Globos de Cantolla II: vuelo vertical (PDF Download Available)

January 12, 2018 | Author: Anonymous | Category: Documents
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Nov 19, 2017 - Full-text (PDF) | In this second work, we continue discussions with reference to vertical flight of a Can...

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Globos de Cantolla II: vuelo vertical Eduardo Herrera * y René Garduño **

* Posgrado, Centro de Ciencias de la Atmósfera, UNAM. [email protected] ** Modelos Climáticos, Centro de Ciencias de la Atmósfera, UNAM. [email protected]

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ContactoS 91, 5–12 (2014)

Recibido: 22 de agosto de 2013. Aceptado: 12 de diciembre de 2013.

minal. Finalmente, se dan discusi´ on y conclusiones (secci´on 6).

Resumen En este segundo trabajo, se contin´ ua con las discusiones en referencia al vuelo vertical de un Globo de Cantolla (globo de aire caliente), a partir de la ecuaci´ on de movimiento vertical. Considerando los casos sin y con fricci´on. Adem´ as se hacen dos simulaciones y se discuten los alcances de los resultados.

2. Vuelo sin fricci´ on Siguiendo la deducci´ on de Herrera y Gardu˜ no [1], hacemos para comenzar hip´ otesis simplificatorias:

Palabras clave: Principio de Arqu´ımedes, Ley del Gas Ideal, Ense˜ nanza de la F´ısica. Abstract In this second work, we continue discussions with reference to vertical flight of a Cantolla Balloon (hot air balloon), from the equation of vertical motion. We take the cases without and with friction. Also we make two computer simulations and discuss the implications of the results. Key words: Archimedes’ Principle, the Ideal Gas Law, Physics Teaching. 1. Introducci´ on En el trabajo previo de Herrera y Gardu˜ no [1] se introduce la historia de los globos de Cantolla, se deduce su ecuaci´ on de construcci´ on simplificada para calcular (en funci´on de las variables atmosf´ericas) el volumen m´ınimo que debe tener el globo para que ascienda, se enuncian las condiciones ambientales m´as favorables, se analiza el ascenso del globo con gradiente t´ermico est´ andar y con inversi´ on t´ermica. Se trata de motivar un ejercicio te´orico, experimental y de campo para ilustrar algunos conceptos f´ısicos y meteorol´ ogicos, en diversos niveles escolares. Ahora ampliamos y profundizamos el trabajo anterior. Se analiza la cinem´ atica del vuelo vertical en la din´ amica del Principio de Arqu´ımedes, sin (secci´on 2) y con (secci´ on 3) fricci´on entre el globo y la atm´ osfera. Se an´aloga la elevaci´ on del globo a la de una parcela de aire, usual en meteorolog´ıa; y se simula el primer minuto de vuelo con dos ejemplos (casos castigado y generoso, seg´ un las caracter´ısticas intr´ınsecas del globo), para un amanecer de la Cd. de M´exico, con diversos valores del coeficiente de arrastre, representativos de formas geom´etricas que el globo presenta a su avance (secci´on 4). Se obtienen los resultados (secci´ on 5): altura alcanzada, tiempo y magnitud de la velocidad ter-

1. La atm´ osfera est´ a en reposo. 2. No hay fricci´on entre el globo y la atm´ osfera. 3. Tanto el aire interior (del globo), como el exterior (ambiente) cumplen la Ley del Gas Ideal. 4. El volumen del sistema (o material del) globo es despreciable. Y 5. La boca del globo es suficientemente chica para poder diferenciar la temperatura interior de la exterior; pero es suficientemente grande para que la salida de aire caliente se compense con la entrada de aire fr´ıo y poder igualar (en las ecuaciones) las presiones interior y exterior; de cualquier modo, en la realidad la interior es un poco mayor que la exterior para mantener al globo inflado. Sabemos que un objeto sumergido en un fluido est´ a sometido a dos fuerzas: su peso (hacia abajo) y el empuje (hacia arriba). El empuje, una fuerza de flotaci´on que Arqu´ımedes descubri´ o, es el peso del fluido desalojado. Para el globo de Cantolla, el fluido es por supuesto el aire externo o del ambiente; el objeto es el sistema globo (su piel: papel y pegamento; el quemador: su estructura, mecha y combustible; es decir, el material) adem´ as del aire (interior) calentado. Entonces, por segunda Ley de Newton, el peso del objeto es mT g = (m + mi )g, (1) donde mT es la masa total del objeto, mi es la masa del aire interno del globo y m es la masa del sistema globo (sin aire); g es la aceleraci´on de la gravedad. Por otro lado, el empuje (F ) es el peso de un volumen V de aire externo con masa me , donde ese volumen de aire externo coincide con el volumen del globo inflado, F = me g. (2) As´ı, en una primera aproximaci´on, sin fricci´on podemos escribir que la fuerza resultante de la diferencia entre empuje y peso es (m + mi )a = g(me − [m + mi ]), donde a es aceleraci´on del globo.

(3)

Globos de Cantolla II: Vuelo vertical. Eduardo Herrera y Ren´e Gardu˜ no.

Queremos obtener una relaci´ on con variables que sean f´aciles de medir, para tal fin es necesario recurrir a la definici´on de densidad (ρ) como el cociente de masa y volumen, y a la Ley del Gas Ideal: p = ρRT.

As´ı, las masas del aire interior y exterior (desalojado) quedan: mi = ρi V =

pi V , RTi

(5)

me = ρe V =

pe V , RTe

(6)

donde los sub´ındices i y e se refieren (como antes) al interior y exterior del globo, respectivamente. Sustituyendo (5) y (6) en (3), se obtiene:

pi V m+ RTi



a=g



  pi V pe V . − m+ RTe RTi

(7)

Por la hip´ otesis 5, igualamos pi = pe = p, que es la presi´ on atmosf´erica; entonces en (7) despejamos a: a=g



cuenta su fricci´on con la atm´ osfera (manteniendo vigentes las otras cuatro hip´ otesis). En la ley de movimiento hay que agregar una fuerza f hacia abajo que suele llamarse de arrastre y, suponiendo que no hay turbulencia, est´ a dada por [3 y 4]:

(4)

Donde T es la temperatura absoluta (que se da en K) y R es la constante espec´ıfica del aire seco, que es una buena aproximaci´on ya que incluso en condiciones de saturaci´on la constante espec´ıfica del aire crece un 5 % en relaci´ on a la del aire seco.



7

pV (∆T ) − mRTi Te Te [pV + mRTi ]



,

f=

1 CρAw2 , 2

(10)

donde w es la velocidad (vertical) del globo, A es el ´area (transversal) expuesta al medio (la atm´ osfera) de densidad ρ y C es el coeficiente de arrastre (adimensional), que depende de la forma del cuerpo (aunque no sea globo) expuesta a su avance [5 y 6]. En la fig.1 se muestran varias formas (avanzando hacia la izquierda) con su respectivo C; puede verse que si el perfil es m´as aerodin´ amico, el coeficiente disminuye. Para un mejor vuelo, podr´ıa pensarse en un globo aerodin´ amico, p. ej. ojival; sin embargo, ser´ıa inestable, se inclinar´ıa y doblar´ıa f´acilmente, y su ascenso se complicar´ıa, incluso por el riesgo de que su piel se acerque a la flama. No siendo el globo un cuerpo r´ıgido, la C puede variar durante el vuelo: la presi´ on del aire interior le da una forma m´as convexa al avance, disminuyendo C; pero la fricci´on del aire tiende a hacerlo c´oncavo, aumentando C. Valores de C entre 0.4 (cara convexa) y 1.2 (c´oncava) son realistas para el globo. En el lado derecho de la ec. (7) agregamos la fuerza (10) con signo negativo, usamos para ρ la Ley de Gas Ideal con p y Te , hacemos un desarrollo similar al que nos llev´o de (7) a (8) y obtenemos:

(8)   ∂w pV (∆T ) − mRTi Te − =g ∂t Te [pV + mRTi ]   pTi 1 Aw2 . (11) Cd 2 Te [pV + mRTi ]

a = donde ∆T = Ti − Te . En meteorolog´ıa es com´ un analizar parcelas de aire; es decir, peque˜ nas porciones de la atm´ osfera con ciertas caracter´ısticas termodin´ amicas. Podemos concebir a la parcela como el aire interior del globo, sin haber sistema globo, o sea que m = 0, y su aceleraci´on obtenida de (8) es:

Naturalmente, el primer t´ermino de la derecha es el mismo que en (8) y ahora tenemos el t´ermino adicional debido a la fricci´on. Nombramos

a=g



∆T Te



.

(9)

Por otro camino, Salby [2], llega al mismo resultado. 3. Vuelo con fricci´ on Analicemos ahora el ascenso del globo tomando en

α≡g



pV (∆T ) − mRTi Te Te [pV + mRTi ]

1 β ≡ Cd 2



pTi Te [pV + mRTi ]





,

(12)

A.

(13)

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Queremos calcular el movimiento del globo durante el primer minuto, en ese tiempo ascender´ a unas decenas de metros; en ese espacio la Te decae ∼ 0.5 K y la p ∼ 10 mb; estos cambios, en valores t´ıpicos de Te de ∼ 300 K y p de ∼ 800 mb, son insignificantes. Adem´ as, consideramos que durante ese primer minuto la Ti se mantiene casi constante. Por lo tanto, es buena aproximaci´on suponer constantes a α y β. Adicionalmente, a=

∂w ∂t

y

w=

∂z , ∂t

(14)

donde t es el tiempo y z es la posici´on (vertical) del globo. Finalmente, la ecuaci´on (11) queda como la ecuaci´ on diferencial de movimiento: ∂w ∂2z = 2 = α − βw2 . ∂t ∂t

(15)

La soluci´ on de una ecuaci´on de esta forma es [4 y 7]: z = β −1 ln(cosh

p

αβt)

(16)

y w=

∂z = ∂t

r

p α (tanh αβt). β

(17)

Simulando el vuelo Haremos dos ejercicios de simulaci´on del vuelo del globo, desde el suelo de la Cd. de M´exico, al amanecer, con las siguientes condiciones atmosf´ericas:

Figura 1: Coeficiente de arrastre para diferentes formas geom´etricas. La flecha indica que el objeto se mueve a la izquierda.

presi´ on: p = 780 hPa, y temperatura: Te = 283 K (10◦ C); con las constantes est´ andar: espec´ıfica del gas (aire seco): R = 287 J kg−1 K−1 y aceleraci´on de la gravedad: g = 9.8 ms−2 . Y caracter´ısticas del globo: esf´erico masa del sistema: m = 1 kg y coeficiente de arrastre: C entre 0.4 y 1.2 Calculamos dos vol´ umenes con la desigualdad (9) del trabajo de Herrera y Gardu˜ no [1]:   mR Ti Te , V > p ∆T uno casi en el l´ımite de construcci´on y con una ∆T f´acil de lograr (caso castigado) y otro con V y ∆T mayores (caso generoso). En el primer caso tenemos:

Globos de Cantolla II: Vuelo vertical. Eduardo Herrera y Ren´e Gardu˜ no.

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V = 5.3 m3 , A ∼ = 3.70 m2 y ∆T = 70 K, Y en el segundo: V = 5.5 m3 , A ∼ = 3.77 m2 y ∆T = 80 K. En ambos casos suponemos ∆T constante durante el vuelo, consecuencia de nuestra hip´ otesis previa de que en un ascenso de decenas de metros, as´ı como Te y Ti se mantienen constantes tambi´en. En la fig. 2 mostramos la velocidad del globo calculada con (17), su aceleraci´on con (11) y su posici´on con (16), en las partes a, b y c, respectivamente, durante el primer minuto de vuelo, para el primer caso; y en la fig. 3, lo mismo para el segundo caso. En ambos casos simulamos para cinco valores de C = 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 y 1.2. 5. Resultados Comparando los resultados de las dos simulaciones, se aprecia que el comportamiento en cada una de las gr´ aficas es muy similar.

Figura 2 b): Aceleraci´ on del globo durante el primer minuto de vuelo; con los mismos par´ ametros que en la figura anterior, T = 70 K, V = 5.3m3 , etc.

Referente al coeficiente de arrastre se ve que conforme el globo sea m´as aerodin´ amico (C = 0.4) lograr´a desarrollar una mayor velocidad de ascenso y llegar´a m´as alto en un determinado tiempo que si se construye de forma poco aerodin´ amica (C = 1.2).

Figura 2 c): Altura alcanzada por el globo durante el primer minuto de vuelo; con los mismos par´ ametros que en la figura anterior, ∆T = 70 K, V = 5.3 m3 , etc.

Figura 2 a): Velocidad alcanzada por el globo durante el primer minuto de vuelo. Con una masa del material de m = 1 kg, una diferencia de temperatura (∆T ) de 70 K, con un volumen calculado para tal ∆T de V = 5.3 m3 , A ∼ on atmosf´erica de p = 780 = 3.7 m2 , una presi´ hPa, la constante espec´ıfica del gas (aire seco) R = 287 J kg−1 K−1 , la temperatura exterior de Te = 283.15 K (10◦ C), g = 9.8 ms−2 , variando el coeficiente de arrastre C entre los valores de 0.4 y 1.2.

Observando a la velocidad se nota que en el primer caso (fig. 2a) se llega a una velocidad que podemos llamar terminal o l´ımite despu´es de 30 se-

gundos y que est´ a alrededor de los 0.2 y 0.3 m/s; para el segundo caso (fig. 3a) se llega a la velocidad terminal m´as r´ apido (10 segundos) y su valor est´ a en el rango de 0.9 a 1.5 m/s. Respecto a la aceleraci´on, igualmente las diferencias son notables, en el primer caso (fig. 2b) a se hace cero despu´es del primer minuto de vuelo; mientras que en el segundo caso (fig. 3b) a se hace cero mucho m´as r´ apido, durante los primeros 10 ´o 15 segundos. La altura que alcanzar´a cada globo tambi´en cambia, mientras que para el primer ejemplo (fig. 2c) se llegar´a entre 10 y 14 m durante el primer minuto de vuelo; en el segundo caso (fig. 3c) se puede alcanzar una altura entre 40 y 80 m.

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Figura 3 a): Velocidad alcanzada por el globo durante el primer minuto de vuelo. Con una masa del material de m = 1 kg, una diferencia de temperatura (∆T ) de 80 K, con un volumen calculado para tal ∆T de V = 5.5 m3 , A 3.77 m2 , una presi´ on atmosf´erica de p = 780 hPa, la constante espec´ıfica del gas (aire seco) R = 287 J kg−1 K −1 , la temperatura exterior de Te = 283.15 K (10◦ C), g = 9.8 ms−2 , variando tambi´en el coeficiente de arrastre C entre los valores de 0.4 y 1.2.

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Figura 3 b): Aceleraci´ on del globo durante el primer minuto de vuelo; con los mismos par´ ametros que en la figura anterior, ∆T = 80 K, V = 5.5 m3 , etc.

Construir el globo con forma aerodin´ amica, con un volumen mayor que el m´ınimo requerido y logrando que la diferencia de temperatura sea lo m´as grande posible, hace que ´el suba m´as r´ apido y alcance una mayor altura. Pero es claro que no siempre las condiciones son generosas con el experimentador y podemos pensar en casos como el primero (castigados). C´omo s´ olo se ha tomado el primer minuto de vuelo, no se aprecia en las figuras qu´e ocurre cuando el combustible se agota y la temperatura interior ya no se mantiene. Es claro que conforme el aire interior del globo se enfr´ıa el empuje disminuye, igual´ andose a la suma de peso y fricci´on primero, y despu´es haci´endose menor hasta el punto en que el peso sea mayor que el empuje (recordando que cuando se detiene no hay fuerza de fricci´on). Entonces, inicia la ca´ıda con aceleraci´on negativa y pasado cierto tiempo ´esta se har´ a cero cuando el resultado de la suma de peso, empuje y fricci´on (con direcci´on hacia arriba durante la ca´ıda) se hace cero, llegando a una velocidad l´ımite de descenso constante; pero al alcanzar el suelo tendremos un cambio brusco de velocidad haciendo que por un instante tengamos de nuevo aceleraci´on positiva. En la fig. 4 se muestra un bosquejo cualitativo de lo

Figura 3 c): Altura alcanzada por el globo durante el primer minuto de vuelo; con los mismos par´ ametros que en la figura anterior, ∆T = 80 K, V = 5.5 m3 , etc.

que suceder´ıa durante todo el vuelo (ascenso y descenso), para cada una de las tres variables verticales usadas antes: a) velocidad, b) aceleraci´on y c) altura; sin escala porque s´ olo se trata de mostrar el comportamiento sabiendo que la magnitud puede cambiar por diferentes razones durante el vuelo. La fig. 4 tiene siete subdivisiones temporales t = i, ii, iii, iv, v, vi, vii, y entre esos puntos se han formado seis intervalos, los cuales ayudan a la descripci´on cualitativa del comportamiento durante el ascenso y descenso del globo de Cantolla, se denotan en la parte inferior de la figura. El instante t = i, es el punto de partida en el que la velocidad es cero, existe aceleraci´on positiva (ese in-

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ra interior tambi´en desciende, lo que hace que la fuerza de empuje disminuya. El globo casi llega a la altura m´axima. Consideramos otra vez que cuando se termina el combustible, el enfriamiento del aire interior es el principal forzamiento para que el globo descienda. Hacemos notar al lector que aunque sabemos por la Ley de Gas Ideal que conforme la temperatura interior disminuye, la presi´ on tambi´en lo hace, esperando que el globo baje desinflado; esto tiene implicaciones complejas como que durante el descenso el globo cambie de forma al desinflarse y por lo tanto cambie tambi´en la fuerza de arrastre. En el intervalo (4), entre t = iv al y t = v el globo llega a la altura m´axima y durante ese tiempo peque˜ no (en la figura est´ a exagerado para apreciarlo) tanto la velocidad como la aceleraci´on son cero. En el intervalo (5), entre t = v y t = vi, la velocidad negativa aumenta al igual que la aceleraci´on, pero en la mitad del intervalo se observa que despu´es de haber alcanzado una aceleraci´on negativa ”m´axima” la aceleraci´on empieza a disminuir, ya que conforme el globo desciende la velocidad se incrementa y esto hace que la fuerza de arrastre (fricci´on) tambi´en crezca, frena el avance y disminuye la aceleraci´ on hasta alcanzar una velocidad constante hacia abajo (de nuevo una velocidad terminal). Figura 4: Bosquejo cualitativo de lo que sucede durante el vuelo de un globo de Cantolla, para: a) velocidad, b) aceleraci´ on y c) altura.

cremento de aceleraci´on hace que desde tierra los que sostienen el globo sientan una fuerza que ”jala” hacia arriba) y claramente la altura del suelo es cero (suponiendo que se hace desde el piso). Conforme pasa el tiempo se aprecia en el intervalo (1) del t = i al t = ii que la velocidad aumenta, la aceleraci´ on disminuye y la altura se incrementa. Podemos decir que las Figs. 2 y 3 con sus incisos muestran el comportamiento s´ olo del intervalo (1). En el intervalo (2), que comprende desde el instante t = ii al instante t = iii la velocidad es constante, se ha llegado a una velocidad terminal, por lo tanto, la aceleraci´on es cero (est´an equilibradas las fuerzas de empuje, peso y arrastre [fricci´ on]) y la altura cambia de forma lineal. En el intervalo (3), entre los instantes t = iii y t = iv la velocidad disminuye, el globo se est´ a frenando debido a que la flama se ha apagado y la temperatu-

En el u ´ltimo intervalo (6), entre t = vi y t = vii, la velocidad negativa es constante, la aceleraci´on es cero y la altura disminuye linealmente. Las pendientes de las rectas en los intervalos (2) y (6), que corresponden al cambio de altura son diferentes, notando que en el descenso es m´as pronunciada, esto se debe a que el globo sube m´as lento de lo que baja. Al final del intervalo, exactamente en el instante t = vii, el globo toca el suelo y se presenta un cambio repentino de velocidad y tambi´en un cambio brusco de la aceleraci´on, volviendo al suelo con altura cero. 6. Discusi´ on y conclusiones Para algunas ciencias como la F´ısica de la Atm´ osfera, ecuaciones como la (11) son importantes; ya que la medici´ on del cambio vertical de diferentes variables proporciona informaci´on crucial para entender la din´ amica atmosf´erica. Por lo mismo, en varios lugares incluyendo Estados Unidos, desde la d´ecada de 1930 se usan globos radiosonda que miden cada una de las variables conforme ascienden a trav´es de la atm´ osfera [8]. Estos globos meteorol´ ogicos son cerrados y contienen alg´ un gas menos denso que el ai-

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re, como el Helio; difieren de los globos con fuente de calor en su interior (de Cantolla y aerost´aticos) en que los meteorol´ ogicos est´ an hechos de un material flexible como el l´ atex y los segundos de un material inel´astico (papel o tela). Pero, aun con las diferencias los dos tipos de globos siguen leyes similares. Una ecuaci´ on como la (11) es otra forma de escribir la componente vertical de las ecuaciones de momento (Navier-Stokes). Puede hacerse m´as compleja conforme se toman en cuenta m´as aspectos como la velocidad vertical del viento o los cambios de densidad dentro y fuera del globo conforme sube. Entre m´as compleja sea la ecuaci´ on, resolverla anal´ıticamente ser´a dif´ıcil y por lo general se debe hacer con m´etodos num´ericos, adem´ as es com´ un que los cient´ıficos hagan suposiciones como por ejemplo an´ alisis de escala, para despreciar algunos t´erminos y poder trabajar con ecuaciones m´as simples [9]. Hay que hacer notar, que aun resolviendo la ecuaci´ on de movimiento vertical la soluci´ on obtenida es incompleta ya que el vuelo del globo tambi´en tiene inherente las componentes horizontales, por lo que para poder determinar la soluci´ on completa del vuelo de un globo o de una parcela de aire tenemos que a˜ nadir las otras dos componentes de momento horizontal (Navier-Stokes), junto con otras ecuaciones; de manera que en ellas est´e incluida pr´acticamente la din´ amica atmosf´erica de ese momento. Hacer un pron´ostico completo de lo que le ocurrir´ a a un globo durante su vuelo necesitar´ a de corridas computacionales como las que se hacen para la predicci´ on del tiempo meteorol´ ogico, considerando una parcela de aire. Es decir, dar la posici´on exacta en cada momento del vuelo necesitar´ a muchos m´as c´alculos que los presentados someramente aqu´ı. Pero, como se ha presentado, se pueden hacer suposiciones u ´tiles que nos lleven a una idea de la soluci´ on. Por ejemplo, notar que el vuelo de un globo de Cantolla puede no ser tan largo (5–30 minutos) dependiendo del combustible; se puede suponer que las condiciones termodin´ amicas y din´ amicas de la atm´ osfera casi se mantienen constantes durante ese periodo y que bastar´a con tener un termodiagrama que presente la estructura atmosf´erica en ese momento (radiosondeo). Teniendo la velocidad del viento (horizontal) en cada nivel podemos hacer un c´alculo aproximado del rumbo que tomar´a conforme ascienda. Algo as´ı hicieron Flores et al. [10] para predecir d´onde llegar´ıa una ra-

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diosonda hecha por ellos, aunque no presentan los c´alculos. Creemos que es importante para los profesores de ciencias e ingenier´ıas trabajar con temas y experimentos que en un momento pueden parecer muy sencillos como ´este de los globos de Cantolla, ya que adem´ as de que toca varios temas de f´ısica, conforme el estudiante avanza en su entendimiento puede llegar relativamente pronto a formularse preguntas relacionadas a temas cient´ıficos de frontera. Agradecimientos Agradecemos la colaboraci´on de Sigrid Morett por las discusiones y las modelaciones matem´aticas. Referencias 1. Herrera, E. y Gardu˜ no, R., Globos de Cantolla; Contactos. 90, (2013). 2. Salby, M. L., Fundamentals of atmospheric physics (Academic Press, U. S. A., 1996), p. 166-168. 3. Fay, J. A., Mec´ anica de fluidos (Compa˜ n´ıa Editorial Continental, S. A. de C. V., M´exico, 1996), p. 315-316. 4. Haugland, O. A., Hot-air balloning in physics teaching. Phys. Teach. 29, 202 (1991). 5. Bolster, D., Hershberger, R. E. y Donnelly R. J., Dynamic similarity, the dimensionless science. Phys. Today 64 (9), 42 (2011); doi: 10.1063/PT.3.1258 6. Cross, R., Aerodynamics in the classroom and at the ball park. Am. J. Phys. 80, 289 (2012); doi: 10.1119/1.3680609 7. Stautberg-Greenwood, M, Hanna, C. y Milton, J., Air resistance acting on a sphere: numerical analysis, strobe photographs, and videotapes. Phys. Teach. 24, 153 (1986). 8. DuBois, J., R. Multhauf y C. Ziegler, The invention and development of the radiosonde: With a catalog of upper-atmospheric telemetering probes in the National Museum of American History, Smithsonian Institution (Smithsonian Institution Press, Washington, D.C., 2002) 78 p. 9. Hanna, S. R. y Hoecker, W. H., The response of constant-density balloons to sinusoidal variations of vertical wind speeds. J. Appl. Meteor. 10, 601604 (1971). 10. Flores, F., R. Rondanelli, M. D´ıaz, R. Querel, K. Mundnich, L. A. Herrera, D. Pola y T. Carricajo, The Life Cycle of a Radiosonde. Bull. Amer. Meteor. Soc., 94, 187-198 (2013). doi: http://dx.doi.org/10.1175/BAMS-D-11-00163.1 cs

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