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción de la gravedad en dos dimensiones (ver figura 5.5), el cual es lanzado con un ángulo de tiro . Encontrar las ecuaciones de movimiento de Lagrange en: (a) coordenadas Cartesianas y (b) en coordenadas esféricas.

Figura (5.5): Movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción de la gravedad en dos dimensiones.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 374

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Ligaduras: existe K (h) = 1 ligadura holónoma, (h)

z = 0 ) f1

= z = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy.

(5.135)

que es esclerónoma. Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existe K = 1 ligadura holónoma entonces el número de grados de libertad es, (h)

s = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

(5.136)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

(5.137)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo. (a) En coordenadas Cartesianas:

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: 2 2 2 1 m x +y +z 2 U = mgy

(5.138)

T =

(5.139)

observándose aquí que U = 0 cuando y = 0. De esta manera el Lagrangiano viene dado por, 2 2 2 1 L=T U = m x +y +z mgy (5.140) 2 Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se usará la ligadura (5.135) para eliminar una de las coordenadas. Al sustituir (5.135) en (5.140) el Lagrangiano se puede escribir como, 2 2 1 L= m x +y 2

(5.141)

mgy

Se observa que quedó en función de dos coordenadas generalizadas, en este caso x y y, lo cual está en concordancia con el resultado (5.137). Ecuaciones de Lagrange: de (5.141) se tiene que, @L @x

=0

@L @y

=

mg

@L @x @L @y

= mx ) = my )

d dt d dt

@L @x @L @y

= mx = my

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 375

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA U = 0 (por no existir Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j este tipo de fuerzas) se obtiene, 8 @L < d @L =0 dt

:

o,

@x @L @y

d dt

(

@x

@L @y

=0

x=0 y = g

(5.142)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrage pedidas, en coordenadas Cartesianas. (b) En coordenadas esféricas: Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas esféricas la energía cinética (5.138) y la energía potencial (5.139) quedan escritas como, 2 2 2 1 m r + r2 + r2 ' Sen2 2 U = mgy = mgr Sen Sen '

(5.143)

T =

(5.144)

ya que en estas coordenadas y = r Sen Sen ', observándose aquí que U = 0 cuando ' = 0. De esta manera el Lagrangiano viene dado por, L=T

2 1 U = m r + r2 2

2

2

+ r2 ' Sen2

mgr Sen Sen '

(5.145)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: la ligadura es ahora, =

(h)

2

) f1

=

2

= 0, fija el movimiento de m sobre plano xy.

(5.146)

y como se va a usar el método implícito, se usará la ligadura (5.145) para eliminar una de las coordenadas, en este caso . En efecto, al sustituir (5.146) en (5.145) el Lagrangiano se puede escribirse ahora como, 2 2 1 L = m r + r2 ' 2

mgr Sen '

(5.147)

Se observa que quedó en función de 2 coordenadas generalizadas, en este caso r y ', lo cual está en concordancia con el resultado (5.137). Ecuaciones de Lagrange: de (5.147) se tiene que, @L @r

= mr'

@L @'

=

2

mg Sen '

mgr Cos '

@L @r @L @'

= mr )

d dt

= mr2 ' )

@L @r d dt

= mr @L @'

= 2mrr' + mr2 '

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 376

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE U = 0 (por no existir Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j este tipo de fuerzas) se obtiene, 8 @L < d @L =0 dt

o, (

:

d dt

@r @L @'

@r

@L @'

=0

2

r' g Sen ' r = 0 g Cos ' + 2r' + r ' = 0

(5.148)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas, en coordenadas polares. Las ecuaciones de movimiento (5.142) claramente son más simples que las ecuaciones (5.148). Por esta razón se escogerían coordenadas Cartesianas como coordenadas generalizadas para resolver este problema. La clave está en reconocer que en estas coordenadas la energía potencial sólo depende de la coordenada y, mientras que en coordenadas esféricas depende de r y '. .............................................................................................. EJEMPLO 5.6 Una partícula de masa m está obligada a moverse sobre la superficie interna de un cono liso como se muestra en la figura 5.6, donde es constante. La partícula está sometida a la fuerza gravitacional. Encuentre las ecuaciones de movimiento de Lagrange para este sistema. SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Se usarán coordenadas cilíndricas Ligaduras: en el sistema dado existe K (h) = 1 ligadura holónoma, ( (h) r = z Tg ) f1 = r z Tg = 0, haciendo quem se mueva (5.149) sobre la superficie del cono (ecuación del cono). que es esclerónoma y, por lo tanto, el sistema es holónomo esclerónomo. En el caso de usarse coordenadas Cartesianas la ligadura se puede expresar como, x2 + y 2

1 2

= z Tg

(h)

) f1

= x2 + y 2

1 2

z Tg

=0

(5.150)

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existe K = 1 ligadura holónoma entonces el número de grados de libertad es, (h)

s = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.151) Pág.: 377

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

Figura (5.6): Partícula de masa m que está obligada a moverse sobre la superficie interna de un cono liso.

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (1)

(5.152)

1=2

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: las energías cinética y potencial vienen dadas respectivamente en coordenadas cilíndricas por, 2 2 2 1 2 1 mv = m r + r2 ' + z 2 2 U = mgz

T =

(5.153) (5.154)

de aquí que el Lagrangiano venga dado por, L=T

2 2 2 1 U = m r + r2 ' + z 2

mgz

(5.155)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a emplear el método implícito, se usará la ligadura (5.149) para eliminar una de las coordenadas. Si se escogen r y ' como coordenadas generalizadas, al sustituir (5.149) en (5.155) el Lagrangiano se puede escribir como, 2 2 1 L = m r Csc 2 + r2 ' 2

mgr Ctg

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.156) Pág.: 378

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Se observa que quedó en función de dos coordenadas generalizadas, en este caso r y ', lo cual está en concordancia con el resultado (5.152). Ecuaciones de Lagrange: de (5.156) se tiene que, @L @'

=0

@L @r

= mr'

2

@L @' @L @r

mg Ctg

= mr2 ' ) = mr Csc2

d dt

@L @' ) dtd

= @L @r

d dt

mr2 ' = m r Csc2

U Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no existir j este tipo de fuerzas) se obtiene, 8 @L < d @L =0 dt

:

o, (

@' @L @r

d dt

@'

@L @r

=0

mr2 ' = c (c = constante) 0= r

2

r' Sen2

+ g Sen Cos

(5.157)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas. La primera ecuación expresa la conservación del momento angular en torno al eje z y la segunda es la ecuación de movimiento para la coordenada r. Existen fuerzas de ligadura pero este método no permite calcularlas. .............................................................................................. EJEMPLO 5.7 Se consideran dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1 , k2 y k3 , como se muestra en la figura 5.7 y cuyas longitudes naturales respectivas son `1 , `2 y `3 . Los extremos 0 y A están fijos y distan entre sí D. Encuentre las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema. SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Se usarán coordenadas Cartesianas para ubicar a la masas m1 y m2 . Ligaduras: en el sistema dado se tienen las K (h) = 4 ligaduras holónomas, 8 ( (h) > x1 = 0 ) f1 = x1 = 0 > > , que obligan a m1 a moverse sobre el eje y. > (h) < z1 = 0 ) f2 = z1 = 0 ( (h) > x2 = 0 ) f3 = x2 = 0 > > , que obligan a m2 a moverse sobre el eje y. > (h) : z =0)f =z =0 2

4

(5.158)

2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 379

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

Figura (5.7): Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1 , k2 y k3 a dos soportes fijos que está a una distancia D entre sí.

que son todas esclerónomas. Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 4 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es, s = 3N

K (h) = 3 (2)

4=2

(5.159)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (2)

4=2

(5.160)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Figura (5.8): Coordenadas generalizadas del sistema formado por dos masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1 , k2 y k3 a dos soportes fijos.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 380

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Lagrangiano sin ligaduras incluidas: usando coordenadas Cartesianas, las energías cinética y potencial totales vienen dadas por, 2 2 2 2 2 2 1 1 m1 x1 + y 1 + z 1 + m2 x2 + y 2 + z 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 U = k1 D1x + k1 D1y + k1 D1z + k2 D2x + k2 D2y + k2 D2z 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 + k3 D3x + k3 D3y + k3 D3z 2 2 2

(5.161)

T =

(5.162)

dondeDix , Diy y Diz son las deformaciones en el eje x, y y z respectivamente para el i-ésimo (i = 1; 2; 3) resorte. Es fácil notar a partir de la figura 5.8 que, 8 > < D1y = y1 `1 (5.163) D2y = y2 y1 `2 > : D3y = D y2 `3 Finalmente el Lagrangiano del sistema dado se expresa como, L = T

2 2 2 1 U = m1 x1 + y 1 + z 1 + 2 1 1 1 2 2 2 k1 D1y k1 D1z k2 D2x 2 2 2 1 1 2 2 k3 D3y k3 D3z 2 2

2 2 2 1 m2 x2 + y 2 + z 2 2 1 1 2 2 k2 D2y k2 D2z 2 2

1 2 k1 D1x 2 1 2 k3 D3x 2 (5.164)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se pueden usar las ligaduras (5.158) para eliminar cuatro de las coordenadas en el Lagrangiano (5.164). En efecto, L=T

2 2 1 1 U = m1 y 1 + m2 y 2 2 2

1 2 k1 D1y 2

1 2 k2 D2y 2

1 2 k3 D3y 2

(5.165)

o, L =

2 2 1 1 1 m1 y 1 + m2 y 2 k1 (y1 2 2 2 1 k3 (D y2 `3 )2 2

`1 )2

1 k2 (y2 2

y1

`2 )2 (5.166)

Ecuaciones de Lagrange: como se puede ver en el anterior Lagrangiano, las coordenadas generalizadas para este sistema son y1 y y2 . De (5.166) se tiene que, @L = k1 (y1 `1 ) @y1 @L = m1 y 1 @ y1 d @L = m1 y 1 dt @ y 1

+ k2 (y2

y1

`2 )

@L = k2 (y2 y1 @x2 @L = m2 y 2 @ x2 d @L = m2 y 2 dt @ x2

`2 ) + k3 (D

y2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

`3 ) (5.167)

Pág.: 381

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA U = 0 (por no existir entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j este tipo de fuerzas) se obtiene,

d dt d dt

@L @ y1 @L @ y2

! !

@L = 0 @y1

(5.168)

@L = 0 @y2

(5.169)

Finalmente, al sustituir los resultados (5.167) en las ecuaciones (5.168) y (5.169) resulta, (

m1 y 1 = m2 y 2 =

k1 (y1 k2 (y2

`1 ) + k2 (y2 y1 y1 `2 ) + k3 (D

`2 ) y2 `3 )

(5.170)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas. .............................................................................................. EJEMPLO 5.8 En la figura 5.9 se muestra un péndulo simple de longitud `, masa pendular m y ángulo de desplazamiento colocado dentro de un vagón que se mueve con una aceleración constante a en la dirección +x. Encuentre la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema y la frecuencia para pequeñas oscilaciones de la masa pendular m. Tómese x = vo y x = 0 en t = 0.

Figura (5.9): Péndulo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con una aceleración constante a en la dirección +x

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Se usarán coordenadas Cartesianas para la ubicación de la masa pendular m. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 382

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Ligaduras: en el sistema dado existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, 8 (h) z = 0 ) f1 = z = 0, que obliga a m a moverse sobre el plano xy. > > > < (x d)2 + y 2 = `2 ) f (h) = (x d)2 + y 2 `2 = 0, haciendo que 2 > m se mueva describiendo un arco de circunferencia de radio `, > > : acoplándola al origen 0.

(5.171)

que son esclerónomas. Aquí d = vo t + 21 at2 que es la distancia recorrida por el vagón en el tiempo t partiendo de xo = 0, en concordancia con el enunciado del problema. Grados de Libertad y Coordenadas Generalizadas mínimas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, entonces el número de grados de liberdad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(5.172)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, = 3N siendo

K (h) = 3 (1)

2=1

(5.173)

= s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Figura (5.10): Coordenadas Cartesianas para el pédulo simple de la figura 5.9.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: usando coordenadas Cartesianas la energía cinética vendrá dada por, 2 2 2 1 T = m x +y +z (5.174) 2 y la potencial por, U = mgy (5.175) donde se ha tomado y < 0, razón por la cual se ha colocado un signo menos para garantizar que las energías U sean negativas como es requerido debido a la posición SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 383

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA del origen del sistema de coordenadas escogido. Nótese que U = 0 en y = 0 estableciéndose así el origen de potenciales en y = 0 como se indica en la figura 5.10. Entonces, el Lagrangiano se puede escribir como, L=T

2 2 2 1 U = m x + y + z + mgy 2

(5.176)

que es el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentes. Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se pueden usar las ligaduras (5.171) para eliminar dos de las coordenadas en el anterior (h) Lagrangiano. De la ligadura f2 en (5.171) se tiene que, q y = `2 (x d)2 (5.177)

Entonces, al sustituir (5.177) en (5.176) resulta, 2 2 `2 x + (x d)2 d d 2x 1 6 L = m6 2 4 `2 (x d)2

3

q 7 7 + mg `2 5

(x

d)2

(5.178)

quedando x como coordenada generalizada del sistema y donde, 1 d = vo t + at2 2

(5.179)

debido a lo enunciado en el ejemplo. Es posible cambiar la coordenada generalizada x por el ángulo variable , aquiriendo este último estatus de coordenada generalizada del sistema y lográndose así obtener un Lagrangiano más simple. A partir deltriángulo 4ABC en la figura 5.10 la relación entre x y viene dada por, x d Sen = ` o, x = d + ` Sen (5.180) Ahora, al sustituir (5.180) en (5.178) resulta después de algunos arreglos, " # 2 2 1 + `2 Sen2 + mg` Cos L = m d + ` Cos 2

(5.181)

que al sustituirle (5.179) se transforma en, 1 L= m 2

2

vo + at + ` Cos

+ `2

2

Sen2

+ mg` Cos

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.182) Pág.: 384

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE que es el Lagrangiano del sistema considerando las ligaduras (5.171) pero donde ahora es la coordenada generalizada del sistema. Nótese que este Lagrangiano es más simple que el (5.178). Es de hacer notar que el resultado (5.182) pudo haber sido obtenido al sustituir directamente (como se puede deducir de la figura 5.10), ( x = d + ` Sen = vo t + 21 at2 + ` Sen (5.183) y = ` Cos (h)

(h)

en (5.176) considerando sólo la ligadura f1 . No se consideraría la ligadura f2 está contenida en (5.183) debido a que estas ecuaciones la satisfacen.

ya que

Ecuaciones de Lagrange: de (5.182) se tiene que, @L = @

m`

Sen + m`2

vo + at + ` Cos

2

Sen Cos

mg` Sen @L d dt

@ @L @

= m` vo + at + ` Cos =

m`

Cos + m`2 Sen2

vo + at + ` Cos

+m` Cos

Sen

a + ` Cos

`

2

+ 2m`2

Sen

2

Sen Cos

+m`2 Sen2 U Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.23) con QN = 0 (por no existir j este tipo de fuerzas) se obtiene,

@L

d dt =

@ 1 `

@L =0 @ (5.184)

(g Sen + a Cos )

que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema. Cálculo de las cantidades pedidas: se puede determinar el ángulo de equilibrio al hacer = 0 en (5.184), 0 = g Sen a tan e = g

e

+ a Cos

e

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

e

(5.185) (5.186) Pág.: 385

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Por otro lado, debido a que las oscilaciones son pequeñas y se dan en torno al ángulo de equilibrio se puede escribir, = donde

e

(5.187)

+

es un ángulo pequeño. Entonces, al sustituir (5.187) en (5.184) resulta, =

g Sen ( `

e

a Cos ( `

+ )

e

(5.188)

+ )

Ahora, al usar las identidades para el seno y coseno de la suma de dos ángulos y usar la aproximación para ángulo pequeño Sen 1 y Cos se obtiene, =

1 [(g Sen `

e

+ a Cos

e)

+

(g Cos

e

a Sen

e )]

(5.189)

Pero el primer término entre paréntesis es nulo debido a (5.185) quedando, =

`

y al usar (5.186) se reduce a,

(g Cos

e

a Sen

e)

p

a2 + g 2 =0 ` que es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple con, p a2 + g 2 ! 2o = ` +

(5.190)

(5.191)

(5.192)

de donde, !o =

a2 +g 2 `2

1 4

(5.193)

siendo esta la frecuencia pedida. Este resultado tiene sentido ya que para a = 0 ! p ! o = g=`, es decir, justamente la frecuencia angular del péndulo simple cuando el vagón está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. .............................................................................................. EJEMPLO 5.9 Una cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso (de masa despreciable) que tiene la forma de la parábola z = c (x2 + y 2 ) = cr2 (ver figura 5.11) que rota en torno a su eje vertical de simetría con una velocidad angular variable. Encontrar: (a) las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema y (b) el valor de c suponiendo ahora que la velocidad angular del alambre tiene un valor constante !, haciendo que la cuenta rote en un círculo de radio constante R. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 386

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

Figura (5.11): Cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa despreciable, que tiene la forma de la parábola z = cr2 .

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras: en el sistema dado existen K (h) = 1 ligadura holónoma, ( (h) z = c (x2 + y 2 ) = cr2 ) f1 = z c (x2 + y 2 ) = z cr2 = 0, haciendo que m se mueva sobre la parábola.

(5.194)

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existe K (h) = 1 ligadura holónoma entonces el número de grados de libertad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

(5.195)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

(5.196)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: usando coordenadas Cartesianas, las energías cinética y potencial totales vienen dadas por, 2 2 2 1 m x +y +z 2 U = mgz

T =

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.197) (5.198) Pág.: 387

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA donde U = 0 en z = 0. Entonces, el Lagrangiano se puede escribir como, L=T

2 2 2 1 U = m x +y +z 2

mgz

(5.199)

y en coordenadas cilíndricas, 2 2 2 1 L = m r + r2 ' + z 2

(5.200)

mgz

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se usará la ligadura (5.194) para eliminar una de las coordenadas. Si se escogen r y ' como coordenadas generalizadas, al sustituir (5.194) en (5.200) el Lagrangiano se puede escribir como, 2 2 m 2 L= r + 4c2 r2 r + r2 ' mgcr2 (5.201) 2 Ecuaciones de Lagrange: de (5.201) se tiene que, 2

@L @r

= m 4c2 rr + r! 2

@L @r d dt

=

m 2

@L @r

2gcr

@L @'

=0 = mr2 '

2

@L @' d dt

2r + 8c2 r2 r =

m 2

2 r + 16c2 rr + 8c2 r2 r

@L @'

= 2mrr' + mr2 '

U = 0 (por no existir Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j este tipo de fuerzas) se obtiene, 8 @L < d @L =0 dt

:

o, (

d dt

@r

@r @L @'

@L @'

=0

2

r (1 + 4c2 r2 ) + r 4c2 r + r 2gc

'

2

=0

2rr' + r2 ' = 0

(5.202)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema dado. Cálculo de las cantidades pedidas: como para ' = ! =constante se tiene que r = R, las ecuaciones (5.202) se reducen a, 2gc

!2 = 0

(5.203)

a partir de la cual, c=

!2 2g

(5.204)

que es la cantidad pedida. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 388

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE ..............................................................................................

EJEMPLO 5.10 Máquina de Atwood doble. Considérese el sistema de doble polea mostrado en la figura 5.12. Se supone que las cuerdas tienen masa y deformación despreciable y que los radios, las masas y la fricción de las poleas son también despreciables. Encontrar las ecuaciones de Lagrange del sistema dado y la aceleración de cada masa.

Figura (5.12): Máquina de Atwood doble.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Aquí d es la distancia de la polea 2 al origen 0 y las coordenadas de las masas m1 , m2 y m3 son (x1 ; y1 ; z1 ), (x2 ; y2 ; z2 ) y (x3 ; y3 ; z3 ) respectivamente. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 389

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Ligaduras: en el sistema dado existen K (h) = 7 ligaduras holónomas, 8 ( (h) > x1 = 0 ) f1 = x1 = 0 > > > , que fijan a m1 sobre el plano xy. (h) > > z = 0 ) f = z = 0 > 1 1 2 > ( > > (h) > x = 0 ) f = x2 = 0 > 2 3 > > , que fijan a m2 sobre el plano xy. (h) < z2 = 0 ) f4 = z2 = 0 ( (h) > x3 = 0 ) f5 = x3 = 0 > > > , que fijan a m3 sobre el plano xy. (h) > > z = 0 ) f = z = 0 > 3 3 6 > > (h) > > 2y1 + y2 + y3 = 2`1 + `2 ) f7 = 2y1 + y2 + y3 2`1 `2 = 0, que acopla el > > > : movimiento de m , m y m entre sí. 1 2 3

(5.205)

(h)

que son todas esclerónomas. La ligadura f7 se obtiene al combinar, ( y1 + d = `1 y2 + y3 2d = `2 que son fáciles de deducir a partir de la figura dada.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 7 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es, s = 3N

K (h) = 3 (3)

7=2

(5.206)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (3)

7=2

(5.207)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: la energía cinética total del sistema viene dada por, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (5.208) T = m1 x1 + y 1 + z 1 + m2 x2 + y 2 + z 2 + m3 x3 + y 3 + z 3 2 2 2 Por otro lado, la energía potencial total U viene dada por, U=

m1 gy1

m2 gy2

m3 gy3

(5.209)

Entonces, a partir de (5.208) y (5.209), el Lagrangiano se puede escribir como, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 U = m1 x1 + y 1 + z 1 + m2 x2 + y 2 + z 2 + m3 x3 + y 3 + z 3 2 2 2 +m1 gy1 + m2 gy2 + m3 gy3 (5.210)

L = T

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se usarán las ligaduras (5.205) para eliminar siete de las coordenadas. Si se escogen y1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 390

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE y y2 como coordenadas generalizadas, al sustituir (5.205) en (5.210) el Lagrangiano se puede escribir como, L =

2 2 1 1 m1 + 2m3 y 1 + (m2 + m3 ) y 2 + 2m3 y 1 y 2 + (m1 2 2 + (m2 m3 ) gy2 + m3 g (2`1 + `2 )

2m3 ) gy1 (5.211)

ya que a partir de la última de las ligaduras (5.205), y3 =

2y 1

(5.212)

y2

Ecuaciones de Lagrange: de (5.211) se tiene que, @L = (m1 2m3 ) g @y1 @L = (m1 + 4m3 ) y 1 + 2m3 y 2 @ y1 d @L = (m1 + 4m3 ) y 1 + 2m3 y 2 dt @ y 1

@L = (m2 m3 ) g @y2 @L = (m2 + m3 ) y 2 + 2m3 y 1 @ y2 @L d = (m2 + m3 ) y 2 + 2m3 y 1 dt @ y 2

U Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no existir j este tipo de fuerzas) se obtiene, 8 @L < d @L =0 dt

o,

(

:

d dt

@y1

@ y1 @L @ y2

@L @y2

=0

(m1 + 4m3 ) y 1 + 2m3 y 2 (m1 2m3 ) g = 0 (m2 + m3 ) y 2 + 2m3 y 1 (m2 m3 ) g = 0

(5.213)

que son las ecuaciones de Lagrange del sistema dado. Cálculo de las cantidades pedidas: al resolver (5.213) para y 1 y y 2 se obtiene, y1 =

m1 m2 +m1 m3 4m2 m3 m1 m2 +m1 m3 +4m2 m3

y2 =

m1 m2 3m1 m3 +4m2 m3 m1 m2 +m1 m3 +4m2 m3

g

g

(5.214)

(5.215)

y como a partir de (5.212), y3 =

2y 1

(5.216)

y2

entonces, y3 =

3m1 m2 +m1 m3 +4m2 m3 m1 m2 +m1 m3 +4m2 m3

g

(5.217)

Los resultados (5.214), (5.215) y (5.217) son las aceleraciones pedidas, coincidiendo con las obtenidas para el mismo sistema en los cursos de Física Elemental. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 391

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA ..............................................................................................

EJEMPLO 5.11 Considérese un disco sólido homogéneo de masa M , centro 00 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la superficie semicircular fija con centro 0 y radio R2 > R1 (ver figura 5.13). Encuentre la ecuación de movimiento de Lagrange para el sistema dado y el período para pequeñas oscilaciones ( pequeño) del disco en torno a la posición de equilibrio.

Figura (5.13): Disco sólido de centro O0 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la superficie semicircular fija con centro O y radio R2 > R1 .

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Un cuerpo rígido (ver sección 2.4.3 en lo referente a ligaduras holónomas en un cuerpo rígido) tiene 6 grados de libertad cuando no hay presencia de ligaduras que los reduzcan. Para el estudio del movimiento del disco se considerará su centro de masa (que se encuentra posicionado en el centro geométrico del disco por ser homogéneo), cuyas coordenadas de posición son (R; 'cm ; zcm )2 en coordenadas cilíndricas.

Ligaduras: en el presente caso se tienen las K (h) = 5 ligaduras holónomas, 2

Se usa R en vez de r para la coordenada radial para hacer incapié que R representa el módulo del vector de posición del centro de masa del disco. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 392

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

8 (h) > zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, que limita el movimiento del disco al plano xy > > > (h) > > = 0 ) f2 = = 0, no hay rotación en torno al eje x. > > > (h) > > < = 0 ) f3 = = 0, no hay rotación en torno al eje y. (h) (R2 R1 ) = R1 ) f4 = (R2 R1 ) R2 = 0, hay rotación en torno > > > al eje z. > > > (h) > > R = R2 R1 ) f5 = R R2 + R1 = 0, que limita el movimiento del disco > > > : a la superficie semicircular.

(5.218)

que son esclerónomas. Aquí , y son los ángulos de rotación del disco en torno de los ejes coordenados x, y y z respectivamente.

Figura (5.14): Coordenadas del centro de masa del disco.

(h)

(h)

La ligadura f5 es muy fácil de deducir de la figura 5.14. La ligadura f4 proviene del hecho de que la longitud de arco se = R1 recorrida por el punto de contacto P sobre el borde del disco es igual (ya que el disco no desliza) a la longitud de arco s = (R2 R1 ) recorrida por el centro de masa. Por lo tanto, (R2

R1 )

= R1

o, (h)

f4

= (R2

R1 )

R1 = 0

(5.219)

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 5 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad del disco SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 393

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA es, s=6

K (h) = 6

(5.220)

5=1

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e=6

K (h) = 6

(5.221)

5=1

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo. Por lo tanto, de usarse el método implícito, la descripción del sistema se podría hacer con una sola coordenada generalizada. Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas cilíndricas se tiene que la energía cinética total del sistema viene dada por, 1 T = M 2 |

2 2 2 1 R + R2 'cm + z cm + I 2 {z } |

2

1 + I 2 {z

2

2 1 + I 2 }

(5.222)

T rotacional

T del centro de masa

donde los tres últimos términos representan las energías cinéticas rotacionales del disco, con I , I e I los momentos de inercia del mismo. La energía potencial (para el origen de potencial escogido) viene dada por, U = M gycm = M gR Sen ' = M gR Sen |

3 2

= {z

M gR Cos

(5.223)

}

=' (ver figura 5.14)

de manera que el Lagrangiano viene dado por, L=T

1 U= M 2 |

2

2

2

2

R + R 'cm + z cm {z }

T del centro de masa

1 + I |2

2

1 + I 2 {z

2

2 1 + I + M gR Cos 2 }

(5.224)

T rotacional

que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (5.218).

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se usarán lan ligaduras (5.218) para eliminar 5 de las coordenadas. Al sustituir (5.218) en (5.224) y teniendo presente que ' = 32 , el Lagrangiano se puede escribir como, 1 L = M (R2 2

1 + I 2

R2

R1 )2 M +

I R21

2

R1 )

2

R1

R1

2

2

+ M g (R2

R1 ) Cos

o, L=

1 (R2 2

2

+ M g (R2

R1 ) Cos

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.225) Pág.: 394

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Ecuaciones de Lagrange: de (5.225) se tiene que, @L @ @L @ d dt

=

R1 ) Sen

M g (R2

= (R2 @L @

2

R1 )

= (R2

M+

I R21

R1 )2 M +

I R21

U Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no existir j este tipo de fuerzas) se obtiene,

d dt (R2

@L

@L

@

@

R1 ) M +

I R21

=0

+ M g Sen

=0

(5.226)

que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema para la coordenada generalizada . Cálculo de las cantidades pedidas: para pequeño la ecuación (5.226) puede ser escrita como, 2g + =0 (5.227) 3 (R2 R1 )

ya que Sen e I = 21 M R21 (ver referencias [1], [59] [64] por ejemplo). Esta ecuación es idéntica a la del oscilador armónico simple, + ! 2o = 0 con, ! 2o = Por lo tanto, el período de oscilación =

2 !o

(5.228)

2g 3 (R2

(5.229)

R1 )

del disco vendrá dado por, =2

q

3 2g

(R2

R1 )

(5.230)

..............................................................................................

5.4.2.

Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita

Los ejemplos siguientes representan sistemas holónomos donde las ligaduras serán usadas en forma explícita. Recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = 3N . Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras holónomas a ser usadas en forma explícita: SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 395

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA 1. Se identifican las ligaduras presentes en el sistema dado. 2. Se halla el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema. 3. Se construye el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras y se identifican estas últimas. 4. Se encuentran las ecuaciones de Lagrange (5.77). 5. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones de ligadura. Las fuerzas generalizadas de ligadura se calculan también a partir de (5.77). Al igual que antes, los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas no pretendiendo ser reglas de estricto cumplimiento. .............................................................................................. EJEMPLO 5.12 Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.1. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.1 (5.84), (5.85) y (5.86) respectivamente, 8 (h) > < z = 0 ) f1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy (h) (5.231) y = x Tg + h ) f2 = y + x Tg h = 0, limita el movimiento > : de m al plano inclinado. s = 1

(5.232)

e = 1

(5.233)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas y ligaduras: a partir de (5.89) el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado por, 2 2 2 1 L= m x +y +z 2

mgy

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.234) Pág.: 396

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Ecuaciones de Lagrange: de (5.231) y (5.234) se tiene que, 8 @L @L @L > =0 = mg =0 > @x @y @z > > @L @L @L > > = mx = my = mz > > @y @z < @x d @L = m x dtd @L = m y dtd @L = m z dt @x @y @z > (h) (h) (h) > > @f1 @f1 @f1 > =0 =0 =1 > @x @y @z > > (h) (h) (h) > @f @f @f : 2 = Tg 2 2 =1 =0 @x @y @z

9 > > > > > > > > = > > > > > > > > ;

(5.235)

U Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

8 > > > > > > > > > <

ya que aquí K

(h)

> > > > > > > > > :

d dt

@L @x

@L @x

=

2 X

(h)

@fl l @x

(h)

=

@f1 1 @x

=

@f1 1 @y

=

@f1 1 @z

(h)

+

@f2 2 @x

+

@f2 2 @y

+

@f2 2 @z

l=1

d dt

d dt

@L @y

@L @y

@L @z

@L @z

= =

2 X

(h)

@fl l @y

l=1 2 X

(h)

(h)

@fl l @z

(h)

(h)

(5.236)

(h)

l=1

= 2. Ahora, al sustituir los resultados (5.235) en (5.236) se obtiene, 8 > < m x = 2 Tg (5.237) m y + mg = 2 > : mz = 1

que son las ecuaciones de Lagrange del sistema dado.

Cálculo de las cantidades pedidas: del sistema formado por las dos primeras ecuaciones (5.237) es fácil encontrar que, 2

= mg Cos2 (h)

y de la última en conjunto con la ligadura f1 1

(5.238)

en (5.231) se obtiene que,

=0

(5.239)

Por lo tanto, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas por, 8 2 X (h) > @fl > lig > Q = = 2 Tg = mg Cos Sen > l x @x > > > l=1 > > 2 < X (h) @fl 2 lig Qy = (5.240) l @y = 2 = mg Cos > > l=1 > > 2 > X > (h) > @fl lig > > Q = = 1=0 l : z @z l=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 397

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA que representan las componentes en el referencial escogido. Entonces, la magnitud de la resultante de las fuerzas generalizadas de ligadura vendrá dada por, Qlig =

r

Qlig x

2

+ Qlig y

2

+ Qlig z

2

= mg Cos

(5.241)

que no es más que la fuerza normal ya calculada en cursos de Física Elemental para el sistema dado. .............................................................................................. EJEMPLO 5.13 Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.3. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.3 (5.114), (5.116) y (5.116) respectivamente, 8 ( (h) > x1 = 0 ) f1 = x1 = 0 > > , fijan el movimiento de m1 sobre el eje y. > (h) > > < ( z1 = 0 ) f2 = z1 = 0 (h) x2 = 0 ) f3 = x2 = 0 > , fijan el movimiento de m2 sobre el eje y. > (h) > z2 = 0 ) f4 = z2 = 0 > > > : (h) y1 + y2 = ` ) f5 = y1 + y2 ` = 0, acopla el movimiento de m1 al de m2 .

(5.242)

s = 1

(5.243)

e = 1

(5.244)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: a partir de (5.119) el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado por, i 2 2 2 2 2 2 1h L= M1 x1 + y 1 + z 1 + M2 x2 + y 2 + z 2 + g (M1 y1 + M2 y2 ) 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.245) Pág.: 398

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Ecuaciones de Lagrange: de (5.242) y (5.245) se tiene que, 8 @L @L @L > =0 = M1 g =0 > @x1 @y1 @z1 > > > @L @L @L > = M1 x 1 = M1 y 1 = M1 z 1 > > @ x1 @ y1 @ z1 > > d @L > > = M1 x 1 dtd @L = M1 y 1 dtd @L = M1 z 1 > dt @ x1 > @ y1 @ z1 > > (h) (h) > @f1 @f1 < @f1(h) = 1 =0 =0 > > > > > > > > > > > > > > > > > : 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > :

@x1 (h) @f2 @x1 (h) @f3 @x1 (h) @f4 @x1 (h) @f5 @x1

@y1 (h) @f2 @y1 (h) @f3 @y1 (h) @f4 @y1 (h) @f5 @y1

=0 =0 =0 =0

@L =0 @x2 @L = M2 x 2 @ x2 d @L = M2 x 2 dt @ x2 (h) @f1 =0 @x2 (h) @f2 =0 @x2 (h) @f3 =1 @x2 (h) @f4 =0 @x2 (h) @f5 =0 @x2

@z1 (h) @f2 @z1 (h) @f3 @z1 (h) @f4 @z1 (h) @f5 @z1

=0 =0 =0 =1

@L = M2 g @y2 @L = M2 y 2 @ y2 d @L = M2 y 2 dt @ y 2 (h) @f1 =0 @y2 (h) @f2 =0 @y2 (h) @f3 =0 @y2 (h) @f4 =0 @y2 (h) @f5 =1 @y2

=1 =0 =0 =0

@L =0 @z2 @L = M2 z 2 @ z2 d @L = M2 z 2 dt @ z 2 (h) @f1 =0 @z2 (h) @f2 =0 @z2 (h) @f3 =0 @z2 (h) @f4 =1 @z2 (h) @f5 =0 @z2

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > =

(5.246)

> > > > > > > > > > > > > > > > > ; 9 > > > > > > > > > > > > > > > > > =

(5.247)

> > > > > > > > > > > > > > > > > ;

U = 0 (por no Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > :

d dt

d dt

d dt

d dt

d dt

d dt

@L @ x1 @L @ y1 @L @ z1

@L @x1

5 X

(h)

@fl l @x1

(h)

=

@f1 1 @x1

=

@f1 1 @y1

=

@f1 1 @z1

=

@f1 1 @x2

=

@f1 1 @y2

=

@f1 1 @z2

(h)

+

@f2 2 @x1

+

@f2 2 @y1

+

@f2 2 @z1

+

@f2 2 @x2

+

@f2 2 @y2

+

@f2 2 @z2

(h)

+

@f3 3 @x1

+

@f3 3 @y1

+

@f3 3 @z1

+

@f3 3 @x2

+

@f3 3 @y2

+

@f3 3 @z2

(h)

+

@f4 4 @x1

+

@f4 4 @y1

+

@f4 4 @z1

+

@f4 4 @x2

+

@f4 4 @y2

+

@f4 4 @z2

(h)

+

@f5 5 @x1

+

@f5 5 @y1

+

@f5 5 @z1

+

@f5 5 @x2

+

@f5 5 @y2

+

@f5 5 @z2

l=1

@L @y1

=

5 X

(h)

@fl l @y1

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

l=1

@L @z1

=

5 X

(h)

@fl l @z1

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

l=1

@L @ x2

@L @x2

@L @ y2

@L @y2

@L @ z2

=

= =

5 X

l=1 5 X

(5.248) (h)

@fl l @x2

(h)

(h)

@fl l @y2

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

l=1

@L @z2

=

5 X

(h)

@fl l @z2

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

l=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 399

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA ya que aquí K (h) = 5. Ahora, al sustituir obtiene, 8 > M2 x 2 > > > > > M1 y 1 > > > < M z 1 1 > M2 x 2 > > > > > M2 y 2 > > > : M z 2 2

los resultados (5.246) y (5.247) en (5.248) se =

1

M1 g = = =

2

(5.249)

3

M2 g = =

5

5

4

que son las ecuaciones de Lagrange del sistema dado. (h)

Cálculo de las cantidades pedidas: del sistema formado por la ligadura f5 en (5.242) más la segunda y quinta de las ecuaciones (5.249) es fácil encontrar que, 2M1 M2 g (5.250) 5 = M1 + M2 y del resto de las ecuaciones (5.249) junto con las ligaduras (5.242) resulta, 8 > 1 = 0 > > < 2 = 0 (5.251) > 3 = 0 > > : 4 = 0

Por lo tanto, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas por, 8 5 X (h) > @fl > lig > Q = l @x1 = 1 = 0 > x1 > > > l=1 > > 5 > X (h) > @fl > 2M1 M2 lig > = 5= M g Q = > l y 1 @y 1 1 +M2 > > > l=1 > > 5 > X (h) > @fl > lig > = 2=0 Q = > l z 1 @z1 < l=1

5 X > > lig > Qx2 = > > > > l=1 > > 5 > X > > lig > > Qy2 = > > > > l=1 > > 5 > X > > lig > : Qz2 =

(5.252)

(h)

@fl l @x2

=

3

=0

=

5

=

=

4

=0

(h)

@fl l @y2

2M1 M2 g M1 +M2

(h)

@fl l @z2

l=1

lig observándose que Qlig y1 = Qy2 , las cuales representan la tensión de la cuerda. Este resultado coincide con la tensión de la cuerda que se calcula en cursos de Física Elemental. Las aceleraciones y 1 y y 2 se pueden encontrar al sustituir (5.250) en la segunda

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 400

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE y quinta ecuación (5.249), coincidiendo completamente con los resultados (5.122) y (5.123). .............................................................................................. EJEMPLO 5.14 Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.9. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.9 (5.194), (5.195) y (5.196) respectivamente, (

(h)

z = c (x2 + y 2 ) = cr2 ) f1 = z c (x2 + y 2 ) = z que m se mueva sobre la parábola.

cr2 = 0, haciendo

(5.253)

s = 2

(5.254)

e = 2

(5.255)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: a partir de (5.200) el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado por, 2 2 2 1 mgz L = m r + r2 ' + z 2 Ecuaciones de Lagrange: de (5.253) y (5.256) se tiene que, 8 2 @L @L @L > = rm ' =0 = mg > @r @' @z > > > @L @L < @L = mr = mr2 ' = mz

> > > > > :

@r d dt

@L @r

= mr

(h)

@f1 @r

@' d dt

@L @'

= mr2 ' + 2mrr'

(h)

=

2cr

@f1 @'

@z d dt

(h)

9 > > > > > =

= mz > > > > > ; =1

@L @z

@f1 @z

=0

(5.256)

(5.257)

U Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > :

d dt

@L @r

@L @r

=

1 X

(h)

@fl l @r

(h)

=

@f1 1 @r

=

@f1 1 @'

=

@f1 1 @z

l=1

d dt

d dt

@L @' @L @z

@L @'

@L @z

= =

1 X

l=1 1 X

(h)

@fl l @'

(h)

(h)

@fl l @z

(5.258)

(h)

l=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 401

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA ya que aquí K (h) = 1. Ahora, al sustituir los resultados (5.257) en (5.258) se obtiene, 8 2 > < m r rm' = 2 1 cr r ' + 2r' = 0 > : m z + mg = 1

(5.259)

que son las ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento del sistema dado. Cálculo de las cantidades pedidas: si se tienen presentes las simplificaciones introducidas al final del ejemplo 5.9 (r = R y ' = !), el sistema de ecuaciones (5.259) se reduce a, ( m! 2 = 2c 1 (5.260) m z + mg = 1 A partir de la segunda ecuación y teniendo presente la ligadura (5.253) resulta que, 1

= mg

(5.261)

cantidad que al ser sustituida en la primera de las ecuaciones (5.260) conduce a que el valor de c sea, !2 c= (5.262) 2g observándose la completa concordancia con el resultado (5.204) obtenido en el ejemplo 5.9. Aquí 1 proporciona información adicional que no era posible de obtener mediante el método empleado en el mencionado ejemplo. Finalmente, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas por, 8 1 X (h) (h) > @fl @f1 > lig > Q = m! 2 R > l @r = 1 @r = r > > > l=1 > > 1 < X (h) (h) @fl @f1 Qlig = (5.263) l @' = 1 @' = 0 ' > > l=1 > > 1 > X > (h) (h) > @fl @f1 lig > > l @z = 1 @z = mg : Qz = l=1

donde la primera y la última representan, respectivamente, la fuerza centrípeta y el peso. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 402

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

EJEMPLO 5.15 Un disco sólido homogéneo, de masa M y radio R, rueda sin resbalar hacia abajo en un plano inclinado (ver figura 5.15). Encontrar: (a) las ecuaciones de movimiento de Lagrange, (b) las fuerzas generalizadas de ligadura y (c) la aceleración angular del disco.

Figura (5.15): Disco de masa M y radio R rueda, sin resbalar, hacia abajo en un plano inclinado.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Un cuerpo rígido (ver sección 2.4.3 en lo referente a ligaduras holónomas en un cuerpo rígido) tiene 6 grados de libertad cuando no hay presencia de ligaduras que los reduzcan. Para el estudio del movimiento del disco se considerará su centro de masa (que se encuentra en el centro geométrico del disco, por ser homogéneo) cuyas coordenadas de posición son (xcm ; ycm ; zcm ). Ligaduras: en el presente caso se tienen las K (h) = 5 ligaduras holónomas, 8 (h) > zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, que limita el movimiento del disco al plano xy > > > (h) > > = 0 ) f2 = = 0, no hay rotación en torno al eje x. > > > (h) > > < = 0 ) f3 = = 0, no hay rotación en torno al eje y. (h) (xcm R Sen ) Sec = R ) f4 = (xcm R Sen ) Sec R = 0, hay > > > rotación en torno al eje z. > > > (h) > > ycm = xcm Tg + R Sec + ` Sen ) f5 = ycm + xcm Tg R Sec ` Sen > > > : que limita el movimiento del disco a la superficie del plano inclinado.

= 0,

(5.264) que son esclerónomas. Aquí , y son los ángulos de rotación del disco en torno de los ejes coordenados x, y y z respectivamente. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 403

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

(h)

Figura (5.16): Detalles para encontrar las ecuaciones de ligadura f4 la figura 5.15.

(h)

y f5

para el sistema mostrado en

(h)

La ligadura f4 proviene del hecho de que la longitud de arco se = R recorrida por el punto de contacto P sobre el borde del disco es igual (ya que el disco no desliza) a la distancia s recorrida por el mismo sobre la superficie del plano inclinado. En efecto, de la figura 5.16 es fácil notar que, xcm = x + x e

pero,

(

(5.265)

x = s Cos x e = R Sen

(5.266)

entonces al sustituir (5.266) en (5.266) resulta, s = (xcm que debe ser igual a se = R resultando, (xcm

(5.267)

R Sen ) Sec

R Sen ) Sec

=R

o, (h)

f4

= (xcm

R Sen ) Sec

R =0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.268) Pág.: 404

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE (h)

Por otro lado, la ligadura f5 se construye al escribir la ecuación de la trayectoria del centro de masa, es decir, la ecuación de la recta que la representa. En efecto, a partir de la figura 5.16 es fácil notar que el punto de corte b de la trayectoria del centro de masa con el eje y viene dado por,

pero,

(

b = h+e h

(5.269)

h = ` Sen e h = R Sec

(5.270)

entonces al sustituir (5.270) en (5.269) resulta,

(5.271)

b = ` Sen + R Sec

de aquí que la ecuación de la recta que representa la trayectoria del centro de masa venga dada por, ycm = ya que su pendiente es

(5.272)

Tg xcm + ` Sen + R Sec

Tg . Entonces, (h)

f5

= ycm + Tg xcm

` Sen

(5.273)

R Sec

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 5 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad del disco es, s=6

K (h) = 6

(5.274)

5=1

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e=6

K (h) = 6

(5.275)

5=1

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo. Por lo tanto, de usarse el método implícito, la descripción del sistema se podría hacer con una sola coordenada generalizada. Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas Cartesianas se tiene que la energía cinética total del sistema viene dada por, 2 2 2 1 1 T = M xcm + y cm + z cm + I |2 {z } |2 T del centro de masa

2

1 + I 2 {z

2

1 + I 2

T rotacional

2

}

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.276)

Pág.: 405

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA donde los tres últimos términos representan las energías cinéticas rotacionales del disco, con I , I e I los momentos de inercia del mismo. La energía potencial (para el origen de potencial escogido) viene dada por, (5.277)

U = M gycm de manera que el Lagrangiano viene dado por, L=T

2 2 2 1 1 U = M xcm + y cm + z cm + 2 2

I

2

2

+I

2

+I

M gycm

(5.278)

que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (5.264). Ecuaciones de Lagrange: de (5.264) y (5.278) se tiene que, 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > :

@L =0 @xcm @L = M xcm @ xcm d @L = M x cm dt @ xcm (h) @f1 =0 @xcm (h) @f2 =0 @xcm (h) @f3 =0 @xcm (h) @f4 = Sec @xcm (h) @f5 = Tg @xcm

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > :

@L = Mg @ycm @L = M y cm @ y cm d @L =M dt @ y cm (h) @f1 =0 @ycm (h) @f2 =0 @ycm (h) @f3 =0 @ycm (h) @f4 =0 @ycm (h) @f5 =1 @ycm

@L =0 @zcm @L = M z cm @ z cm d @L =M dt @ z cm (h) @f1 =1 @zcm (h) @f2 =0 @zcm (h) @f3 =0 @zcm (h) @f4 =0 @zcm (h) @f5 =0 @zcm

y cm

@L @

=0

@L @

=0

@L @

=0

@L @

=I

@L

=I

@L @

=I

d dt

@L @

d dt

@L @

@

=I

(h)

@f1 @ (h) @f2 @ (h) @f3 @ (h) @f4 @ (h) @f5 @

@L

d dt

@ (h)

=0 =1 =0 =0 =0

@f1 @ (h) @f2 @ (h) @f3 @ (h) @f4 @ (h) @f5 @

=I

=I

(h)

=0 =0 =1 =0 =0

@f1 @ (h) @f2 @ (h) @f3 @ (h) @f4 @ (h) @f5 @

=0 =0 =0 = =0

R

z cm

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > > > > > ;

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > > > > ;

(5.279)

(5.280)

U Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 406

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > :

d dt

d dt

d dt

d dt

d dt

d dt

@L @ xcm @L @ y cm @L @ z cm @L @ @L @ @L @

@L @xcm

5 X

=

(h)

@fl l @xcm

(h)

=

@f1 1 @xcm

=

@f1 1 @ycm

=

@f1 1 @zcm

(h)

+

@f2 2 @xcm

+

@f2 2 @ycm

+

@f2 2 @zcm

(h)

+

@f3 3 @xcm

+

@f3 3 @ycm

+

@f3 3 @zcm

(h)

+

@f4 4 @xcm

+

@f4 4 @ycm

+

@f4 4 @zcm

(h)

+

@f5 5 @xcm

+

@f5 5 @ycm

+

@f5 5 @zcm

l=1

@L @ycm

=

5 X

(h)

@fl l @ycm

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

l=1

@L @zcm

=

5 X

(h)

@fl l @zcm

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

l=1

@L @

@L @

=

5 X

=

l=1 5 X

(5.281) (h)

@fl l @

(h)

= (h)

@fl l @

@f1 1 @

(h)

+ (h)

=

@f1 1 @

@f2 2 @

(h)

+ (h)

+

@f2 2 @

@f3 3 @

(h)

+ (h)

+

@f3 3 @

@f4 4 @

(h)

+ (h)

+

@f4 4 @

@f5 5 @

(h)

+

@f5 5 @

l=1

@L @

=

5 X

(h)

@fl l @

(h)

=

@f1 1 @

(h)

+

@f2 2 @

(h)

+

@f3 3 @

(h)

+

@f4 4 @

(h)

+

@f5 5 @

l=1

ya que aquí K (h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (5.279) y (5.280) en (5.281) se obtiene, 8 > M x cm = 4 Sec + 5 Tg > > > > > M y cm + M g = 5 > > > < M z cm = 1 (5.282) > I = 2 > > > > > I = 3 > > > : I = 4R que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema dado. Cálculo de las cantidades pedidas: (a) Ecuaciones de movimiento: son las dadas por (5.282) (b) Fuerzas generalizadas de ligadura: para hallarlas es necesario primero encontrar los multiplicadores de Lagrange 1 , 2 , 3 , 4 y 5 presentes en (5.282). Al sustituir las (h) (h) (h) ligaduras f1 , f2 y f3 en las mencionadas ecuaciones resulta, 8 > < 1=0 (5.283) 2 = 0 > : 3 = 0

reduciéndose el sistema de ecuaciones de movimiento a, 8 > < M x cm = 4 Sec + 5 Tg M y cm + M g = 5 > : I = 4R

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.284)

Pág.: 407

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA (h)

Al hallar la segunda derivada total con respecto al tiempo t de las ligaduras f4 y (h) f5 se obtiene, ( x cm Sec R =0 (5.285) y cm + x cm Tg = 0 a partir de las cuales,

(

x cm = R Cos y cm = R Sen

que al ser sustituidas en (5.284) se obtiene, ( 1 M g Sen 4 = 3 2 Sen2 5 = Mg 1 3

(5.286)

(5.287)

Finalmente, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas por, 8 5 X (h) > @fl > lig > = Q = 4 Sec + 5 Tg = 32 M g Sen Cos l > x cm @xcm > > > l=1 > > 5 > X (h) > @fl > lig > = Q = 5 = M g 1 23 Sen2 > l y cm @ycm > > > l=1 > > 5 > X (h) > @fl > lig > Q = = 1=0 > l @zcm < zcm l=1

5 X > > lig > Q = > > > > l=1 > > 5 > X > > lig > > Q = > > > > l=1 > > 5 > X > > lig > Q = :

(5.288)

(h)

@fl l @

=

2

=0

=

3

=0

(h)

@fl l @

(h)

@fl l @

=

4R

= 13 M gR Sen

l=1

Estas son las fuerzas generalizadas de ligadura requeridas para mantener el disco rodando sobre el plano sin resbalar. (c) La aceleración angular: a partir de la última de las ecuaciones (5.284) y del primer resultado en (5.287) se obtiene que, =

2 g 3R

Sen

(5.289)

ya que I = 21 M R2 (ver referencias [1], [59] [64] por ejemplo). .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 408

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

EJEMPLO 5.16 Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.11.

SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.11 (5.218), (5.220) y (5.221) respectivamente, 8 (h) > zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, que limita el movimiento del disco al plano xy > > > (h) > > = 0 ) f2 = = 0, no hay rotación en torno al eje x. > > > (h) > > < = 0 ) f3 = = 0, no hay rotación en torno al eje y. (h) (R2 R1 ) = R1 ) f4 = (R2 R1 ) R1 = 0, hay rotación en torno > > > al eje z. > > > (h) > > R = R2 R1 ) f5 = R R2 + R1 = 0, que limita el movimiento del disco > > > : a la superficie semicircular.

(5.290)

s = 1

(5.291)

e = 1

(5.292)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo. Lagrangiano sin ligaduras incluidas: a partir de (5.224) el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado por, 2

1 L= M 2

2

2

R + R2 'cm + z cm

1 + I 2

2

1 + I 2

2

1 + I 2

2

+ M gR Cos

o, 2

1 L= M 2 ya que ' =

3 2

R + R2

2

2

+ z cm

1 + I 2

2

1 + I 2

2

1 + I 2

2

+ M gR Cos

(5.293)

.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 409

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Ecuaciones de Lagrange: de (5.290) y (5.293) se tiene que, 8 2 @L @L @L > = M R + M g Cos = M gR Sen =0 > @R @ @zcm > > > @L @L @L > > = MR = M R2 = M z cm > > @ @ z cm @R > > > @L @L d d > = M R2 + 2M RR = M z cm > dtd @L = M R > dt @ dt @ z cm > > (h) (h) < @f1(h)@ R @f1 @f1 =0 =0 =1 @R @ @zcm (h) (h) (h) > @f2 @f2 @f2 > > =0 =0 =0 > @R @ @zcm > (h) (h) (h) > > @f3 @f3 @f3 > =0 =0 =0 > @ @zcm > @R > (h) (h) (h) > @f4 @f4 @f4 > > =0 = R2 R1 =0 > @R @ @zcm > > (h) (h) : @f5(h) @f5 @f5 =1 =0 =0 @R @ @zcm 8 @L 9 @L @L =0 =0 =0 > > > > @ @ @ > > > > > > @L @L @L > > = I = I = I > > > @ > > > @ @ > > > > > > > > d @L @L @L d d > > = I = I = I > > dt dt dt > > @ @ @ > > > > (h) (h) < @f (h) = @f @f 1 1 1 = 0 = 0 = 0 @ @ @ (h) (h) (h) > > @f2 @f2 @f2 > > > > =1 =0 =0 > > @ @ @ > > > > (h) (h) (h) > > @f3 @f3 @f3 > > > > = 0 = 1 = 0 > > @ @ @ > > > > (h) (h) (h) > > @f4 @f4 @f4 > > > > = 0 = 0 = R 1 > > @ @ @ > > (h) (h) (h) > > : @f5 ; @f5 @f5 = 0 = 0 = 0 @ @ @

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > > > > ;

(5.294)

(5.295)

U = 0 (por no Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > :

d dt

d dt

@L @R @L @

@L @R

5 X

=

(h)

@fl l @R

(h)

=

@f1 1 @R

=

@f1 1 @

(h)

+

@f2 2 @R

+

@f2 2 @

(h)

+

@f3 3 @R

+

@f3 3 @

(h)

+

@f4 4 @R

+

@f4 4 @

(h)

+

@f5 5 @R

+

@f5 5 @

l=1

@L @

=

5 X

(h)

@fl l @

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

l=1

d dt

d dt

d dt

d dt

@L @ z cm @L @ @L @ @L @

@L @zcm

=

5 X

(h)

@fl l @zcm

(h)

=

@f1 1 @zcm

(h)

+

@f2 2 @zcm

(h)

+

@f3 3 @zcm

(h)

+

@f4 4 @zcm

(h)

+

@f5 5 @zcm

l=1

@L @

@L @

=

5 X

=

l=1 5 X

(5.296) (h)

@fl l @

(h)

= (h)

@fl l @

@f1 1 @

(h)

+ (h)

=

@f1 1 @

=

@f1 1 @

@f2 2 @

(h)

+ (h)

+

@f2 2 @

+

@f2 2 @

@f3 3 @

(h)

+ (h)

+

@f3 3 @

+

@f3 3 @

@f4 4 @

(h)

+ (h)

+

@f4 4 @

+

@f4 4 @

@f5 5 @

(h)

+

@f5 5 @

+

@f5 5 @

l=1

@L @

=

5 X

(h)

@fl l @

(h)

(h)

(h)

(h)

(h)

l=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 410

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE ya que aquí K (h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (5.294) y (5.295) en (5.296) se obtiene, 8 2 > M R M R M g Cos = 5 > > > > > > M R2 + 2M RR + M gR Sen = 4 (R2 R1 ) > > > < Mz = cm 1 (5.297) > I = 2 > > > > > > I = 3 > > > : I = 4 R1 que son las ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento del sistema dado.

Cálculo de las cantidades pedidas: para calcular las fuerzas generalizadas de ligadura es necesario encontrar primero el valor de los Multiplicadores de Lagrange 1 , (h) (h) (h) y f3 de (5.290) en (5.297) se 2 , 3 , 4 , y 5 en (5.297). Al sustituir las ligaduras f1 , f2 encuentra que, 8 > < 1=0 (5.298) 2 = 0 > : 3 = 0

reduciéndose el sistema de ecuaciones (5.297) a, 8 > > < MR

MR

2

M g Cos

=

M R2 + 2M RR + M gR Sen > > : I = 4 R1 (h)

Ahora, al sustituir las ligaduras f4

pequeño (Sen

=

4

(R2

(h)

(para sustituir ) y f5

8 > < que para

5

R1 )

(5.299)

de (5.290) en (5.299) resulta,

2

M (R2 R1 ) M g Cos = M (R2 R1 ) + M g Sen = 4 > : I R2R1R1 = 4 R1 , Cos

5

(5.300)

1) se transforma en,

8 > <

2

M (R2 R1 ) Mg = M (R2 R1 ) + M g = > : I R2R1R1 = 4 R1

5 4

(5.301)

entonces a partir de la segunda y cuarta ecuación se obtiene, 4

1 = Mg 3

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.302) Pág.: 411

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Al sustituir este resultado en la segunda de las ecuaciones (5.301) resulta, +

2g

(5.303)

=0

R1 )

3 (R2

que es idéntica a la ecuación (5.227) del ejemplo 5.11. De esta ecuación al hacer, =

d d d d = = dt d dt d

se obtiene, 2

=

donde se ha tomado = 0 para las ecuaciones (5.301) resulta, 5

2g

=

R1 )

3 (R2 =

o.

Mg

2

(5.304)

2 o

(5.305)

Si ahora se sustituye (5.305) en la primera de 2 3

2

2 o

+1

(5.306)

Finalmente, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas por, 8 5 X (h) > @fl lig > 2 > Q = M g 23 ( 2 l @R = 5 = > o) + 1 R > > > l=1 > > 5 > X (h) > @fl > lig > = Q = 4 (R2 R1 ) = 13 M g (R2 R1 ) > l @y cm > > > l=1 > > 5 > X (h) > @fl > lig > = = 1=0 Q > l z cm @z < cm l=1

5 X > > lig > Q = > > > > l=1 > > 5 > X > > lig > > Q = > > > > l=1 > > 5 > X > lig > > : Q = l=1

(5.307)

(h)

@fl l @

=

2

=0

=

3

=0

(h)

@fl l @

(h)

@fl l @

=

4 R1

=

1 M gR1 3

Aquí Qlig y Qlig son dos torques que representan las fuerzas generalizadas de ligadura requeridas para mantener el disco sólido de radio R1 rodando, sin resbalar, sobre la superficie semicircular de radio R2 . .............................................................................................. EJEMPLO 5.17 Una partícula de masa m comienza a moverse desde el reposo, partiendo de la parte más alta de un hemisferio fijo y liso de radio a. Encuentre las SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 412

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE fuerzas generalizadas de ligadura y el ángulo en el cual la partícula abandona la superficie del hemisferio. Este es un problema clásico que se suele resolver en los cursos básicos de Física General.

Figura (5.17): Partícula de masa m que comienza a moverse desde el reposo, partiendo de la parte más alta de un hemisferio fijo y liso.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, 8 (h) > < z = 0 ) f1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy (h) x2 + y 2 = a2 ) f2 = x2 + y 2 a2 = 0, limita el movimiento > : de m a la superficie del hemisferio plano.

que son esclerónomas. En coordenadas cilíndricas se puede escribir, ( (h) z = 0 ) f1 = z = 0 (h) r = a ) f2 = r a = 0

(5.308)

(5.309)

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(5.310)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(5.311)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas Cartesianas se tiene que la energía cinética viene dada por, 2 2 2 1 T = m x +y +z 2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.312) Pág.: 413

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA y la energía potencial (para el origen de potencial escogido) por, (5.313)

U = mgy

de manera que el Lagrangiano es dado por, 2 2 2 1 mgy (5.314) L=T U = m x +y +z 2 que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (5.308). En coordenadas cilíndricas se tiene que, 2 2 2 1 mgr Sen ' (5.315) L = m r + r2 ' + z 2 Ecuaciones de Lagrange: de (5.309) y (5.315) se tiene que, 8 9 2 @L @L @L > > = mr ' = mgr Cos ' = 0 mg Sen ' > > @r @' @z > > > > > > @L @L @L 2 > > = m r = mr ' = m z > > > > @' @z < @r = @L @L @L d d d 2 = mr = 2mrr' + mr ' dt = mz (5.316) dt dt @ ' @r @z > > > > (h) (h) (h) > > @f1 @f1 > @f1 = 0 > > > =0 =1 > > @r @' @z > > (h) (h) (h) > > : @f2 ; @f2 @f2 = 1 = 0 = 0 @r @' @z

U Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > :

d dt

@L @r

@L @r

=

2 X

(h)

@fl l @r

(h)

=

@f1 1 @r

=

@f1 1 @'

=

@f1 1 @z

(h)

+

@f2 2 @r

+

@f2 2 @'

+

@f2 2 @z

l=1

d dt

d dt

@L @' @L @z

@L @'

@L @z

= =

2 X l=1 2 X

(h)

@fl l @'

(h)

(h)

@fl l @z

(h)

(h)

(5.317)

(h)

l=1

ya que aquí K (h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (5.316) en (5.317) se obtiene, 8 2 > < m r mr' + mg Sen ' = 2 (5.318) 2'r + r ' + g Cos ' = 0 > : mz = 1 que son las ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento del sistema dado.

Cálculo de las cantidades pedidas: al tener presentes las ligaduras (5.309) en las ecuaciones de movimiento (5.318) resulta, 8 2 > < ma' + mg Sen ' = 2 (5.319) a ' + g Cos ' = 0 > : 0= 1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 414

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE De la segunda ecuación se tiene que, g Cos ' a

'=

(5.320)

2

que se puede integrar para determinar ' . Nótese primero que, d' d' d' d' = =' dt d' dt d'

'=

(5.321)

entonces, al sustituir (5.321) en (5.320) e integrar, Z

'

0

g a

' e d' e=

Z

'

Cos ' e de '

2

(5.322)

ya que ' = 0 en t = 0 cuando ' = 2 y la tilde se usó para distinguir entre las variables de integración y los límites de integración. De (5.322) resulta, 2

' =

2g (1 a

(5.323)

Sen ')

2

Sustituyendo ' de (5.323) en la primera de las ecuaciones (5.319) se obtiene, 2

= mg (3 Sen '

(5.324)

2)

por lo tanto, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas por, 8 2 X (h) > @fl > lig > = 2) Q > l @r = 2 = mg (3 Sen ' r > > > l=1 > > 2 < X (h) @fl Qlig = (5.325) l @' = 0 ' > > l=1 > > 2 > X > (h) > @fl lig > > l @z = 1 = 0 : Qz = l=1

La partícula se desprenderá de la superficie del hemisferio en el ángulo 'd (el subíndice d significa desprendimiento) cuando Qlig r = 0. Entonces, Qlig r = 0 = mg (3 Sen 'd

2)

(5.326)

de manera que, 'd = Sen

1

2 3

= 41; 8o

(5.327)

o lo que es lo mismo 48; 2o con respecto al eje y. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 415

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA = mg (peso) en ' = Nótese que la fuerza generalizada de ligadura es Qlig r decir, cuando la partícula se encuentra en la parte más alta del hemisferio3 .

2

, es

.............................................................................................. EJEMPLO 5.18 La figura 5.18 muestra una partícula de masa m sobre un plano inclinado que se mueve con constante. Encuéntrese la aceleración de m a lo largo del plano inclinado y las fuerzas generalizadas de ligadura .

Figura (5.18): Partícula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado móvil.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, 8 (h) > < z = 0 ) f1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy (h) y = x Tg + h (t) ) f2 = y x Tg h (t) = 0, limita el movimiento > : de m a la superficie del plano inclinado móvil. (h)

donde f1

(h)

es esclerónoma y f2

(5.328)

es reónoma.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es, s = 3N 3

K (h) = 3 (1)

(5.329)

2=1

Comparar el resultado aquí obtenido con el problema 8.39, página 236, de la referencia [1]. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 416

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE y el número mínimo de coordenadas generalizadas, K (h) = 3 (1)

e = 3N

(5.330)

2=1

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas Cartesianas se tiene que la energía cinética viene dada por, 2 2 2 1 T = m x +y +z 2

(5.331)

y la energía potencial (para el origen de potencial escogido) por, (5.332)

U = mgy de manera que el Lagrangiano viene dado por, 2 2 2 1 U = m x +y +z mgy 2 que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (5.328).

L=T

Ecuaciones de Lagrange: de (5.328) y (5.333) se tiene que, 8 @L @L @L > =0 = mg =0 > @x @y @z > > @L @L @L > > = mx = my = mz > > @y @z < @x d @L = m x dtd @L = m y dtd @L = m z dt @x @y @z > (h) (h) (h) > > @f1 @f1 @f1 > =0 =0 =1 > @x @y @z > > (h) (h) (h) > @f @f @f : 2 = Tg 2 2 =1 =0 @x @y @z

9 > > > > > > > > = > > > > > > > > ;

(5.333)

(5.334)

U Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > :

d dt

d dt

d dt

@L @x

@L @y @L @z

@L @x

@L @y

@L @z

=

2 X

= =

l=1 2 X l=1 2 X

(h)

@fl l @x

(h)

=

(h)

@fl l @y

(h)

+

(h)

=

@f1 1 @y

=

@f1 1 @z

(h)

@fl l @z

@f1 1 @x

@f2 2 @x

(h)

+

@f2 2 @y

+

@f2 2 @z

(h)

(5.335)

(h)

l=1

ya que aquí K (h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (5.334) en (5.335) se obtiene, 8 > 2 Tg < mx = (5.336) m y + mg = 2 > : mz = 1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 417

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA que son las ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento del sistema dado. Cálculo de las cantidades pedidas: al tener presentes las ligaduras (5.328) en las ecuaciones de movimiento (5.336) resulta, 8 > 2 > > 2 = m g + h Cos > > > > < x= g + h Cos Sen (5.337) > > > > > y = h Cos2 g Sen2 > > : 1 = 0

Por lo tanto, de las ecuaciones segunda y tercera de (5.337) la aceleración a a lo largo del plano inclinado viene dada por, q 2 2 a= x +y a=

q

2

g 2 Sen2

+ h Cos2

(5.338)

que es una de las cantidades pedidas. Nótese que si h = 0 este resultado se reduce al dado por (5.94), que es el correspondiente al plano inclinado en reposo. Por último, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas por, 8 2 X (h) > @fl > lig > = = m g + h Cos Sen Q = > 2 Tg l x @x > > > l=1 > > 2 < X (h) @fl 2 lig Qy = (5.339) l @y = 2 = m g + h Cos > > l=1 > > 2 > X > (h) > @fl lig > > l @z = 1 = 0 : Qz = l=1

que son las requeridas para mantener a m sobre la superficie del plano inclinado y, en este caso, corresponden a dos fuerzas. El módulo de la resultante de las fuerzas (5.339) viene dada por, r Qlig =

Qlig x

2

+ Qlig y

2

+ Qlig z

2

= m g + h Cos

(5.340)

que es la fuerza de reacción normal al plano inclinado. Nótese que si h = 0 este resultado se reduce al dado por (5.237), que es el correspondiente al plano inclinado en reposo. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 418

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

5.4.3.

Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

Los ejemplos siguientes representan sistemas con ligaduras holónomas escritas en la forma semi-holónoma y con ligaduras no-holónomas. Las ligaduras semi-holónomas no serán integradas por lo que se emplearán en forma explícita. Recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = 3N . Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras semi-holónomas y noholónomas del tipo: 1. Se identifican las ligaduras presentes en el sistema dado. 2. Se halla el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema. 3. Se hallan los coeficientes Alj al comparar las ligaduras identificadas en 1 mediante su comparación con la forma que corresponda en (5.76). 4. Se construye el Lagrangiano del sistema. 5. Se encuentran las ecuaciones de Lagrange (5.77). 6. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones de ligadura. Las fuerzas generalizadas de ligadura se calculan también a partir de (5.77). Al igual que antes, los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas no pretendiendo ser reglas de estricto cumplimiento. .............................................................................................. EJEMPLO 5.19 Resolver el ejemplo 5.15 pero expresando la ligaduras holónomas presentes en forma de derivada, es decir, en forma semi-holónoma (en velocidades). SOLUCION: Ligaduras: para poder usar las ecuaciones de Lagrange (5.77) para ligaduras noholónomas y semi-holónomas es necesario que todas las ligaduras estén expresadas en forma de diferencial o en la forma de velocidades. Si se escoge la representación en forma de velocidades entonces las ligaduras vienen dadas al derivar las dadas por SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 419

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA (5.264) con respecto al tiempo t resultando, 8 (shD) z cm = 0 ) f1 = z cm = 0 > > > (shD) > > = =0 > < = 0 ) f2 (shD)

= 0 ) f3 = =0 > > (shD) > > xcm Sec = R ) f4 = xcm Sec R =0 > > : (shD) y cm = xcm Tg ) f5 = y cm + xcm Tg = 0

(5.341)

que son las ligaduras (5.264) escritas en forma semi-holónoma (en velocidades). Su número total es K (h) = 5. Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas cantidades fueron encontradas en el ejemplo 5.15 y son dadas por (5.274) y (5.275), s = 1

(5.342)

e = 1

(5.343)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las ligaduras (5.341) con (5.76) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo q1 = xcm , q2 = ycm , q3 = zcm , q4 = , q5 = y q6 = , a partir de (5.76) resulta, (shD) f1

=

6 X

A1j q j + B1

j=1

= A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + A14 q 4 + A15 q 5 + A16 q 6 + B1 (shD)

que al ser comparada con f1 (

en (5.341) resulta,

A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1 A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

)

Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta, 8 9 > > A = 0 A = 0 A = 0 21 22 23 > > > > > > > > A = 1 A = 0 A = 0 > > 24 25 26 > > > > > > > > A = 0 A = 0 A = 0 > > 31 32 33 > > > > < A =0 = A = 1 A = 0 34 35 36 > A41 = Sec A42 = 0 A43 = 0 > > > > > > > > > > > A = 0 A = 0 A = R 44 45 46 > > > > > > > > > > A = Tg A = 1 A = 0 51 52 53 > > > > : ; A54 = 0 A55 = 0 A56 = 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.344)

(5.345)

Pág.: 420

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes ya fue encontrado en el ejemplo 5.15 resultando, 2 2 2 1 1 L = M xcm + y cm + z cm + I 2 2 dado por (5.278).

2

Ecuaciones de Lagrange: de (5.346) se tiene que, 8 @L @L =0 = Mg > @xcm @ycm > > > @L @L > = M y cm > @ x = M xcm > @ y cm cm > > > d @L @L d > > < dt @ xcm = M x cm dt @ ycm = M y cm @L @L =0 =0 @ @ > > > > @L @L > =I =I > > @ > @ > > > > d @L : d @L = I =I dt

dt

@

2

1 + I 2

@

1 + I 2

2

M gycm

@L =0 @zcm @L = M z cm @ z cm @L d =M dt @ z cm @L =0 @ @L @

=I

d dt

@L @

z cm

9 > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > ;

=I

(5.346)

(5.347)

U = 0 (por no Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > :

d dt

@L @ xcm

@L @xcm

=

d dt

@L @ y cm

@L @ycm

=

d dt

@L @ z cm

@L @zcm

=

d dt

@L @

d dt

@L

d dt

@L @

@

@L @ @L @ @L @

=

l=1 5 P

= =

5 P

l=1 5 P

5 P

l=1 5 P

l=1 5 P

l Al1

=

1 A11

+

2 A21

+

3 A31

+

4 A41

+

5 A51

l Al2

=

1 A12

+

2 A22

+

3 A32

+

4 A42

+

5 A52

l Al3

=

1 A13

+

2 A23

+

3 A33

+

4 A43

+

5 A53

l=1

l Al4 l Al5 l Al6

(5.348) = = =

1 A14

+

1 A15 1 A16

+

+

2 A24

+

2 A25 2 A26

+

+

3 A34

+

3 A35 3 A36

+

+

4 A44

+

4 A45 4 A46

+

+

5 A54 5 A55 5 A56

l=1

ya que aquí K (h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (5.344), (5.345) y (5.347) en (5.348) se obtiene, 8 > M x cm = 4 Sec + 5 Tg > > > > > M y cm + M g = 5 > > > < M z cm = 1 (5.349) > I = 2 > > > > > I = 3 > > > : I = 4R SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 421

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA que son las mismas ecuaciones de Lagrange (5.282) obtenidas en el ejemplo 5.15. Cálculo de las cantidades pedidas: por ser las ecuaciones (5.349) idénticas a las ecuaciones (5.282) los resultados son idénticos a los del ejemplo 5.15. .............................................................................................. EJEMPLO 5.20 Un disco homogéneo de masa M rueda sin resbalar sobre el plano horizontal xy (ver figura 5.19a), obligado a moverse de modo que su plano permanezca siempre vertical (el disco puede ser una de las dos ruedas de un eje). Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura.

Figura (5.19): (a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes

R Sen ; R Cos

sobre las direcciones x y y.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras que ya fue estudiado, en parte, en un ejemplo de la sección 2.4.3 del capítulo 2. Se pueden escoger como coordenadas de la posición del disco las de su centro de masa xcm , ycm y zcm (que coinciden con las de su centro geométrico C por ser homogéneo), el ángulo que forma el eje del disco (perpendicular al mismo y que pasa por C) con el plano xy, al ángulo que forma este mismo eje con la dirección 0x del plano horizontal que es variable respecto al tiempo t y al ángulo girado por el disco alrededor de su propio eje. Las anteriores coordenadas son las coordenadas generalizadas requeridas para el presente caso. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 422

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas y K (nh) = 2 ligaduras no-holónomas respectivamente, 8 (h) > > zcm = R ) f1 = zcm R = 0, posición constante del centro de masa > > > del disco respecto al plano xy. > > > > < = 0 ) f2(h) = = 0, disco perpendicular al plano xy. 8 (5.350) (nhD) < v > v = R Sen ) f = x = 0 cmx = xcm = cm Sen cm + R Sen > 3 > , > > (nhD) : v > > = R Cos ) f4 = y cm R Cos =0 cmy = y cm = vcm Cos > > : consecuencia de que el disco no resbala. (nhD)

Es fácil encontrar f3

(nhD)

y f4

con la ayuda de la figura 5.19b y sabiendo que la

velocidad del disco v = R = vcm (velocidadad del centro de masa). Para poder usar las ecuaciones de Lagrange (5.77) para ligaduras no-holónomas y semi-holónomas es necesario que todas las ligaduras estén expresadas en forma de diferencial o en la (nhD) (nhD) forma de velocidades. Como f3 y f4 están en forma de velocidades, es conve(h) (h) niente escribir f1 y f2 en la misma forma. Al hallar la derivada total con respecto al (h) (h) tiempo t de f1 y f2 resulta, 8 (shD) z cm = 0 ) f1 = z cm = 0 > > > (shD) > < = 0 ) f2 = =0 (5.351) (nhD) > x = R Sen ) f = x + R Sen = 0 cm cm > 3 > > : (nhD) y cm = R Cos ) f4 = y cm R Cos =0 Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: el número de grados de libertad es, s=6

K (h) + K (nh) = 6

4=2

(5.352)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e=6

K (h) = 6

2=4

(5.353)

siendo e > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo.

Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las ligaduras (5.351) con (5.76) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo q1 = xcm , q2 = ycm , q3 = zcm , q4 = , q5 = y q6 = , a partir de (5.76) resulta, (shD) f1

=

6 X

A1j q j + B1

j=1

= A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + A14 q 4 + A15 q 5 + A16 q 6 + B1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 423

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA (shD)

que al ser comparada con f1

(

en (5.341) resulta, )

A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1 A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

(5.354)

Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta, 8 A21 > > > > > A24 > > > < A 31 > A34 > > > > > A41 > > : A44

=0 =1 =1 =0 =0 =0

A22 A25 A32 A35 A42 A45

=0 =0 =0 = R Sen =1 = R Cos

A23 A26 A33 A36 A43 A46

=0 =0 =0 =0 =0 =0

9 > > > > > > > > =

(5.355)

> > > > > > > > ;

Lagrangiano: la energía cinética total T del sistema viene dada por, 2 2 2 1 1 T = M xcm + y cm + z cm + I 2 2

2

1 + I 2

2

1 + I 2

2

(5.356)

y la energía potencial U viene dada por, (5.357)

U = M gzcm

por lo tanto el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado por, L=T

2 2 2 1 1 U = M xcm + y cm + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2

M gzcm

(5.358)

Ecuaciones de Lagrange: de (5.358) se tiene que, 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > :

@L =0 @xcm @L = M xcm @ xcm d @L = M x cm dt @ xcm @L =0 @

@L =0 @ycm @L = M y cm @ y cm d @L =M dt @ y cm @L =0 @

@L @

=I

@L

d dt

@L @

=I

@

=I

d dt

@L @

=I

y cm

@L = Mg @zcm @L = M z cm @ z cm d @L =M dt @ z cm @L =0 @ @L @

=I

d dt

@L @

z cm

=I

9 > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > ;

(5.359)

U Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 424

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > :

d dt

@L @ xcm

@L @xcm

=

d dt

@L @ y cm

@L @ycm

=

d dt

@L @ z cm

@L @zcm

=

d dt

@L @

d dt

@L

d dt

@L @

@

@L @

=

@L @ @L @

l=1 4 P

= =

4 P

l=1 4 P

4 P

l=1 4 P

l=1 4 P

l Al1

=

1 A11

+

2 A21

+

3 A31

+

4 A41

l Al2

=

1 A12

+

2 A22

+

3 A32

+

4 A42

l Al3

=

1 A13

+

2 A23

+

3 A33

+

4 A43

l=1

(5.360)

l Al4 = l Al5 l Al6

= =

1 A14 + 1 A15 1 A16

2 A24 +

+

+

2 A25 2 A26

+

+

3 A34 + 3 A35 3 A36

+

+

4 A44 4 A45 4 A46

l=1

ya que aquí K = K (h) + K (nhD) = 4. Ahora, al sustituir los resultados (5.359), (5.354) y (5.355) en (5.360) se obtiene, 8 > M x cm = 3 > > > > > M y cm = 4 > > > < M z cm + M g = > I = 2 > > > > > > I = 3 R Sen > > : I =0

1

(5.361) 4 R Cos

que son las ecuaciones de movimiento del sistema dado. Cálculo de las cantidades pedidas: para encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura es necesario encontrar primeramente los multiplicadores de Lagrange 1 , 2 , (shD) (shD) y f2 de (5.351) en las ecuaciones de 3 y 4 . Al tener presentes las ligaduras f1 movimiento (5.361) resulta, ( 1 = Mg (5.362) 2 = 0 reduciéndose el sistema de ecuaciones (5.361) a, 8 > M x cm = 3 > > > < My = 4 cm > I = 3 R Sen > > > : I =0 (shD)

Ahora bien, al sustituir las ligaduras f3

(5.363) 4 R Cos

(shD)

y f4

de (5.351) en la primera y segunda

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 425

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA ecuaciones de (5.363) respectivamente se obtiene, 8 > > Sen + < 3 = M x = MR > > :

4

= M y = MR

Cos

Cos (5.364) Sen

que al sustituidos en la tercera de las ecuaciones (5.363) resulta, I

= M R2 =

Sen +

Cos

Sen + M R2

Cos

Sen

Cos

M R2

o, I + M R2 = 0 | {z }

(5.365)

6=0

de aquí que,

=0!

= ! = constante

(5.366)

Además, de la última de las ecuaciones (5.363) se obtiene, =0!

=

= constante

(5.367)

Entonces, al sustituir los resultados (5.366) y (5.367) en (5.364) se encuentra que, ( M R! Cos 3 = (5.368) M R! Sen 4 = Por último, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas por, 8 4 X > > lig > Qxcm = M R! Cos l Al1 = 3 = > > > > l=1 > > 4 > X > > lig > M R! Sen > l Al2 = 4 = > Qycm = > > l=1 > > 4 > X > > lig > Q = > zcm l Al3 = 1 = M g < l=1 (5.369) 4 X > > lig > > Q = l Al4 = 2 = 0 > > > l=1 > > 4 > X > > lig > > Q = =0 l Al5 = 3 R Sen 4 R Cos > > > > l=1 > > 4 > X > > lig > l Al5 = 0 : Q = l=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 426

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE lig La resultante de las fuerzas Qlig xcm y Qycm es,

Qlig = Qlig bx + Qlig by = xcm e ycm e

M R! (Cos ebx + Sen eby )

que es perpendicular a la velocidad ! v del disco, es decir, está dirigida a lo largo de su eje. .............................................................................................. EJEMPLO 5.21 4

La figura 5.20 muestra un carrito que consiste en un bloque rectangular homogéneo plano de masa M , sobre una superficie horizontal (plano xy). El carrito posee dos ruedas de masa despreciable a la mitad de cada lado y que pueden girar en torno al eje L2 independientemente, de manera que el centro de masa está a la mitad de la distancia entre ambas. Además, el carrito tiene una carga puntual +Q en su centro y cargas puntuales q1 = +q y q2 = q a la mitad de su parte frontal y trasera (cada una a una distancia b del centro del rectángulo) y está inmerso ! en un campo eléctrico uniforme E en la dirección +x. (a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de Lagrange y (b) las fuerzas generalizadas de ligadura. Las ruedas no resbalan y no se consideran los efectos del campo gravitacional.

! Figura (5.20): Carrito rectangular homogéneo de masa M inmerso en un campo eléctrico uniforme E dirigido a lo largo del eje x. Las ruedas no resbalan, así la fuerza de fricción estática entre ellas y la ! ! superficie proporcionan fuerzas F a y F b .

4

Ver referencia [24]. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 427

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras: existen K (h) = 3 ligaduras holónomas y K (nh) = 1 ligadura no-holónoma, 8 (h) zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, limita el movimiento del carrito al plano xy. > > > (h) > > = 0 ) f2 = = 0, no hay rotación en torno al eje x. > > > < = 0 ) f (h) = = 0, no hay rotación en torno al eje y. 3 ! ! ! (nh) ! > v cm N = 0 ) f4 = ! v cm N = 0, con N un versor normal al eje L1 del. > > > > > carrito. Esta obliga a que la velocidad ! v cm del centro de masa del carrito > > : esté a lo largo del eje L1 . (5.370) por lo que el sistema dado es no-holónomo esclerónomo. (nh)

Póngase atención en la ligadura f4 . Las ruedas no resbalan, así la fuerza de fric! ! ción estática entre ellas y la superficie proporcionan fuerzas F a y F b (ver figura 5.20) que son paralelas al eje L2 y, por lo ende, perpendiculares al eje L1 . Estas fuerzas aseguran que ! v cm esté a lo largo de L1 , por lo tanto, un vector perpendicular a ! v cm también lo será a la recta que contiene al eje L1 . La ecuación de dicha recta viene dada por, |

(5.371)

(y2 y1 )x + (x2 x1 )y + x1 y2 x2 y1 = 0 {z } | {z } | {z } A

C

B

donde (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ) son las posiciones de las cargas +q y q respectivamente. Se sabe, a partir de la Geometría Analítica, que un vector perpendicular a la recta Ax + ! By + C = 0 viene dado por N = Ab ex + Bb ey . En este caso se tiene que, ! N =

(y2

por lo tanto, (nh)

f4 o,

=! v cm

y1 ) ebx + (x2

! N = xcm ebx + y cm eby (nh)

f4

=

xcm (y2

[ (y2

x1 ) eby y1 ) ebx + (x2

y1 ) + y cm (x2

(5.372)

x1 ) eby ] = 0

x1 ) = 0

(5.373)

que es una ligadura no-holónoma ya que no es integrable. Esta ligadura puede ser expresada en una forma diferente como se verá más adelante. Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: el número de grados de libertad del sistema es, s = 3N

K (h)

K (nh) = 3 (2)

3

1=2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.374) Pág.: 428

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para describir el sistema es, e = 3N

K (h) = 3 (2)

3=3

(5.375)

siendo e > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo. De este resultado se deduce que deben existir 3 coordenadas generalizadas capaces de describir por (nh) completo la configuración del sistema, debido a que la ligadura no-holónoma f4 presente no reduce el número de coordenadas mínimas necesarias. Podrían escogerse coordenadas generalizadas que eliminen las ligaduras holónomas pero no las no-holónomas. Es posible escoger como coordenadas generalizadas las del centro de masa q1 = xcm , q2 = ycm y el ángulo q3 = formado por L1 respecto al eje x, un total de tres coordenadas generalizadas. Es fácil mostrar, a partir de la figura 5.20, que las coordenadas de la posición de las cargas puntuales q1 y q2 vienen dadas por, 8 x1 = xcm + b Cos > > > > > y1 = ycm + b Sen > > > < z =0 1 > x2 = xcm b Cos > > > > > y2 = ycm b Sen > > : z2 = 0

(5.376)

y al sustituir estas transformaciones en (5.373) resulta finalmente, (nhD)

f4

= Sen xcm

Cos y cm = 0

(5.377)

que está en la forma de velocidades y en la cual se evidencia su no-integrabilidad. Para poder usar las ecuaciones de Lagrange (5.77) para ligaduras no-holónomas y semi-holónomas es necesario que todas las ligaduras estén expresadas en forma de (nhD) está en forma de velocidad, es diferencial o en la forma de velocidades. Como f4 (h) (h) (h) conveniente escribir f1 , f2 y f3 en la misma forma. Al hallar la derivada total con respecto al tiempo t de las mencionadas ligaduras resulta, 8 (shD) > z cm = 0 ) f1 = z cm = 0 > > > < = 0 ) f (shD) = = 0 2 (5.378) (shD) > = 0 ) f = = 0 > 3 > > : (nhD) Sen xcm Cos y cm = 0 ) f4 = Sen xcm Cos y cm = 0

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 429

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las ligaduras (5.378) con (5.76) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo q1 = xcm , q2 = ycm , q3 = zcm , q4 = , q5 = y q6 = , a partir de (5.76) resulta, (shD) f1

=

6 X

A1j q j + B1

j=1

= A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + A14 q 4 + A15 q 5 + A16 q 6 + B1 (shD)

que al ser comparada con f1 (

en (5.378) resulta,

A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1 A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

)

(5.379)

Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta, 9 8 A = 0 A = 0 A = 0 > > 21 22 23 > > > > > > > > A = 1 A = 0 A = 0 > > 24 25 26 > > > > = < A =0 A = 0 A = 0 31 32 33 > A34 = 0 A35 = 1 A36 = 0 > > > > > > > > > > > A = Sen A = Cos A = 0 41 42 43 > > > > ; : A44 = 0 A45 = 0 A46 = 0

(5.380)

Lagrangiano: la energía cinética total T del sistema viene dada por, 2 2 2 1 1 1 1 2 M vcm + I + I + I 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 = M xcm + y cm + z cm + I + I 2 2 2

T =

2

1 + I 2 2

2

(5.381) 2

2

2 ya que la velocidad vcm del centro de masa es dada por vcm = xcm + y cm + z cm .

La energía potencial U viene dada por la energía potencial eléctrica de las cargas involucradas, U = QExcm q1 Ex1 q2 Ex2 (5.382) o al sustituir x1 y x2 de (5.376), U=

QExcm

(5.383)

2qEb Cos

tomándose U = 0 (origen de potencial) el origen del sistema de coordenadas. Por lo tanto, el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado por, L = T U 2 2 2 1 1 M xcm + y cm + z cm + I = 2 2

2

1 + I 2

2

1 + I 2

2

( QExcm

2qEb Cos )

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 430

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE o, 2 2 2 1 1 L = M xcm + y cm + z cm + 2 2

2

I

2

+I

2

+I

+ QExcm + 2qEb Cos

Ecuaciones de Lagrange: de (5.384) se tiene que, 8 @L @L = QE =0 > @xcm @ycm > > > @L @L > = M xcm = M y cm > > @ xcm @ y cm > > > d d @L @L > > < dt @ xcm = M x cm dt @ ycm = M y cm @L @L =0 =0 @ @ > > > > @L @L > =I =I > > @ > @ > > > > d @L : d @L = I =I dt

dt

@

@

@L =0 @zcm @L = M z cm @ z cm d @L = M z cm dt @ z cm @L = 2qEb Sen @ @L @

=I

d dt

@L @

=I

9 > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > ;

(5.384)

(5.385)

U Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > :

d dt

@L @ xcm

@L @xcm

=

d dt

@L @ y cm

@L @ycm

=

d dt

@L @ z cm

@L @zcm

=

d dt

@L @

d dt

@L

d dt

@L @

@

@L @ @L @ @L @

=

l=1 4 P

= =

4 P

l=1 4 P

4 P

l=1 4 P

l=1 4 P

l Al1

=

1 A11

+

2 A21

+

3 A31

+

4 A41

l Al2

=

1 A12

+

2 A22

+

3 A32

+

4 A42

l Al3

=

1 A13

+

2 A23

+

3 A33

+

4 A43

l=1

l Al4 l Al5 l Al6

(5.386) = = =

1 A14

+

1 A15 1 A16

+

+

2 A24

+

2 A25 2 A26

+

+

3 A34

+

3 A35 3 A36

+

+

4 A44 4 A45 4 A46

l=1

ya que aquí K = K (h) + K (nhD) = 4. Ahora, al sustituir los resultados (5.379), (5.380) y (5.385) en (5.386) se obtiene, 8 > M x cm QE = 4 Sen > > > > > M y cm = 4 Cos > > > < M z cm = 1 > I = 2 > > > > > I = 3 > > > : I + 2qEb Sen = 0

(5.387)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema dado. Nótese que la última es, formalmente, la misma que la del péndulo simple. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 431

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Cálculo de las cantidades pedidas: (a) Las ecuaciones de movimiento ya fueron dadas por (5.387). (b) Para encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura es necesario encontrar primeramente los multiplicadores de Lagrange 1 , 2 , 3 y 4 . Al tener presentes las (shD) (shD) (shD) ligaduras f1 , f2 y f3 de (5.378) en las ecuaciones de movimiento (5.387) resulta, 8 > < 1=0 (5.388) 2 = 0 > : 3 = 0 reduciéndose el sistema de ecuaciones (5.387) a, 8 > < M x cm QE = 4 Sen M y cm = 4 Cos > : I + 2qEb Sen = 0 Queda ahora por encontrar respecto al tiempo t resulta,

4.

(5.389)

(nhD)

Al derivar la ligadura f4

xcm Cos + x cm Sen + y cm Sen

y cm Cos

dada en (5.378) con

= 0

= 0 xcm Cos + y cm Sen + x cm Sen y cm Cos {z } |

(5.390)

=0

(nhD)

y al usar nuevamente la ligadura f4 expresión se obtiene, y cm

Cos2 Sen

dada en (5.378) para sustituir xcm en la anterior

+ xcm Sen

= 0

y cm = 0

(5.391)

de la cual, y cm = 0

(5.392)

ya que 6= 0. Entonces, al sustituir el anterior resultado en el sistema de ecuaciones (5.389) resulta, 4

=0

reduciéndose así el mencionado sistema de ecuaciones a, ( M x cm QE = 0 I + 2qEb Sen = 0 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.393)

(5.394) Pág.: 432

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Por último, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas por, 8 4 X > > lig > Qxcm = l Al1 = > > > > l=1 > > 4 > X > > lig > Qycm = > l Al2 = > > > l=1 > > 4 > X > > lig > > l Al3 = < Qzcm =

4

Sen

4

1

Cos

=0 =0

=0

l=1 4 X

> > > Qlig = > l Al4 = 2 = 0 > > > l=1 > > 4 > X > > lig > > Q = l Al5 = 3 = 0 > > > > l=1 > > 4 > X > > lig > = Q l Al5 = 0 :

(5.395)

l=1

Aquí Qlig s es la fuerza eléctrica resultante a lo largo del eje L1 , que es la que controla el movimiento del carrito.

..............................................................................................

EJEMPLO 5.22 5

Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura en el ejemplo 5.21 pero usando como una de las coordenadas generalizadas la distancia s recorrida por el carrito a lo largo de su trayectoria (ver figura 5.21). SOLUCION: Ligaduras: existen K (h) = 3 ligaduras holónomas y K (nh) = 1 ligadura no-holónoma, 8 (h) > zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, limita el movimiento del carrito al plano xy. > > > (h) > > < = 0 ) f2 = = 0, no hay rotación en torno al eje x. (h) = 0 ) f3 = = 0, no hay rotación en torno al eje y. > > > xcm = s Cos ) f4(nh) = xcm s Cos = 0, que relaciona la coordenada > > > : x con la nueva coordenada s. cm

(5.396)

donde s es la velocidad del centro de masa del carrito en el plano xy. Al escribirlas 5

Ver referencia [24]. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 433

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

! ! ! ! Figura (5.21): F 1 , F 2 y F Q son las fuerzas eléctricas ejercidas por el campo eléctrico E sobre las cargas q1 , q1 y Q respectivamente. La fuerza de fricción estática entrelas ruedas y la superficie proporcionan ! ! fuerzas F a y F b

todas en forma de velocidades, 8 (shD) > = z cm = 0, limita el movimiento del carrito al plano xy. z cm = 0 ) f1 > > > < = 0 ) f (shD) = = 0, no hay rotación en torno al eje x. 2 > = 0 ) f (shD) = = 0, no hay rotación en torno al eje y. > 3 > > : (nhD) xcm = s Cos ) f4 = Cos s xcm = 0.

(5.397)

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas cantidades ya fueron calculadas en el ejemplo 5.21 y dadas por (5.374) y (5.375), s = 2

(5.398)

e = 3

(5.399)

siendo e > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo.

Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las ligaduras (5.397) con (5.76) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo q1 = s, q2 = xcm , q3 = zcm , q4 = , q5 = , q6 = , a partir de (5.76) resulta, (shD) f1

=

6 X

A1j q j + B1

j=1

= A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + A14 q 4 + A15 q 5 + A16 q 6 + B1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 434

5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE (shD)

que al ser comparada con f1

(

en (5.397) resulta,

A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1 A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

)

(5.400)

Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta, 8 A21 > > > > > A24 > > > < A 31 > A34 > > > > > A41 > > : A44

=0 =1 =0 =0 = Cos =0

A22 A25 A32 A35 A42 A45

=0 =0 =0 =1 = 1 =0

A23 A26 A33 A36 A43 A46

=0 =0 =0 =0 =0 =0

9 > > > > > > > > =

(5.401)

> > > > > > > > ;

Lagrangiano: como s es la velocidad del centro de masa del carrito en el plano xy entonces, 2

2

2 vcm = s + z cm

(5.402)

por lo tanto el Lagrangiano (5.384) queda ahora escrito como, 2 2 1 1 L = M s + z cm + 2 2

I

2

2

+I

2

+I

+ QExcm + 2qEb Cos

(5.403)

Ecuaciones de Lagrange: de (5.403) se tiene que, 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > :

@L @s @L @s d dt @L @

=0 = Ms

@L @

=I

d dt

@L @

@L @s

=Ms

=0

@L = QE @xcm @L =0 @ xcm d @L = dt @ xcm @L =0 @ @L

=I

@

=I

d dt

@L @

=I

0

@L =0 @zcm @L = M z cm @ z cm d @L = M z cm dt @ z cm @L = 2qEb Sen @ @L @

=I

d dt

@L @

=I

9 > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > ;

(5.404)

U Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QN = 0 (por no j existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 435

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > :

4 P

d dt

@L @s

d dt

@L @ xcm

@L @xcm

=

d dt

@L @ z cm

@L @zcm

=

d dt

@L @

d dt

@L

d dt

@L @

@

@L @s

@L @ @L @ @L @

=

l=1

=

l=1 4 P

= =

4 P

l=1 4 P

l Al1 4 P

l=1 4 P

=

1 A11

+

2 A21

+

3 A31

+

4 A41

l Al2

=

1 A12

+

2 A22

+

3 A32

+

4 A42

l Al3

=

1 A13

+

2 A23

+

3 A33

+

4 A43

l=1

l Al4 l Al5 l Al6

(5.405) = = =

1 A14

+

1 A15 1 A16

+

+

2 A24

+

2 A25 2 A26

+

+

3 A34

+

3 A35 3 A36

+

+

4 A44 4 A45 4 A46

l=1

ya que aquí K = K (h) + K (nhD) = 4. Ahora, al sustituir los resultados (5.400), (5.401) y (5.404) en (5.405) se obtiene, 8 > M s = 4 Cos > > > > > QE = 4 > > > < M z cm = 1 I = 2 > > > > > > I = 3 > > > : I + 2qEb Sen

(5.406)

=0

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema dado. Cálculo de las cantidades pedidas: para encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura es necesario encontrar primeramente los multiplicadores de Lagrange 1 , 2 , (shD) (shD) (shD) , f2 y f3 de (5.397) en las ecuaciones 3 y 4 . Al tener presentes las ligaduras f1 de movimiento (5.406) resulta, 8 > 1 = 0 > > < 2 = 0 (5.407) > 3=0 > > : 4 = QE

reduciéndose este sistema de ecuaciones a, ( M s = QE Cos I + 2qEb Sen

=0

(5.408)

Por último, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 436

5.5. PROPIEDADES DEL LAGRANGIANO por, 8 4 X > > lig > Qs = = QE Cos l Al1 = 4 Cos > > > > l=1 > > 4 > X > > lig > Q = QE > l Al2 = 4 = xcm > > > l=1 > > 4 > X > > lig > Q = > l Al3 = 1 = 0 < zcm l=1

(5.409)

4 X > > lig > Q = > l Al4 = 2 = 0 > > > l=1 > > 4 > X > > lig > > Q = l Al5 = 3 = 0 > > > > l=1 > > 4 > X > > lig > l Al5 = 0 : Q = l=1

Aquí Qlig s es la fuerza eléctrica resultante a lo largo del eje L1 , que es la que controla el movimiento del carrito. ..............................................................................................

5.5. 5.5.1.

Propiedades del Lagrangiano Invariancia bajo una transformación de Gauge El siguiente teorema enuncia esta importante propiedad del Lagrangiano:

e=L e qi ; q i ; t son dos Lagrangianos tales que las ecuaTeorema 9 Si L = L qi ; q i ; t y L ciones de movimiento obtenidas a partir de L sean exactamente las mismas que las e entonces L y L e difieren por la derivada total con respecto al obtenidas a partir de L, tiempo t de alguna función de la forma M = M (qi ; t). e mediante, Demostración. en efecto, si se expresa L e = L + M (qi ; t) L

(5.410)

entonces, al sustituir (5.410) en las ecuaciones de Lagrange (5.77) se obtiene, " # d @ @ (lig) U L+M L+M QN Qi = 0, con i = 1; 2; 3; :::; i dt @ q i @qi SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 437

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA o,

de la cual,

d dt |

@L @ qi

!

@L U QN i @qi {z

(lig)

Qi

}

=0 en virtud de (5.77)

0

1

d @ @M A dt @ q i

+

0

1

d @ @M A dt @ q i

@M =0 @qi

@M = 0, con i = 1; 2; 3; :::; @qi

(5.411)

Ahora bien, se sabe por la llamada regla de supresión de puntos (5.9) que, @M

=

@ qi

@M @qi

(5.412)

entonces al derivar con respecto a tiempo t se obtiene, 0 1 d @M d @ @M A = dt @ q i dt @qi X @ = @ql l

@M @qi

@ ql + @t

@M @qi

@ = @qi

X @M l

@M ql + @ql @t

!

=

@M (5.413) @qi

que es idéntico al segundo término del miembro izquierdo de (5.411) con signo contrario, verificándose así la igualdad y por ende haciendo que las ecuaciones de Lagrange no se alteren. Así, por ejemplo, términos como, C1 q 1 =

d d (C1 q1 ) ó C1 q1 q 1 = dt dt

1 C1 q12 , con C1 constante 2

(5.414)

sumados a L no aportan absolutamente nada a las ecuaciones de movimiento, pues no las modifican. A las transformaciones del tipo (5.410) se les denominan Transformaciones de Gauge. e para Es posible demostrar el teorema anterior partiendo de dos Lagrangianos L y L luego encontrar cuál debe ser la condición para que ambos Lagrangianos dejen invariantes las ecuaciones de Lagrange, concluyéndose que será posible cuando se le sume la derivada total con respecto al tiempo t de una función del tipo M (qi ; t). Se deja como tarea al estudiante. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 438

5.5. PROPIEDADES DEL LAGRANGIANO Los siguientes Lagrangianos también conducen a las mismas ecuaciones de movimiento: e = L + c, Lagrangianos que se diferencian en una constante c (es lo mismo que le 1. L ocurre al potencial). e = cL, Lagrangianos entre los que hay un factor constante c. 2. L

e = L + f (t), Lagrangianos que se diferencian en una función que sólo depende del 3. L tiempo t.

5.5.2.

Aditividad La propiedad de aditividad del Lagrangiano consiste en admitir que:

Si se tiene un sistema S compuesto de n subsistemas S1 ; S2 ; : : : ; Sn , aislados, no interactuantes, no habrá relación entre las coordenadas generalizadas de cada uno de los subsistemas. O también, las partes de un sistema Si que no interactúan con otras de un sistema Sj , no pueden contener magnitudes pertenecientes a estas últimas.

Supóngose que se tienen n sistemas mecánicos S` cada uno con ` coordenadas mínimas que permiten describirlos y que no interactúan entre sí. Si el Lagrangiano para cada uno de estos sistemas viene dado por LS` = LS` q`i` ; q `i` ; t 6 con i` = 1; 2; 3; : : : ; ` , entonces las ecuaciones (5.77) de Lagrange correspondientes a cada uno de estos sistemas vendrán dadas por, Sintema S1 =

d dt

Sintema S2 =

d dt

.. . Sintema Sn = 6

d dt

@LS1 @ q 1i1 @LS2 @ q 2i2

@LSn @ q nin

@LS1 @q1i1

=

U QN 1i1

con i1 = 1; 2; 3; : : : ;

1

@LS2 @q2i2

U = Q2i2 + QN 2i2

con i2 = 1; 2; 3; : : : ;

2

(lig) Q1i1 (lig)

.. . @LSn @qnin

+

.. . (lig)

U = Qnin + QN con in = 1; 2; 3; : : : ; nin

n

9 > > > > > > > > > = > > > > > > > > > ;

El primer índice de q, ` = 1; 2; : : : ; n , indica el sitema y el segundo índice, i` = 1; 2; : : : ; coordenada generalizada en particular. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.415)

`,

indica la

Pág.: 439

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Ahora, al sumar miembro a miembro las ecuaciones anteriores, ! ! d @L @L d @L S1 S1 S2 (lig) (lig) (lig) NU NU U = Q1i1 + QN + 1i1 + Q2i2 + Q2i2 + : : : + Qnin + Qnin dt @ q 1i @q1i1 dt @ q 2i 1 2 ! @LSn d @LSn + + dt @ q ni @qnin

@LS2 @q2i2

n

o, n X

(lig) Q`i`

+

U QN `i`

`=1

d = dt

@ @ q nin

n X

LS`

I;

I; t

`=1

!

n @ X LS @qnin `=1 `

(5.416)

que también puede ser escrita como, 2

d 6 6 dt 4

@LS

I;

@

I

I; t

3 7 7 5

@LS

(lig)

@

= QI

I

U + QN I

(5.417)

donde, LS

I;

I; t

= LS1 q1i1 ; q 1i1 ; t + LS2 q2i2 ; q 2i2 ; t + : : : + LSn qnin ; q nin ; t =

n X

(5.418)

LS` q`i` ; q `i` ; t

`=1

y además, 8 I = 1; 2; 3; : : : ; = > > > > > > < i1 = 1; 2; 3; : : : ; 1 i2 = 1; 2; 3; : : : ; 2 f I g = fq1i1 g [ fq2i2 g [ : : : [ fqnin g , con > > .. > > . > > : in = 1; 2; 3; : : : ; n n X (lig) (lig) (lig) (lig) (lig) QI = Q1i1 + Q2i2 + : : : + Qnin = Q`i` NU NU U U QN = QN I 1i1 + Q2i2 + : : : + Qnin =

1

+

2

`=1 n X

U QN `i`

+ ::: +

n

(5.419)

(5.420) (5.421)

`=1

Por lo tanto, las ecuaciones (5.417) son las ecuaciones de Lagrange para un sistema S formado por los subsistemas no interactuantes S1 ; S2 ; : : : ; Sn en conjunto S = S1 [ S2 [ : : : [ Sn , siendo su Lagrangiano LS = LS

I;

I; t

.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 440

5.5. PROPIEDADES DEL LAGRANGIANO

Si se tienen S1 ; S2 ; : : : ; Sn sistemas que no interactúan entre sí, entonces el Lagrangiano del sistema conjunto S = S1 [ S2 [ : : : [ Sn vendrá dado por la suma de los Lagrangianos correspondientes a cada uno de ellos por separado. Similarmente, si se tiene un sistema S cuyo Lagrangiano se pueda descomponer como la suma de dos o más Lagrangianos, entonces cada uno de ellos puede considerarse asociado a un subsistema S` de S, todos ellos independientes entre sí.

Un ejemplo de lo anteriormente planteado es el caso de dos partículas que se mueven en presencia de un campo externo sin interactuar entre sí. También en el caso de un sistema de partículas que interaccionan entre sí pero no con un campo externo, L se puede descomponer en una parte que contiene sólo las coordenadas y velocidades del centro de masa y otra que contiene sólo las coordenadas y las velocidades de las partículas respecto al centro de masa: no hay interacción del movimiento del centro de masa con el movimiento respecto al centro de masa.

A la propiedad aditiva del Lagrangiano se le puede conferir un significado físico al admitir que dado un sistema cerrado S compuesto de n subsistemas S1 ; S2 ; : : : ; Sn que se alejan, en el límite de separación infinita las interacciones mutuas desaparecen y el Lagrangiano del sistema global ha de tender a (5.418), (5.422)

l m L S = L S1 + L S2 + : : : + L Sn

En este límite se fija a cero a la posible derivada total respecto del tiempo que se puede añadir a (5.418).

En el caso de que se tengan dos sistemas S1 y S2 que interactúan, entonces el Lagrangiano del sistema conjunto S = S1 [ S2 puede escribirse como, LS

I;

I; t

donde LInt = LInt

= LS1 q1i1 ; q 1i1 ; t + LS2 q2i2 ; q 2i2 ; t + LInt

I;

I; t

I;

I; t

(5.423)

es un término de interacción. En una forma análoga se

tratarían los casos con más de dos sistemas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 441

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

5.5.3.

Invariancia bajo una transformación de coordenadas

Una propiedad importante de las ecuaciones de Lagrange es que son invariantes , es decir, su forma es la misma en cualquier sistema de referencia. En efecto, si se hace una transformación de las coordenadas generalizadas (incluso habiendo dependencia explícita del tiempo) y se escriben las coordenadas qi en términos de unas nuevas coordenadas qei , 7

qi = fi (e qj ; t) = qi (e qj ; t)

(5.424)

y se reemplazan por las coordenadas viejas en el Lagrangiano, se obtiene éste en e=L e qei ; qei ; t . Es claro que se deben reemplazar función de las nuevas coordenadas L

también las velocidades generalizadas por, qi =

X @fi @fi qej + @e qj @t j=1

(5.425)

que se obtienen derivando con respecto al tiempo t las trasformaciones (5.424). A las transformaciones del tipo (5.424) se les denominan Transformaciones Puntuales o Transformaciones de contacto. Se les denominan así para distinguirlas de otras de la forma qi = qi qej ; qej ; t

(5.426)

Como las coordenadas qi y qei describen el mismo punto físico en el espacio de e es el mismo en cada instante dado (sólo que expresado configuración, el valor de L y L en las nuevas coordenadas). Por lo tanto, al seguir los cálculos realizados en la sección 5.2 a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton de para estas nuevas coordenadas debe resultar que, 0 1 e e d @ @L A @L e(lig) + Q eN U , con j = 1; 2; 3; :::; =Q (5.427) j j dt @e qj @ qej

que tiene la misma forma que las Ecuaciones de Lagrange (5.77) escritas usando las viejas coordenadas.

7

La invariacia se refiere a la propiedad de una cantidad o ley física de no variar bajo ciertas transformaciones u operaciones. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 442

5.6. COORDENADAS CÍCLICAS - MOMENTOS GENERALIZADOS Y SU CONSERVACIÓN Nótese que las nuevas coordenadas podrían ser, por ejemplo, coordenadas del sistema mecánico en un sistema de referencia no inercial y, sin embargo, no hay necesidad de incluir ninguna fuerza de inercia o algo equivalente. Aquí se ve la ventaja de la formulación variacional sobre el Principio de D’Alembert ya que, si se hubiese usado este principio, se habría tenido que calcular la aceleración de cada partícula y el trabajo virtual de las fuerzas de inercia para poder llegar a (5.427) en un sistema no inercial. Por otro lado, la invariancia de las ecuaciones de Lagrange permite usar las coordenadas mejor adaptadas al problema, siempre y cuando se pueda expresar el Lagrangiano en términos de ellas.

5.6.

Coordenadas cíclicas - Momentos Generalizados y su conservación

5.6.1.

Coordenadas cíclicas

Una definición importante que se usará más adelante es el de Coordenada Cíclica o Coordenada Ignorable.

Se dice que una coordenada qi de un sistema de partículas es Cíclica o Ignorable si el Lagrangiano L no contiene dicha coordenada de forma explícita, es decir, @L =0 (5.428) @qi aunque puede contener la correspondiente velocidad q i .

5.6.2.

Momentos Generalizados

Para tener una idea del origen de estas cantidades físicas considérese, como ejemplo, un sistema de N partículas bajo la influencia de fuerzas derivables de energías potenciales que dependen únicamente de la posición U = U (x; y; z) y libres de ligaduras. El Lagrangiano para este sistema vendrá dado por, 2 1 XX U= mi xi; 2 i=1 =1 N

L=T

3

N X

Ui (xi;1 ; xi;2 ; xi;3 )

(5.429)

i=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 443

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Entonces la cantidad

@L

=

@ xj;

@ @ xj;

=

"

N X 3 X i=1

@L @ xj;

(con j = 1; 2; 3; : : : ; N y

N 3 1 XX

2

i=1

=1

mi xi;

ij

2

mi xi;

N X i=1

= 1; 2; 3) viene dada por, #

2

N 3 1 X X @ xi; Ui (xi;1 ; xi;2 ; xi;3 ) = mi 2 i=1 =1 @ xj;

= mj xj; = pj;

(5.430)

=1

que no es más que la componente del momento lineal de la j-ésima partícula.que es la componente xi del momento lineal.

El resultado (5.429) sugiere una generalización obvia del concepto de momento como sigue,

Se define el Momento Generalizado o Momento Canónico Conjugado a la coordenada qi mediante, pi =

@L

, con i = 1; 2; 3; : : : ;

(5.431)

@ qi

Los momomentos generalizados pi no tienen necesariamente unidades de momento lineal, pueden también corresponder a momento angular e incluso a otras cantidades puesto que las qi pueden no ser coordenadas Cartesianas. Aún más, si el potencial depende de las velocidades generalizadas q i , incluso si las qi son Cartesianas, los momentos generalizados no serán idénticos a los momentos mecánicos ordinarios.

Si la coordenada generalizada es la posición lineal, el momento generalizado correspondiente es el momento lineal o cantidad de movimiento. Si la coordenada generalizada es la posición angular, el momento generalizado correspondiente es el momento angular. La introducción de los momentos generalizados permite definir leyes de conservación gracias al Teorema de Noether que será estudiado más adelante en la sección 5.10.

Debido a la definición de momentos generalizados (5.431), las ecuaciones de LaSOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 444

5.6. COORDENADAS CÍCLICAS - MOMENTOS GENERALIZADOS Y SU CONSERVACIÓN grange (5.77) pueden ser escritas ahora como,

pi =

@L @qi

(lig)

+ Qi

U + QN i

8 ( > Sin ligaduras > (lig) > Q = 0 ! > i > > i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N > > > > > > > 8 > > > > Ligaduras holónomas > < > > (lig) > Qi = 0 ! > en forma implícita > > > > : > i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N K (h) > > > < 8 ! > > > (h) < Ligaduras holónomas en > K (h) P > @fl (lig) > > Qi = ! forma explícita. l @qi > > > > l=1 : > > i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N > > > > > > 8 > > > > > < Ligaduras no-holónomas > K (nh) > P;K (h) (lig) > > Qi = y semi-holónomas. > l Ali ! > > > l=1 : : i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N

(5.432)

5.6.3.

Conservación de los Momentos Generalizados

Los momentos generalizados (5.431) se conservarán si se cumple que, ! d @L pi = = 0 ) pi = constante dt @ q i

(5.433)

entonces, a partir de (5.432) debe cumplirse que, pi =

@L (lig) U + Qi + QN =0 i @qi

(5.434)

en consecuencia, El momento generarizado pi se conservará cuando la correspondiente coordenada qi es cíclica, se anulan la correspondiente fuerza generalizada (lig) de ligadura Qi y la correspondiente fuerza generalizada no proveniente U de una energía potencial QN i . U En el caso de los sistemas conservativos QN = 0 por lo tanto, i

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 445

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

El momento generalizado pi se conservará cuando la correspondiente coordenada qi es cíclica y se anula la correspondiente fuerza generalizada (lig) de ligadura Qi . No existiendo fuerzas no provenientes de potenciales, en general: 1. Si la qi para la cual el momento generalizado pi se conserva representa un desplazamiento en una dirección espacial dada, como consecuencia, la componente del momento lineal correspondiente a esa dirección se conserva. 2. Si la qi para la cual el momento generalizado pi se conserva representa un ángulo de rotación alrededor de un eje determinado, como consecuencia, la componente del momento angular del sistema correspondiente a ese eje se conserva. A estas cantidades que se conservan se les denominan Integrales Primeras de Movimiento.

5.7.

Integrales Primeras de Movimiento

A veces, las ecuaciones de movimiento podrán ser integrables por medio de funciones conocidas, pero no siempre será este el caso. En realidad, en la mayor parte de los casos no son integrables. Sin embargo, aun cuando no puedan obtenerse soluciones completas es posible, con frecuencia, inferir abundante información sobre la naturaleza física del movimiento del sistema. Además tal información entraña, a veces, más interés para el físico que la solución completa que proporcionan las coordenadas generalizadas en función del tiempo. Por tanto, es de gran importancia averiguar todo lo que es posible decir acerca del movimiento de un sistema dado sin necesidad de integrar por completo las ecuaciones de movimiento. Durante el movimiento de un sistema mecánico, las 2 cantidades qi y q i (i = 1; 2; 3; :::; ) que especifican el estado del sistema varían con el tiempo. Sin embargo, hay muchos problemas para los que pueden obtenerse inmediatamente cierto número de funciones de estas cantidades Gk = Gk (qi ; q i ; t), de manera que, Gk (qi ; q i ; t) = constante

(5.435)

que son ecuaciones diferenciales de primer orden. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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5.7. INTEGRALES PRIMERAS DE MOVIMIENTO

Se denominan Integrales Primeras de Movimiento o simplemente Integrales de Movimiento a las funciones Gk (qi ; q i ; t) cuyos valores permanecen constantes durante el movimiento de un sistema dado, correspondiendo a cantidades físicas conservadas que dependen de las condiciones iniciales del mismo. El interés de estas integrales primeras radica en que suelen decir algo de orden físico sobre el sistema objeto de estudio y pueden usarse en la solución de un problema de varias formas. Por ejemplo: 1. Con estas k funciones se pueden eliminar el mismo número de variables dinámicas, velocidades o coordenadas y con esto disminuir el número de variables por determinar. 2. También, mediante estas integrales primeras de movimiento se pueden conocer algunas propiedades dinámicas del sistema sin necesidad de resolver el conjunto de ecuaciones diferenciales de movimiento. Hay algunas cuya constancia tienen un profundo origen y significado, ligado a las propiedades fundamentales del espacio y tiempo, es decir, a su homogeneidad e isotropía. Todas estas magnitudes que, como suele decirse, son conservativas tienen una propiedad general muy importante: Son aditivas, es decir, su valor para un sistema formado por varias partes, cuya interacción entre sí es insignificante, será igual a la suma de los valores de cada una de dichas partes. Debido a la anterior propiedad es que las integrales primeras de movimiento tienen una importancia especial en Mecánica. Supóngase, por ejemplo, que dos cuerpos interactúan durante un cierto intervalo de tiempo. Puesto que cada una de las integrales aditivas de la totalidad del sistema son ambas, antes y después de la interación, igual a la suma de sus valores para los dos cuerpos separadamente, las leyes de conservación para estas cantidades hacen inmediatamente posible obtener varias conclusiones referentes al estado de los cuerpos después de la interacción, si sus estados antes de la misma son conocidos. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 447

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

5.8.

Integrales Primeras de Movimiento para un sistema cerrado

Una propiedad importante de los sistemas cerrados (ver sección 1.3) es que las ecuaciones de evolución temporal, o ecuaciones de movimiento, de dicho sistema sólo dependen de variables y factores contenidos en el sistema. Para un sistema de ese tipo, por ejemplo, la elección del origen de tiempos es arbitraria (homogeneidad del tiempo) y por tanto las ecuaciones de evolución temporal son invariantes respecto a las traslaciones temporales, implicando que la energía total de dicho sistema se conserva como se verá en la sección 5.9. De hecho, un sistema cerrado no puede intercambiar energía con nada externo a él por estar aislado. El universo entero considerado como un todo es probablemente el único sistema realmente cerrado, sin embargo, en la práctica muchos sistemas no completamente aislados pueden estudiarse como sistemas cerrados con un grado de aproximación muy bueno o casi perfecto. El número de integrales de movimiento independientes para un sistema mecánico cerrado con s grados de libertad es 2s 1, lo cual es evidente a partir de los siguientes argumentos simples: La solución general de las ecuaciones de movimiento contienen 2s constantes arbitrarias, puesto que, Las ecuaciones de movimiento para un sistema cerrado no involucran al tiempo de forma explícita. La elección del origen del tiempo es completamente arbitraria, y una de las constantes arbitrarias en la solución de las ecuaciones de movimiento puede tomarse siempre como una constante aditiva to en el tiempo. Eliminado t + to de las 2s funciones, qi = qi (t + to ; C1 ; C2 ; :::; C2s 1 ) se pueden expresar las 2s 1 constantes arbitrarias C1 ; C2 ; :::; C2s qi y q i , y estas funciones serán integrales de movimiento.

1

como funciones de

La siguiente tabla muestra tres de las más importantes de estas cantidades conservadas para el caso de un sistema cerrado: la energía total, el momento lineal y el momento angular; relacionándolas con las propiedades del el espacio, el tiempo (ver sección 2.1) y el Lagrangiano. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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5.9. TEOREMAS DE CONSERVACIÓN Característica del sistema inercial

Propiedad del Lagrangiano

Cantidad conservada

Tiempo homogéneo

Función no explícita de t

Energía total

Espacio homogéneo

Invariante en traslaciones

Momento lineal

Espacio isótropo

Invariante en rotaciones

Momento angular

5.9. 5.9.1.

Teoremas de conservación Conservación de la energía

La homogeneidad del tiempo tiene como consecuencia la conservación de la energía en un sistema aislado. En la formulación de Lagrange es posible demostrar un teorema de conservación para el cual la conservación de la energía total representa sólo un caso especial. Considérese un Lagrangiano general que depende de las coordenadas qi , las velocidades q i y que podría depender explícitamente también del tiempo L = L qi ; q i ; t . Entonces, la derivada total de L con respecto del tiempo es, dL X @L dqj X @L dq j @L = + + dt @qj dt dt @t j=1 j=1 @ q j

(5.436)

pero por las ecuaciones de Lagrange (5.77), d @L = @qj dt

@L @ qj

!

(lig)

U QN j

Qj

(5.437)

de manera que (5.436) queda escrita como, " ! # X d @L X @L dL @L (lig) U = Qj QN q + qj + j j dt dt @ q j @t j=1 j=1 @ q j ! X d @L @L X (lig) U = qj + Qj + QN qj j dt @t @ q j=1 j=1 j o, d dt

X j=1

qj

@L @ qj

L

!

+

@L @t

X

(lig)

Qj

U + QN qj = 0 j

(5.438)

j=1

A la cantidad entre paréntesis es, en muchos casos, llamada Función de Energía h de manera que, X @L h qj ; q j ; t = qj L (5.439) @ qj j=1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA entonces (5.438) se puede ahora escribir como, dh = dt

@L X (lig) U qj + Qj + QN j @t j=1

(5.440)

Ahora, supóngase que se tiene un sistema holónomo donde las ligaduras son us(lig) adas en forma implícita Qj = 0 y donde no hay presencia de fuerzas que no provienen U de una función de energía potencial QN = 0. Si el Lagrangiano no depende explícij tamente del tiempo (consecuencia de la homogeneidad del tiempo en un sistema aislado o cerrado) sino que depende sólo de manera implícita mediante la variación con respecto al tiempo de las qi y las q i , entonces la expresión (5.440) resulta en, dh = 0 ) h =constante dt indicando que h se conserva, es decir, que es una integral primera de movimiento. A un sistema cuyo Lagrangiano no depende explícitamente del tiempo se le da el nombre de Sistema Autónomo. Bajo ciertas circunstancias, la función h es la energía total del sistema. Para determinar cuáles son estas circunstancias, recuérdese (sección 2.8.5) que la energía cinética total de un sistema puede escribirse siempre como, T = To + T1 + T2

(5.441)

donde To = To (qi ) es una función sólo de las coordenadas generalizadas, T1 = T1 qi ; q i es lineal con respecto a las velocidades generalizadas q i y T2 = T2 qi ; q i es una función cuadrática de las q i . Para un amplio rango de sistemas y conjuntos de coordenadas generalizadas, el Lagrangiano puede ser separado de forma semejante con respecto a su comportamiento funcional en relación a las q i , L qi ; q i ; t = Lo (qi ; t) + L1 qi ; q i ; t + L2 qi ; q i ; t

(5.442)

donde L2 es una función homogénea de segundo grado (no meramente cuadrática) respecto a las q i , mientras que L1 es una función homogénea de primer grado respecto a las q i . No existe una razón intrínseca en la Mecánica que requiera que el Lagrangiano se ajuste a (5.442) pero, de hecho, lo hace para la mayoría de los problemas de interés. Claramente el Lagrangiano tiene esta forma cuando las fuerzas SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 450

5.9. TEOREMAS DE CONSERVACIÓN pueden ser derivables a partir de potenciales que no involucren las velocidades. Incluso, con potenciales dependientes de las velocidades, se nota que el Lagrangiano para una partícula cargada en un campo electromagnético satisface (5.442). Si se sustituye (5.442) en (5.439) resulta, h =

X

qj

j=1

=

X j=1

qj

@ @ qj @L1

(Lo + L1 + L2 ) +

@ qj

X j=1

qj

@L2

(Lo + L1 + L2 ) Lo

@ qj

L1

L2

ahora, al aplicar el Teorema de Euler visto al final de la sección 2.8.5 resulta, h = L1 + 2L2

Lo

L1

L2 = L2

Lo

(5.443)

Por otro lado, si el sistema es natural, es decir, si las ecuaciones de transformación (2.58) que definen las coordenadas generalizadas no involucran explícitamente el tiempo entonces, a partir de (2.81) resulta, T = T2

(5.444)

y si, además, el potencial no depende de las velocidades generalizadas q i se tiene que8 , L2 = T , Lo = U (5.445) Por último, al sustituir el resultado anterior en (5.443) resulta, h=T +U =E

(5.446)

y así la función de energía h es en verdad la energía del sistema. Bajo estas circunstancias, si U no involucra explícitamente al tiempo, tampoco lo hará L. De aquí que, debido a (5.440), h será conservada. Nótese que las condiciones para la conservación de h son, en principio, bastante distintas de aquellas que identifican h como la energía total. Se puede tener un conjunto de coordenadas generalizadas tal que, en un problema en particular, h se conserve pero no sea la energía total. Por otro lado, h puede ser la energía total, en la 8

L en (??) tiene que ser igual a T U , es decir, Lo + L1 + L2 = T U . Observemos que el único término dependiente sólo de las coordenadas generalizadas es Lo , por lo que puede ser identificado con U ya que tiene la misma dependencia. El resto L1 + L2 tiene que ser igual a T = T2 , pero como T2 debe ser una función homogénea de segundo orden respecto a las velocidades generalizadas entonces, L1 = 0 por lo que T = L2 . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA forma T + U , y no conservarse. Nótese también que mientras que el Lagrangiano está definido para cada sistema en la forma única, L=T

U

independientemente de las coordenadas generalizadas, la función de energía h depende en magnitud y forma funcional de un conjunto específico de coordenadas generalizadas. Para un mismo sistema, se pueden generar varias funciones de energía de diferente contenido físico dependiendo de como sean elegidas las coordenadas generalizadas. El caso más común es aquél en que todos los términos de energía cinética son de 2

2

pi y la energía potencial depende sólo de las coordenadas qi En estas la forma 12 mq i o 2m condiciones, la función de energía es conservada y es también la energía total.

5.9.2.

Conservación del momento lineal y angular

Supóngase que para una determinada coordenada generalizada qj se anulan (lig) la correspondiente fuerza generalizada de ligadura Qj y la correspondiente fuerza U generalizada no proveniente de una energía potencial QN j . Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.432) se tiene que, pj =

@L =0 @qj

(5.447)

que es justamente la definición de Coordenada Cíclica (5.428), por lo tanto, de inmediato se puede establecer el siguiente teorema de conservación general, El momento generalizado conjugado a una coordenada cíclica o ignorable qj se conserva, @L pj = = constante (5.448) @ qj La expresión (5.448) constituye una primera integral de movimiento de la forma (5.435) y puede ser usada formalmente para eliminar la coordenada cíclica del problema, el cual puede ser resuelto completamente en términos de las coordenadas generalizadas restantes. En breves palabras, el procedimiento (debido a Routh) consiste en modificar el Lagrangiano de modo que en vez de ser función de la velocidad generalizada correspondiente a la coordenada cíclica, lo sea sólo de su momento conjugado. La ventaja que se obtiene es la posibilidad de considerar pj como una de SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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5.9. TEOREMAS DE CONSERVACIÓN las constantes de integración, con lo que las integraciones restantes dependen sólo de coordenadas no cíclicas. Téngase presente que las condiciones para que se conserven los momentos generalizados son más generales que los teoremas de conservación del momento lineal y momento angular estudiados en Mecánica Newtoniana. Con suposiciones como: la homogeneidad e isotropía del espacio, la expresión (5.448) se reduce a dichos teoremas como se verá inmediatamente. Conservación del momento lineal La homogeneidad del espacio da lugar a otro teorema de conservación, el del momento lineal. Debido a dicha homogeneidad, las propiedades mecánicas de un sistema aislado no deben variar si dicho sistema, en su conjunto, experimenta un desplazamiento paralelo (traslación) en el espacio. Considérese una coordenada qj , en la que un cambio dqj represente una traslación del sistema en conjunto en una dirección dada. Un ejemplo de este caso podría ser una de las coordenadas Cartesianas del centro de masa del sistema. Es claro que qj no aparecerá en T , pues las velocidades no se alteran al trasladar @T = 0 (homogeneidad del espacio). Se supondrá, además, que se trata el origen y @q j NU de sistemas (Qj = 0) conservativos en los que U no depende de las velocidades, con lo que se eliminarán anomalías tales como las fuerzas electromagnéticas y que la co(lig) rrespondiente fuerza generalizada de ligadura Qj es nula. Por tanto, las ecuaciones de Lagrange (5.77) para una coordenada definida de esta forma serán, ! d @L @L = 0 dt @ q j @qj |{z} =pj por (5.432)

d dt

@L

@ qj

!

= pj

" # d @ (T U ) = pj dt @ qj o, pj =

@U = QUj @qj |{z}

(5.449)

por (2.77)

Ya establecidas las consideraciones adecuadas, se demostrará ahora ahora que: SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 453

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA 1. La expresión (5.449) es la ecuación de movimiento para el momento lineal total, es decir, que Qj representa la componente de la fuerza total a lo largo de la dirección de traslación qj , 2. pj es la componente del momento lineal total en la misma dirección.

Figura (5.22): Cambio del vector de posición debido una traslación del sistema.

En general, la fuerza generalizada Qj , como se vio en la sección 2.8.4 expresión (2.74), viene dada por, N X !U @ ! ri U Qj = Fi @qj i=1 pero como dqj corresponde a una traslación del sistema a lo largo de cierto eje, los vectores ! r i (qj ) y ! r i (qj + dqj ) están relacionados como se puede ver en la figura 5.22. Por definición de derivada, ! r i (qj + dqj ) @! ri = L{m dqj !0 @qj dqj

! r i (qj )

=

donde n b es un versor en la dirección de traslación. Así, ! N X ! ! QUj = F Ui n b=n b F

dqj n b=n b dqj

(5.450)

i=1

que es la componente de la fuerza total en la dirección n b. Para probar la segunda parte, téngase de la forma, 2 1 T = mj r j = 2

en cuenta que con una energía cinética

1 ! mj r j 2

! rj

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Pág.: 454

5.9. TEOREMAS DE CONSERVACIÓN el momento conjugado es, pj =

@L @ qj

=

@ (T

U)

N X

=

@ qj

mi ! ri

@! ri

i=1

N X

=

@ qj

|i=1

mi ! vi {z

@! ri @qj }

Por supresión de puntos

que debido a (5.450) se convierte en, pj = n b

N X i=1

mi ! vi=n b ! p

(5.451)

representando la componente del momento lineal total del sistema en la dirección del versor n b.

Si se supone ahora que la coordenada de traslación qj es cíclica, qj no aparecerá en L (y por ende tampoco en U ) y, por tanto, a partir de (5.449) resulta, pj = QUj = 0

(5.452)

que es precisamente el conocido teorema de conservación del momento lineal en la Mecánica Newtoniana cuyo enunciado afirma que, Si es nula una componente de la fuerza total aplicada, se conserva la correspondiente componente del momento lineal.

Conservación del momento angular La isotropía del espacio da lugar a otro teorema de conservación, el del momento angular. Debido a la isotropía del espacio, un sistema aislado sometido a un cambio de orientación no debería variar su comportamiento dinámico. Procediendo de modo análogo a lo realizado para la conservación del momento lineal, se puede demostrar que si una coordenada cíclica qj es tal que dqj corresponde a un giro del sistema alrededor de cierto eje, la conservación de su momento conjugado corresponde a la conservación de un momento angular. Por el mismo razonamiento utilizado anteriormente, qj no puede estar contenida en T , pues las magnitudes de las velocidades no se alteran al girar el sistema de [email protected] encia (isotorpía del espacio). Por tanto @q = 0, y como U es independiente de q j , se j encuentra nuevamente la expresión (5.449). Se probará ahora que: SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 455

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

Figura (5.23): Variación del vector de posición al rotar.

1. si qj es una coordenada de rotación, la fuerza generalizada (5.449) es la componente del par resultante aplicado alrededor del eje de rotación, 2. pj es la componente del momento angular total respecto al mismo eje. La fuerza generalizada está dada de nuevo por, QUj

N X !U Fi = i=1

@! ri @qj

teniendo la derivada ahora un significado diferente. En este caso el cambio de qj ha de corresponder a un giro infinitesimal del vector ! r i , que deje inalterado su módulo. El módulo de la derivada se obtiene fácilmente a partir de la figura (5.23), jd! r i j = ri Sen dqj y

@! ri = ri Sen @qj y su dirección es perpendicular a ! ri yan b. Esta derivada se expresa también como producto vectorial como sigue, @! ri =n b ! ri @qj

de manera que la fuerza generalizada se convierte en, QUj

N X !U = Fi i=1

(b n

! r i) =

N X i=1

n b

! ri

!U Fi

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Pág.: 456

5.10. TEOREMA DE NOETHER o

N X ! ! Ni = n b N

QUj = n b

(5.453)

i=1

lo que prueba la primera parte.

Ahora, para demostrar la segunda parte, pj =

@L

=

@ qj

= n b

@ (T

U)

=

@ qj N X i=1

N X i=1

! ! Li =n b L

mi ! vi

@! ri X = n b ! ri @qj i=1 N

mi ! vi (5.454)

Si se supone ahora que la coordenada de rotación qj es cíclica, qj no aparecerá en L (y por ende tampoco en U ) y, por tanto, @U = QUj = 0 @qj

(5.455)

que es precisamente el conocido teorema de conservación del momento angular en la Mecánica Newtoniana cuyo enunciado afirma que, Si es nula una componente del torque aplicado en una dirección determinada, la componente del momento angular en la misma dirección será constante.

5.10.

Teorema de Noether

En esta sección se supondrá que se cumplen las ecuaciones de Lagrange (5.77) (lig) U con Qj y QN nulos. j

5.10.1.

Forma simplificada

El Teorema de Noether9 es un resultado central en Física Teórica. Este teorema expresa que cualquier simetría diferenciable, proveniente de un sistema físico, tiene su 9

Amalie Emmy Noether (Erlangen, Baviera, Alemania, 23 de marzo de 1882 – Bryn Mawr, Pensilvania, Estados Unidos, 14 de abril de 1935) fue una matemática, alemana de nacimiento, conocida por sus contribuciones de fundamental importancia en los campos de la Física Teórica y el Algebra Abstracta. Considerada por David Hilbert, Albert Einstein y otros personajes como la mujer más importante en la historia de las matemáticas, revolucionó las teorías de anillos, cuerpos y álgebras. En física, el teorema de Noether explica la conexión fundamental entre la simetría en física y las leyes de conservación. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 457

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA correspondiente ley de conservación. Además de permitir aplicaciones físicas prácticas, este teorema constituye una explicación del por qué existen leyes de conservación y magnitudes físicas que no cambian a lo largo de la evolución temporal de un sistema físico. Considérense las transformaciones continuas de las coordenadas generalizadas dependientes de un parámetro real , qei = fi (e qj ; t; ) = qei (qj ; t; )

(5.456)

donde puede variarse continuamente partiendo de un valor o , tal que cuando = ei = qi . De esta manera se puede pensar que las coordenadas generalizadas o ! fi = q son transformadas desde sus valores originales en forma continua al variar . El Teorema de Noether dice que, Si el Lagrangiano de un sistema L = L qi ; q i ; t es invariante bajo la transformación (5.456), e qei (qi ; t; ) ; qei q i ; t; L

; t = L qi ; q i ; t

indicando que no hay dependencia de , entonces se tiene una cantidad I conservada, o integral primera de movimiento, asociada con dicha simetría por cada parámetro de la transformación. Estas cantidades pueden ser encontradas derivando cada coordenada nueva con respecto al parámetro de la transformación en la vecindad inmediata de la transformación identidad, multiplicándolas por el momento conjugado y sumando sobre los grados de libertad, s X de qj Ii = pj = constante (5.457) d i j=1 i= o

donde los pj son los momentos generalizados o momentos conjugados. En el caso de rotaciones espaciales (s = 3), las cantidades conservadas I1 , I2 e I3 corresponden a ! las componentes Lx , Ly y Lz del momento angular L . A partir de las transformaciones (5.456) se encuentra que las transformaciones de las velocidades generalizadas vienen dadas por, s X @fi @fi qei = fi = qj + @qj @t j=1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.458) Pág.: 458

5.10. TEOREMA DE NOETHER e=L e qei ; qei ; t por lo que al reemplazarlas en el Lagrangiano L

y evaluando en

=

o

se obtiene L = L qi ; q i ; t que coincide con el Lagrangiano original. Demostración: considérese ahora una variación infinitesimal en el entorno de = o que (a valores fijos de las qi ) induce una variación infinitesimal en el Lagrangiano. Esta variación es posible escribirla como, 1 0 s X @L e @e qi @L @ qei A e qei (qi ; t; ) ; qei q i ; t; @ ;t = + L @e q @ @ i i=1 @ qei que al evaluarla en

=

o

queda como, 0 1 s X qi @L @ qei A @ @L @e + L= @qi @ @ qi @ i=1

(5.459) =

o

e = L, qei = qi y qei = q i puesto que la evaluación de la suma se donde se ha hecho L e varía, en general, al variar porque las hace en = o . Nótese que el Lagrangiano L qei varían como lo indican las transformaciones (5.456), aun manteniendo fijas las qi .

El segundo término en el argumento de la sumatoria de (5.459) puede ser escrito como, ! ! @L @ qei d @L @e qi d @L @e qi = (5.460) dt @ q i @ dt @ q i @ @ qi @ por lo tanto, al sustituir este resultado en (5.459) se obtiene, ! ! # " s X qi d @L @e qi d @L @e qi @L @e L = + @qi @ dt @ q i @ dt @ q i @ i=1 2 3 " !# !7 s 6 X 6 @L @L @L d @e q d @e q i i 7 6 7 = + 6 @qi dt 7 @ dt @ @ q @ q 4 5 i=1 i i | {z } =0 por (5.77)

=

d dt

s X @L @e qi @ i=1 @ q i

=

o

!

=

=

o

o

(5.461)

De esta expresión se obtiene un resultado de enorme importancia: si para alguna transformación continua de la forma (??) el Lagrangiano es invariante L = 0 entonces la magnitud, s X @L @e qi I= (5.462) @ i=1 @ q i =

o

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Pág.: 459

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA es una constante de movimiento o primera integral de movimiento. Además, teniendo presente en esta expresión la definición de los momentos generalizados (5.431) y escribiéndola para el i-ésimo parámetro , Ii =

s X

pj

j=1

de qj d i

= constante i= o

que es la expresión (5.457) demostrándose así el teorema. .............................................................................................. EJEMPLO 5.23 Encontrar las cantidades conservadas para un sistema cuyo Lagrangiano es L = L q i , bajo las transformaciones qei = qi + ai (el Lagrangiano dado es obviamente invariante bajo estas transformaciones), donde las ai son constantes arbitrarias. SOLUCION: nótese que para = 0 la transformación dada se convierte en la transformación identidad. De (5.457) y teniendo presente que para este caso i = 1 ya que hay un único parámetro (por lo que se omite el índice), I = =

s X

j=1 s X

pj

de qj d

= =0

s X

pj

j=1

d (qj + aj ) d =0

pj aj = constante

j=1

y como los ai son arbitrarios, deben conservarse independientemente todos los momentos generalizados, @L pj = @ qj .............................................................................................. EJEMPLO 5.24 Encontrar las cantidades conservadas para un sistema cuyo Lagrangiano es L = L qi ; q i si éste no depende de una de las coordenadas generalizadas, qk por ejemplo, o sea que es invariante bajo las transformaciones qei = qi + ik ( ik es la delta de Kronecker). SOLUCION: nótese que para = 0 la transformación dada se convierte en la transformación identidad. De (5.457) y teniendo presente que para este caso i = 1 ya que SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 460

5.10. TEOREMA DE NOETHER hay un único parámetro

(por lo que se omite el índice),

I = =

s X

de qj pj d j=1

s X

pj

jk

= =0

s X

pj

j=1

d (qj + d

jk ) =0

= pk = constante

j=1

conservándose así el momento conjugado a la coordenada qk que no aparece en el Lagrangiano, resultado que ya se conocía de la sección 5.9.2. .............................................................................................. EJEMPLO 5.25 L=L ! r ;! r

Encontrar la cantidad conservada si el Lagrangiano del sistema es invariante bajo una rotación infinitesimal ! r0=! r +d n b ! r.

SOLUCION: nótese que para = 0 la transformación dada se convierte en la transformación identidad. De (5.457) y teniendo presente que para este caso i = 1 ya que hay un único parámetro (por lo que se omite el índice) y que existe un único grado de libertad s = 1, I =

1 X

pj

j=1

= ! pr

de qj d

= p1 =0

n b

! r =! r

d ! d! r0 [ r + d (b n =! pr d d =0 =0 ! ! pr n b= L n b = constante

de q1 d

= pr

! r )]

=0

conservándose así la componente n b del momento angular, como se había visto en la sección 5.9.2. .............................................................................................. EJEMPLO 5.26 Considérese el Lagrangiano, 2 2 1 L = m r + r2 ' 2

U (r)

Muestre que: (a) es invariante bajo la transformaciones re ( ) = r y ' e ( ) = ' + . (b) Utilizando el Teorema de Noether, encontrar la cantidad conservada. SOLUCION: el sistema tiene dos coordenadas generalizadas r y ', por lo tanto tiene s = 2 grados de libertad. Nótese que para = 0 las transformaciones dadas se convierten en la transformación identidad. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 461

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA (a) Al sustituir las transformaciones en el Lagrangiano dado, 2 2 e = 1 m re + re2 ' U (e r) e L 2 ( ) 2 2 1 d e = L m r + r2 (' + ) 2 dt o 2 1 n 2 2 = m r +r ' U (r) 2 que es el Lagrangiano dado.

U (r)

(b) De (5.457), I = =

s=2 X

de qj pj d j=1

=0

@

s=2 X @L de qj = d j=1 @ q j

= =0

@L de r @r d

+ =0

2 2 1 dr m r + r2 ' U (r) d =0 @r 2 2 2 @ 1 d + m r + r2 ' (' + ) U (r) d @' 2

@L d' @' d

=0

=0

2

= mr ' = constante que es la cantidad conservada pedida. .............................................................................................. EJEMPLO 5.27 Considérese el Lagrangiano, 2 2 2 1 L = m r + r2 ' + z U (r; a' + z) 2 Muestre que: (a) es invariante bajo la transformaciones re ( ) = r, ' e ( ) = ' + y ze ( ) = z a. (b) Utilizando el Teorema de Noether, encontrar la cantidad conservada.

SOLUCION: el sistema tiene tres coordenadas generalizadas r, ' y z, por lo tanto tiene s = 3 grados de libertad. Nótese que para = 0 las transformaciones dadas se convierten en la transformación identidad. (a) Al sustituir las transformaciones en el Lagrangiano dado, 2 2 2 e = 1 m re + re2 ' e + ze U (e r; ae ' + ze) L 2 ( 2 2 1 d d = m r + r2 (' + ) + (z 2 dt dt

=

2 2 2 1 m r + r2 ' + z 2

2

a)

)

U [r; a (' + ) + z

a]

U (r; a' + z)

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 462

5.10. TEOREMA DE NOETHER que es el Lagrangiano dado. (b) De (5.457), s=3 X

de qj pj d j=1

I =

=0

s=2 X @L de qj = d j=1 @ q j

@L dz + @ z d =0 2 2 2 @L 1 = m r + r2 ' + z @r 2 @

2

= m r '

2

=0

@L de r @r d

U (r; a' + z)

1 m r + r2 ' + z 2 @' 2 2 2 @ 1 m r + r2 ' + z + @z 2

+

2

=

2

+ =0

dr d

U (r; a' + z)

@L d' @' d

=0

=0

d (' + ) d

d U (r; a' + z) (z d

=0

a) =0

az = constante

que es la cantidad conservada pedida. ..............................................................................................

5.10.2.

Forma más general

En esta sección se presentará una forma más general del Teorema de Noether. El detalle está en que la invariancia del Lagrangiano es, a veces, una condición muy restrictiva. De hecho, un sistema mecánico poseerá una u otra simetría si las ecuaciones de movimiento la tienen, para lo cual basta que la acción sea invariante aunque el Lagrangiano no lo sea (la inversa no es cierta por la posibilidad de las transformaciones de Gauge). Además, para generalizar aún más el tipo de transformación, permítase que se efectúe una transformación continua a la variable de integración de la acción, esto es, del tiempo t de la forma,

tal que para

=

o

e t = fo (qi ; t; ) = e t (qi ; t; )

(5.463)

qei = fi (qi ; t; ) = qei (qi ; t; )

(5.464)

! fo = e t = t y que las coordenadas se transformen como,

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 463

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA Ahora se verá cómo se altera la acción por un cambio infinitesimal de = o , de manera que, ) e t=t+ o qei = qi + i donde,

o (qi ; t) =

@fo @

(qi ; t) =

@fi @

i

= =

o

o

=

=

@e t @

qei @

= =

en el entorno

(5.465)

9 =

o

(5.466)

;

o

en las que, por estar considerándose sólo términos hasta el primer orden en argumentos se han tomado como los qi y t (en lugar de los qei y e t).

, sus

Debe tenerse cuidado con las velocidades transformadas ya que éstas son derivadas de las qei respecto a e t (y no de t), por lo que es posible encontrar a partir de (5.465), de qi de qi dt q + qei = = = i dt de de t t 1+ 1

que al usar el desarrollo (1 + x) qei '

qi +

'1

1

i

qi +

1+

i

(5.467)

o

o

x se puede escribir como,

1

i

=

' qi +

o

i

(5.468)

oqi

donde se han dejado sólo los términos hasta el primer orden en

.

Por otro lado, la acción transformada se escribe en general, Se =

Z

e t2

e t1

e qej ; qej ; e L t de t

(5.469)

en la que los límites de integración e t1 y e t2 son los que corresponden a t1 y t2 en las variables originales. De esta manera, debido al cambio infinitesimal de coordenadas, se induce un cambio infinitesimal en la acción dado por, S = Se

S=

Z

e t2

e t1

e qei ; qei ; e L t de t

Z

t2

(5.470)

L qi ; q i ; t dt

t1

Usando el desarrollo de Taylor para una función de tres variables hasta el primer orden en torno a (a; b; c) dada por, f (x; y; z) ' f (a; b; c) +

@f @x

(x (a;b;c)

a) +

@f @y

(y (a;b;c)

b) +

@f @z

(z

c)

(5.471)

(a;b;c)

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 464

5.10. TEOREMA DE NOETHER e qei ; qei ; t el desarrollo del Lagrangiano L

entorno de

=

o

vendrá dado por, e qei ; qei ; t L

hasta el primer orden respecto a

en el

con,

a = qei

=

o

= qi b = qei

e qi ; q i ; t + ' L +

e @L @e t

(qi ;q i ;t)

s X e @L @e qi i=1

e t

=

o

= qi b = e t

(e qi

qi ) +

=t =

s X e @L

@ qei

i=1

(qi ;q i ;t)

(5.472)

o

t

(qi ;q i ;t)

qei

qi

(5.473)

Ahora, al sustituir las transformaciones (5.465) y (5.468) en (5.473) resulta, e qei ; qei ; t L y como,

( s " X @L + 'L+ i @qi i=1 |

oqi

i

{z

@L @ qi

#

@L + o @t

= L

)

(5.474)

}

0 2 1 3 s X e qi @L @ qei A @L @ t 5 @ @L @e L=4 + + @qi @ @t @ @ qi @ i=1

entonces,

e 'L+ L L

(5.475)

teniendo presente ahora este resultado y que a partir de la primera de las transformaciones (5.465), de t=

1+

o

(5.476)

dt

la variación de la acción (5.470) se puede reescribir hasta el primer orden en (los límites de integración han vuelto a ser t1 y t2 porque la integración es en la variable t), S=

Z

t2

t1

(L + L) 1 +

o

dt

Z

t2

t1

Ldt =

Z

t2

L+L

o

dt

(5.477)

t1

La tarea siguiente es integrar (5.477). En efecto, al sustituir L de (5.474) en (5.477) SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 465

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA resulta, ( s " X @L + i i @q i t1 i=1 Z t2 s Z t2 X @L dt + i @q i t1 t 1 i=1

Z

S = =

t2

s Z t2 X i=1

|

oqi

t1

{z

@L

dt +

@ qi

Integral A: al integrar por partes con10 , u=

@L @ qi

@L @ qi

) du = d

Z |

}

B

) @L + o + L o dt oqi @t @ qi s Z t2 X @L @L dt + dt o i @t t @ q 1 i=1 | {z i } @L

#

A

t2

L o dt {z }

t1

(5.478)

C

dv =

i dt

)v=

i

resulta, Z

A =

t2

@L i

t1

Z

@L

dt =

i

@ qi

t2 i

t1

d dt

t2

@L @ qi

@ qi !

t1

Z

t2 id

t1

@L @ qi

!

@L

=

i

@ qi

t2

t1

(5.479)

dt

Integral B: al integrar por partes con, @L dq i @ qi

u = q i @L ) du = @ qi

+ qid

@L @ qi

dv =

o dt

)v=

o

resulta, B =

Z

t2 oqi

t1

=

=

oqi

oqi

@L @ qi @L @ qi

@L

dt =

@ qi t2

t1 t2

t1

Z

oqi

t2 o

t1

Z

t2

t1

o

" "

@L @ qi

t2

t1

Z

t2 o

t1

"

@L @ qi

@L dq i d dt + q i dt @ q i dt qi

@L @ qi

+ qi

d dt

@L @ qi

dq i + q i d

@L

!

@ qi !#

#

@L @ qi

!#

dt

dt

(5.480)

Integral C: al integrar por partes con,

R 10

udv = uv

R

u = L ) du = dL dv =

o dt

)v=

o

vdu

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 466

5.10. TEOREMA DE NOETHER resulta, Z

C =

L o dt =

t1

=

Z

t2

t2

Z

t2 oL

oL

t2 o

t1

t1

| i=1

o dL

=

oL

t1

" ts1 X

Z

t2

t2

!

o Ldt

t1

t1

@L @L dq i qi + @qi @ q dt {z i

t2

# @L + dt @t }

d L= dt L qi ;q i ;t por regla de la cadena

s Z X

t2

=

oL t1

! @L @L q dt q + @qi i @ q i i

t2

o

t1

i=1

Z

t2

o

t1

@L dt @t

(5.481)

Ahora, al sustituir los resultados (5.479), (5.480) y (5.481) en (5.478) resulta, s Z X

S =

t2

t1

i=1

o

s X

qi

i=1

@ qi

oL

=

s X

o

=

i=1 t1 Z s X t2

@L i

s X i=1

t2

t1

> > > > :

@L i

@ qi

qi

@L @ qi

oqi

@L @ qi

!

+ qi

@L

t1

@ qi

s X

i

i=1

@L @ qi

@ qi

@L @ qi Z

+

oL

t2 #

+

|

d dt

+

@L

!

@L @qi

@ qi {z

=0 por (5.77) t2 #

oL

#

> > > > :

o

"

i

t1

@L @ qi

}

t2

t2

qi

> > > > ;

@L @ qi

!

dt

@L dt @t

@L @qi

| 9 > > > > =

d i dt

dt

t1

8 > > > > s X< Z i=1

t1

!#

t2

t1

i=1

t1

d dt

+ qi

s Z X

t2

@L

! @L @L q dt q + @qi i @ q i i

"

!

qi

o

t1

oqi

@ qi

8 > > > > Z s < t 2 X i=1

"

+

i=1

i=1

+

s X

@L dt + o @t " Z

o

t1

"

t2

t1

t2

@L

t2

+

Z

@L dt + i @qi

9 > > !# > > = d @L dt > dt @ q i > > {z } > ;

=0 por (5.77)

dt

t1

de aquí que,

S=

"

s X @L i=1

@ qi

qi

L

!

o

+

s X @L i=1

@ qi

i

#

t2

(5.482) t1

Como se sabe, la S acción es invariante ante la transformación ( S = 0) y en consecuencia el término entre corchetes debe tener el mismo valor en t1 y en t2 , es decir, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 467

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA debe ser constante ya que t1 y t2 son arbitrarios. De esta manera se obtiene una constante de movimiento o integral primera de movimiento dada por,

I=

s X @L i=1

qi

@ qi

L

!

X @L qei @e t + = constante @ @ @ q = o i=1 i | {z } | {z= }o s

por (5.466)

por (5.466)

y para el i-ésimo parámetro ,

Ii =

s X @L j=1

@ qj

qj

L

!

@e t @ i

i= o

s X @L qej + @ i j=1 @ q j

= constante

(5.483)

i= o

que es el Teorema de Noether en una forma más general. Nótese que si no se hace ningún cambio en t, con lo que la invariancia de S equive = 0 y se reobtiene la (5.457). Si no se hacen cambios ale a la de L, se tiene o = @@ ti de las coordenadas (es decir temporal e t=t+

=

o

i

=

qei @

= 0) y la acción no varía ante una traslación

=

o

(lo que requiere que L no dependa de t), entonces

y resulta la constancia de la energía, E=

s X

pi q i

o

=

@e t @ i

=1 =

o

L

i=1

Sin embargo, en forma mucho más general la acción puede ser invariante ante transformaciones combinadas de las coordenadas y del tiempo, en cuyo caso la utilidad de (5.483) es enorme importancia. Una versión más completa del Teorema de Noether involucra directamente la invariancia de las ecuaciones de movimiento mismas, lo que implica que la acción Se difiere de la S por sólo una Transformación de Gauge. El cambio infinitesimal de la act2

ción será entonces S = "G (qi ; t) , con G una función explícita de las coordenadas y t1

el tiempo. Ahora, usando (5.483) y haciendo " = , ya que cualquier diferencia puede absorberse en la definición de la función G (qi ; t),

I=

s X @L i=1

@ qi

qi

L

!

o

+

s X @L i=1

@ qi

i

+ G = constante

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(5.484)

Pág.: 468

5.11. MECÁNICA LAGRANGIANA VS LA NEWTONIANA

5.11.

Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana

Históricamente, las ecuaciones de movimiento de Lagrange expresadas en coordenadas generalizadas fueron derivadas antes de que el principio de Hamilton fuese enunciado.11 La Mecánica Lagrangiana no constituye una nueva teoría. Los resultados de un análisis Lagrangiano o uno Newtoniano deberían ser los mismos para cualquier sistema mecánico dado. La única diferencia es el método usado para obtener los dichos resultados. Mientras que el punto de vista Newtoniano enfatiza un agente externo que actúa sobre un cuerpo (la fuerza), el método Lagrangiano utiliza sólo cantidades asociadas con el cuerpo (las energía cinética y potencial). De hecho, en ningún lugar de la formulación Lagrangiana entra el concepto de fuerza. Debido a que la energía es un escalar, la función Lagrangiana para un determinado sistema es invariante bajo trasformaciones de coordenadas. En verdad, tales transformaciones no están restringidas a que se den entre sistemas de coordenadas ortogonales, también pueden ser transformaciones entre coordenadas ordinarias y coordenadas generalizadas. De esta manera, es posible pasar del espacio ordinario (donde las ecuaciones de movimiento pueden ser bastante complicadas) a un espacio de configuración que puede ser escogido de tal forma que rinda la máxima simplificación para un problema en particular. Se está acostumbrado a estudiar los sistemas mecánicos en términos de cantidades vectoriales tales como la fuerza, la velocidad, el momento angular, el momento lineal y el torque. Pero en la formulación Lagrangiana, las ecuaciones de movimiento son obtenidas completamente en términos de operaciones escalares en el espacio de configuración. Otro aspecto importante del punto de vista fuerza-versus-energía es que en ciertas situaciones incluso puede no ser posible establecer explícitamente todas las fuerzas actuantes sobre un cuerpo (como es algunas veces el caso de las fuerzas de ligadura), mientras que es aún posible dar expresiones para las energía cinética y potencial. Justamente este hecho es el que hace que el principio de Hamilton sea útil para los sistemas mecánico-cuánticos donde normalmente se conocen las energías pero no las fuerzas. Se ha mostrado que la naturaleza diferencial contenida en las ecuaciones de Newton y la naturaleza integral del principio de Hamilton (y las ecuaciones Lagrangianas 11

En 1788 las ecuaciones de Lagrange y en 1834 el principio de Hamilton. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 469

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA resultantes) son completamente equivalentes. Por lo tanto, no existe distinción entre estos puntos de vista, los cuales están basados en la descripción de los efectos físicos. Pero desde el punto de vista filosófico, se puede hacer una diferencia. En la formulación Newtoniana, cierta fuerza sobre un cuerpo produce un movimiento definido, es decir, siempre se asocia un efecto con una causa. Sin embargo, de acuerdo con el principio de Hamilton el movimiento de un cuerpo resulta del intento de la naturaleza de lograr cierto propósito, el cual es minimizar la integral temporal de la diferencia entre las energías cinética y potencial. La solución operacional de los problemas en la Mecánica no depende de la adopción de uno u otro de estos puntos de vista, pero históricamente tales consideraciones han tenido una profunda influencia en el desarrollo de la misma.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 470

5.12. PROBLEMAS

5.12.

Problemas

1. Una partícula de masa m está obligada a moverse sobre la superficie interna de un cono liso. Ver figura 1, donde es constante. La partícula está sometida a una fuerza gravitacional. Encuentre las fuerzas de ligadura generalizadas.

Problema 1. 2. Un bloque de masa m se desplaza sobre un plano inclinado sin rozamiento (ver figura 2). Encontrar las ecuaciones de movimiento de Lagrange para el referencial mostrado y la aceleración del bloque a lo largo del plano inclinado.

Problema 2. 3. Encuentre las fuerzas de ligadura generalizadas en el problema 2. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 471

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA 4. Una pequeña esfera se desliza sin rozamiento en un alambre liso doblado en forma de cicloide (ver figura 4) cuya ecuación es, x = a( donde 0

Sen ) , y = a (1 + Cos )

2 .

Problema 4. a) Mostrar que la ecuación de movimiento viene dada por, (1

Cos )

+

1 Sen 2

2

g Sen = 0 2a

b) Encuentre las fuerzas de ligadura generalizadas. c) Mostrar que la ecuación de movimiento puede escribirse como, u + !2u = 0 donde ! 2 =

g 4a

y u = Cos ( =2), que es la ecuación del oscilador armónico simple.

5. Mostrar que las ecuaciones de Lagrange, ! @T d @T = Qj dt @ qj @qj vistas en clases, pueden ser escritas en la forma, @T @ qj

2

@T = Qj @qj

que es la llamada forma Nilsen de las ecuaciones de Lagrange. 6. Si L q; q; t es un Lagrangiano para un sistema de n grados de libertad que satisface las ecuaciones de Lagrange, mostrar mediante sustitución directa que, dF (q1 ; q2;::: qn ; t) dt también satisface las ecuaciones de Lagrange, donde F es una función arbitraria y diferenciable. L0 q; q; t = L q; q; t +

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 472

5.12. PROBLEMAS 7. Sean q1 ; q2 ; :::; qn un conjunto de coordenadas generalizadas independientes para un sistema de n grados de libertad, con Lagrangiano L = L q; q; t . Supóngase que transformamos a otro conjunto de coordenadas independientes s1 , s2 , ::: , sn mediante las ecuaciones de transformación, qi = qi (s1 ; s2 ; :::; sn ; t) con i = 1; 2; :::; n. (a este tipo de transformación se le denomina trasformación de punto). Mostrar que si el Lagrangiano es expresado como una función de sj ; sj y t mediante las ecuaciones de transformación, entonces L satisface las ecuaciones de Lagrange con respecto a las coordenadas s, @L

d dt

@ sj

!

@L =0 @sj

En otras palabras, la forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante bajo una transformación puntual. 8. Mostrar que la ecuación de movimiento de una partícula que cae verticalmente bajo la influencia de la gravedad cuando están presentes fuerzas de fricción que se pueden obtener de la función de disipasión 12 kv 2 viene dada por, z =

g

k z m

Integrar la ecuación para obtener la velocidad como una función del tiempo y mostrar que la máxima velocidad posible para una caida desde el reposo es v = mg . k 9. Mostrar que de las ecuaciones de Lagrange para un péndulo plano (ver figura 9) se obtiene, usando coordenadas polares, +

g Sen = 0 `

y, x+

xx

2

`2

x2

+

gx p 2 ` `2

x2 = 0

si se usan coordenadas cartesianas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 473

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

Problema 9. 10. Encuentre las fuerzas de ligadura generalizadas en el problema 9. 11. Obtener las ecuaciones de Lagrange para un péndulo esférico (ver figura 11). Resp.: 2 g d Sen Cos ' + Sen = 0; Sen2 ' = 0 ` dt

Problema 11. 12. Encuentre las fuerzas de ligadura generalizadas en el problema 11.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 474

5.12. PROBLEMAS 13. (a) Mostrar que el Lagrangiano para el péndulo doble mostrado en la figura 13 viene dado por, L =

1 (m1 + m2 ) `21 2 m2 `1 `2

1 2

2

1 2 1 + m2 `2 2

Cos (

2 2

2)

1

+ (m1 + m2 ) g`2 Cos

1

+ m2 g`2 Cos

2

(b) que las ecuaciones de movimiento son, d (m1 + m2 ) `21 dt = d `2 dt

2

1

m2 `1 `2

2

Cos (

(m1 + m2 ) g`2 Sen `1

1

Cos (

1

2)

=

1

2)

1

g Sen

2

y (c) mostrar que si 1 = 0, de tal manera que el soporte para el segundo péndulo se hace fijo, entonces la segunda de estas ecuaciones se reduce a la primera ecuación obtenida en el problema 9.

Problema 13. 14. Encuentre las fuerzas generalizadas de ligadura en el problema 13. 15. Considérese el caso del movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción de la gravedad en dos dimensiones (estudiado en Física I como lanzamiento de un proyectil con ángulo de elevación). Encontrar las ecuaciones de movimiento de Lagrange en: (a) Coordeadas cartesianas y (b) polares. Muestre un diagrama de la situación. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 475

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA 16. El Lagrangiano para un sistema físico particular puede ser escrito como, L0 =

2 2 m ax + 2bxy + cy 2 +cy 2

K ax2 + 2bxy 2

donde a, b y c son constantes arbitrarias pero sujetas a la condición b2

ac 6= 0.

a) Mostrar que las ecuaciones de movimiento vienen dadas por, m ax + by

=

K (ax + by)

m bx + cy

=

K (bx + cy)

b) Examine particularmente los dos casos a = c = 0 y b = 0, c = sistema físico decrito por el anterior Lagrangiano?.

a. ¿Cuál es el

c) Mostrar que el lagrangiano usual para este sistema está relacionado con L0 (ver problema 6) por una trasformación puntual (ver problema 7). d) ¿Cuál es el significado de la condición b2

ac 6= 0?.

17. Dado el sistema mostrado en la figura 17c (no existe rozamiento), a) Tome como coordenadas generalizadas las variables x y s. Muestre que el lagrangiano viene dado por, L =

2 2 2 1 1 M x + m x + s + 2xs Cos 2 2 +mgs Sen

y que, 1 mg Sen (2 ) 2 M + m Sen2 (M + m) g Sen s = M + m Sen2

x =

b) El bloque de masa m parte del reposo respecto al plano inclinado y desde el punto A. Demuestre que el tiempo que tarda la partícula en llegar al punto B viene dado por, s 2` M + m Sen2 t= (M + m) g Sen c) ¿Hay alguna coordenada cíclica?, ¿qué valor tiene su momento conjugado?, ¿se conserva la función de energía h?, ¿es igual a la energía mecánica total?. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 476

5.12. PROBLEMAS

Problema 17. 18. Dos masas m1 y m2 están unidas por una cuerda de longitud ` inextensible y de masa despreciable como se muestra en la figura 18. Encuentre las aceleraciones de los bloques a partir de las ecuaciones de Lagrange, (a) usando ` como coordenada generalizada y (b) usando `1 como coordenada generalizada. No existe rozamiento alguno.

Problema 18. 19. Se tiene un péndulo simple plano cuyo punto de soporte se mueve verticalmente de acuerdo a ys = u (t) , donde u (t) es una función dada del tiempo (ver figura 19c). a) Mostrar que, x = ` Sen , y = u (t)

` Cos

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 477

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA b) Mostrar que el Lagrangiano se puede escribir como, 1 m `2 L = 2 mg (u

2

+ 2u` Sen + u

2

` Cos )

c) Mostrar, a partir de las ecuaciones de Lagrange, que, ! g+u Sen = 0 + `

Problema 19. 20. El sistema mostrado en la figura 20b consta de una masa m sujeta a uno de los extremos de una vara liviana de longitud `. El otro extremo está sujeto a un aro, también liviano, de radio R que gira (en torno a su centro) en un plano con velocidad angular costante !, haciendo que la vara pivotee en el mismo plano. Ignore el campo gravitacional. a) Mostrar que la posición de la masa m viene dada por, x = ` Cos (!t + ) + R Cos (!t) y = ` Sen (!t + ) + Sen (!t) b) Mostrar, a partir de las ecuaciones de Lagrange, que, +

R! 2 `

Sen

=0

que es la ecuación de movimiento de un péndulo simple con g = R! 2 . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 478

5.12. PROBLEMAS

Problema 20. 21. El sistema mostrado en la figura 21b consta de una masa m sujeta a un soporte fijo mediante un resorte de constante de elasticidad k y de longitud `o cuando no está perturbado. La masa m se mueve en un plano fijo. a) Mostrar que el Lagrangiano, en coordenadas Cartesianas, viene dado por, 2 2 1 m x + y + mgy 2 2 1 p 2 k x + y 2 `o 2 y las correspondientes ecuaciones de Lagrange por, ! `o mx = kx 1 p x2 + y 2

L =

m y = mg

p

ky 1

`o

x2 + y 2

!

b) Mostrar que el Lagrangiano, en coordenadas polares, viene dado por, 2 2 1 m r + r2 + mgr Cos 2 1 k (r `o )2 2 y las correspondientes ecuaciones de Lagrange por,

L =

2

m r = mr k (r mr2 + 2mrr

=

+ mg Cos `o )

mgr Sen

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 479

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

Problema 21. 22. Una partícula de masa m describe, en el plano XY , una curva dada por la ecuación y = f (x) cuando está sometida a un potencial U = U (y). Si v0 es la proyección de la velocidad sobre el eje X, se pide: a) Usando las ecuaciones de Lagrange, mostrar que la expresión general del potencial en función de f viene dada por, Z 2 d f (x) 2 U = c mvo dy dx2 donde c es una constante arbitraria. b) Hallar U para el caso particular y =

x 3=2 . a

23. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular de radio R. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, gira alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular !. Para una velocidad angular ! mayor que un cierto valor crítico ! c , la cuenta tiene un punto de equilibrio mecánico estable en una posición dada por un ángulo o respecto de la vertical. Se pide: a) Mostrar que el Lagrangiano viene dado por, 1 L = mR2 2

2

1 + mR2 ! 2 Sen2 2

mgR Cos

donde es el ángulo que forma la posición de la cuenta con el eje vertical de giro, correspondiendo = 0 con la partícula en la posición más baja en el alambre. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 480

5.12. PROBLEMAS b) Usando las ecuaciones de Lagrange mostrar que,

!c = o

r

g R

= Cos

1

g R! 2

c) Mostrar que la ecuación de movimiento para = pequeño, viene dada por, g2 R2 ! 4

+ !2 1

o+

, donde es un parámetro

=0

que es la ecuación de movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor de

o.

24. Considere el caso (ver figura 24c) de un péndulo de masa m y longitud ` sujeto a un bloque de masa despreciable el cual esta sujeto, a la vez, a una pared mediante un resorte de masa despreciable y constante k. El bloque se mueve sin fricción sobre un conjunto de rieles.

a) Mostrar que el Lagrangiano se puede escribir como, 2 1 m x + `2 2 +mg` Cos

L =

2

+ 2`x Cos

1 2 kx 2

b) Mostrar que las ecuaciones de movimiento vienen dadas por, 2

x+

! 21 x

= `

Sen

Cos

,

k m 1 g = x Cos , con ! 22 = ` l

con ! 21 = + ! 22

c) ¿Qué ocurre en las ecuaciones anteriores cuando

= 0 y x = 0?

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Pág.: 481

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

Problema 24. e = L e qi ; q i ; t son dos La25. Demostrar el teorema que dice: "si L = L qi ; q i ; t y L grangianos tales que las ecuaciones de movimiento obtenidas a partir de L sean exe entonces L y L e difieren por la actamente las mismas que las obtenidas a partir de L, derivada total con respecto al tiempo t de alguna función de la forma M = M (qi ; t)". e para luego encontrar cuál debe ser la Hágalo partiendo de dos Lagrangianos L y L condición para que ambos Lagrangianos dejen invariantes las ecuaciones de Lagrange, concluyéndose que será posible cuando se le sume la derivada total con respecto al tiempo t de una función del tipo M (qi ; t). 26. Mostrar que los Lagrangianos unidimensionales, 2

L1 =

q+q

L2 = q 2 + q

2

(a) dan las mismas ecuaciones de movimiento y (b) que su diferencia satisface el teorema del problema 26. Supóngase que la fuerza generalizada no conservativa es QN U para ambos casos. 27. Muéstrese la invariancia de la energía total E como consecuencia de que el Lagrangiano L = L qi ; q i ; t no dependa explícitamente del tiempo t. e para 28. Es posible demostrar el teorema anterior partiendo de dos Lagrangianos L y L luego encontrar cuál debe ser la condición para que ambos Lagrangianos dejen invariantes las ecuaciones de Lagrange, concluyéndose que será posible cuando SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 482

5.12. PROBLEMAS se le sume la derivada total con respecto al tiempo t de una función del tipo M (qi ; t). Se deja como tarea al estudiante.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 483

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 484

CAPÍTULO 6 Mecánica Hamiltoniana

En el capítulo anterior se desarrolló y aplicó, con cierta profundidad, la Mecánica Lagrangiana. En el presente capítulo será desarrollada nuevamente la Mecánica pero mediante una formulación diferente a la Lagrangiana conocida con el nombre de Mecánica Hamiltoniana. Desde el punto de vista físico nada novedoso se va a agregar, eso sí, se va a adquirir un instrumento más potente para lidiar con los principios físicos conocidos. La teoría Hamiltoniana conduce a una comprensión esencial de la estructura formal de la Mecánica. En el siglo XIX, el irlandés William Rowan Hamilton, que había apreciado la potencia y elegancia con que Lagrange había dotado a la Mecánica, emprende el trabajo de sistematización de la óptica, con objeto de someterla a un esquema parecido al de la Mecánica. No sólo consiguió su objetivo, sino que además apreció que los sistemas ópticos y los sistemas mecánicos obedecen a un mismo principio variacional. La concepción sintética de Hamilton produjo una nueva visión de la Mecánica, más intrínseca que la Lagrangiana. La formulación Hamiltoniana, desarrollada posteriormente por Jacobi, Poisson, etc., introdujo de nuevo una geometría en el espacio de fase (del cual se hablará en la sección 6.5) de los sistemas mecánicos, en la que las normas euclídeas tradicionales de los espacios ordinarios se sustituyen por las formas simplécticas, los productos escalares, por los corchetes de Poisson, etc. Gracias al estudio de esta nueva geometría científicos del siglo XX, como Poincaré y Burns, lograron resolver problemas de Mecánica Celeste que habían permanecido sin resolver durante mucho tiempo. La formulación Hamiltoniana tiene como base el estudio de una función denomi485

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA nada Hamiltoniano, en la cual está la información dinámica del sistema mecánico estudiado. Esta formulación fue de básica importancia para la transición desde la Mecánica Clásica a la Mecánica Cuántica a comienzos del siglo XX, principalmente en los modelos de De Broglie, Schrodinger, Heisenberg, etc. Aunque no pueden deducirse las leyes de la Mecánica Cuántica a partir de la formulación clásica Hamiltoniana, el principio de correspondencia1 proporciona información muy valiosa para inferir el Hamiltoniano cuántico a partir del clásico (en ambos casos el Hamiltoniano determina la evolución del sistema).

Contents 6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 6.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

486

6.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

489

6.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . .

492

6.2. Construcción de un Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 6.2.1. Pasos para construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

496

6.2.2. Construcción de un Hamiltoniano para un sistema natural . . . . . . . .

497

6.2.3. Forma práctica de construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

498

6.3. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . 500 6.3.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita 500 6.3.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . . . .

529

6.3.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . .

545

6.4. Ecuaciones de Hamilton a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton557 6.5. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 6.6. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 6.7. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . 576 1

Principio que afirma que una nueva teoría física debe explicar todos los fenómenos explicados por la teoría a la que complementa. Originalmente formulado por el físico danés Niels Bohr, se empleó inicialmente para describir la relación entre la teoría cuántica y la física clásica. En su formulación de la teoría cuántica, Bohr y otros teóricos lo emplearon para guiarse en sus trabajos. Los físicos formularon sus teorías de forma que, en situaciones en las que la física clásica es válida, las ecuaciones utilizadas para la descripción de fenómenos cuánticos correspondieran a las ecuaciones obtenidas por la física clásica. Este principio se cumple en gran parte de la teoría cuántica, y también en otras teorías como la de la relatividad. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 486

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON 6.8. El Método de Routh

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

6.9. Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 6.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

6.1.

Ecuaciones de Hamilton

Visto estrictamente como un problema matemático, la transición desde la formulación Lagrangiana a la Hamiltoniana corresponde a cambiar las variables en las funciones matemáticas desde las qi ; q i ; t a las (qi ; pi ; t), donde las pi están relacionadas con las qi mediante, @L qi ; q i ; t , con i = 1; 2; 3; : : : ; (6.1) pi = @ qi que no son más que los momentos generalizados ya definidos en la sección 5.6.2 mediante la expresión (5.431). En la formulación Hamiltoniana a las cantidades (qi ; pi ) se les da el nombre de Variables Canónicas. El procedimiento para el cambio de variables requerido es proporcionado por una transformación de Legendre (ya estudiada en el capítulo 4), la cual está adaptada para el cambio de variable mencionado antes. La nueva función H = H (qi ; pi ; t) se le da el nombre de Hamiltoniano del sistema y viene dado por la siguiente transformación de Legendre, H (qi ; pi ; t) =

X

q i pi

(6.2)

L qi ; q i ; t

i=1

que no es más que la función de energía h definida en la sección 5.9.1 por la expresión (5.439). En este punto hay que hacer especial énfasis en que (6.2) constituye la forma general de construir un Hamiltoniano, sea el sistema a estudiar conservativo o no. En (6.2) tanto las coordenadas generalizadas qi como el tiempo t actúan como variables pasivas puesto que no sufren cambios por la acción de la transformación. Las SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 487

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA velocidades generalizadas q i son las variables activas (ver sección 4.5 del capítulo 4) ya que si cambian por la acción de la transformación hacia los momentos generalizados pi . Cuando un sistema admite un Hamiltoniano se le denomina Sistema Canónico. Por supuesto, el Hamiltoniano H fue construido de la misma forma (y tiene idéntico valor) que la función de energía h pero son funciones de variables diferentes. Al igual que el Lagrangiano, h es una función de las qi y las q i (y posiblemente t) mientras que, el Hamiltoniano H debe ser siempre expresado como una función de las qi y los pi (y posiblemente t), las cuales son consideradas como variables o coordenadas independientes. Debe hacerse hincapié respecto a esta diferencia en el comportamiento funcional, a pesar de que ambas h y H tienen los mismos valores numéricos. En este contexto a las coordenadas pi suelen denominárseles “Coordenadas de Momento”. A diferencia, el Lagrangiano (como se estudió en el capítulo 5) tiene como variables independientes las coordenadas generalizadas qi y las correspondientes velocidades generalizadas q i . Bajo ciertas condiciones relacionadas con las características del sistema dado y las coordenadas dadas, el Hamiltoniano puede identificarse con la energía mecánica total de dicho sistema como se verá más adelante en la sección 6.2.2.

6.1.1.

Para sistemas sin ligaduras

En este caso todas las = 3N coordenadas generalizadas qj son independientes ya que no existen ligaduras. Puesto que en la trasformación de Legendre las qi son variables pasivas debe cumplirse, como lo muestra la expresión ?? en la sección 4.5, que la suma de las derivadas parciales del Hamiltoniano H (qi ; pi ; t) y el Lagrangiano L qi ; q i ; t con respecto a las qi se anule. Debido a lo anterior se puede escribir que, @H @L + = 0 @qi @qi @H @L = @qi @qi SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.3) Pág.: 488

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON que es también posible obtenerla al derivar parcialmente (6.2) con respecto a las qi . U (fuerzas que no provienen Entonces, al sumarle a ambos miembros la cantidad QN i de potenciales) resulta, @H U + QN i @qi

@L U = + QN i @q | i {z } pi por (5.432)

@H U + QN i @qi

pi =

(6.4)

donde se ha sustituido (5.432) para el caso correspondiente. Estas son las derivadas totales con respecto al tiempo t de los momentos generalizados para el caso de sistemas sin ligaduras.2 Por otro lado, al derivar parcialmente (6.2) con respecto a los momentos generalizados pi resulta, " # @H (qi ; pi ; t) @ X q p j L qi ; q i ; t = @pi @pi j=1 j =

X

qj

X

qj

i=1

=

@pj @pi

ji

@L qi ; q i ; t |

@pi {z

}

=0

i=1

o, qi =

@H @pi

(6.5)

Colocando las expresiones (6.4) y (6.5) en conjunto,

pi = |

qi =

@H @qi @H @pi 2 6 4

U + QN i

)

, con i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N

{z Ecuaciones de Hamilton para sistemas sin ligaduras

3 7 5

(6.6)

}

reciben el nombre de Ecuaciones Canónicas de Hamilton o simplemente Ecuaciones 2

Esto se debe a que la ecuación (5.432), usada para obtener este resultado, es válida cuando se consideran sistemas de este tipo. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 489

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA de Movimiento de Hamilton3 que constituyen un conjunto de 2 ecuaciones de primer orden que reemplazan las ecuaciones de Lagrange de segundo orden, reduciéndose el orden de las ecuaciones pero duplicándose el número de ellas. La segunda mitad de las ecuaciones de Hamilton (6.6) proporcionan las q i como funciones de (qj ; pj ; t), q i = q i (qj ; pj ; t), formando la inversa de las ecuaciones (6.1) que a su vez definen los momentos pi como funciones de qj ; q j ; t , pi = pi qj ; q j ; t . La primera mitad dice lo mismo para los pi . Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial U = 0) las ecuaciones (6.6) se reducen a,

U (QN i

pi = 2 6 4

|

qi =

@H @qi @H @pi

)

, con i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N

(6.7)

{z } 3 Ecuaciones de Hamilton 7 5 U para sistemas sin ligaduras y QN = 0 i

Se verá ahora qué ocurre cuando el Lagrangiano y, en consecuencia, el Hamiltoniano no dependen explícitamente del tiempo t (sistemas autónomos). En la transformación (6.2) t también es una variable pasiva, por lo tanto, también debe cumplirse (al igual que con las qi como se hizo antes) que la suma de las derivadas parciales de H (qi ; pi ; t) y L qi ; q i ; t con respecto t sea nula pudiéndose escribir, @H @L + = 0 @t @t @H @L = @t @t

(6.8)

además, al hacer la derivada total con respeto al tiempo de la función H (qi ; pi ; t) (usando la regla de la cadena) resulta, H= 3

dH X = dt i=1

@H @H @H qi + pi + @qi @pi @t

(6.9)

Estas ecuaciones fueron primeramente obtenidas por Lagrange en el año 1809 y, en este mismo año, Poisson obtuvo unas ecuaciones similares. Sin embargo ninguno de ellos reconoció a éstas como un cojunto básico de ecuaciones de movimiento, habiéndolo hecho por primera vez en 1831, Cauchy. Fue Hamilton en el año 1834 quien obtuvo por primera vez estas ecuaciones a partir de un principio variacional fundamental y convirtiéndolas en la base de una amplia teoría de la dinámica. Así, la designación ecuaciones de Hamilton es totalmente merecida. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 490

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON de manera que al sustituir aquí (6.6) se obtiene, H =

i @H U q + q p pi + QN i i i + i @t

Xh i=1

=

=

X

|i=1

X

q i pi

pi q i +

{z

=0 U QN i qi +

i=1

o,

H=

}

X

U QN i qi +

i=1

@H @t

@H @t

@H X N U + Qi q i @t i=1

(6.10)

@L X N U + Qi q i @t i=1

(6.11)

que por (6.8) también se puede escribir como, H=

En el caso particular de que no existan fuerzas que no provengan de una función U = 0) , de las expresiones (6.10) y (6.11) se concluye que, de energía potencial U (QN i H=

@H = @t

@L @t

(6.12)

que expresa lo siguiente: Si el tiempo no aparece explícitamente en el Lagrangiano o en el Hamiltoniano, es decir, si el sistema es autónomo entonces H =constante. Para estos sistemas H = H (qi ; pi ) = E (como se verá más adelante en la sección 6.2.2) y las ecuaciones (6.7) determinan la evolución del sistema confinado a un sub-espacio (de energía constante) del espacio definido por las qi y los pi , denominado Espacio de Fase, del cual se hablará más adelante en la sección 6.5.

6.1.2.

Para sistemas con ligaduras holónomas

Cuando las ligaduras se usan en forma implícita Al igual que en la sección 5.1.2, cuando las K (h) ligaduras holónomas (ver secciones 2.4.3 y 2.9.1), (h)

fl

(qi ; t) = 0, con i = 1; 2; 3; :::; ; l = 1; 2; 3; :::; K (h)

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.13) Pág.: 491

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA son usadas para reducir el número de coordenadas generalizadas, entonces el sistema considerado pasa de tener 3N coordenadas generalizadas (dependientes + independientes) a = s = 3N K (h) (independientes). Como ya se sabe, la desventanja en este caso radica en que no se obtiene información alguna sobre las fuerzas de ligadura actuantes en el sistema. Ya efectuado el procedimiento de eliminar las coordenadas dependientes entonces las ecuaciones de Hamilton para el sistema serán las mismas (6.6) y (6.7) sólo que ahora i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N K (h) , es decir,

pi = |

2 6 6 6 6 6 4

qi =

@H @qi @H @pi

U + QN i

)

, con j = 1; 2; 3; :::; = 3N

K (h)

(6.14)

{z } 3 Ecuaciones de Hamilton 7 7 para sistemas con ligaduras holónomas usadas 777 5 en forma implícita.

y, pi = 2 6 6 6 6 6 4

|

qi =

@H @qi @H @pi

)

, con j = 1; 2; 3; :::; = 3N

K (h)

{z } Ecuaciones de Hamilton para U =0y sistemas con ligaduras holónomas, QN i donde las ligaduras son usadas en forma implícita.

(6.15) 3 7 7 7 7 7 5

Es obvio que las ecuaciones (6.8) a la (6.12) y su consecuencia final siguen siendo ciertas para este caso.

Cuando las ligaduras se usan en forma explícita Cuando las K (h) ligaduras holónomas (6.13) no son usadas, como en la sección 5.1.2, para reducir las coordenadas generalizadas a sólo aquellas que son independientes sino que son anexadas en forma explícita, entonces el sistema considerado sigue teniendo 3N coordenadas generalizadas (dependientes + independientes). Al sustituir (6.3) en (5.432) para el caso correspondiente y al derivar parcialmente SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 492

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON (6.2) con respecto a los pi resultan respectivamente, pi = |

2 6 6 6 6 6 4

qi =

@H @qi @H @pi

(lig)

+ Qi

U + QN i

)

(6.16)

, con i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N

{z } 3 Ecuaciones de Hamilton 7 7 para sistemas con ligaduras holónomas usadas 777 5 en forma explícita.

donde, (lig) Qi

=

(h) K P

(h)

@fl l @qi

l=1

(6.17)

que son las fuerzas generalizadas de ligadura al igual que en la sección 5.1.2. El conjunto de ecuaciones (6.16) constituyen las ecuaciones de Hamilton para este caso. U = 0 en estas ecuaciones, se reducen a las (6.7) = 0 y QN Nótese que al hacer Qlig i i como era de esperarse. Si se consideran sólo fuerzas provenientes de una función de energía potencial U , las ecuaciones (6.16) se reducen a, pi = 2 6 6 6 6 6 4

|

qi =

@H @qi @H @pi

(lig)

+ Qi

)

, con i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N

{z } Ecuaciones de Hamilton U =0y para sistemas con ligaduras holónomas, QN i donde las ligaduras son usadas en forma explícita.

(6.18) 3 7 7 7 7 7 5

Por otro lado, al sustituir las ecuaciones (6.16) en (6.9) resulta, i @H Xh (lig) U H = pi + Qi + QN q + q p i i i + i @t i=1 =

X

(lig)

Qi

qi +

i=1

o, H=

(h) K X

|l=1

X

U QN i qi +

i=1

l

(t)

X @fl

{zi=1

Por (6.17)

@qi

qi

! }

+

@H @t

X i=1

U QN i qi +

@H @t

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.19)

Pág.: 493

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA y como la derivada total de fl (qi ; t) = 0 con respecto al tiempo t viene dada por, X @fl dfl @fl = qi + =0 dt @qi @t i=1

X @fl i=1

@qi

@fl @t

qi =

(6.20)

entonces (6.19) puede ser escrita como, @H H= @t

(h) K X

l

(t)

l=1

@fl X N U + Qi q i @t i=1

(6.21)

que en virtud de (6.8) finalmente se puede escribir como, H=

@L @t

(h) K X

l

(t)

l=1

@fl X N U + Qi q i @t i=1

(6.22)

Las ecuaciones (6.21) y (6.22) son las equivalentes, para el presente caso, a las ex(h) K P @fl presiones (6.10) y (6.11) y nótese que se reducen a estas últimas cuando l (t) @t = l=1

0.

Si no existen fuerzas que no provengan de una función de energía potencial U U (QN = 0), entonces las ecuaciones (6.21) y (6.22) se pueden escribir como, i @H H= @t

H=

6.1.3.

@L @t

(h) K X

l

(t)

l=1

(h) K X

l=1

l

@fl @t

(6.23)

@fl @t

(6.24)

(t)

Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

Serán consideradas, para este caso, las ligaduras no-holónomas y semi-holónomas del tipo, 8 ( < f (nhd) qk ; q k ; t P K (nh) l = A (q ; t) dq + B (q ; t) dt = 0, con l = 1; 2; 3; :::; lj k j l k : f (shd) qk ; q k ; t K (h) j=1 l 8 (6.25) ( < f (nhD) qk ; q k ; t P K (nh) l = Alj (qk ; t) q j + Bl (qk ; t) = 0, con l = 1; 2; 3; :::; : f (shD) qk ; q k ; t K (h) j=1 l SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 494

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON como se hizo en Mecánica Lagrangiana para el mismo caso en la sección 5.1.3. Al sustituir (6.3) en (5.432) para el caso correspondiente y al derivar parcialmente (6.2) con respecto a los pi resultan respectivamente, pi = |

qi = 2 6 6 6 6 6 4

@H @qi @H @pi

(lig)

+ Qi

)

U + QN i

, con i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N

{z Ecuaciones de Hamilton para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas del tipo (6.25)

3 7 7 7 7 7 5

(6.26)

}

donde, (lig) Qi

=

K (nh) P;K (h)

l Ali

(6.27)

l=1

Aquí, al igual que en la sección 5.1.3, (6.27) representan las fuerzas generalizadasde ligadura. El conjunto de ecuaciones (6.26) constituyen las ecuaciones de Hamilton para NU = 0 en estas ecuaciones, se reducen a este caso. Nótese que al hacer Qlig i = 0 y Qi las (6.7) como era de esperarse. Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial U , las ecuaciones (6.26) se reducen a,

pi = 2 6 6 6 6 6 4

|

qi =

@H @qi @H @pi

(lig)

+ Qi

)

, con i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N

(6.28)

{z } 3 Ecuaciones de Hamilton 7 7 para sistemas con ligaduras no-holónomas 777 5 U y semi-holónomas del tipo (6.25) y QN = 0. i

Por otro lado, al sustituir las ecuaciones (6.26) en (6.9) resulta, H =

Xh

(lig)

pi + Qi

i=1

=

X i=1

(lig)

Qi

qi +

X i=1

i @H U p + QN q + q i i i + i @t

U QN i qi +

@H @t

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 495

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA o, K (nh) ;K (h)

H= |

X

l

l=1

(qi ; t)

X

Ali q i

i=1

{z

! }

Por (6.27)

+

X

U QN i qi +

i=1

@H @t

(6.29)

que al usar (6.25) también puede ser escrita como, @H H= @t

K (nh) ;K (h)

X

l

(qi ; t) Bl (qi ; t) +

X

U QN i qi

(6.30)

i=1

l=1

o finalmente en virtud de (6.8),

H=

@L @t

K (nh) ;K (h)

X

l

(qi ; t) Bl (qi ; t) +

X

U QN i qi

(6.31)

i=1

l=1

Las ecuaciones (6.30) y (6.31) son las equivalentes, para el presente caso, a las exK (nh) P;K (h) presiones (6.10) y (6.11) y nótese que se reducen a estas últimas cuando l (qi ; t) Bl (qi ; t) = l=1

0.

Si no existen fuerzas que no provengan de una función de energía potencial U U = 0), entonces las ecuaciones (6.30) y (6.31) se pueden escribir como, (QN i @H H= @t

H=

@L @t

K (nh) ;K (h)

X

l

(qi ; t) Bl (qi ; t)

(6.32)

(qi ; t) Bl (qi ; t)

(6.33)

l=1

K (nh) ;K (h)

X

l

l=1

A manera de resumen, las ligaduras a ser consideradas y las ecuaciones de Hamilton a ser usadas en el presente texto son las siguientes:

LIGADURAS

Ligaduras Holónomas

8 > < fl (qi ; t) = 0 ! l = 1; 2; 3; :::; K (h) > : i = 1; 2; 3; : : : ; 3N

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.34)

Pág.: 496

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON

Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

8 P > > Ali (qk ; t) dqi + Bl (qk ; t) dt = 0 > > > i=1 > > Forma de diferencial > > > > > > > < P Ali (qk ; t) q i + Bl (qk ; t) = 0 ! i=1 > > Forma de derivada > > > > donde, en ambos casos, > > ( > > (nh) > K , no-holónomas. > > > : l = 1; 2; 3; :::; K (h) , semi-holónomas.

(6.35)

ECUACIONES DE HAMILTON

pi = @H @qi (lig) U + Qi + QN i q i = @H @pi

8 ( > Sin ligaduras > (lig) > Qi = 0 ! > > > i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N > > > > > > > 8 > > > > Ligaduras holónomas > < > > (lig) > Qi = 0 ! > en forma implícita > > > > : 9 > i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N K (h) > > > > = < 8 ! > > > ; > (h) < Ligaduras holónomas en > K (h) P > @fl (lig) > > Qi = ! forma explícita. l @qi > > > > l=1 : > > i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N > > > > > > 8 > > > > > (nh) (h) < Ligaduras no-holónomas > K P ;K > (lig) > > Qi = y semi-holónomas. > l Ali ! > > > l=1 : : i = 1; 2; 3; : : : ; = 3N

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.36)

Pág.: 497

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA

6.2. 6.2.1.

Construcción de un Hamiltoniano Pasos para construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no conservativos

Supóngase que se tiene un sistema al cual se le ha construido el Lagrangiano después de escogido un conjunto de coordenadas generalizadas qi , entonces los pasos generales a seguir para construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no conservativos son los siguientes: 1. Partiendo del Lagrangiano del sistema y mediante (6.1),

pi =

@L qi ; q i ; t @ qi

se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas como funciones de las qi , q i y t. En el caso de estar considerando ligaduras holónomas en forma implícita, el Lagrangiano a utilizar debe ser aquél donde se han eliminado las coordenadas dependientes. 2. A partir de los momentos generalizados encontrados en el paso anterior se despejan las q i como funciones de qi , pi y t. 3. Se usa (6.2), H (qi ; pi ; t) =

X

q i pi

L qi ; q i ; t

i=1

y el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentes para encontrar su correspondiente Hamiltoniano y, en el caso de ser necesario, se contruye el Hamiltoniano considerando las ligaduras a partir de éste último. En este paso obtiene H como una función mixta de las qi , q i pi y t, sin embargo, se necesita que H sea una función sólo de qi , pi y t, por lo cual deben eliminarse las q i . 4. Los resultados del paso 2 se usan ahora para eliminar las q i del Hamiltoniano obtenido en el paso anterior. Con esto se obtiene el Hamiltoniano final sólo como función de qi , pi y t, que es lo requerido. Después de efectuados los pasos anteriores se estará listo para usar las Ecuaciones de Hamilton (6.36) y así encontrar las ecuaciones de movimiento del sistema según sean las características del mismo. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 498

6.2. CONSTRUCCIÓN DE UN HAMILTONIANO

6.2.2.

Construcción de un Hamiltoniano para un sistema natural

Para muchos sistemas físicos es posible acortar los pasos mostrados en la sección anterior. Como se mostró en la sección 5.9.1, en muchos problemas el Lagrangiano es la suma de funciones cada una homogénea en las velocidades generalizadas q i de grado 0, 1 y 2 como lo indica la expresión (5.442). Debido a (6.35), en este caso el Hamiltoniano H viene dado por la expresión,

H=

X i=1

q i pi

h

Lo (qi ; t) + L1 (qi ; t) q l + L2 (qi ; t) q l q m

i

(6.37)

donde Lo es la parte del Lagrangiano que es independiente de las velocidades generalizadas, L1 representa el coeficiente de la parte del Lagrangiano que es homogénea respecto a q i en primer grado y L2 representa el coeficiente de la parte del Lagrangiano que es homogénea respecto a q i en segundo grado. Ahora bien, como para un sistema natural las expresiones que definen las coordenadas generalizadas no dependen explícitamente del tiempo entonces L2 q l q m = T como se mostró con la expresión (2.83) en la sección 5.9 y si, además, las fuerzas son derivables de una función de energía potencial U de un campo conservativo (el trabajo es independiente del camino), entonces Lo = U . Cuando las anteriores condiciones son satisfechas el Hamiltoniano es automáticamente la energía total E del sistema H = E = T + U .

Cuando el sistema objeto de estudio es conservativo el Hamiltoniano del sistema se puede encontrar directamente mediante, T + U} |H = {z

(6.38)

[Para sistemas conservativos]

en vez de usar (6.2).

Luego, se eliminan las q i mediante su despeje a partir de los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas encontrados mediante (6.1). Hay que U hacer énfasis que esto es sólo posible para los sistemas conservativos (QN = 0). i SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 499

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA

6.2.3.

Forma práctica de construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no conservativos

Hay una forma práctica alternativa de obtener el Hamiltoniano a la dada por la expresión (6.2). Esta nueva forma también es general, es decir, sirve tanto para sistemas conservativos como no conservativos.

En muchos casos la eliminación de las velocidades generalizadas q i de la expresión del Hamiltoniano H (pasos 2 y 4 de la sección 6.2.1) es, en realidad, extremadamente sencilla. Sin embargo, en un caso general, la eliminación de las velocidades generalizadas puede resultar algo más engorrosa debido a que la expresión de H puede incluir términos de segundo grado en las velocidades generalizadas. En efecto, de (6.2) y teniendo presente la definición de Lagrangiano (5.18) es posible escribir,

H=

X

q i pi

L=

i=1

X

q i pi

(6.39)

T +U

i=1

y al usar (2.81) para sustituir T ,

H=

X

q i pi

ao +

i=1

X

ai q i +

i=1

X

aij q i q j

i;j=1

!

+U

(6.40)

De esta expresión habrían que eliminar las q i mediante sus expresiones en función de las pi dadas por (6.1) para poder expresar H sólo como función de qi , pi y t. En (6.40) están presentes términos cuadráticos de las q i pudiendo ser, la eliminación de las mismas, un desarrollo bastante engorroso.

El objetivo ahora es encontrar una expresión equivalente, más sencilla, que será lineal en las velocidades q i . Para tal fin se comenzará por desarrollar el primer término de (6.40). En efecto,

X i=1

0

1

2

3

C 6 7 B X B @L C X 6 @ (T U ) 7 X @T C= 6q i 7= Bq i qi q i pi = C 6 7 B @ q @ q 5 i=1 @ q i i=1 4 i=1 @ i A i |{z} | {z } Por (6.1)

(6.41)

Por (5.18)

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 500

6.2. CONSTRUCCIÓN DE UN HAMILTONIANO que al usar (2.81) para sustituir T resulta en, !# " X X X X @ q i pi = qi ao + aj q j + ajk q j q k @ q i=1 i=1 j=1 i j;k=1 " !# X X X @ qj X @ qj @ qk aj qi = + ajk qk + ajk q j @ q i j;k=1 @ qi @ qi j=1 i=1 j;k=1 " !# X X X X = qi aj ji + ajk ji q k + ajk q j ki i=1

j=1

j;k=1

2 0

j;k=1

13

6 B C7 X6 B X X C7 6 B 7 aji q j C = aik q k + 6q i Bai + C7 A5 i=1 4 @ j=1 k=1 | {z } X

=

i=1

o,

"

Términos iguales

X

q i ai + 2

aik q k

k=1

X

q i pi =

i=1

ai q i + 2

i=1

pero, nuevamente de (2.81),

X

X

!#

aik q i q k = T

ao

i=1

y de aquí que,

X

(6.43)

ai q i

i=1

entonces, al sustituir (6.43) en (6.42) resulta, q i pi =

(6.42)

aik q i q k

i;k=1

i;k=1

X

X

X

ai q i + 2 T

i=1

T =

ao

X i=1

ai q i

!

1X q p i + ai q i + ao 2 i=1 i

Por último, al sustituir (6.44) en (6.39), H=

X

q i pi

T +U =

i=1

o finalmente,

X i=1

q i pi

1X q p i + ai q i + ao 2 i=1 i

(6.44) !

+U

1X q p i ai q i ao + U 2 i=1 i {z } | Para sistemas conservativos y no conservativos H=

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.45)

Pág.: 501

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Obsérvese que la eliminación de las velocidades q i resulta más fácil en esta última expresión que en (6.40) pues ya no aparecen términos de segundo grado en la velocidades generalizadas q i . En el caso de un sistema natural, como se sabe, T es homogénea cuadrática en q i (lo que en la práctica es bastante común) por lo que la expresión anterior se simplifica para dar, 1X q pi + U 2 i=1 i | {z } Para sistemas naturales H=

(6.46)

ya que ao = 0 para este tipo de sistemas como se mostró en la sección 2.8.5.

6.3.

Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Hamilton

En las siguientes secciones se mostrarán una serie de ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Hamilton.

6.3.1.

Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita

Los ejemplos siguientes representan sistemas sin ligaduras y sistemas con ligaduras holónomas en los que las ecuaciones de ligadura serán usadas en forma implícita. Pasos a seguir cuando se tienen sistemas sin ligaduras: recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = 3N . 1. Se halla el número de grados de libertad, que es igual al número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema. 2. Se construye el Lagrangiano del sistema. 3. Se construye el Hamiltoniano siguiendo los pasos mostrados en la sección 6.2.1. En el caso de que el sistema considerado sea conservativo, en vez de usar (6.2) en el paso 3 de la mencionada sección, se usará (6.38) para construir el Hamiltoniano. 4. Se encuentran las Ecuaciones de Hamilton (6.36) a partir del Hamiltoniano encontrado en el paso anterior según sean las características del sistema. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 502

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON 5. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Hamilton obtenidas en el paso anterior. Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras holónomas a ser usadas en forma implícita: recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = e = 3N K (h) . 1. Se identifican las ligaduras presentes en el sistema dado.

2. Se halla el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema. 3. Se construye el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentes en el sistema. Luego, a partir de éste, se construye el correspondiente Lagrangiano donde se consideran las ligaduras. 4. Se construye el Hamiltoniano siguiendo los pasos mostrados en la sección 6.2.1. En el caso de que el sistema considerado sea conservativo, en vez de usar (6.2) en el paso 3 de la mencionada sección, se usará (6.38) para construir el Hamiltoniano. Aquí se obtiene el Hamiltoniano con las ligaduras incluidas. 5. Se encuentran las Ecuaciones de Hamilton (6.36) a partir del Hamiltoniano encontrado en el paso anterior según sean las características del sistema. 6. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Hamilton obtenidas en el paso anterior y las ecuaciones de ligadura. Los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas, no pretenden ser reglas de estricto cumplimiento y son introducidos como una guía para ordenar los conocimientos presentados en los siguientes ejemplos. .............................................................................................. EJEMPLO 6.1 Se tiene una partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie de un cilindro definido por x2 + y 2 = R2 . La partícula está sujeta a una fuerza dirigida hacia el origen y proporcional a la distancia de la partícula a dicho origen: ! F = K! r (no existe fricción alguna y no se considera el campo gravitacional). Encontrar las ecuaciones de movimiento de Hamilton y muestre que el movimiento a lo q K largo del eje z es armónico simple con frecuencia ! o = m . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 503

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. La figura 6.1 ilustra lo descrito en el enunciado del ejemplo. Por la obvia simetría del problema serán escogidas coordenadas cilíndricas (r0 ; '; z) para ubicar la partícula de masa m (se ha escrito r0 en vez de ! r para distinguirla del vector de posición ! r y su módulo r en F = K ! r ). Ligaduras: existe K (h) = 1 ligadura holónoma, 8 (h) 0 0 > < r = R ) f1 = r R = 0, que es la ecuación del cilindro en coordenadas cilíndricas y obliga a que el movimiento > : de m sea sobre un cilindro de radio R.

(6.47)

que es esclerónoma.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, entonces el número de grados de liberdad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

(6.48)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

(6.49)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Figura (6.1): Partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie del cilindro x2 + y 2 = R2 .

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 504

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Se construye el Lagrangiano: se hallan la energía potencial total y energía cinética total del sistema. La energía potencial total del sistema es la correspondiente a la ! fuerza F , Z r 1 1 (6.50) U= F dr = Kr2 = K x2 + y 2 + z 2 2 2 0 que en coordenadas cilíndricas se escribe como,

1 U = K r02 + z 2 2

(6.51)

La energía cinética total, en coordenadas cilíndricas, viene dada por, 02 2 2 1 1 T = mv 2 = m r + r02 ' + z 2 2

(6.52)

entonces,

02 2 2 1 1 K r02 + z 2 U = m r + r02 ' + z 2 2 que es el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta la ligadura (6.47).

L=T

(6.53)

Como en este caso se va a usar la ligadura en forma implícita entonces, a este nivel, será empleada para eliminar coordenadas dependientes en el Lagrangiano (6.53). En efecto, al introducir la ligadura (6.47) en (6.53) resulta, 2 2 1 L = m R2 ' + z 2

1 K R2 + z 2 2

(6.54)

observándose que ' es cíclica ya que no aparece explícitamente en el Lagrangiano y, por lo tanto, tampoco va a aparecer en el Hamiltoniano. Nótese que, sin embargo, aparece la correspondiente velocidad '. Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son ', z, y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, p' = pz =

@L @' @L

= mR2 '

(6.55)

= mz

(6.56)

@z

donde se ha usado (6.54). Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar ' y z a partir de (6.55) y (6.56) se obtienen respectivamente, p' mR2 pz z = m

' =

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.57) (6.58) Pág.: 505

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo (el campo de fuerza considerado es central y no existen fuerzas de fricción) y que las ecuaciones de transformación entre las coordenadas Cartesianas y cilíndricas no involucran explícitamente al tiempo, el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). Por lo tanto, al sustituir (6.51) y (6.52) en (6.38) resulta, 02 2 2 1 1 H = T + U = m r + r02 ' + z + K r02 + z 2 2 2

(6.59)

que es el Hamiltoniano del sistema sin haber sustituido la ligadura. Al introducir la ligadura (6.47) en (6.59) resulta, 2 2 1 1 H = m R2 ' + z + K R2 + z 2 2 2

(6.60)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.57) y (6.58) en el Hamiltoniano (6.60) resulta, p2' 1 1 H= + p2z + K R2 + z 2 (6.61) 2 2m R 2 Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento son obtenidas a partir de las Ecuaciones de Hamilton (6.36) resultando, 8 > p' = @H = 0 ) p' = c (c constante) > @' > > < p = @H = Kz z @z (6.62) p' @H > = ' = 2 > @p mR ' > > : z = @H = pz @pz

m

que son las ecuaciones de movimiento Hamilton del sistema dado.

El momento p' (en torno al eje z) conjugado a la coordenada ' se conserva (es una costante de movimiento), ya que esta coordenada es cíclica. Obsérvese que las dos últimas ecuaciones (6.62) son las mismas (6.57) y (6.58) respectivamente. Al despejar p' y pz de las dos últimas ecuaciones (6.62) para sustituirlos en las primeras dos se obtiene, ( c mR2 ' = c ) ' = mR 2 (6.63) m z = Kz ) z + ! 2o z = 0 con ! 2o = K m La primera de las ecuaciones (6.63) indica que la velocidad angular ' es constante y la segunda q indica que el movimiento en la dirección z es armónico simple con frecuencia ! o = K . m SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 506

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON .............................................................................................. EJEMPLO 6.2 Resolver el ejemplo 5.1 por el método Hamiltoniano. SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.1 por (5.84), (5.85) y (5.86) respectivamente, 8 (h) > < z = 0 ) f1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy (h) (6.64) y = x Tg + h ) f2 = y + x Tg h = 0, limita el movimiento > : de m al plano inclinado. s = 1

(6.65)

e = 1

(6.66)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano para este sistema considerando las ligaduras presentes viene dado por (5.91), L=T

2 1 U = mx sec2 2

+ mgx tan

mgh

(6.67)

donde se ha escogido x como coordenada generalizada. Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: la coordenada generalizada es x y el momento conjugado (6.1) a dicha coordenada es entonces, @L px = = mx sec2 (6.68) @x Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar x a partir de (6.68) se obtiene, x=

px Cos2 m

(6.69)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo (el campo de fuerza es central y no existen fuerzas de fricción) y que las coordenadas Cartesianas x y y no involucran explícitamente al tiempo, el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). Por lo tanto, al sustituir (5.87) y (5.88) en (6.38) resulta, 2 2 2 1 H = T + U = m x + y + z + mgy 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.70) Pág.: 507

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA que es el Hamiltoniano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes. Ahora, al usar las ligaduras (6.64) en (6.70) para eliminar las coordenadas y y z resulta, 2 1 H = mx Sec2 2

(6.71)

mgx tan + mgh

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.69) en (6.71) resulta, H=

1 2 p Cos2 2m x

(6.72)

mgx tan + mgh

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento son obtenidas a partir de las Ecuaciones de Hamilton (6.36) resultando, ( px = @H = mg tan @x (6.73) @H x = @px = pmx Cos2 que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton para el sistema dado. Al despejar px de la segunda de las ecuaciones (6.73) y sustituirlo en la primera resulta, (6.74)

x = g Sen Cos

(la expresión para y se halla a partir de la ecuación de la ligadura) que coincide con (5.93) obtenida a partir de las ecuaciones de movimiento de Lagrange. De aquí en adelante los cálculos son idénticos a los realizados en el ejemplo 5.1, obteniéndose que la aceleración a lo largo del plano inclinado es, (6.75)

a = g Sen en coincidencia con (5.95) obtenida a partir de las ecuaciones de Lagrange.

.............................................................................................. EJEMPLO 6.3 Resolver la parte (a) del ejemplo 5.2 por el método Hamiltoniano. SOLUCION: este es un sistema sin ligaduras. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 508

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: no existen ligaduras mientras que los Grados de Libertad y el número mínimo de Coordenadas Generalizadas están dados en el ejemplo 5.2 por (5.97) y (5.98) respectivamente, s = 3

(6.76)

e = 3

(6.77)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema sin ligaduras.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano viene dado por (5.101),

2 2 2 1 U (x; y; z) (6.78) U = m x +y +z 2 Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son x, y, z y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, @L px = = mx (6.79) @x @L py = = my (6.80) @y @L pz = = mz (6.81) @z

L=T

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar x, y y z a partir de las ecuaciones (6.79), (6.80) y (6.81) resulta respectivamente, px x = (6.82) m py y = (6.83) m pz z = (6.84) m Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 2 1 H = T + U = m x + y + z + U (x; y; z) 2 donde se han empleado (5.99) y (5.100).

(6.85)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.82), (6.83) y (6.84) en (6.85) resulta, 1 H= p2 + p2y + p2z + U (x; y; z) (6.86) 2m x SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 509

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), 8 > px = @H = > @x > > > > py = @H = > @y > > < p = @H = z @z @H > x = @px = pmx > > > @H > > y = @p = pmy > y > > : z = @H = pz @pz

@U @x @U @y @U @z

= Fx = Fy = Fz

(6.87)

m

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton del sistema dado. Al despejar px , py y pz de las tres últimas ecuaciones (6.87) para sustituirlos en las tres primeras se obtiene, 8 > < Fx = m x (6.88) Fy = m y > : Fz = m z

en coincidencia con las ecuaciones (5.102) obtenidas a partir de las ecuaciones de movimiento de Lagrange. .............................................................................................. EJEMPLO 6.4 Resolver el ejemplo 5.3 por el método Hamiltoniano.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.3 por (5.114), (5.115) y (5.116) respectivamente, 8 ( (h) > x1 = 0 ) f1 = x1 = 0 > > , fijan el movimiento de M1 sobre el eje y. > (h) > > < ( z1 = 0 ) f2 = z1 = 0 (h) (6.89) x2 = 0 ) f3 = x2 = 0 > , fijan el movimiento de M sobre el eje y. 2 > (h) > z2 = 0 ) f4 = z2 = 0 > > > : (h) y1 + y2 = ` ) f5 = y1 + y2 ` = 0, acopla el movimiento de M1 al de M2 . s = 1

(6.90)

e = 1

(6.91)

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 510

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano ya simplificado con las ligaduras (6.89) viene dado por (5.120), L=

2 1 (M1 + M2 ) y 1 + (M1 2

M2 ) gy1 + M2 g`

(6.92)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: la coordenada generalizada es y1 y el momento conjugado (6.1) a dicha coordenada es, @L = (M1 + M2 ) y 1 (6.93) p y1 = @ y1 Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar y 1 a partir de la ecuación (6.93) resulta, y1 =

p y1 (M1 + M2 )

(6.94)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), H =T +U =

2 2 1 M1 y 1 + M2 y 2 g (M1 y1 + M2 y2 ) {z } |2 {z }|

(6.95)

Por (5.117)

Por (5.118)

donde aún no se han usado las ligaduras para eliminar coordenadas dependientes. Ahora, al usar las ligaduras (6.89) en (6.95) resulta, H=

2 1 (M1 + M2 ) y 1 + (M2 2

M1 ) gy1

M2 g`

(6.96)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.94) en (6.96) resulta, p2y1 H= + (M2 2 (M1 + M2 )

M1 ) gy1

M2 g`

(6.97)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), (

p y1 = y1 =

@H = (M1 @y1 py1 @H = M1 +M @py1 2

M2 ) g

(6.98)

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton del sistema dado. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 511

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Al despejar py1 de la segunda de las ecuaciones (6.98) y sustituirlo en la primera se obtiene, M1 M2 g (6.99) y1 = M1 + M2 (h)

y al derivar dos veces con respecto al tiempo t la ligadura f5 resultado en (6.99) se obtiene, y2 =

M1 M2 M1 + M2

en (6.89) y sustituir el

g

(6.100)

Puede observarse que (6.99) y (6.100) son idénticas, respectivamente, a (5.122) y (5.123) obtenidas a partir de las ecuaciones de movimiento de Lagrange. .............................................................................................. EJEMPLO 6.5 Resolver el ejemplo 5.4 por el método Hamiltoniano. SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.4 por (5.124), (5.125) y (5.126) respectivamente, 8 (h) > < z = 0 ) f1 = z = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy. (h) (6.101) y = x Tg ' ) f2 = y x Tg ' = y x Tg (!t) = 0, fija el movimiento > : de m sobre el alambre giratorio e introduce la rotación del mismo. (h)

donde f1

(h)

es esclerónoma y f2

es reónoma.

s = 1

(6.102)

e = 1

(6.103)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano con las ligaduras incluidas viene dado por (5.133), 2 1 L = m r + r2 !2 (6.104) 2 Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: la coordenada generalizada es r y el momento conjugado (6.1) a dicha coordenada es, @L pr = = mr (6.105) @r SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 512

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar r a partir de la ecuación (6.105) resulta, r=

pr m

(6.106)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 2 2 2 2 1 1 H = T + U = m x + y + z + |{z} 0 = m x +y +z |2 {z } Por (5.127) 2 Por (5.128)

que en coordenadas esféricas queda expresado como, 2 1 H = m r + r2 2

2

2

+ r2 ' Sen2

(6.107)

donde aún no se han usado las ligaduras para eliminar coordenadas dependientes. Ahora, al usar las ligaduras (6.101) en (6.107) resulta, 2 1 H = m r + r2 !2 2

(6.108)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.106) en (6.108) resulta, H=

1 2

p2r + mr2 ! 2 m

(6.109)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), (

pr = @H = @r @H r = @pr = pmr

mr! 2

(6.110)

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton del sistema dado. Al despejar pr de la segunda de las ecuaciones (6.110) y sustituirlo en la primera resulta, r =

r! 2

(6.111)

que es idéntica a (5.134) obtenida por el método de Lagrange. .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 513

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA

EJEMPLO 6.6 Resolver el ejemplo 5.5 por el método Hamiltoniano. SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.5 por (5.135), (5.136) y (5.137) respectivamente, (h)

z = 0 ) f1

= z = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy.

(6.112)

que es esclerónoma. s = 2

(6.113)

e = 2

(6.114)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo. (a) Coordenadas Cartesianas:

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano tomando en cuenta la ligadura presente viene dado por (5.141), L=T

2 2 1 U = m x +y 2

mgy

(6.115)

observándose que x es cíclica. Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son x, y y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, px = py =

@L @x @L

= mx

(6.116)

= my

(6.117)

@y

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar x y x a partir de las ecuaciones (6.116) y (6.117) resulta, px m py y = m

x =

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.118) (6.119) Pág.: 514

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 2 1 H = T + U = m x + y + z + mgy |2 {z } Por|{z} (5.139)

(6.120)

Por (5.138)

donde aun no se han usado la ligadura para eliminar coordenadas. Ahora, al usar la ligadura (6.112) en (6.120), 2 2 1 (6.121) H = m x + y + mgy 2 Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.118) y (6.119) en (6.121) resulta, 1 H= p2x + p2y + mgy (6.122) 2m Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), 8 > px = @H = 0 ) px = constante > @x > > < p = @H = mg y @y @H > = pmx x = > @px > > : y = @H = py @py

(6.123)

m

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton del sistema dado. De la primera de las ecuaciones (6.123) se observa que el momento conjugado a la coordenada x se conserva, consecuencia de que esta coordenada sea cíclica. Al despejar px y py de las dos últimas ecuaciones (6.123) para sustituirlos en las dos primeras resulta, ( x=0 (6.124) y = g que coinciden completamente con las ecuaciones (5.142) obtenidas a partir de las ecuaciones de movimiento de Lagrange. (b) Coordenadas esféricas: Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano incluyendo la ligadura viene dado por (5.147), 2 2 1 L = T U = m r + r2 ' mgr Sen ' (6.125) 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 515

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son r, ' y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, pr = p' =

@L @r @L

= mr

(6.126)

= mr2 '

(6.127)

@'

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar r y ' a partir de las ecuaciones (6.126) y (6.127) resulta, pr m p' ' = mr2 r =

(6.128) (6.129)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 2 1 + mgr Sen Sen ' H = T + U = m r + r2 + r2 ' Sen2 | {z } 2 {z } | por (5.144)

(6.130)

por (5.143)

donde aun no se ha usado la ligadura para eliminar coordenadas. Ahora, al usar la ligadura (6.127) en (6.130) , 2 2 1 H = m r + r2 ' + mgr Sen ' 2

(6.131)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.128) y (6.129) en (6.131) resulta, p2' 1 H= p2r + 2 + mgr Sen ' (6.132) 2m r Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), 8 p2' @H > p = = mg Sen ' > r @r mr3 > > < p = @H = mgr Cos ' ' @' @H > r = @pr = pmr > > > : ' = @H = p' @p'

(6.133)

mr2

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton del sistema dado. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 516

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Al despejar pr y p' de las dos últimas ecuaciones (6.133) para sustituirlos en las dos primeras resulta, ( 2 r' g Sen ' r = 0 (6.134) g Cos ' + 2r' + r ' = 0 que coinciden completamente con las ecuaciones (5.148) obtenidas a partir de las ecuaciones de movimiento de Lagrange. .............................................................................................. EJEMPLO 6.7 Resolver el ejemplo 5.6 por el método Hamiltoniano. SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.6 por (5.149), (5.151) y (5.152) respectivamente, ( (h) r = z Tg ) f1 = r z Tg = 0, haciendo quem se mueva (6.135) sobre la superficie del cono (ecuación del cono). que es esclerónoma y, por lo tanto, el sistema es holónomo esclerónomo. s = 2

(6.136)

e = 2

(6.137)

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano tomando en cuenta la ligadura viene dado por (5.156), 2 2 1 L = m r Csc 2 + r2 ' mgr Ctg (6.138) 2 observándose que ' es cíclica. Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son r, ' y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, pr = p' =

@L @r @L

= mr csc2

(6.139)

= mr2 '

(6.140)

@'

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 517

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar r y ' a partir de las ecuaciones (6.139) y (6.140), pr Sen2 (6.141) r = m p' ' = (6.142) mr2 Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 2 1 H = T + U = m r + r2 ' + z + mgz |2 {z } por|{z} (5.154)

(6.143)

por (5.153)

donde aun no se ha usado la ligadura para eliminar coordenadas. Ahora, al usar la ligadura (6.135) en (6.143) para eliminar la coordenada z resulta, 2 1 H = m r csc2 2

+ r2 '

2

+ mgr cot

(6.144)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.141) y (6.142) en (6.144) resulta, p2' 1 H= p2r Sen2 + 2 + mgr cot (6.145) 2m r Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), 8 p2 > = mr'3 mg cot pr = @H > @r > > < p = @H = 0 ) p = c (c = constante) ' ' @' pr 2 @H > r = @pr = m Sen > > > : ' = @H = p' @p'

(6.146)

mr2

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton del sistema dado. El momento generalizado conjugado a la coordenada ' se conserva, ya que esta coordenada es cíclica. Al despejar pr y p' de las últimas dos ecuaciones (6.146) para sustituirlos en las primeras dos resulta, (

mr2 ' = c (c = constante) 0= r

2

r' Sen2

+ g Sen Cos

(6.147)

que coinciden completamente con las ecuaciones (5.157) obtenidas a partir de las ecuaciones de movimiento de Lagrange. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 518

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON

Figura (6.2): Péndulo esférico de masa pendular m y longitud b.

.............................................................................................. EJEMPLO 6.8 Encuentre las ecuaciones de movimiento de Hamilton para el péndulo esférico de masa pendular m y longitud constante b mostrado en la figura 6.2 de tal manera que el ángulo aparezca en éstas. SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. La figura 6.2 ilustra lo descrito en el enunciado del ejemplo. Por la obvia simetría del problema serán escogidas coordenadas esféricas (r; ; ') para ubicar la partícula de masa m, colocando el origen en el punto de soporte del péndulo como se muestra en la figura 6.3. De esta figura se observa que = y es de hacer notar que esta ecuación no representa una ligadura ya que no es una coordenada en el sistema de coordenadas escogido. Ligaduras: existe K (h) = 1 ligadura holónoma, 8 (h) > < r = b ) f1 = r b = 0, que fija el movimiento de la masa m al punto de soporte del péndulo, manteniéndola a una > : distancia constante b del mismo.

(6.148)

que es esclerónoma. Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, entonces el número de grados de liberdad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

(6.149)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (1)

1=2

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.150) Pág.: 519

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA

Figura (6.3): Coordenadas esféricas de la masa pendular m en un pédulo esférico.

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: la energía cinética total del sistema (en coordenadas esféricas) es, 2 2 2 1 1 T = mv 2 = m r + r2 + r2 Sen2 ' (6.151) 2 2 Por otro lado, la única fuerza que actúa sobre el péndulo es la de gravedad y si se define el origen de potencial en el punto de soporte (y = 0 o = 0) del péndulo, U=

mgy = mgr Cos | {z }

(6.152)

Con y>0

debido a que, en coordenadas esféricas, y = r Cos . Se ha suprimido el signo negativo en mgr Cos ya que esta cantidad será negativa para > 2 reproduciendo así las energías negativas dadas por U = mgy. Es posible cambiar la coordenada ' por el ángulo variable haciendo que éste actúe como coordenada al tener presente que = en (6.151) y (6.152). En efecto, ( ) 2 2 2 1 2 1 d T = mv = m r + r2 ( ) + r2 Sen2 ( )' 2 2 dt 2 1 m r + r2 2 U = mgr Cos (

=

2

+ r2 Sen2 ' )=

2

mgr Cos

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.153) (6.154) Pág.: 520

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Entonces,

2 2 2 1 (6.155) U = m r + r2 + r2 Sen2 ' + mgr Cos 2 que es el Lagrangiano del sistema donde no se ha considerado la ligadura. Al sustituir la ligadura (6.148) en el Lagrangiano (6.155) resulta,

L=T

1 L = mb2 2

2

+ Sen2 '

2

(6.156)

+ mgb Cos

De aquí se observa que las coordenadas generalizadas son coordenada ' es cíclica.

y ', notándose que la

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son , ' y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, p

@L

=

@ @L

p' =

= mb2

(6.157)

= mb2 Sen2 '

(6.158)

@'

donde se ha usado (6.156). Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar y ' a partir de las ecuaciones (6.157) y (6.158) resulta, = ' =

p mb2

(6.159)

p' mb2 Sen2

(6.160)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 2 1 H = T + U = m r + r2 + r2 Sen2 ' +( mgr Cos ) } |2 {z } | por {z (6.154)

(6.161)

por (6.153)

que es el Hamiltoniano del sistema sin considerar la ligadura. Al sustituir la ligadura (6.148) en (6.161) resulta, 1 H = mb2 2

2

+ Sen2 '

2

mgb Cos

(6.162)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.159) y (6.160) en (6.162) se obtiene, p2' 1 2 p + mgb Cos (6.163) H= 2mb2 Sen2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 521

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), 8 p2' Cos @H > = p = mgb Sen > @ mb2 Sen3 > > < p = @H = 0 ) p = c (c = constante) ' ' @' p @H > = @p = mb2 > > > p' : ' = @H = @p'

(6.164)

mb2 Sen2

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton pedidas.

Como ' es cíclica, el momento p' referente al eje de simetría es constante. Al despejar p y p' de las dos últimas ecuaciones (6.164) para sustituirlos en las dos primeras resulta, ( mb2 Sen2 ' = c (c = constante) (6.165) 2 0=b b' Sen Cos + g Sen .............................................................................................. EJEMPLO 6.9 Obtenga las ecuaciones de movimiento de Hamilton para una partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a una fuerza kx (k constante positiva).

Figura (6.4): Partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a una fuerza

Kx.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. La figura 6.4 ilustra lo descrito en el enunciado del ejemplo. Por la obvia simetría del problema serán escogidas coordenadas Cartesianas (x; y; z) para ubicar la partícula de masa m, colocando el origen como se muestra en la mencionada figura. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

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6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, 8 ( (h) > y = 0 ) f1 = y = 0 < , que fijan el movimiento de la partícula (h) z = 0 ) f2 = z = 0 > : de masa m al eje x.

(6.166)

que son esclerónomas.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, entonces el número de grados de liberdad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(6.167)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(6.168)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: la energía cinética total del sistema viene dada por, 2 2 2 1 1 T = mv 2 = m x + y + z 2 2

(6.169)

y la energía potencial total por, 1 U = k x2 + y 2 + z 2 2

(6.170)

ya que la única fuerza que actúa sobre la partícula es kx, donde se ha definido la energía potencial cero en el origen x = 0. Entonces, el Lagrangiano del sistema vendrá dado por, 2 2 2 1 1 L=T U = m x +y +z k x2 + y 2 + z 2 (6.171) 2 2 | {z } | {z } Por (6.169)

Por (6.170)

que es el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras (6.166). Ahora, al tener presentes las ligaduras se reduce a, 2 1 L = mx 2

2 1 2 1 kx = mx 2 2

kx2

(6.172)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: la coordenada generalizada es x y el momento conjugado (6.1) a dicha coordenada es, @L px = = mx (6.173) @x SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 523

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA donde se ha usado (6.172). Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar x a partir de la ecuación (6.173) resulta, x=

px m

(6.174)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 2 1 1 H = T + U = m x + y + z + k x2 + y 2 + z 2 {z } |2 {z } |2 por (6.169)

(6.175)

por (6.170)

que es el Hamiltoniano del sistema sin considerar las ligaduras. Al sustituir las ligaduras (6.166) en (6.175) resulta, 2 2 1 1 1 H = mx + kx2 = mx + kx2 2 2 2

(6.176)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.174) en (6.176) resulta, H=

1 2

p2x + kx2 m

(6.177)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), (

px = @H = @x @H x = @px = pmx

kx

(6.178)

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton pedidas. Al despejar px de la segunda de las ecuaciones (6.178) y sustituirlo en la primera se obtiene, x + ! 2o x = 0 (6.179) con,

K m que es la familiar resultado para el oscilador armónico simple. ! 2o =

(6.180)

.............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 524

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON

Figura (6.5): Partícula de masa m que se mueve en un plano, inmersa en un campo con energía potencial U = U (r)

EJEMPLO 6.10 Obtener las ecuaciones de movimiento de Hamilton para una partícula de masa m que se mueve en el plano xy, inmersa en un campo de energía potencial U = U (r) como muestra la figura 6.5. SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. La figura 6.5 ilustra lo descrito en el enunciado del ejemplo. Por la obvia simetría del problema serán escogidas coordenadas esféricas (r; ; ') para ubicar la partícula de masa m, colocando el origen en el lugar donde está la fuente del campo. Ligaduras: existe K (h) = 1 ligadura holónoma, ( (h) = 2 ) f1 = = 0, que fija el movimiento de la 2 partícula de masa m al plano xy.

(6.181)

que es esclerónoma. Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, entonces el número de grados de liberdad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(6.182)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(6.183)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: la energía potencial total del sistema es, U = U (r)

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.184) Pág.: 525

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA y la energía cinética total viene dada por, 2 1 1 T = mv 2 = m r + r2 2 2

2

2

+ r2 ' Sen2

(6.185)

entonces, L=T

2 1 U = m r + r2 2

2

2

+ r2 ' Sen2

U (r)

(6.186)

que es el Lagrangiano sin tomar en cuenta la ligadura (6.181). Ahora, al tener presente la ligadura se reduce a, 2 1 L = m r + r2 ' U (r) (6.187) 2 observándose que ' es cíclica. Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son r, ' y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, pr = p' =

@L @r @L

= mr

(6.188)

= mr2 '

(6.189)

@'

donde se a usado (6.187). Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar r y ' a partir de las ecuaciones (6.188) y (6.189) se obtiene, pr m p' ' = mr2 r =

(6.190) (6.191)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 2 1 H = T + U = m r + r2 + r2 ' Sen2 + U (r) | {z } 2 | {z } por (6.184)

(6.192)

por (6.185)

que es el Hamiltoniano del sistema sin considerar las ligaduras. Al sustituir las ligadura (6.181) en (6.192) resulta, 2 2 1 H = m r + r2 ' + U (r) (6.193) 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 526

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.190) y (6.191) en (6.193) resulta, p2' 1 2 p + + U (r) (6.194) H= 2m r r2 Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), 8 p2' @U (r) @H > = p = > r @r mr3 @r > > < p = @H = 0 ) p = c (c = constante) ' ' @' @H > r = = pmr > @pr > > : ' = @H = p' @p'

(6.195)

mr2

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton pedidas.

La segunda de las ecuaciones (6.195) indica que el momento conjugado a la coordenada ' (momento angular) es constante o se conserva (el momento angular en un campo central es constante). Al despejar pr y p' de las dos últimas ecuaciones (6.195) y sustituirlos en las dos primeras resulta, ( mr2 ' = c (c = constante) (6.196) 2 0 = m r mr' + Fr con Fr =

@U (r) . @r

.............................................................................................. EJEMPLO 6.11 Encuentre las ecuaciones de movimiento de Hamilton para un péndulo simple de masa pendular m y longitud ` como el mostrado en la figura 6.6. SOLUCION: este es un sistema con ligaduras y se usarán coordenadas cilíndricas (r; '; z) para indicar la posición de la masa pendular m con el origen ubicado como se indica en la figura 6.6. Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, 8 (h) z = 0 ) f1 = z = 0, que fija el movimiento de la masa pendular > > > < al plano xy. (h) > r = 2` Sen ' ) f2 = r 2` Sen ' = 0, que obliga a la masa pendular > > : a moverse describiendo un arco de circunferencia.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.197)

Pág.: 527

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA

Figura (6.6): Péndulo simple de masa pendular m y longitud `.

que son esclerónomas. (h)

La ligadura f2 es fácil de obtener a partir de la figura 6.7. Un trivial an+alisis geométrico del triángulo 4ABC permite escribir, (`

y)2 + x2 = `2

(6.198)

que representa la ecuación del arco de circunferencia descrito por la masa pendular durante su movimiento. Pero en coordenadas cilíndricas, x = r Cos '

(6.199)

y = r Sen '

(6.200)

entonces (6.198) se puede escribir ahora como, (`

r Sen ')2 + (r Cos ')2 = `2

(6.201)

o, (6.202)

r = 2` Sen ' (h)

que es la ligadura f2 . Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas, entonces el número de grados de liberdad es, s = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

(6.203)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas, e = 3N

K (h) = 3 (1)

2=1

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.204) Pág.: 528

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON

Figura (6.7): Coordenadas Cartesianas y cilíndricas para la masa pendular m del péndulo mostrado en la figura 6.6.

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: en coordenadas cilíndricas la energía cinética total del sistema es, 2 2 2 1 1 T = mv 2 = m r + r2 ' + z (6.205) 2 2 y la energía potencial total viene dada por, (6.206)

U = mgy = mgr Sen ' donde se ha usado (6.200). Entonces, L=T

2 2 2 1 U = m r + r2 ' + z 2

mgr Sen '

(6.207)

que es el Lagrangiano del sistema donde no se han considerado las ligaduras (6.197). Ahora, al tener presentes la ligaduras se reduce a, L = 2m` `'

2

g Sen2 '

(6.208)

donde se puede observar que la coordenada generalizada es '. Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: la coordenada generalizada es ' y el momento conjugado (6.1) a dicha coordenada es, @L = 4m`2 ' (6.209) p' = @' SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 529

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar ' a partir de la ecuación (6.209) se obtiene, '=

p' 4m`2

(6.210)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 2 1 H = T + U = m r + r2 ' + z + mgr Sen ' {z } |2 {z } | Por (6.206)

(6.211)

Por (6.205)

que es el Hamiltoniano del sistema sin considerar las ligaduras. Al sustituir las ligaduras (6.197) en (6.211) resulta, 2 H = 2m` `' + g Sen2 ' (6.212) Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.210) en (6.212) resulta, p2' H= + mg` Sen2 ' 2 8m`

(6.213)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), (

p' = '=

@H @' @H @p'

=

=

4mg` Sen ' Cos '

p' 4m`2

(6.214)

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton pedidas. Al despejar p' de la segunda de las ecuaciones (6.214) y sustituirlo en la primera resulta, g (6.215) ' + Sen ' Cos ' = 0 ` La coordenada generalizada usada para describir el sistema fue la coordenada cilíndrica '. Sin embargo, la coordenada ' puede ser cambiada por el ángulo variable , adquiriendo éste estatus de coordenada generalizada del sistema. De los triángulos 4ABC y 4AC0 se deduce que, r ` = (6.216) Cos ' Sen en virtud de que ambos comparten el cateto x. Al sustituir (6.202) en (6.216) resulta, Sen

= 2 Sen ' Cos '

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.217) Pág.: 530

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON que es la ecuación que relaciona ' con . De esta expresión se obtiene que, Sen2 ' =

1 (1 2

Cos )

(6.218)

y al derivar la misma con respecto al tiempo t resulta, '=

1 2

(6.219)

Ahora al sustituir (6.218) y (6.219) en (6.208) y (6.212) se puede escribir, 1 2 2 m` mg` (1 Cos ) 2 1 p2 H = + mg` (1 Cos ) 2 m`2 L =

(6.220) (6.221)

que es el Lagrangiano y el Hamiltoniano del sistema en función ahora de la coordenada generalizada y donde se han tomado encuenta las ligaduras (6.197). Si se parte de (6.220) y (6.221) las ecuaciones de movimiento de Hamilton resultan en, (

p = @H = mg` Sen @ p @H = @p = m` 2

(6.222)

y de aquí,

g Sen = 0 ` que es la familiar ecuación de movimiento para el péndulo. +

(6.223)

..............................................................................................

6.3.2.

Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita

Los ejemplos siguientes representan sistemas holónomos donde las ligaduras serán usadas en forma explícita. Recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = 3N . Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras holónomas a ser usadas en forma explícita: 1. Se identifican las ligaduras presentes en el sistema dado. 2. Se halla el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 531

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA 3. Se construye el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentes en el sistema. 4. Se construye el Hamiltoniano siguiendo los pasos mostrados en la sección 6.2.1. En el caso de que el sistema considerado sea conservativo, en vez de usar (6.2) en el paso 3 de la mencionada sección, se usará (6.38) para construir el Hamiltoniano. Aquí se obtiene el Hamiltoniano sin tomar en cuenta las ligaduras. 5. Se encuentran las Ecuaciones de Hamilton (6.36) a partir del Hamiltoniano encontrado en el paso anterior según sean las características del sistema. 6. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Hamilton obtenidas en el paso anterior y las ecuaciones de ligadura. Al igual que antes, los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas no pretendiendo ser reglas de estricto cumplimiento. .............................................................................................. EJEMPLO 6.12 Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.12 usando el método de Hamilton. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están calculadas, originalmente, en el ejemplo 5.1 (5.84), (5.85) y (5.86) respectivamente ya que el ejemplo 5.12 se basa en éste, 8 (h) > < z = 0 ) f1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy (h) (6.224) y = x Tg + h ) f2 = y + x Tg h = 0, limita el movimiento > : de m al plano inclinado. s = 1

(6.225)

e = 1

(6.226)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras (6.224) viene dado por (5.89), L=T

2 2 2 1 U = m x +y +z 2

mgy

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.227) Pág.: 532

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son x, y, z y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, px = py = pz =

@L @x @L @y @L

= mx

(6.228)

= my

(6.229)

= mz

(6.230)

@z

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar x, y, z a partir de las ecuaciones (6.228) a (6.230) se obtiene, px m py y = m pz z = m

x =

(6.231) (6.232) (6.233)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 2 1 H = T + U = m x + y + z + mgy (6.234) 2 obtenido a partir de la energía cinética (5.87) y la potencial (5.88), en el cual no se han considerado las ligaduras.

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.231) a (6.233) en (6.234) resulta, 1 H= p2x + p2y + p2z + mgy (6.235) 2m Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36), 8 1 2 > px = @H + 1 @f + 2 @f = 2 tan > @x @x @x > > @f1 @f2 @H > > py = @y + 1 @y + 2 @y = mg + 2 > > > < p = @H + @f1 + @f2 = 1 @z 2 @z 1 z @z (6.236) px @H > x = @px = m > > > @H > > y = @p = pmy > y > > : z = @H = pz @pz

m

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 533

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA que son las ecuaciones de Hamilton del sistema dado. Al despejar px , py y pz de las últimas tres ecuaciones (6.236) para sustituirlos en las tres primeras resulta, 8 > < m x = 2 tan (6.237) m y = mg + 2 > : mz = 1

Estas ecuaciones son idénticas a las (5.237), por lo tanto, es de esperarse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en (5.240). .............................................................................................. EJEMPLO 6.13 Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.13 usando el método de Hamilton. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están calculadas, originalmente, en el ejemplo 5.3 (5.114), (5.116) y (5.116) respectivamente ya que el ejemplo 5.13 se basa en éste, 8 ( (h) > x1 = 0 ) f1 = x1 = 0 > > , fijan el movimiento de m1 sobre el eje y. > (h) > > < ( z1 = 0 ) f2 = z1 = 0 (h) x2 = 0 ) f3 = x2 = 0 > , fijan el movimiento de m2 sobre el eje y. > (h) > z2 = 0 ) f4 = z2 = 0 > > > : (h) y1 + y2 = ` ) f5 = y1 + y2 ` = 0, acopla el movimiento de m1 al de m2 .

(6.238)

s = 1

(6.239)

e = 1

(6.240)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras (6.238) viene dado por (5.119), i 2 2 2 2 2 2 1h L= M1 x1 + y 1 + z 1 + M2 x2 + y 2 + z 2 + g (M1 y1 + M2 y2 ) 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.241) Pág.: 534

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, p x1 = p y1 = p z1 = p x2 = p y2 = p z2 =

@L @ x1 @L @ y1 @L @z1 @L @ x2 @L @ y2 @L @z2

= M1 x 1

(6.242)

= M1 y 1

(6.243)

= M1 z 1

(6.244)

= M2 x 2

(6.245)

= M2 y 2

(6.246)

= M2 z 2

(6.247)

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar x1 , y 1 , z 1 , x2 , y 2 , z 2 a partir de las ecuaciones (6.242) a (6.247) se obtiene, p x1 x1 = (6.248) M1 p y1 (6.249) y1 = M1 p z1 (6.250) z1 = M1 p x2 x2 = (6.251) M2 p y2 y2 = (6.252) M2 p z2 z2 = (6.253) M2 Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.118) y la potencial (5.117) el Hamiltoniano sin incluir las ligaduras viene dado por, 2 2 2 2 2 2 1 1 H = T + U = M 1 x 1 + y 1 + z 1 + M2 x 2 + y 2 + z 2 2 2

g (M1 y1 + M2 y2 )

(6.254)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.248) a (6.253) en (6.254) resulta, 1 1 p2x1 + p2y1 + p2z1 + p2 + p2y2 + p2z2 g (M1 y1 + M2 y2 ) (6.255) H= 2M1 2M2 x2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 535

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando, 8 @f1 @f2 @f3 @f4 @f5 @H > px1 = @x + 1 @x + 2 @x + 3 @x + 4 @x + 5 @x = 1 > 1 1 1 1 1 1 > > @f @f @f @f @f > @H > py1 = @y1 + 1 @y11 + 2 @y21 + 3 @y31 + 4 @y41 + 5 @y51 = gM1 + 5 > > > > @H 1 2 3 4 5 > + 1 @f + 2 @f + 3 @f + 4 @f + 5 @f = 2 pz1 = @z > @z1 @z1 @z1 @z1 @z1 1 > > @f1 @f2 @f3 @f4 @f5 > @H > px2 = @x2 + 1 @x2 + 2 @x2 + 3 @x2 + 4 @x2 + 5 @x2 = 3 > > > @f1 @f2 @f3 @f4 @f5 @H > > py2 = @y + 1 @y + 2 @y + 3 @y + 4 @y + 5 @y = gM2 + 5 > 2 2 2 2 2 2 > > @f1 @f2 @f3 @f4 @f5 @H > < pz2 = @z + 1 @z + 2 @z + 3 @z + 4 @z + 5 @z = 4 2 2 2 2 2 2 px1 (6.256) @H x = = 1 > @px1 M1 > > p > @H > = My11 y 1 = @p > y1 > > > p @H > z 1 = @p = Mz11 > > z1 > > p @H > > x2 = @p = Mx22 > x2 > > p > @H > = My22 y 2 = @p > > y2 > > : z 3 = @H = pz2 @pz3

M2

Al despejar px1 , py1 , pz1 , px2 , py2 y pz2 de las últimas seis ecuaciones (6.256) para sustituirlos en las primeras seis resulta, 8 > M1 x 1 = 1 > > > > > M1 y 1 = gM1 + 5 > > > < M z = 1 1 2 (6.257) > M x = 2 2 3 > > > > > M2 y 2 = gM2 + 5 > > > : M z = 2 2 4

Estas ecuaciones son idénticas a las (5.249), por lo tanto, es de esperarse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en (5.252). .............................................................................................. EJEMPLO 6.14

Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.14 usando el método de Hamilton. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están calculadas, originalmente, en el ejemplo 5.9 (5.194), (5.195) y (5.196) respectivamente ya que el ejemplo 5.14 se basa en éste, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 536

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON

(

(h)

z = c (x2 + y 2 ) = cr2 ) f1 = z c (x2 + y 2 ) = z que m se mueva sobre la parábola.

cr2 = 0, haciendo

(6.258)

s = 2

(6.259)

e = 2

(6.260)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano viene dado por (5.200), 2 2 2 1 L = m r + r2 ' + z 2

mgz

(6.261)

en el cual no se ha considerado la ligadura (6.258). Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son r, ', z y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, pr = p' = pz =

@L @r @L @' @L

= mr

(6.262)

= mr2 '

(6.263)

= mz

(6.264)

@z

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar r, ', z a partir de las ecuaciones (6.262) a (6.264) se obtiene, pr m p' ' = mr2 pz z = m r =

(6.265) (6.266) (6.267)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.197) y la potencial (5.198) el Hamiltoniano viene dado por, 2 2 2 1 H = T + U = m x + y + z + mgz 2

(6.268)

donde no se ha usado las ligadura. En coordenadas cilíndricas se escribe como, 2 2 2 1 H = m r + r2 ' + z + mgz 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.269) Pág.: 537

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.265) a (6.267) en (6.269) resulta, H=

1 2m

p2r +

p2' + p2z r2

(6.270)

+ mgz

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando, 8 p2 1 > + 1 @f = mr'3 2cr pr = @H > @r @r > > > 1 > p' = @H + 1 @f =0 > @' @' > > < p = @H + @f1 = mg + 1 @z 1 z @z p @H r > r = @pr = m > > > p' > @H > ' = @p = mr 2 > ' > > : z = @H = pz @pz

1

(6.271)

m

Al despejar pr , p' y pz de las últimas tres ecuaciones (6.271) para sustituirlos en las tres primeras resulta, 8 2 > < m r mr' = 2cr 1 (6.272) 2r' + r ' = 0 > : m z + mg = 1

Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.259), por lo tanto, es de esperarse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en (5.263) con r = R y ' = !.

..............................................................................................

EJEMPLO 6.15 Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.15 usando el método de Hamilton.

SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están calculadas en el ejemplo 5.15 (5.264), (5.274) y (5.275) SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 538

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON respectivamente, 8 (h) > zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, que limita el movimiento del disco al plano xy > > > > > = 0 ) f2(h) = = 0, no hay rotación en torno al eje x. > > > (h) > > < = 0 ) f3 = = 0, no hay rotación en torno al eje y. (h) (xcm R Sen ) Sec = R ) f4 = (xcm R Sen ) Sec R = 0, hay > > > rotación en torno al eje z. > > > > > ycm = xcm Tg + R Sec + ` Sen ) f5(h) = ycm + xcm Tg R Sec ` Sen > > > : que limita el movimiento del disco a la superficie del plano inclinado.

= 0, (6.273)

que son esclerónomas.

s = 1

(6.274)

e = 1

(6.275)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin ligaduras incluidas viene dado por (5.278), L=T

2 2 2 1 1 U = M xcm + y cm + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2

M gycm

(6.276)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son xcm , ycm , zcm , , , y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, (6.277)

= M y cm

(6.278)

= M z cm @ z cm @L = =I @ @L = =I @ @L = =I @

(6.279)

pycm = pzcm = p p p

@L

= M xcm

pxcm =

@ xcm @L @ y cm @L

(6.280) (6.281) (6.282)

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar xcm , y cm , z cm , , ,

a partir de las ecuaciones (6.277) a (6.282) se

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 539

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA obtiene, xcm = y cm = z cm = = = =

pxcm M pycm M pzcm M p I p I p I

(6.283) (6.284) (6.285) (6.286) (6.287) (6.288)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.276) y la potencial (5.277) el Hamiltoniano viene dado por, 2 2 2 1 1 H = T + U = M xcm + y cm + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2

+ M gycm

(6.289)

sin haber usado las ligaduras. Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.283) a (6.288) en (6.289) resulta, p2 1 p2 1 p2 H= p2xcm + p2ycm + p2zcm + + + + M gycm (6.290) 2M 2 I I I Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando, 8 @f1 @f2 @f3 @f4 @f5 > pxcm = @[email protected] + 1 @x + 2 @x + 3 @x + 4 @x + 5 @x = 4 Sec + 5 Tg > > cm cm cm cm cm cm > > @f1 @f2 @f3 @f4 @f5 @H > pycm = @ycm + 1 @ycm + 2 @ycm + 3 @ycm + 4 @ycm + 5 @ycm = M g + 5 > > > > 1 2 3 4 5 > pzcm = @[email protected] + 1 @[email protected] + 2 @[email protected] + 3 @[email protected] + 4 @[email protected] + 5 @[email protected] = 1 > > cm > > @f1 @f2 @f3 @f4 @f5 @H > p = @ + [email protected] + [email protected] + [email protected] + [email protected] + [email protected] = 2 > > > > 1 2 3 4 5 > p = @H + 1 @f + 2 @f + 3 @f + 4 @f + 5 @f = 3 > @ @ @ @ @ @ > > > @f @f @f @f @f < p = @H + [email protected] + [email protected] + [email protected] + [email protected] + [email protected] = 4R @ pxcm (6.291) @H xcm = @px = M > > cm > > > y cm = @[email protected] = pyMcm > ycm > > > > z cm = @[email protected] = pzMcm > > z cm > > @H > = @p = pI > > > > > p @H > = @p = I > > > > : = @H = p @p

I

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 540

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Al despejar pxcm , pycm , pzcm , p , p , p tuirlos en las primeras seis resulta, 8 > M x cm > > > > > > M y cm > > < M z cm > I = > > > > > I = > > > : I =

de las últimas seis ecuaciones (6.291) para susti-

= = =

Sec + Mg + 5

4

5

Tg

1

(6.292)

2 3 4R

Estas ecuaciones son idénticas a las (5.282), por lo tanto, es de esperarse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en (5.288). .............................................................................................. EJEMPLO 6.16

Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.16 usando el método de Hamilton. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades están calculadas, originalmente, en el ejemplo 5.11 (5.218), (5.220) y (5.221) respectivamente ya que el ejemplo 5.16 se basa en éste, 8 (h) > zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, que limita el movimiento del disco al plano xy > > > (h) > > = 0 ) f2 = = 0, no hay rotación en torno al eje x. > > > (h) > > < = 0 ) f3 = = 0, no hay rotación en torno al eje y. (h) (6.293) (R2 R1 ) = R1 ) f4 = (R2 R1 ) R1 = 0, hay rotación en torno > > > al eje z. > > > (h) > > R = R2 R1 ) f5 = R R2 + R1 = 0, que limita el movimiento del disco > > > : a la superficie semicircular. s = 1

(6.294)

e = 1

(6.295)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin incluir las ligaduras viene dado por (5.224), L=T

1 U= M 2

2

R + R2

2

2

+ z cm

+

1 2

I

2

2

+I

2

+I

+ M gR Cos

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.296) Pág.: 541

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son R, , zcm , , , y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, pR = p

=

pzcm =

@L @R @L

= MR

(6.297)

= M R2

(6.298)

@ @L

(6.299)

= M z cm @ z cm @L = =I @ @L = =I @ @L = =I @

p p p

(6.300) (6.301) (6.302)

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar R, , z cm , , ,

a partir de las ecuaciones (6.297) a (6.302) se obtiene, R = = z cm = = = =

pR M p M R2 pzcm M p I p I p I

(6.303) (6.304) (6.305) (6.306) (6.307) (6.308)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.222) y la potencial (5.223) el Hamiltoniano sin incluir las ligaduras viene dado por, 1 H =T +U = M 2

2

R + R2

2

2

+ z cm

+

1 2

I

2

2

+I

2

+I

M gR Cos

(6.309)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.303) a (6.308) en (6.309) resulta, p2 p2 p2 1 p2 1 H= p2R + 2 + p2zcm + + + M gR Cos (6.310) 2M R 2 I I I SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 542

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando, 8 2 1 2 3 4 5 + 1 @f + 2 @f + 3 @f + 4 @f + 5 @f = MpR3 + M g Cos + 5 pR = @H > > @R @R @R @R @R @R > > 1 2 3 4 5 > p = @H + 1 @f + 2 @f + 3 @f + 4 @f + 5 @f = M gR Sen + 4 (R2 R1 ) > @ @ @ @ @ @ > > > @f @f @f @f @H 1 2 3 4 5 > + 2 @zcm + 3 @zcm + 4 @zcm + 5 @[email protected] = 1 pzcm = @zcm + 1 @zcm > > > > @f1 @f2 @f3 @f4 @f5 @H > p = @ + [email protected] + [email protected] + [email protected] + [email protected] + [email protected] = 2 > > > > 1 2 3 4 5 > + 1 @f + 2 @f + 3 @f + 4 @f + 5 @f = 3 p = @H > @ @ @ @ @ @ > > > @f @f @f @f @f @H > < p = @ + [email protected] + [email protected] + [email protected] + [email protected] + [email protected] = 4 R1 (6.311) @H = pMR R = @p > R > > > @H > = MpR2 = @p > > > pzcm > @H > > > z cm = @pzcm = M > > @H > = @p = pI > > > > p > @H > = @p = I > > > > p : @H = @p = I

Al despejar pR , p , pzcm , p , p , p de las últimas seis ecuaciones (6.311) para sustituirlos en las primeras seis resulta, 8 2 > M R = M R + M g Cos + 5 > > > > > > M R2 + 2M RR = M gR Sen + 4 (R2 R1 ) > > > < Mz = cm 1 (6.312) > I = 2 > > > > > > I = 3 > > > : I = 4 R1

Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.297), por lo tanto, es de esperarse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en (5.307). .............................................................................................. EJEMPLO 6.17

Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.17 usando el método de Hamilton. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades fueron calculadas en el ejemplo 5.17 (5.309), (5.310) y (5.311) SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 543

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA respectivamente,

(

(h)

z = 0 ) f1 = z = 0 (h) r = a ) f2 = r a = 0

(6.313)

que son holónomas esclerónomas. s = 1

(6.314)

e = 1

(6.315)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano en coordenadas cilíndricas y sin ligaduras incluidas viene dado por (5.315), 2 2 2 1 L = m r + r2 ' + z 2

mgr Sen '

(6.316)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son r, ', z y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, pr = p' = pz =

@L @r @L @' @L

= mr

(6.317)

= mr2 '

(6.318)

= mz

(6.319)

@z

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar r, ', z a partir de las ecuaciones (6.317) a (6.319) se obtiene, pr m p' ' = mr2 pz z = m r =

(6.320) (6.321) (6.322)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.312) y la potencial (5.313) el Hamiltoniano en coordenadas Cartesianas y sin incluir las ligaduras viene dado por, 2 2 2 1 H = T + U = m x + y + z + mgy (6.323) 2 que en coordenadas cilíndricas se escribe como, 2 2 2 1 H = m r + r2 ' + z + mgr Sen ' 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.324) Pág.: 544

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.320) a (6.322) en (6.324) resulta, p2' 1 p2r + 2 + p2z + mgr Sen ' H= (6.325) 2m r Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando, 8 1 > + 1 @f + pr = @H > @r @r > > @f > @H 1 > p' = @' + 1 @' + > > > < p = @H + @f1 + 1 @z z @z p @H r > r = @pr = m > > > p' > @H > ' = @p = mr 2 > ' > > : z = @H = pz @pz

@f2 2 @r @f2 2 @' @f2 2 @z

p2

= mr'3 mg Sen ' + = mgr Cos ' =

2

1

(6.326)

m

Al despejar pr , p' , pz de las últimas tres ecuaciones (6.326) para sustituirlos en las primeras tres resulta, 8 2 > mg Sen ' + 2 < m r = mr' (6.327) r ' + 2r' = g Cos ' > : mz = 1

Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.318), por lo tanto, es de esperarse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en (5.325). .............................................................................................. EJEMPLO 6.18

Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.18 usando el método de Hamilton. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: todas estas cantidades fueron calculadas en el ejemplo 5.18 (5.328), (5.329) y (5.330) respectivamente, 8 (h) > < z = 0 ) f1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy (h) (6.328) y = x Tg + h (t) ) f2 = y x Tg h (t) = 0, limita el movimiento > : de m a la superficie del plano inclinado móvil. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 545

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA (h)

donde f1

(h)

es holónoma esclerónoma y f2

es holónoma reónoma.

s = 1

(6.329)

e = 1

(6.330)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin incluir las ligaduras viene dado por (5.333), 2 2 2 1 L=T U = m x +y +z mgy (6.331) 2 Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son x, y, z y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, px = py = pz =

@L @x @L @y @L

= mx

(6.332)

= my

(6.333)

= mz

(6.334)

@z

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar x, y, z a partir de las ecuaciones (6.332) a (6.334) se obtiene, px m py y = m pz z = m

x =

(6.335) (6.336) (6.337)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.332) y la potencial (5.333) el Hamiltoniano viene dado por, 2 2 2 1 H = T + U = m x + y + z + mgy 2

(6.338)

en el cual no se ha hecho uso de las ligaduras. Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.335) a (6.337) en (6.338) resulta, 1 H= p2 + p2y + p2y + mgy (6.339) 2m x SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 546

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando, 8 > + px = @H > @x > > @H > > py = @y + > > > < p = @H + z @z @H > x = = pmx > @px > > py @H > > > y = @py = m > > : z = @H = pz @pz

@f1 1 @x @f1 1 @y @f1 1 @z

+ + +

@f2 2 @x @f2 2 @y @f2 2 @z

= = =

Tg mg + 2

2

1

(6.340)

m

Al despejar px , py , pz de las tres últimas ecuaciones (6.340) para sustituirlos en las tres primeras resulta, 8 > 2 Tg < mx = (6.341) m y + mg = 2 > : mz = 1

Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.336), por lo tanto, es de esperarse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en (5.339). ..............................................................................................

6.3.3.

Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

Los ejemplos siguientes representan sistemas con ligaduras holónomas escritas en la forma semi-holónoma y con ligaduras no-holónomas. Las ligaduras semi-holónomas no serán integradas por lo que se emplearán en forma explícita. Recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = 3N . Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras semi-holónomas y noholónomas del tipo: 1. Se identifican las ligaduras presentes en el sistema dado. 2. Se halla el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 547

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA 3. Se hallan los coeficientes Alj al comparar las ligaduras identificadas en el paso 1 mediante su comparación con, 8 8 < f (nhd) qk ; q k ; t > > l > > > > : f (shd) qk ; q k ; t > > l <

8 > > > < f (nhD) qk ; q k ; t > > l > > > : : f (shD) q ; q ; t k k l

=

P

Alj (qk ; t) dqj + Bl (qk ; t) dt = 0, con l = 1; 2; 3; :::;

j=1

=

P

Alj (qk ; t) q j + Bl (qk ; t) = 0, con l = 1; 2; 3; :::;

j=1

(

(

K (nh) K (h)

K (nh) K (h)

en la forma que corresponda. 4. Se construye el Lagrangiano del sistema. 5. Se construye el Hamiltoniano siguiendo los pasos mostrados en la sección 6.2.1. En el caso de que el sistema considerado sea conservativo, en vez de usar (6.2) en el paso 3 de la mencionada sección, se usará (6.38) para construir el Hamiltoniano. 6. Se encuentran las Ecuaciones de Hamilton (6.36) a partir del Hamiltoniano encontrado en el paso anterior según sean las características del sistema. 7. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Hamilton obtenidas en el paso anterior y las ecuaciones de ligadura. Las ligaduras en los sistemas holónomos o las ligaduras holónomas en aquellos sistemas no-holónomos donde existan ligaduras holónomas y noholónomas, pueden ser convertidas a la forma semi-holónoma al hallar su diferencial total (ligadura semi-holónoma en forma diferencial) o al derivarlas con respecto al tiempo t (ligadura semi-holónoma en forma de derivada o de velocidad) y así aplicar el presente esquema. Al igual que antes, los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas no pretendiendo ser reglas de estricto cumplimiento. .............................................................................................. EJEMPLO 6.19 Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.19 usando el método de Hamilton. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 548

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad, número mínimo de Coordenadas Generalizadas y coeficientes A`i : todas estas cantidades están en el ejemplo 5.19 (5.341), (5.342), (5.342), (5.344) y (5.345) respectivamente. Observar (5.264), (5.274) y (5.275) ya que el ejemplo 5.19 se basa en el ejemplo 5.15. Las ligaduras, Grados de Libertad, número mínimo de Coordenadas Generalizadas y los coeficientes A`i vienen dados por, 8 (shD) z cm = 0 ) f1 = z cm = 0 > > > (shD) > > = =0 > < = 0 ) f2 (shD)

= 0 ) f3 = =0 > > (shD) > > xcm Sec = R ) f4 = xcm Sec R =0 > > : (shD) y cm = xcm Tg ) f5 = y cm + xcm Tg = 0

(6.342)

s = 1

(6.343)

e = 1

(6.344)

siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo. 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > :

A11 A14 A21 A24 A31 A34 A41 A44 A51 A54

=0 =0 =0 =1 =0 =0 = Sec =0 = Tg =0

A12 A15 A22 A25 A32 A35 A42 A45 A52 A55

con q1 = xcm , q2 = ycm , q3 = zcm , q4 = , q5 =

=0 =0 =0 =0 =0 =1 =0 =0 =1 =0

A13 A16 A23 A26 A33 A36 A43 A46 A53 A56

=1 =0 =0 =0 =0 =0 =0 = R =0 =0

y q6 = .

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > > =

(6.345)

> > > > > > > > > > > > > > > > > > ;

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin considerar ligaduras viene dado por (5.278), L=T

2 2 2 1 1 U = M xcm + y cm + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2

M gycm

(6.346)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son xcm , ycm , zcm , , , y los momentos conjuSOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 549

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA gados (6.1) a dichas coordenadas son, (6.347)

= M y cm

(6.348)

= M z cm @ z cm @L = =I @ @L = =I @ @L = =I @

(6.349)

pycm = pzcm = p p p

@L

= M xcm

pxcm =

@ xcm @L @ y cm @L

(6.350) (6.351) (6.352)

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar xcm , y cm , z cm , , , obtiene,

a partir de las ecuaciones (6.347) a (6.352) se

xcm = y cm = z cm = = = =

pxcm M pycm M pzcm M p I p I p I

(6.353) (6.354) (6.355) (6.356) (6.357) (6.358)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.276) y la potencial (5.277) el Hamiltoniano viene dado por, 2 2 2 1 1 H = T + U = M xcm + y cm + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2

+ M gycm

(6.359)

sin haber usado ligaduras. Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.353) a (6.358) en (6.359) resulta, p2 1 1 p2 p2 p2xcm + p2ycm + p2zcm + + + + M gycm (6.360) H= 2M 2 I I I SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 550

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando, 8 @H > > > pxcm = @xcm + 1 A11 + 2 A21 + 3 A31 + 4 A41 + 5 A51 = 4 Sec + 5 Tg > > > pycm = @[email protected] + 1 A12 + 2 A22 + 3 A32 + 4 A42 + 5 A52 = 5 > > cm > > @H > pzcm = @zcm + 1 A13 + 2 A23 + 3 A33 + 4 A43 + 5 A53 = 1 > > > > > p = @H + 1 A14 + 2 A24 + 3 A34 + 4 A44 + 5 A54 = 2 > @ > > > @H > > > p = @ + 1 A15 + 2 A25 + 3 A35 + 4 A45 + 5 A55 = 3 > > < p = @H + 1 A16 + 2 A26 + 3 A36 + 4 A46 + 5 A56 = 4R @ pxcm (6.361) @H xcm = @px = M > > cm > > > = pyMcm y cm = @[email protected] > ycm > > > > = pzMcm > z cm = @[email protected] > zcm > > @H > = @p = pI > > > > > p @H > = @p = I > > > > : = @H = p @p

I

Al despejar pxcm , pycm , pzcm , p , p , p de las últimas seis ecuaciones (6.361) para sustituirlos en las primeras seis resulta, 8 > M x cm = 4 Sec + 5 Tg > > > > > M y cm + M g = 5 > > > < M z cm = 1 (6.362) > I = 2 > > > > > I = 3 > > > : I = 4R

Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.349), por lo tanto, es de esperarse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en el ejemplo 5.19 y, por ende, en el 5.15. .............................................................................................. EJEMPLO 6.20

Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.20 usando el método de Hamilton. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad, número mínimo de Coordenadas Generalizadas y coeficientes A`i : todas estas cantidades están en el ejemplo 5.20 (5.351), (5.352), SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 551

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA (5.353), (5.354) y (5.355) respectivamente, 8 (shD) z cm = 0 ) f1 = z cm = 0 > > > (shD) > < = 0 ) f2 = =0

(6.363)

(nhD) > xcm = R Sen ) f3 = xcm + R Sen =0 > > > : (nhD) y cm = R Cos ) f4 = y cm R Cos =0

8 > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > :

A11 A14 A21 A24 A31 A34 A41 A44

=0 =0 =0 =1 =1 =0 =0 =0

A12 A15 A22 A25 A32 A35 A42 A45

s = 2

(6.364)

e = 4

(6.365)

=0 =0 =0 =0 =0 = R Sen =1 = R Cos

con q1 = xcm , q2 = ycm , q3 = zcm , q4 = , q5 =

A13 A16 A23 A26 A33 A36 A43 A46

=1 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0

y q6 = .

9 > > > > > > > > > > > > > =

(6.366)

> > > > > > > > > > > > > ;

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin usar ligaduras viene dado por (5.358), L=T

2 2 2 1 1 U = M xcm + y cm + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2

M gzcm

(6.367)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son xcm , ycm , zcm , , , y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, (6.368)

= M y cm

(6.369)

= M z cm @ z cm @L = =I @ @L = =I @ @L = =I @

(6.370)

pycm = pzcm = p p p

@L

= M xcm

pxcm =

@ xcm @L @ y cm @L

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

(6.371) (6.372) (6.373) Pág.: 552

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar xcm , y cm , z cm , , , obtiene,

a partir de las ecuaciones (6.368) a (6.373) se

xcm = y cm = z cm = = = =

pxcm M pycm M pzcm M p I p I p I

(6.374) (6.375) (6.376) (6.377) (6.378) (6.379)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.356) y la potencial (5.357) el Hamiltoniano viene dado por,

2 2 2 1 1 H = T + U = M xcm + y cm + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2

+ M gzcm

(6.380)

sin haber usado ligaduras.

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.374) a (6.379) en (6.380) resulta, 1 1 H= p2xcm + p2ycm + p2zcm + 2M 2

p2 p2 p2 + + I I I

+ M gzcm

(6.381)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaSOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 553

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando, 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > :

@H + 1 A11 + 2 A21 + 3 A31 + 4 A41 = 3 @xcm @H + 1 A12 + 2 A22 + 3 A32 + 4 A42 = 4 @ycm pzcm = @[email protected] + 1 A13 + 2 A23 + 3 A33 + 4 A43 = 1 cm @H p = @ + 1 A14 + 2 A24 + 3 A34 + 4 A44 = 2 p = @H + 1 A15 + 2 A25 + 3 A35 + 4 A45 = 3 R Sen @ @H p = @ + 1 A16 + 2 A26 + 3 A36 + 4 A46 = 0 xcm = @[email protected] = pxMcm xcm = pyMcm y cm = @[email protected] ycm z cm = @[email protected] = pzMcm zcm @H = @p = pI p @H = @p = I @H = pI = @p

pxcm = pycm =

4 R Cos

(6.382)

Al despejar pxcm , pycm , pzcm , p , p , p de las últimas seis ecuaciones (6.382) para sustituirlos en las primeras seis resulta, 8 > M x cm = 3 > > > > > M y cm = 4 > > > < M z cm + M g = > I = 2 > > > > > I = 3 R Sen > > > : I =0

1

(6.383) 4 R Cos

Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.361), por lo tanto, es de esperarse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en (5.369). .............................................................................................. EJEMPLO 6.21 Encuentre las ecuaciones de Hamilton para el ejemplo 5.21. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad, número mínimo de Coordenadas Generalizadas y coeficientes A`i : todas estas cantidades están en el ejemplo 5.21 (5.378), (5.374), SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 554

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON (5.374), (5.379) y (5.380) respectivamente, 8 (shD) > z cm = 0 ) f1 = z cm = 0 > > > < = 0 ) f (shD) = = 0 2 (shD) > = 0 ) f3 = =0 > > > : (nhD) Sen xcm Cos y cm = 0 ) f4 = Sen xcm

(6.384) Cos y cm = 0

s = 2

(6.385)

e = 3

(6.386)

siendo e > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo. 9 8 > A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1 > > > > > > > > > A = 0 A = 0 A = 0 > > 14 15 16 > > > > > > > > A21 = 0 A = 0 A = 0 > > 22 23 > > > > < A =1 A =0 A =0 = 24

> A31 > > > > > A34 > > > > > A41 > > : A44

25

=0 =0 = Sen =0

A32 A35 A42 A45

26

=0 =1 = Cos =0

con q1 = xcm , q2 = ycm , q3 = zcm , q4 = , q5 =

A33 A36 A43 A46

y q6 = .

=0 =0 =0 =0

> > > > > > > > > > > > > ;

(6.387)

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin usar ligaduras viene dado por (5.384), L=T

2 2 2 1 1 U = M xcm + y cm + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2

+ QExcm + 2qEb Cos

(6.388)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son xcm , ycm , zcm , , , y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, @L pxcm = = M xcm (6.389) @ xcm @L pycm = = M y cm (6.390) @ y cm @L pzcm = = M z cm (6.391) @ z cm @L p = =I (6.392) @ @L p = =I (6.393) @ @L p = =I (6.394) @ SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 555

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar xcm , y cm , z cm , , , obtiene,

a partir de las ecuaciones (6.389) a (6.394) se

xcm = y cm = z cm = = = =

pxcm M pycm M pzcm M p I p I p I

(6.395) (6.396) (6.397) (6.398) (6.399) (6.400)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.381) y la potencial (5.383) el Hamiltoniano viene dado por,

2 2 2 1 1 H = T + U = M xcm + y cm + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2

QExcm

2qEb Cos

(6.401)

sin haber usado ligaduras.

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y los momentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.395) a (6.400) en (6.401) resulta,

1 1 H= p2xcm + p2ycm + p2zcm + 2M 2

p2 p2 p2 + + I I I

QExcm

2qEb Cos

(6.402)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecuaSOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 556

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando, 8 > pxcm = @[email protected] + 1 A11 + 2 A21 + 3 A31 + 4 A41 = QE + 4 Sen > > cm > > > pycm = @[email protected] + 1 A12 + 2 A22 + 3 A32 + 4 A42 = > 4 Cos > cm > > @H > pzcm = @zcm + 1 A13 + 2 A23 + 3 A33 + 4 A43 = 1 > > > > > + 1 A14 + 2 A24 + 3 A34 + 4 A44 = 2 p = @H > @ > > > @H > p = @ + 1 A15 + 2 A25 + 3 A35 + 4 A45 = 3 > > > > < p = @H + 1 A16 + 2 A26 + 3 A36 + 4 A46 = 2qEb Sen @ (6.403) @H xcm = @px = pxMcm > > cm > > > y cm = @[email protected] = pyMcm > ycm > > > > = pzMcm z cm = @[email protected] > > zcm > > @H > = @p = pI > > > > > > = @H = p > @p I > > > : = @H = p @p

I

Al despejar pxcm , pycm , pzcm , p , p , p de las últimas seis ecuaciones (6.403) para sustituirlos en las primeras seis resulta, 8 > M x cm QE = 4 Sen > > > > > M y cm = 4 Cos > > > < M z cm = 1 (6.404) > I = 2 > > > > > I = 3 > > > : I + 2qEb Sen = 0

Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.387), por lo tanto, es de esperarse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en (5.395). .............................................................................................. EJEMPLO 6.22 Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.22 usando el método de Hamilton. SOLUCION: Ligaduras, Grados de Libertad, número mínimo de Coordenadas Generalizadas y coeficientes A`i : todas estas cantidades están en el ejemplo 5.22 (5.397), (5.398), SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 557

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA (5.399), (5.400) y (5.401) respectivamente, 8 (shD) > z cm = 0 ) f1 = z cm = 0, limita el movimiento del carrito al plano xy. > > > (shD) < =0)f = = 0, no hay rotación en torno al eje x. 2 (shD) > = 0 ) f3 = = 0, no hay rotación en torno al eje y. > > > : (nhD) xcm = s Cos ) f4 = Cos s xcm = 0.

(6.405)

s = 2

(6.406)

e = 3

(6.407)

siendo e > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo. 9 8 > > A = 0 A = 0 A = 1 11 12 13 > > > > > > > > A = 0 A = 0 A = 0 > > 14 15 16 > > > > > > > > A = 0 A = 0 A = 0 > > 21 22 23 > > > > < A =1 A25 = 0 A26 = 0 = 24 > A31 = 0 A32 = 0 A33 = 0 > > > > > > > > > > A34 = 0 A35 = 1 A36 = 0 > > > > > > > > > > > A = Cos A = 1 A = 0 41 42 43 > > > > ; : A44 = 0 A45 = 0 A46 = 0

(6.408)

con q1 = s, q2 = xcm , q3 = zcm , q4 = , q5 = , q6 = .

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin usar ligaduras viene dado por (5.403), L=T

2 2 1 1 U = M s + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2

+ QExcm + 2qEb Cos

(6.409)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generalizadas: las coordenadas generalizadas son s, xcm , zcm , , , y los momentos conjugados (6.1) a dichas coordenadas son, @L = Ms (6.410) ps = @s @L pxcm = =0 (6.411) @ xcm @L pzcm = = M z cm (6.412) @ z cm @L p = =I (6.413) @ @L p = =I (6.414) @ @L p = =I (6.415) @ SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: 558

6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjugados: al despejar s, xcm , z cm , obtiene,

,

,

a partir de las ecuaciones (6.410) a (6.415) se

s = xcm = z cm = = = =

ps M 0 pzcm M p I p I p I

(6.416) (6.417) (6.418) (6.419) (6.420) (6.421)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38), 2 2 1 1 H = T + U = M s + z cm + 2 2

I

2

2

+I

+I

2